第4章相似三角形培优测试卷 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第4章 相似三角形检测卷　　浙教版 · 数学九年级上册 第 4 章　相似三角形检测卷 姓名：＿＿＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题 （本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若 2a=3b，则 =（　　） A． B． C． D． 2. 已知在 △ABC 中，，AB=4，AC=6，下列阴影部分的三角形与原 △ABC 不相似的是（　　） 3. 如图，若 C,D 都是线段 AB 的黄金分割点，AB=8，则 AD 的长度是（　　） A．2 B． C． D． 4. 如图，已知厚度为 x cm 的零件外径为 10cm，用一个交叉卡钳(两条尺长 AC 和 BD 相等)测量出零件的内孔直径 AB，若 ，且量得 CD=3cm，则零件厚度为（　　） A． B．2cm C．1cm D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(3,4),B(6,2)，以原点 O 为位似中心，相似比为 2，把 △OAB 放大，则点 A 的对应点 A′ 的坐标是（　　） A．(6,8) B．(4,4)或(-4,-4) C．(-6,-8) D．(6,8)或(-6,-8) 6. 如图，E,F,G,H 分别是矩形 ABCD 四条边上的点，已知 EF⊥GH，若 AB=2,BC=3，则 EF:GH 为（　　） A．3:2 B．2:3 C．4:9 D．9:4 7. 凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线 DB 的距离之比为 5:4，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 8. 如图，点 P 是 △ABC 的重心，D 是边 AC 的中点，PE∥AC 交 BC 于点 E，DF∥BC 交 EP 于点 F.若四边形 CDFE 的面积为 6，则 △ABC 的面积为（　　） A．12 B．14 C．18 D．24 9. 如图，已知 AB=AC，，BC 上一点 D 满足 ，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 10. 如图，在 △ABC 中，D 是边 BC 上的点(不与点 B,C 重合).过点 D 作 DE∥AB 交 AC 于点 E；过点 D 作 DF∥AC 交 AB 于点 F，N 是线段 BF 上的点，BN=2NF，M 是线段 DE 上的点，DM=2ME.若已知 △CMN 的面积，则一定能求出（　　） A．△AFE 的面积 B．△BDF 的面积 C．△BCN 的面积 D．△DCE 的面积 二、填空题 （本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知 x:y=4:5，则 =＿⁠＿⁠＿. 12. 如图所示，取一张长为 a、宽为 b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片.若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边 a,b 应满足的条件是＿⁠＿⁠＿. 13. 如图，已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC=20cm，BC=30cm，点 P 从点 B 出发沿 BA 以 4cm/s 的速度向点 A 运动；同时点 Q 从点 C 出发沿 CB 以 3cm/s 的速度向点 B 运动，在运动过程中，当 BP=＿⁠＿⁠＿cm 时，△BPQ 与 △AQC 相似. 14. 如图，已知 E 为矩形 ABCD 内一点，满足 ，延长 DE 交以 CD 为直径的半圆于点 F，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，交 CD 于点 G，连结 CF，当 AE=20，BE=15，DF=24 时，则矩形 AD 边的长为＿⁠＿⁠＿. 15. 如图，AB 是半圆 O 的直径，D 是半圆 O 上一点，C 是 的中点，连结 AC 交 BD 于点 E，连结 AD，若 BE=4DE，CE=6，则 AB 的长为＿⁠＿⁠＿. 16. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 ABCD 如图所示.将小正方形对角线 EF 双向延长，分别交边 AB 和边 BC 的延长线于点 G,H.若大正方形与小正方形的面积之比为 5. =＿⁠＿⁠＿. (2)如果 ，那么 AD=＿⁠＿⁠＿. 三、解答题 （本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （8分） 已知 ，求 的值. 18. （8分） 图 1 是燕尾夹，图 2 是燕尾夹简化的示意图，夹臂 AC,BD 可分别绕点 M,N 旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合(即 C,D 两点重合)，AM=BN=20mm，CM=DN=15mm，MN=8mm.如图 3，当夹子完全张开时(即 A,B 两点重合)，求夹嘴间的距离 CD 的长. 19. （8分） 如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 是 BC 上一点，BD=2，E,F 分别是 AB,AC 边上的动点，且 ∠EDF=∠B. (1)找出图中与 △BDE 相似的三角形，并说明理由. (2)是否存在这样的位置，使 DE⊥EF？若存在，求出 BE 的长；若不存在，说明理由. 20. （8分） 图 1、图 2、图 3 是三张方格纸，其中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的两端点均在小正方形的顶点上. (1)在图 1 中画出以 AB 为斜边的等腰直角三角形 ABE，点 E 在小正方形的顶点上. (2)在图 2 中，在 AB 上找一点 P，使得 (3)在图 3 中，以 AB 为对角线画一个面积为 4 的矩形 ACBD，点 C,D 在小正方形的顶点上. 21. （10分） 如图，C 是以 AB 为直径的 ⊙O 上一点，过 AC 上一点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交 ⊙O 于点 F，连结 CF 交 AB 于点 G，连结 AF,BF. (1)若 ，求 ∠AFD 的度数. (2)若 D 为 AC 的中点，求证： 22. （8分） 如图，平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=10，BC 边上的高 AM=4，E 为 BC 边上的动点(不与点 B,C 重合)，过点 E 作直线 AB 的垂线，垂足为 F，连结 DE,DF. (1)求证：△ABM ∽ △EBF. (2)当 E 为 BC 的中点时，求 DE 的长. (3)设 BE=x，△DEF 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ 23. （10分） 如图，在 ⊙O 中，直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，连结 AC,AD,BC，作 CF⊥AD 于点 F，交线段 OB 于点 G(不与点 O,B 重合)，连结 OF. (1)若 BE=1，求 GE 的长. (2)求证： (3)若 FO=FG，猜想 ∠CAD 的度数，并证明你的结论. 24. （12分） 在梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在边 AB 上，且 (1)如图 1 所示，点 F 在边 CD 上，且 ，连结 EF，求证：EF∥BC. (2)已知 AD=AE=1. ①如图 2 所示，连结 DE，如果 △ADE 外接圆的圆心恰好落在 ∠B 的平分线上，求 △ADE 的外接圆的半径长； ②如图 3 所示，如果点 M 在边 BC 上，连结 EM,DM,EC,DM 与 EC 交于点 N.如果 ∠DMC=∠CEM，BC=4，且 ，求边 CD 的长. 参考答案 第4章 相似三角形检测卷 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B D B A C A D 二、填空题 11. 12. a=2b 13. 或 20 14. 15. 16. 　　(2)3 三、解答题 17. 根据题意，由 ，则 将这些代入 ，得到 因此， 18. 如图，连结 CD， 又夹嘴间的距离 CD 为 14mm. 19. (1)△CFD∽△BDE. 理由如下：∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED,EDF=∠B,∴∠FDC=∠BED,∴△CFD∽△BDE. (2)存在， 理由如下：如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 ,即 20. (1)如图 1,△ABE 即为所求作. (2)如图 2,点 P 即为所求作. 取格点 M,N,连结 MN 交 AB 于点 P,此时 (3)如图 3,矩形 ACBD 即为所求作,易得四边形 ACBD 是矩形,且面积为 21. (1)∵AB 是⊙O 的直径 (2)证明：∵∠B=∠C,∠C=∠AFE. 又 设 AD=a,∵D 为 AC 的中点 22. (1)证明：∵EF⊥AB,AM 是 BC 边上的高 又∵∠B=∠B,△ABM∽△EBF. (2)如图 1,过点 E 作 EN⊥AD 于点 N,在平行四边形 ABCD 中,AD∥BC,又∵AM 是 BC 边上的高四边形 AMEN 为矩形,∴NE=AM=4,AN=ME. 在 Rt△ABM 中 又∵E 为 BC 的中点 在 Rt△DNE 中 (3)如图 2,延长 FE 交 DC 的延长线于点 当 时,y 有最大值为 23. 又 又∵AB⊥CD,∴GE=BE=1. (2)证明：连结 证明如下：延长 FO,交 AC 于点 H. ∵FO=FG,∴∠FOG=∠FGO=∠CGB=∠B,FO∥BC. AB 是直径,易得 FA=FC. 又 是等腰直角三角形 24. (1)证明：如图 1,连结 DE 并延长,交 CB 的延长线于点 (2)①如图 2,记点 O 为△ADE 外接圆圆心,过点 O 作 OF⊥AE 于点 F,连结 OA,OD,OE,OB. ∵点 O 为△ADE 外接圆的圆心 平分,即,即 外接圆半径为 ②如图 3,延长 BA,CD 交于点 P,过点 E 作 EQ⊥BC,垂足为 ,由①知 ,由 AB=3,AE=1 得 ,设 ME=2a,则 ,设 EN=2b,则 ,即 ,解得 在 Rt△BQE 和 Rt△EQC 中,由勾股定理可得 ,解得 在 Rt△EQM 中,由勾股定理可得 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $