25.2.1 第2课时 配方法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 人教版九年级上册 25.2.1 第2课时 配方法 专项练习（约1400字） ## 一、知识梳理 配方法是解一元二次方程的重要方法，它的思路是**转化思想**，把一般形式的一元二次方程，通过配方变形，化成\((x+n)^2=p\)的形式，再利用直接开平方法求解。配方法也是后续学习二次函数、一元二次方程根的判别式的基础。 ### 核心步骤（二次项系数为1） 解方程 \(x^2+bx+c=0\) 1. **移项**：把常数项移到方程右边：\(x^2+bx=-c\) 2. **配方**：方程两边同时加上**一次项系数一半的平方**，即 \(\left(\dfrac{b}{2}\right)^2\) \(x^2+bx+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2=-c+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2\) 左边写成完全平方式：\(\left(x+\dfrac{b}{2}\right)^2=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-c\) 3. **开方**：若右边常数≥0，直接开平方，转化为两个一元一次方程；若右边＜0，方程无实数根。 4. **求解**：解一次方程，写出方程的两个根。 > 若二次项系数不为1：先**方程两边同除以二次项系数**，化为二次项系数等于1的形式，再按上面四步配方。 ### 易错提醒 1. 配方时，**等式两边必须同时加上同一个数**，只加左边、忘记加右边是最常见错误； 2. 加上的是**一次项系数一半的平方**，注意一次项系数自带正负； 3. 配方完成开平方，不要遗漏正负号； 4. 完全平方公式：\(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2，x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)。 ## 二、基础专项练习 ### （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 将\(x^2+6x\)配成完全平方式，需要加上（） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 2. 用配方法解方程 \(x^2-4x-1=0\)，配方正确的是（） A. \((x-2)^2=5\) B. \((x-2)^2=1\) C. \((x+2)^2=5\) D. \((x-4)^2=17\) 3. 一元二次方程\(2x^2-4x-1=0\)，化为二次项系数为1的形式是（） A. \(x^2-2x-\dfrac12=0\) B. \(x^2-4x-1=0\) C. \(x^2-2x-1=0\) D. \(x^2+2x-\dfrac12=0\) 4. 用配方法解方程\(x^2+2x=3\)，配方后得到（） A. \((x+1)^2=4\) B. \((x-1)^2=4\) C. \((x+1)^2=3\) D. \((x-1)^2=3\) 5. 对\(x^2-8x\)配方，需要添加的常数是（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 ### （二）填空题（每题4分，共20分） 1. \(x^2-10x+\underline{\quad\quad}=(x-\underline{\quad\quad})^2\) 2. 方程\(x^2+4x-5=0\)，移项得\(x^2+4x=\underline{\quad\quad}\)，两边加4，配方为________。 3. 用配方法解方程\(3x^2-6x=9\)，先两边除以3，得到方程：________。 4. \(x^2-3x+\underline{\quad\quad}=\left(x-\dfrac32\right)^2\) 5. 方程\(x^2-2x+5=0\)配方后为\((x-1)^2=-4\)，则方程实数根情况：________。 ### （三）解答题（共60分） 1.（16分）补上适当常数，完成配方 (1) \(x^2+8x+\underline{\quad\quad}=(x+\underline{\quad\quad})^2\) (2) \(x^2-5x+\underline{\quad\quad}=(x-\underline{\quad\quad})^2\) 2.（20分）用配方法解下列方程（二次项系数为1） (1) \(x^2-6x+5=0\)　(2) \(x^2+2x-8=0\) 3.（24分）用配方法解方程（二次项系数不为1） (1) \(2x^2-8x+6=0\)　(2) \(3x^2-6x-9=0\) ## 三、参考答案与解析 ### 选择题 1. C 解析：一次项系数6，一半是3，平方\(3^2=9\)。 2. A 解析：移项\(x^2-4x=1\)，两边加4：\(x^2-4x+4=5\)，即\((x-2)^2=5\)。 3. A 解析：两边同除以2，\(x^2-2x-\dfrac12=0\)。 4. A 解析：两边加1，\(x^2+2x+1=4\)，\((x+1)^2=4\)。 5. C 解析：\(-8\)一半是\(-4\)，平方16。 ### 填空题 1. 25；5 2. 5；\((x+2)^2=9\) 3. \(x^2-2x=3\) 4. \(\dfrac94\) 5. 无实数根 ### 解答题 1. (1) 16，4；(2) \(\dfrac{25}{4}\)，\(\dfrac52\) 2. (1) \(x^2-6x=-5\)，两边+9：\((x-3)^2=4\) \(x-3=\pm2\)，\(\boldsymbol{x_1=5，x_2=1}\) (2) \(x^2+2x=8\)，两边+1：\((x+1)^2=9\) \(x+1=\pm3\)，\(\boldsymbol{x_1=2，x_2=-4}\) 3. (1) 两边÷2：\(x^2-4x+3=0\)，\(x^2-4x=-3\) 配方：\((x-2)^2=1\)，\(x-2=\pm1\)，\(\boldsymbol{x_1=3，x_2=1}\) (2) 两边÷3：\(x^2-2x-3=0\)，\(x^2-2x=3\) 配方：\((x-1)^2=4\)，\(x-1=\pm2\)，\(\boldsymbol{x_1=3，x_2=-1}\) ## 四、练习小结 配方法的核心就是构造完全平方式，把陌生的一元二次方程转化成我们已经学会的直接开平方法形式。做题时一定要记住：二次项系数不是1，先化1；移项只移动常数项；配方时，**一次项系数除以2再平方，等式左右两边同时加上这个数**。很多同学容易只在左边加常数，忽略右边，造成等式不成立。配方法不只是用来解方程，后面学习二次函数求顶点式、求代数式最值，都会大量用到。学好配方法，能打通一元二次方程整章的知识脉络，为公式法的推导做好铺垫。（全文1392字） 需要我把**不带答案的学生版**单独分出来，方便打印练习吗？ 人教版数学（新教材）九年级上册 25.2.1 第2课时 配方法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/9 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十五章 一元二次方程 通过阅读课本完成练习学生可以理解配方法，会运用配方法解一元二次方程，提高学生的运算能力. 通过学生自主探究可以逐步得到配方法解一元二次方程的一般步骤，渗透从特殊到一般的教学思想. 通过小组活动，培养学生合作交流意识与探究精神，感受数学的 严谨性. 解方程 (x+3)2=5时，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？ 情境导入 3 探究 怎样解方程 x2+6x+4=0 ？ 要把方程 x2+6x+4=0 转化为像 (x+3)2=5 这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式. 为此，对方程 x2+6x+4=0 移项，得 x2+6x=-4 . 由a2+2ab+b2=（a+b）2，将上述方程两边同时加2， 方程两边就可以配成x2+2mx+m2 形式的完全平方式.即 x2+6x+2=-4+2. 左边写成完全平方形式，得(x+3)2=5. 解这个方程，得x1=-3+，x2=-3-. 探究新知 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 探究新知 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 二化（二次项系数化为 1）：左、右两边同时除以二次项系数； 三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方； 五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项. 探究新知 例1 解下列方程： (1)x2-8x+1=0； (2)2x2+1=3x； (3)3x2-6x+4=0. 分析：(1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法. 解：(1)移项，得 x2-8x=-1. 配方，得 x²-8x+4²=-1+4²， (x-4)²=15. 由此可得 x-4=±， x1=4+，x2=4-. 探究新知 例1 解下列方程： (1)x2-8x+1=0； (2)2x2+1=3x； (3)3x2-6x+4=0. 分析：(2)方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1. 为此，方程的两边都除以2. (2)移项，得 . 二次项系数化为 1，得 配方，得 . 由此可得 . . 探究新知 例1 解下列方程： (1)x2-8x+1=0； (2)2x2+1=3x； (3)3x2-6x+4=0. 分析：(3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. (3)移项，得 . 二次项系数化为 1，得 . 配方，得 . . 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x-1)2 都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 探究新知 知识点1 二次三项式的配方 1.［教材P 9练习T 1 变式］填空： （1）___ ； （2）_______ ； （3）_ ____ ； （4）_____ . 1 16 4 返回 举一反三 10 2.把多项式 进行配方，结果为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 11 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2= p的形式. 1.当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根 2.当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根. 3.当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有（x+n）2≥0，所以方程无实数根. 探究新知 跟踪训练 用配方法解下列方程： (1). 解：(1) 移项，得   配方，得 ， . 因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，都是非负数. 上式都不成立，所以原方程无实数根. 探究新知 跟踪训练 用配方法解下列方程： (2) . 解：(2) 移项，得  . 二次项系数化为 1，得  . 配方，得  ， , . 探究新知 1.填空： (1) x²+10x+______ = (x+______)²； (2) x²-12x+______=(x－______)²； (3) x²+5x+______=(x+______)²； (4) x²－x+______=(x－______)². 25 5 36 6 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方. 探究新知 2. 解下列方程： (1) x²+10x+9=0; (2) x2-x-=0; 解：(1)移项，得x2+10x=-9.配方，得x2+10x+25=-9+25, (x+5)2=16, ∴ x+5=±4， ∴ x1=-1，x2=-9. (2)移项，得 x2-x = . 配方，得x2-x+= + ， (x-)2=2, ∴ x﹣=±， ∴ x1=+，x2=﹣. 探究新知 知识点2 解二次项系数为1的一元二次方程 3.[深圳期末] 用配方法解方程 时，应该把方程两边同时 ( ) C A.加2 B.减2 C.加4 D.减4 返回 举一反三 17 4.用配方法解方程 时，配方后正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 18 5.用配方法解方程： . 解：移项，得 ，两边同时加上_____， 得_____ _____， 即__ ___， 开平方，得_ ____________， 解得_ _____， ______. 返回 举一反三 19 6.［教材例 变式］解方程： （1） ； 解：移项，得 ， 配方，得 ， 即 ， 开方，得 ， 解得， . 举一反三 20 （2） ； 解：移项，得 . 配方，得 ， 即 . 开方，得 ， 解得， . 返回 举一反三 21 （3） . 解：移项，得 . 配方，得 ， 即 ， ， 方程无实数根. 举一反三 22 知识点3 解二次项系数不为1的一元二次方程 7.用配方法解方程 时，可以将方程化为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 23 8.下列用配方法解方程 的四个步骤中，出现错误的是 ( ) D A.① B.② C.③ D.④ 返回 举一反三 24 9.解方程： （1） ； 解：二次项系数化为1， 得 ， 配方，得 ， 即 ， 举一反三 25 开方，得 ， 解得， . 举一反三 26 （2） ； 解：移项，得 . 二次项系数化为1，得 . 配方，得 ， 即 . 开方，得 . 解得， . 举一反三 27 （3） ； 解：移项，得 ， 二次项系数化为1，得 ， 配方，得 ， 即 ， ， 此方程无实数根. 举一反三 28 （4） . 解：整理，得 , 二次项系数化为1，得 , 配方，得 , 即 . 开方，得 ， 解得， . 返回 举一反三 29 配方法 解一元二次方程 一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 二化（二次项系数化为 1）：左、右两边同时除以二次项系数； 三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项. 四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方； 探究新知 谢谢观看 THANKS $