浙江省精诚联盟（浙江四校）2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

四校联考参考答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B A D B C CD ABD 题号 11 答案 ACD 二、填空题： 511 12.x2+y2=4 13 3’6 14.2W2+1 三、解答题 15.详解：(1)将正弦定理，口 b sinA sinB sinC 云代入已知条件sin2B+sin2C-sin2A=V3 sinBsinC, 得b2+c2-a2=V3bc.(2分) 由余弦定理得coA=B+2-d=3c-V ,(4分)因为A∈(0，)，(5分)所以A=工.(6分) 2bc 2bc 2 6 (2)由cosC=3V27 14 可得sinC=l- 3v2i2 ,(7分) 14 14 又sinB=si (5n-c=sin 5π nc-x32+5x7-21,(9分 5π cosC-cos 6 6 6 Γ2142147 则e=bsinc 4xV分 4-23 2员-兮.1分)枚aC的面积S=sinA- *4x29x12 3x2=3 .13分) sinB 16.详解：1)令4()=3x+13,其图象开口肉向下、对称轴为x-名，又y=g,在定义域上单调 递增， 故f(x)在[1,3]上单调递减等价于u(x)在[1,3]上单调递减且u(x)>0恒成立.(3分) 则g≤1，且4)=洲-14>0，解符片<m≤6，放m的取值花围为 (6分) (2)令t=2,由x∈[1,3]得t∈[2,8]，(8分) 则g(x)=-2+81-12=(U-4)2+4,当1=4，即x=2时，g(x)取最大值4.(10分) 条件“对任意x,x32∈[1,3都有f(x)≥g(x2)等价于f(x)≥4对一切x∈[l,3]成立， 即1og2（-3x2+mx+13)24=log216,则-3x2+mx+13≥16，(12分) 即m≥3x+3对一切x∈[L,3]成立根据对勾函数的性质可知h(x)=3x+3在[L,3]上单调递增， 1 故h(x)≤h(3)=10,所以m≥10，即m的取值范围为10，+o).(15分) 17.详解：(1)设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子， 设事件A=“从这五个粽子中随机挑选出两个粽子，两个粽子风味不同”，由题意得， 样本空间为2={1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}， A={1,3),(1,4),1,5),(2,3)(2,4),(2,5)},所以n(2)=10,n()=6, 根据古典概型的计算公式，得P(4)=”A_3. n(@)5·(4分) (2)设事件B=“从包含一个咸粽子和两个甜粽子的三个粽子中随机挑选出一个粽子，是咸粽子”， 则P(-= 事件C=“参加活动的顾容带走5个粽子”，根据题意可得P(C)=P(4B)=P(④P(B)-亏×35 3x1-1 所以参加活动的顾容成功领取五个棕子的概率为；·(9分) (3)事件M=“甲带走5个粽子”，事件N=“乙带走5个粽子”，事件H=“恰有一人带走五个粽子”， 根据题意可得，P(M)=P(M=P(C)=;,因为H=MNUMN, 由己知M,N相互独立，所以M,N相互独立，M,N也相互独立， 所t以P(H)=P(INUMN）=P(MN）+P(MN)-P(M)P(w)+P(M)P(N)=4xt+x4-8 =5×5+5×525 故甲、乙两人恰有一人带走五个棕子的概率为 25(15分) 18.详解：(1)证明：记CD的中点为E,连结AE, 因为AB1CD,CE=CD=1=4B,所以四边形ABCE是平行四边形，则4E=1, 因为AB⊥BC,所以平行四边形ABCE是矩形，则AE⊥AB, 因为PA⊥平面ABCD,AE,ABC平面ABCD,所以PA⊥AE,PA⊥AB,则PA,AE,AB两两垂直，(2分) 故以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(0,0,0),B(01,0),E(22,0,0,D(22,-1,0,C221,0,P(0,0,2), 因为N为Pm的中点，所以N22则-（5,2月 设平面PBC的一个法向量为m=（x,y,z）,而BP=(0,-1,2),BC=(22,0,0), 则mC222=0,令2=1，则m=02刃。 则 所以Nm=)×2+1=0,则MNLm,又AN立平面PBC,所以ANI/平面PBC.C5分 2 (2)设平面PAD的一个法向量为n=(a,b,c),而AP=(0,0,2),AD=(2√2，-1,0)， AP.n=2c=0 所以 令a=1,则n=(1,22,0), AD.i=2√2a-b=0 设平面PCD的一个法向量为4=y,s,),而CD=(0,-2,0),PC=(2W2,l,-2), CD.=-2s=0 所以 PC.=2N2r+g-21=0'令r=1,则i=L,0),记平面PMD与平面PCD夹角为a,则0<a< 似=a或利月一马T国D与有0夹有的冷装51分y 9 (3)依题意，不妨设AM=k(0≤k≤2)，则M=(0,0,k),CM=（-22,-1,k): 又由(2)得平面PAD的一个法向量为n=(L,2√2,0)，记直线CM与平面PAD所成角为B, 所以sinB=cosi,CM= m.CM-22-2245 -C☑+88+1+=15，解得k=1(负值舍去)， 所以M(0,0,1),则MP=(0,0,1),而由(2)得平面PCD的一个法向量为i=L,0,√2)： 所以点M到平面PCD的距离为 Mp.d=6.（17分) dV1+23 1及详解：D易知圆4：(x-+(+-的圆心为4(-)，半径为 2 因为点P为圆A的件随点，所以P4+S-PA- 可得PA=√6，因此点P的轨迹是以A为圆心，√6为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为(x-1)+(y+1)=6.(3分) (2)(i)易知圆B:(x+2)2+y-2)=3的圆心为B(-2,2),半径为V5, 因为点P为圆B的伴随点”，所以PB+V3=3PB-V3), 可得PB=2W3,因此点P的轨迹是以B为圆心，25为半径的圆， 所以点P所在曲线的方程为(x+2)+(y-2)=12: 可得点P为圆(x-)+(y+1)=6与圆(x+2)2+(y-2)2=12的交点： 因为P,Q均为圆“A-B”的“共生点”， 所以直线PQ的方程即为圆(x-1)+(y+1)=6与圆(x+2)+(y-2)=12的公共弦所在直线，两圆方程相 3 减可得x-y=0,因此直线PQ的方程为x-y=0.(8分) (ii)存在点W为(0,0)或(4,0)或(1,0)时，WJWK取定值，理由如下： 易知直线P9与圆(x-)2+(y+1=6和圆(x+2)2+y-22=12的交点为(2，V2),(-V2,-2): 因此线段P9的中点为(0,0)，且PQ=4,因此圆H的方程为x2+y2=4: 依题意直线1的斜率存在，设其方程为y=k(x-),k≠0，J(:,片)，K(x,),如下图： 联立〈 =(-,整理可得(2+1)x2-22x+-4=0,10分) x2+y2=4 --4=1-5 wJ外，wK=Va-x}+V(a-x'+y片=Va2-2a+x+Va2-2a,++y月 =va2-2x+4Va-2am,+4=a2+4}°-2a(d2+4)(x+x)+4a2xx -a+-24e2t-,c-如er k2+1 1a-2y'(a2+4到+4a2+4a(@+4-20r k2+1 令4aa2+4)-20a2=0,解得a=0或a=4或a=1(13分) 易知a=0时，WJWK取定值为4，a=4时，WJWK取定值为12， 当a=1时，WJWK取定值为3；综上知，存在x轴上的定点W,使得WJWK为定值， 当点W的坐标为(0,0)时，WJWK取定值为4；当点W的坐标为(4,0)时，WJ:WK取定值为12： 当点W的坐标为(1,0)时，WJWK取定值为3：(17分) 4绝密★考试结束前 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效 4.考试结束后，只需上交答题纸 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 样本数据2,16,14,8,20的中位数为() A.8 B.9 C.14 D.18 2. 已知直线I经过A(1,2),B(0,3)两点，则直线1的倾斜角为() π A.4 B. c D. 3. 已知向量=(1，l1,0),b=(-1,0,1),且ka+b与2ā-b互相垂直，则实数k=() B C. D.5 A.1 下列直线中，斜率为子，且经过第一象限的是() 4. A.3x+4y+7=0B.4x+3y-2=0C.4x+3y+7=0D.3x+4y-2=0 5.“牟合方盖”是指同一正方体分别从纵、横两方向所作的两个内切圆柱的公共部分组成的几 何体，研究发现：牟合方盖的体积Y与对应正方体的内切球的体积V,满足πV=4V,,若 16 某正方体对应的牟合方盖体积是 则该正方体的棱长是() A.2 B.2V2 C.4 D.42 6.已知圆C:x2+y2-1=0与圆C2:x2+y2+x-2y-3=0(aeR)的公共弦所在的直线 与直线l:x-y+√2=0平行，则两平行线间的距离为() A.② C.② 4 B. 2 D.26 3 7.斜三棱柱ABC-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，∠AAB=∠AAC=60°，侧棱 高二数学学科试题第1页（共4页） AA=2,点P为棱AB上动点，则异面直线CP与AB所成角的最小值为() A.30 B.45 C.60° D.75° 8. 在△ABC中，已知AB=2AC,BC=3.记点A的运动轨迹为曲线E,△ABC的外接圆 M与曲线E交于A、D两点.当∠ABC取最大值时，AD=( A.4V5 B.4V7 c.4v21 D.25 3 7 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若复数：=1+2,1为虚数单位，则下列说法正确的有《) i A.=5 B.:在复平面内对应的点位于第二象限 C.z=2+i D.若复数o满足回=1，则o-z的最小值为√-1 10.下列结论正确的是() A.若直线1：+y=1与圆0：+y=寻相交，则点(a,)在圆O的外部 B.直线c-y-3k+1=0被圆(x-2)'+(y-2)}=4所截得的最短弦长为2√2 C.若圆x2+y2=r2上有3个不同的点到直线x-y-2=0的距离为1，则有r=√2-1 D.若过点P1,V3作圆0：x2+y2=r2的切线只有一条，则切线方程为x+3y-4=0 11.在四棱锥P-ABCD中，∠PAB=∠PAD,CD=2AD=2AB,AB‖CD,点E,F 分别满足PE=xPD,PF=yPB,x,y∈(O,1]平面AEF与棱PC交于G,PG=1PC, 则以下结论正确的是( A.若y=1,则AB川EG B.x,y∈(0,1]，AG⊥BD C.若x=y=2则1=4 D。若=了，则存在平面AF将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.圆x2+y2-4x-4y+4=0关于直线：x+y-2=0的对称圆的标准方程为 高二数学学科试题第2项（共4页） 1B.若函数f(=smor-引@>0)在)上无最小值，则0的取值范围为 14,已知直线y=:+2-2k与曲线y=2x-3 交于A,B两点，平面上的动点P满足， x-2 PA+PB≤2，若O为坐标原点，则PO的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin2 B+sin2 C-sin2 A=3sin BsinC. (1)求A: (2若b=4cosC=3V ,求△ABC的面积. 14 16.(15分)已知函数f(x)=log2(-3x2+x+13). (1)若f(x)在几，3]上单调递减，求实数m的取值范围： (2)设g(x)=-4+2x+3-12,若对于x,x2∈[1,3]，f(x)≥g(x2)恒成立，求实数m 的取值范围。 17.(15分)某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要 在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽 子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那 么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子， 那么可以领取两个粽子带回家：如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回 家.已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等. ()在基础环节中，求样本空间Ω，并计算进入升级环节的概率： (2)求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率： (3)有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率. 高二数学学科试题第3页（共4页） 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB‖CD,且CD=2, AB=1,BC=2N2,PA=2,AB⊥BC,N为PD的中点 (I)求证：AN‖平面PBC; (2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值： (3)点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为4 5,求点M到平 面PCD的距离 M 19.(17分)定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记|MW|的最大值为m,IMNI 的最小值为n,若m=3n,则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随 点，则称G为圆E-F的共生点，已知圆4：(c-+0+=多P为圆A的件 随点” (1)求点P所在曲线的方程： (2)已知圆B:(x+2)+y-2)2=3,P,Q均为圆“A-B”的共生点”. (i)求直线PQ的方程： (i)若圆H是以线段PQ为直径的圆，过点I(L,0)且斜率不为0的直线1与圆H交于 J、K两点，是否存在x轴上的定点W(a,O),使得引WJ|WK|为定值？若存在，求出 所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由. 高二数学学科试题第4页（共4页）