精品解析：福建厦门市第二外国语学校2026-2027学年上学期高三第一次月考数学试卷

厦门二外2026-2027学年高三上学期第一次月考 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，解得，， 又， 所以. 2. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 3. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到在上单调递减，进而即得. 【详解】由点在幂函数的图象上，可得，解得， 所以，函数在上单调递减， 因为，所以，即， 又因为，所以. 故选：D. 4. 已知是上的偶函数，当时，，则（ ） A. 1.4 B. 3.4 C. 1.6 D. 3.6 【答案】C 【解析】 【分析】由是上的偶函数，所以关于对称，则，代入即可得出答案. 【详解】因为是上的偶函数， 所以，所以关于对称， 当时，， 所以. 故选：C. 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又时，，，所以，符合题意，故A正确； 对于B，由A知函数的定义域为， 又，所以函数为偶函数，不符合题意，故B错误； 对于C，由A知函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又时，，，所以，不符合题意，故C错误； 对于D，由，得，所以函数的定义域为， 又，所以函数为偶函数，不符合题意，故D错误. 6. 已知函数，若有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将有三个不同的实数根，转化为与图像交点问题即可求得. 【详解】 因为有三个不同的实数根， 所以与图像有三个交点， 作出图像如上图，则与其有三个交点， 需. 故选：D 7. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且 为奇函数，则不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设．由，得，故函数在上单调递减．由为奇函数，所以．不等式等价于，即，结合函数的单调性可得，从而不等式的解集为，故答案为B. 考点：利用导数研究函数的单调性. 【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为，即得，当是形如时构造；当是时构造，在本题中令，（），从而求导，从而可判断单调递减，从而可得到不等式的解集． 8. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围. 【详解】设公切线与曲线和的交点分别为，，其中， 对于有，则上的切线方程为，即， 对于有，则上的切线方程为，即， 所以，有，即， 令，， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，故，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. 对于已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为4 C. 若，则 D. 设函数导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据常函数的导数分析判断；对于B：根据平均变化率的定义运算求解；对于C：根据复合函数导函数分析判断；对于D：求导，令运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：该函数在区间上的平均变化率为，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：由题意可得：， 令，则，解得，故D正确； 故选：BD. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若是函数的导数，则 C. 若有两个解，则 D. 设至少有三个整数解，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导可得在上单调递减可判断A；令，求导可证判断B；分离变量得，令，求导计算可判断C；变形可得，令，求导计算可得，进而可判断D. 【详解】函数的定义域为，， 对于A，令，得， 当，，所以在上单调递减， 故时，，即，A错误； 对于B，要证，即， 所以，即， 令，则，令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，所以，即，B正确； 对于C，由，得， 两边除以，得，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，当时，；当时，； 当且仅当时，有两个解，当且仅当时，有一个解， 因此方程有两解时，不等式成立，C正确； 对于D，，又， 所以，两边同除以，可得， 令，则，令，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，， 又，，， 因此当时，取整数满足， 所以至少有三个整数解，则，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 13. 已知，，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得，而， 所以. 14. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，即的图象关于直线对称，再利用导数判断函数的单调性，然后结合对称性及单调性解不等式即可． 【详解】因为， 所以， 所以的图象关于直线对称． 因为，设， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数在上单调递增． 又因为，所以当时，， 函数单调递减，当时，，函数单调递增． 由，得， 所以．整理得， 解得或，即不等式的解集是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，当时，有极小值0. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用函数在极值点处的两个核心条件 —— 函数值为0、导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极小值点； （2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解. 【小问1详解】 ，， 当时，有极小值0，， ，，，， 的解为或，在上是单调递增函数； 的解为，在上是单调递减函数， 在处取得极小值，满足题意，故. 【小问2详解】 由（1），，， 又，在上的解为，在上是单调递增函数； 在上的解为，在上是单调递减函数； 在上的最小值为， 又，， 在上的最大值为， 综上可知，在上的最小值为，最大值为. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由题意知E，F分别是，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出的坐标及平面的法向量，进而可求解直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，可知两两垂直，则可以A点为坐标原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证: 【答案】（1） （2）由(1)得， 则 因， 所以，即成立. 【解析】 【分析】（1）首先设等差数列公差为，利用条件解方程组即可； （2）通过第一问的，代入，利用裂项相消可求出，利用数列性质即可证明. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， 又成等比数列，所以，则 化简得，即， 解得， 所以. 【小问2详解】 略 18. 已知抛物线的焦点为． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【小问1详解】 由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 19. 设函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）. （3）.证明如下： 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，则解得； 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，解得； 设，其中，令，， 则，， ， ， 因为，所以，，，， 令，其中， 则， ，当时，，所以在上单调递减， ，所以在上单调递增， 当时，，，所以，则， 所以在上单调递减， 因为，所以，所以， 则，所以，即. 【解析】 【分析】（1）函数的定义域，求导得，由的正负求函数得单调区间. （2）对不等式化简变形，构造，利用导数的正负判断函数的单调性，求出最小值，进一步确定参数的取值范围. （3）根据题意构造参数，，再进一步构造函数： .利用导数的单调性判断和的大小，进一步判断与的大小关系. 【小问1详解】 因为的定义域为，， 令得，；令得，；令得，， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由，得，即， 令，，则恒成立，即， ， 令得，；令得，；令得，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， ， 则,得，解得，故的取值范围为. 【小问3详解】 略. 【点睛】方法归纳： 1.恒成立问题：构造函数，导数求最值，转化最值不等式求解参数. 2.零点乘积比较：构造比值型辅助函数，利用单调性比较根的乘积大小. 易错归纳： 1.忽视对数函数的定义域；对求导易算错. 2.恒成立混淆“最小值>常数”与“最大值>常数”. 3.构造辅助函数，求导符号判断失误，导致乘积结论出错. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门二外2026-2027学年高三上学期第一次月考 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是上的偶函数，当时，，则（ ） A. 1.4 B. 3.4 C. 1.6 D. 3.6 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且 为奇函数，则不等式的解集是 A. B. C. D. 8. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. 对于已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为4 C. 若，则 D. 设函数导函数为，且，则 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若是函数的导数，则 C. 若有两个解，则 D. 设至少有三个整数解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的单调递减区间为______． 13. 已知，，则_____________． 14. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，当时，有极小值0. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证: 18. 已知抛物线的焦点为． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 19. 设函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $