精品解析：福建省厦门双十中学2026-2027学年高三上学期10月份适应性练习数学试题

厦门双十中学2026-2027学年10月份适应性练习 高三数学 （共4页，满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则⊥ D. 若，，⊥，则 4. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么10h后的污染物含量是初始含量的（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8. 若正实数满足，则下列大小关系中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 10. 已知如图所示的几何体由六个平面四边形组成，和是两个全等的矩形，，，平面平面，则下列结论中正确的是（   ） A. B. 若，则 C. 若直线与平面交于，则 D. 若平面与平面的距离为2，且当六面体存在外接球时，此外接球的表面积为9π 11. 已知函数的定义域为，值域为，若，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 设函数，则 D. 设函数，则… 三、填空题 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为_____． 13. 在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 14. 若关于x的方程有3个不同的实根，则实数a的取值范围为________． 四、解答题 15. 游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. （1）求第2次射箭的人是甲同学的概率； （2）甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若． （1）求的值； （2）若，求cosB的值． 17. 如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面，，二面角的大小为，E为棱的中点． （1）证明：； （2）若点F在棱上，且，求平面和平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆交于两点，点不在上，直线，的斜率分别为，．若， （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为点．当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 19. 设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. （1）设，，若，求实数的值； （2）设，，若，且，求的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门双十中学2026-2027学年10月份适应性练习 高三数学 （共4页，满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得，所以， 又，所以. 2. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】时，，，， 又时，取，，此时， 所以，则“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则⊥ D. 若，，⊥，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，设出平面的法向量和直线的方向向量，从而确定，，C正确； 【详解】A选项，若，，则或异面或相交，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，设的一个法向量分别为，直线的方向向量分别为， 若，，，则，， 故，⊥，C正确； D选项，若，，则， 又⊥，则或，D错误. 故选：C 4. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么10h后的污染物含量是初始含量的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可求解. 【详解】当时，； 当时，，即， 当时，， 即10h后，污染物含量是初始含量的. 故选：B. 5. 已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 6. 若函数在单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论的符号得出的取值范围． 【详解】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 7. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数与的图象上存在关于轴对称的点，即有解，即函数与函数的图象有交点，在同一坐标系内画出函数与函数的图象．由图象，得，即；故选B. 点睛：函数图象的对称问题主要涉及以下情形： ①函数与的图象关于轴对称； ②函数与的图象关于轴对称； ③函数与的图象关于对称； ④函数与的图象关于直线对称. 8. 若正实数满足，则下列大小关系中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，通过分析函数的单调性，结合已知条件判断的大小关系. 【详解】设，定义函数，， 由于对正实数恒成立，因此是单调递增函数， 其中对应 的参数分别为， 当时， 代入得， 因此，故选项D成立； 当时，此时所有，， 对相同的，参数越大，越小，需要更大的 才能让 ， 因此越大对应越大，由 ，得 ，故选项B成立， 当时， 此时所有 ，，对相同的，参数越大，越大， 需要更小的才能让，因此越大对应越小，由， 得 ，故选项A成立，综上，只有 不可能成立. 二、多选题 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知复数，先化简： . A：的虚部为，不是，A错误. B：的共轭复数，B正确. C：对应复平面内点，在第一象限，C正确. D：，，，所以，D正确. 10. 已知如图所示的几何体由六个平面四边形组成，和是两个全等的矩形，，，平面平面，则下列结论中正确的是（   ） A. B. 若，则 C. 若直线与平面交于，则 D. 若平面与平面的距离为2，且当六面体存在外接球时，此外接球的表面积为9π 【答案】ABD 【解析】 【分析】取基底向量，用它们表示出，证明即可判断A选项；根据即列出向量等式，得到，再利用它证明即可判断B选项；将用表示，根据空间四点共面的推论得到的方程，求解即可判断C选项；对于上下底面是全等矩形且平行的六面体，若存在外接球，球心应在上下底面外接圆圆心连线的中点处，再通过勾股定理计算外接球半径，进而求出表面积即可判断D选项． 【详解】设，因为是矩形，所以， 由题意知平面平面，平面平面， 且平面平面，所以， 同理可得， 又因为， 所以，且， 对于A，，则 ， 所以，A正确； 对于B，， 若，则，展开得， 移项整理可得， 又， ，则 ， 所以，B正确； 对于C，设，则 ， 因为平面，所以，解得， 所以，C错误； 对于D，当六面体存在外接球时，外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点，由于上下底面是全等的矩形，所以其外接圆的半径相等，又因为上下底面距离，所以外接球半径，故外接球的表面积 ，D正确． 11. 已知函数的定义域为，值域为，若，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 设函数，则 D. 设函数，则… 【答案】ABD 【解析】 【分析】先推导函数的奇偶性、二倍角形式的函数表达式，再逐一验证选项. 【详解】先推导函数基本性质： 令，代入函数方程得，整理得，结合值域得. 令，代入得，故，即为奇函数. 令，得 ①. 接下来逐一判断选项： 对于选项A：. ∵ ，∴ ，右侧不等式成立. 又 ， ∵ ，∴ ，故，即，左侧不等式成立.故A正确. 对于选项B：由①式得. ∵ ，∴ . 又 ，∵ ，∴ ，， 故 ，即. 综上，B正确. 对于选项C：，代入的表达式： 分子：， 分母：， 故 ，C错误. 对于选项D： 由①式得，令，则. 故乘积. 先证左侧不等式：∵ ，且由，结合B中结论可得与同号，故 ， ，故 . 再证右侧不等式：令 ，则， ， ，∵ ，故，数列单调递增， 故 ，即 ，故. 综上，D正确. 【点睛】方法归纳：处理满足的抽象函数，可类比双曲正切函数的性质快速推导，也可通过赋值法先求特殊点函数值、奇偶性等基础性质，再逐一验证选项. 三、填空题 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶性求出时函数解析式，求导确定函数的单调递增区间. 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，， ， 所以， ， 令，，， 的单调递增区间为 13. 在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别计算正三棱台上下底面的面积，再根据侧棱与底面所成角为求出棱台的高，最后代入棱台体积公式计算最终结果. 【详解】∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积. 设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高， 侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径. 过作于点，则， 可得四边形为矩形，故. ∵ 在中，， ∴ . 代入棱台体积公式， 得， ∴ . 14. 若关于x的方程有3个不同的实根，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简转化为有3个不同的实根，再构造函数，结合导函数得出函数单调性，求出参数范围. 【详解】因为不是方程的根， 又，，所以， 方程化为， 记，在上单调递减，在上单调递增， 所以原命题等价于在上有3个不同的实根， 所以或，即或， 令，则， ，，单调递增， ，，单调递减， 当，，当，， 所以，， ，与有一个交点，与有一个交点， 所以或有两个根，不符； ，与有一个交点，与有一个交点， 所以或有两个根，不符； ，与有两个交点，与有一个交点， 所以或有三个根，符合； ，与有一个交点，与有两个交点， 所以或有三个根，符合； 所以实数a的取值范围为. 四、解答题 15. 游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. （1）求第2次射箭的人是甲同学的概率； （2）甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列如下： . 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合加法概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【小问1详解】 第2次射箭的人是甲同学有以下两种情形： 情形一：第1次是甲同学，且射中； 情形二：第1次是乙同学，没射中， 所以第2次射箭的人是甲同学的概率为； 【小问2详解】 由题意可知， ，， ， 所以的分布列如下： 所以. 16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若． （1）求的值； （2）若，求cosB的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积定义式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案； （2）根据余弦定理整理等式，求得，利用同角平方式，结合诱导公式以及余弦和角公式，可得答案. 【小问1详解】 由，则， 设，则， 根据余弦定理，可得， 化简可得，根据正弦定理可得：，则. 【小问2详解】 由，根据余弦定理，可得，整理可得， 则，，由，则， 由，则，根据正弦定理，可得，即，故， . 17. 如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面，，二面角的大小为，E为棱的中点． （1）证明：； （2）若点F在棱上，且，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1）连接，．因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又， 所以是二面角的平面角，即． 因为四边形是菱形， 所以，， 所以是等边三角形，又为的中点， 所以，又， 所以，又，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直、菱形性质找到CD的两条垂线AD和DE，即可锁定CD垂直平面ADE，从而证明CD垂直AE （2）利用第一问线面垂直条件建系，通过求两平面法向量，利用向量夹角公式取绝对值，快速解出平面夹角余弦值 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知平面，，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示． 令，则，，，， ，，，，由，得， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则．，， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得．设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为 18. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆交于两点，点不在上，直线，的斜率分别为，．若， （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为点．当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）（i）证明：由（1）得：, 当直线的斜率不存在时，易知直线，的斜率同号，不合题意； 所以直线的斜率存在，设直线． 联立，消去得：． 则，化简得：． 设，，由韦达定理得：，． 因为，则． 代入，，得：． 展开整理得：， 将韦达定理代入，化简得：． 解得（舍去，直线过点）或． 故直线方程为，恒过定点． （ii） 【解析】 【分析】（1）由短轴长得，离心率，结合求出，得标准方程； （2）（ⅰ）设，联立椭圆得韦达定理，由代入化简，得，解得，故直线恒过定点； （ⅱ）中固定，面积最大等价于到距离最大，即为椭圆左右顶点，由 求斜率，得的斜率为. 【小问1详解】 由离心率，得．又短轴长为，故． 由，代入得：，故． 所以椭圆的标准方程：． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，直线可写为 点到直线的垂足为． 当时，在轴上显然不合，则． 由于，直线的方程为 与联立，得所以 因为，且在轴上，所以 由得 当且仅当时取等号． 因此，当面积取得最大值时，直线的斜率为 19. 设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. （1）设，，若，求实数的值； （2）设，，若，且，求的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【答案】（1） （2）或 或 （3）必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 【解析】 【分析】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案； （2）讨论， ， ，分别求出，即可求出答案； （3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性. 【小问1详解】 由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当 时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. 【小问2详解】 由题意得, 当 或 时， ，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当 时，在区间 上单调递减， 此时，满足； ③当 时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为 ，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或 或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $