25.2.1 配方法（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的配方法，从复习上节课直接开平方法（如(x+3)²=5）入手，通过问题“任意一元二次方程能否转化为可直接降次形式”，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生探究转化方法。 其亮点是以问题链驱动探究，通过追问“如何转化”“为何加9”等引导学生理解配方原理，例题覆盖二次项系数为1、不为1及无实根情况，小结明确“降次”思路与转化思想。体现数学思维（推理能力、运算能力）和模型意识，帮助学生掌握配方法本质，教师可借助清晰流程和多样化例题提升教学效果。

第二十五章　一元二次方程 25.2.1　配方法（第 2 课时） 新课导入 　　引导语　对于上一节课中的 (x＋3)2＝5，左边是含有 x 的完全平方 式，右边是非负数，此时可以通过直接开平方降次的方式解方程． 　　对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种直接降次的形式呢？ (x＋3)2＝5 含有 x 的完全平方式 非负数 直接开平方降次，得 x＋3＝± 5 新知探究 　　问题 1　怎样解方程 x2＋6x＋4＝0？ 　　追问 1　这个方程能否转化为可通过开平方降次的形式？ 　　比较 x2＋6x＋4＝0 和 (x＋3)2＝5，关键是将方程的左边转化为一个 完全平方式． 含有 x 的二次三项式 非负数 新知探究 　　追问 2　如何将 x2＋6x＋4＝0 转化为 (x＋3)2＝5 的形式？ x2＋6x＋4＝0 x2＋6x＝－4 x2＋6x＋9＝－4＋9 (x＋3)2＝5 移项 两边分别加　　 ，即 9 6 2 2 左边写成完全平方式 由 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a＝x x2＋2xb＋b2＝(x＋b)2 b＝ 6 2 x2＋2·x · 　＋____＝－4＋____ 6 2 6 2 2 6 2 2 新知探究 x2＋2xb＋b2＝(x＋b)2 6 2 2 x2＋2·x · 　＋　 ＝－4＋ 6 2 6 2 2 　　追问 3　为什么在方程 x2＋6x＝－4 的两边同时加 9？加其他数行吗？ 　　要想使方程左边化成含 x 的完全平方式，对照完全平方式中一次项 系数的特征可知，当二次项系数为 1 时，需要在方程左边加一次项系数 一半的平方，而加其他数不能将方程左边的式子化成完全平方式． 新知探究 　　追问 4　方程 x2＋6x＋4＝0 转化为 (x＋3)2＝5 后，就能求出原方程 的解．你能写出完整的求解过程，并总结一下这种解方程的方法吗？　　 　　像这样，通过配成完全 平方形式来解一元二次方程 的方法，叫作配方法. x2＋6x＋4＝0 x2＋6x＝－4 x2＋6x＋9＝－4＋9 (x＋3)2＝5 6 2 2 (x＋3)＝± 5 x1＝－3＋ 5，x2＝－3－ 5 移项 两边分别加 ，即 9 左边写成完全平方式 开平方降次 　　练习　填空： 　　（1）x2＋10x＋___＝(x＋___)2； （2）x2－12x＋___＝(x－___)2；　 新知探究 　　（3）x2＋5x＋___＝(x＋___)2； （4）x2－　x＋___＝(x－___)2． 2 3 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 25 4 5 2 1 9 1 3 25 5 36 6 52 62 5 2 2 1 3 2 例题精讲 　　问题 2　运用配方法解下列方程 　　（1）x2－8x＋1＝0；　 （2）2x2＋1＝3x； 　（3）3x2－6x＋4＝0． 　　分析：当二次项系数为 1 时，可直接运用配方法． 　　解：（1）移项，得 x2－8x＝－1． 　　配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， 　　由此可得 x－4＝±　15 ， (x－4)2＝15． x1＝4＋　15，x2＝4－　15 ． 例题精讲 　　（1）x2－8x＋1＝0；　 （2）2x2＋1＝3x； 　（3）3x2－6x＋4＝0． 　　解：（2）移项，得 2x2－3x＝－1． 　　二次项系化为 1，得 x2－　x＝－　 ． 　　配方，得 x2－　x＋　 ＝－　＋ 　　， 　　由此可得 x－　＝±　， 3 2 1 2 3 ４ １ ４ 3 4 2 1 16 　x－　 ＝ ． 3 2 1 2 3 4 2 3 4 2 x1＝1，x2＝　． 1 2 二次项系数不为 1 9 例题精讲 　　（1）x2－8x＋1＝0；　 （2）2x2＋1＝3x； 　（3）3x2－6x＋4＝0． 　　解：（2）移项，得 2x2－3x＝－1． a2－2ab＋b2＝(a－b)2 a＝　2x (　2x)2－2　2xb＋b2＝(　2x－b)2 (　2x)2－2·　2x·　　　＋　　　　 ＝－1＋ 3 2　2 3 2　2 2 3 2　2 2 二次项系数不为 1 对比 发现 当二次项系数不为 1 时，为了便于配方，可先将二次项系数化为 1， 再运用配方法． 10 例题精讲 　　（1）x2－8x＋1＝0；　 （2）2x2＋1＝3x； 　（3）3x2－6x＋4＝0． 　　解：（3）移项，得 3x2－6x＝－4． 　　二次项系化为 1，得 x2－2x＝－　． 　　配方，得 x2－2x＋12＝－　＋12 ， 　　　　　　　 (x－1)2＝－ ． 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x－1)2 都是非 负数，上式都不成立，所以原方程无实数根． 4 3 4 3 1 3 负数 11 例题精讲 　　追问　通过配方，一个一元二次方程可以转化为(x＋n)2 ＝p 的形式． 结合以上三个方程的求解过程，说一说 (x＋n)2 ＝p 的根的情况是怎样的． 　　(1)当 p＞0 时，方程有两个不相等的实数根 x1＝－n＋　p ，x2＝－n－　p ； 　　(2)当 p＝0 时，方程有两个相等的实数根 　　　 x1＝x2＝－n； 　　(3)当 p＜0 时，因为对任意实数 x，都有 (x＋n)2≥0，所以方程无 实数根． 12 课堂练习 　　解下列方程： 　　（1）x2＋10x＋9＝0； 　　　　　　 （2）x2－x－　＝0； 　　　　　 　　（3）3x2＋6x－4＝0；　　　　　　　（4）4x2－6x－3＝0； 　　　 　　（5）x2＋4x－9＝2x－11；　　　　　 （6）x(x＋4)＝8x＋4． 　　　 7 4 13 课堂练习 　　（1）x2＋10x＋9＝0； 　　解：（1）移项，得 x2＋10x＝－9． 　　配方，得 x2＋10x＋52＝－9＋52， (x＋5)2＝16． 　　由此可得 x＋5＝±4 ， 　　 x1＝－1，x2＝－9． 14 课堂练习 　　（2） x2－x－　＝0； 　　解：（2）移项，得 x2－x＝　． 　　配方，得 x2－x＋　　＝　＋　　 ， x－ 　 ＝2 ． 　　由此可得 x－　＝±　2 ，x1＝　 ＋　2，x2＝　－　2 ． 7 4 7 4 1 2 2 7 4 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 15 课堂练习 　　（3）3x2＋6x－4＝0； 　　解：（3）移项，得 3x2＋6x＝4． 　　二次项系数化为 1，得 x2＋2x＝　 ． 　　配方，得 x2＋2x＋12＝　＋12 ， (x＋1)2＝　 ． 　　由此可得 x＋1＝±　　 ，x1＝－1＋　　 ，x2＝－1－ ． 4 3 4 3 7 3 3 21 3 21 3 21 16 课堂练习 　　（4）4x2－6x－3＝0； 　　　 　　解：（4）移项，得 4x2－6x＝3． 　　二次项系数化为 1，得 x2－　x＝　 ． 　　配方，得 x2－　x＋　　＝　＋　　， x－　 ＝　 ． 　　由此可得 x－　＝±　　 ，x1＝　＋　　 ，x2＝　－ ． 3 4 3 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 2 3 4 2 21 16 4 21 3 4 3 4 4 21 3 4 4 21 17 课堂练习 　　（5）x2＋4x－9＝2x－11；　　　　　 　　解：（5）移项，得 x2＋4x－2x＝－11＋9． 　　合并同类项，得 x2＋2x＝－2， 　　配方，得 x2＋2x＋12＝－2＋12． (x＋1)2＝－1． 　　因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x＋1)2 都是非 负数，上式都不成立，所以原方程无实数根． 常数项 含有 x 的二次项和一次项 18 课堂练习 　　（6）x(x＋4)＝8x＋4． 　　　 　　解：（6）去括号，得 x2＋4x＝8x＋4 ． 　　移项，得 x2＋4x－8x＝4 ． 　　合并同类项，得 x2－4x＝4 ， 　　配方，得 x2－4x＋22＝4＋22， (x－2)2＝8． 　　由此可得 x－2＝±2　2 ，x1＝2＋2　2， x2＝2－2　2 ． 19 课堂小结 　　回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： 　　（1）用配方法解一元二次方程的基本思路和具体步骤是什么？需要 注意什么？配方法的目的是什么？ 　　（2）接下来还可以研究什么问题？ 20 课堂小结 　　（1）用配方法解一元二次方程的基本思路和具体步骤是什么？需要注意 什么？配方法的目的是什么？ 　　基本思路：“降次”，通过配方将一个一元二次方程转化为可直接开平方 的形式． 　　基本步骤：移项→（合并同类项，系数化为 1）→配方→开平方降次解方 程，其中有括号时要先去括号． 　　特别注意：判断方程根的情况时，要注意右边 p 的符号——p＞0时有两个 不相等的实数根，p＝0 时有两个相等的实数根，p＜0 时无实数根． 　　配方法的目的：将一元二次方程降次，转化为一元一次方程来求解，体现 了“转化与化归”的数学思想． 21 课堂小结 　　（2）接下来还可以研究什么问题？ 　　今天学习的配方法，二次项系数、一次项系数和常数项都是具体的 数字．如果把它们都用字母来表示，也就是解一般形式的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用配方法能得到怎样的结果呢？ 22 课后任务 教科书习题 25.2 第 2，3 题． 23 $