第4章 相似三角形 单元巩固测试卷 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 以相似三角形为核心，融合生活场景（如盐水浓度判断、照片投屏）、实际测量（河宽计算）及动态探究（矩形面积最值），注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|比例性质（第1题）、相似多边形（第3题）、位似变换（第4题）|结合生活情境（第1题盐水浓度），考查数学眼光观察现实世界| |填空题|6/18|黄金分割（第11题）、相似条件（第12题）、位似性质（第13题）|开放探究（第12题添加相似条件），培养推理意识| |解答题|8/72|相似证明（第18题）、实际应用（第22题加工正方形）、动态问题（第23题动点相似）|综合应用（第22题矩形面积最值），发展模型意识与应用能力|

第4章 相似三角形 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我们知道“若，则”，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（   ） A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价 B．配制一种盐水，盐和水的质量比是，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变 C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间 D．一个长方形的长和宽的比是，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变 【答案】B 【分析】结合各选项的实际场景，判断哪一场景符合题中给出的性质即可． 【详解】解：题中给出性质：若，则，即两个比值相等时，前项和与后项和的比值仍等于原比值，据此分析各选项： ∵ 选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意； 选项B中，设原盐水中盐质量为，水质量为，得，新加入盐，水，得，满足，根据性质得，盐和水的比不变，因此浓度不变，完全符合题中知识，符合题意； 选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意； 选项D中，原长宽比，增加的长和宽的比是，不满足的前提，不符合题意． 2．已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：线段，线段是线段的比例中项， ， ， ， ， 是线段， ， ， 故选：B． 3．现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的判定，掌握好相关知识是关键． 判断矩形相似需比较长宽比是否相等，通过计算各矩形的长宽比进行判断． 【详解】解：矩形甲的长宽比为，矩形乙的长宽比为，矩形丙的长宽比为， ∵，且矩形各内角都是， ∴甲、丙相似，和乙不相似． 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 5．如图，，，若长为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质． 根据平行线分线段成比例定理可知，由可证，根据相似三角形对应边成比例可得，根据即可求出的长度． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 长为， ， ， . 故选：C． 6．如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 7．上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是利用相似图形对应边成比例的性质列比例式求解； 根据相似图形对应边成比例，设屏幕上照片的宽为，列出比例式，再求解的值． 【详解】解：∵屏幕上的照片与原照片形状相同， ∴它们是相似图形，对应边成比例． 设屏幕上照片的宽为， 则，，， ∴． 故选：A． 8．为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 9．如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 10．如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（　　） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形，相似三角形的性质，过点作于点，延长交于点，由位似图形的性质可得，进而可得，即得，再根据相似三角形的性质可得，得到，再求出遮挡板水平移动后的长，进行比较即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∵和成位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分别为和对应边上的高， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵像的长度变成的倍， ∴， 设， ∵物体和屏幕位置不变， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴可以将遮挡板水平向左移动， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点.若，则的长为______.（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系． 利用黄金分割比为可得，再由即可求解． 【详解】解：、两点都是线段的黄金分割点，， ， 解得：， ， 故答案为：． 12．如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，添加合适的条件使得三角形相似是解题的关键． 首先根据可推出，在已知一个角相等的情况下，添加另一对角相等或者将相等角度夹起来的两组对应边成比例即可判定即可得到答案． 【详解】解：①添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ③添加， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 14．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 【答案】 【分析】先求出，根据题意可得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以原点为位似中心，作的位似，相似比为， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，过点B作平分交于D，则可得出，，根据等角对等边得出，证明，根据相似三角形的性质可得出，，设，则，代入得出，求出k的值，即可求解． 【详解】解：过点B作平分交于D， 则， 又， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，是解题的关键： （1）利用设参法，进行求解即可； （2）根据比例中项的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）由题意，， ∴． 18．如图，． (1)求证：． (2)判断与是否相似，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) ；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． （1）先证明，得出，即可得证； （2）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)6 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为6． 20．如图，四边形中，平分，，E为的中点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)证明：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）先证明，再结合，即可证明，再利用相似三角形对应边成比例，即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，推出，由（1），推出，结合，得证． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，已知点D，E分别在的边，的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点D作，垂足为点F，求的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例和锐角三角函数，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据可得，再根据相似三角形的性质计算即可求解； （2）根据“平行线分线段成比例”可得，求出，再根据正弦即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ，即， ， 则的长为8； （2）， ， 设，则， ，解得，经检验：是此方程的解， ， ， ，即， ， 则的长为． 22．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ， ∴； (2) (3)40，1200 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（2）类似，利用求得与的关系，用的长x表示出矩形的面积，根据二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ， 同理，由得， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， ∵， ∴当时，长方形的面积最大为． 即当时，这个矩形的面积最大，最大值是． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，与相似？ (2)设的面积为y，求y关于t的函数关系式． 【答案】(1)2或4； (2) （）． 【分析】（1）先由，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，用t表示出的长，再由时，，时，，分别得出及，最后求解即可； （2）由，再把代入整理即可． 【详解】（1）解：，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动， ， ∵点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动， ， 若时，，即， 整理得：， 解得：， 则当时，与相似； 若时，，即， 解得：， 则当时，与相似； 综上所述：当或时，与相似； （2） ， ∴． 【点睛】本题是相似三角形动点问题，考查了相似三角形的性质、及求函数解析式，关键是相似三角形的性质． 24．如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了位似的作图、坐标与图形等知识． (1)连接、并延长，交于点，点即为位似中心，借助网格可知点的坐标是； (2)延长到，使，延长到，使，连接点、、得到，即为所求； (3)根据点的坐标是，点的坐标是，可知与的位似比是，设点的坐标是，根据位似三角形的性质可得，解方程求出、即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示， 连接、并延长，交于点， 点即为位似中心， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，延长到，使， 延长到，使， 连接点、、得到， 即为所求； （3）解：如下图所示，点的坐标是，点的坐标是， 位似中心点的坐标是， 位似比是， 点为边上一点， 设点的坐标是， 则有， 解得：，， 点的坐标是． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相似三角形 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我们知道“若，则”，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（   ） A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价 B．配制一种盐水，盐和水的质量比是，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变 C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间 D．一个长方形的长和宽的比是，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变 2．已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 3．现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 4．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，，若长为，则长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 7．上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 8．为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 9．如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 10．如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（　　） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点.若，则的长为______.（结果保留根号） 12．如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 13．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________． 14．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为_____． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 16．如图，在中，，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值． 18．如图，． (1)求证：． (2)判断与是否相似，并说明理由． 19．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．如图，四边形中，平分，，E为的中点， (1)求证：； (2)求证：． 21．如图，已知点D，E分别在的边，的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点D作，垂足为点F，求的长． 22．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，与相似？ (2)设的面积为y，求y关于t的函数关系式． 24．如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $