第3章圆的基本性质（单元测试）2026-2027学年浙教版 九年级数学上册

第三章圆的基本性质单元测试卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 2．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 3．如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，是的直径，是的弦．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．如图，点，，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，为的直径，C，D为上的两点，且为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，E为的中点．点D在平面内运动，且满足，取的中点F，连接，则的最大值与最小值的和是（    ） A．6 B． C． D． 10．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，下列不能判断四边形是菱形的是（    ） A．点是的中点， B．， C．， D．，点是的中点 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．正六边形内接于，若的半径为6，则正六边形的边长为_________． 12．把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是，则该扇形与另一个扇形的弧长之比是______． 13．如图，AB是的直径，，，，则的半径长为___________． 14．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 15．如图，点是正八边形的中心，连接、，若，则该正八边形的面积为______．（结果保留根号） 16．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，弦，在上，分别连接，，，，，与交于点E，半径为6，求证：． 18．（6分）如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    19．（8分）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，求的半径． 20．（8分）如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接． (1)求证：． (2)连接，若，，求的长．（结果保留） 21．（8分）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E、F． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 22．（10分）如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．（12分）如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． (1)连接，证明为等腰直角三角形； (2)连接，若点，在上，且，求证：． 24．（14分）如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O． (1)________； (2)若，求的半径r； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章圆的基本性质单元测试卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 2．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：P在内． 故选：B． 3．如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴则半径的长为． 4．如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系，熟练掌握关系和定理是解题的关键． 先根据点是的中点，推出，再运用圆的性质和三角形的内角和性质求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ， ， ． 故选：D． 5．如图，是的直径，是的弦．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得到，证明是等腰直角三角形，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由题意可得：， 是的直径， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 6．如图，点，，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 7．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，构造圆心角，因为要求劣弧的长，所以需要先求出弧所对的圆心角的度数和已知的半径，用弧长公式计算．由垂径定理，因为，所以是的一半，可求出的长度．在中，已知是半径、的长度，用三角函数可求出的度数，进而得到圆心角的度数．代入弧长公式，其中n为圆心角度数，R为半径，计算劣弧的长度． 【详解】 连接，， ∵，， ∴． ∵半径， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴直角三角形中直角边， ∴， ∴， ∴圆心角． 弧长公式为（为圆心角度数，为半径），代入得： 劣弧的长． 选：C． 8．如图，为的直径，C，D为上的两点，且为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．根据垂径定理的推论，即可求得：，由，即可求得的度数，又由，即可求得的度数 【详解】解：∵为的直径，C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．如图，在中，，，，E为的中点．点D在平面内运动，且满足，取的中点F，连接，则的最大值与最小值的和是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、点的轨迹（圆）以及线段最值问题．掌握中位线性质将转化为，并利用点D在以A为圆心、为半径的圆上运动，通过几何位置关系求的最值是解题的关键． 【详解】解：如图1，作于G点， ∵，， ∴，， ∴，． ∵点D在平面内运动，且满足， ∴点D的运动轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆上， 图2中最小等于， 图3中最大等于， ∴则的最大值与最小值的和是， 故选B． 10．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，下列不能判断四边形是菱形的是（    ） A．点是的中点， B．， C．， D．，点是的中点 【答案】D 【分析】A选项由已知可证明和是等边三角形，则，即可得出结论；B选项先由两组对边平行得四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；C选项可证明四边形的对角线互相垂直平分，即可得出结论；D选项两个条件得出的结论是一样的，不能证明四边形是菱形． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴和是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 故A选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 故B选项不符合题意； C、∵，， ∴， 又∵， ∴垂直平分， 又∵，， ∴垂直平分， ∴四边形是菱形， 故C选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 两个条件得到的结论是一样的，不能证明四边形是菱形， 故D选项符合题意． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．正六边形内接于，若的半径为6，则正六边形的边长为_________． 【答案】6 【分析】本题考查了正多边形的中心角、等边三角形的判定与性质，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题关键．连接，则，再求出正六边形的中心角，然后根据等边三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 连接， ∵的半径为6， ∴， ∵正六边形内接于， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为6， 故答案为：6． 12．把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是，则该扇形与另一个扇形的弧长之比是______． 【答案】 【分析】同一个圆的半径相等，结合扇形弧长公式可知，弧长之比等于圆心角度数之比，先求出另一个扇形的圆心角，再化简比即可得到结果． 【详解】解：设原圆的半径为， ∵其中一个扇形的圆心角是， ∴另一个扇形的圆心角为：， ∵扇形弧长公式为，且两个扇形的半径相同， ∴弧长之比等于圆心角之比， ∴则该扇形与另一个扇形的弧长之比是． 13．如图，AB是的直径，，，，则的半径长为___________． 【答案】4 【分析】利用垂径定理平分弦，算出；利用直角三角形内角和、等边对等角逐步推导；依托直角三角形性质和勾股定理列方程，求解半径． 【详解】解：连接，设直径与弦交于垂足． 是直径，， 垂直平分， ． ， ， 在中，， ． ， ， ． 在中，，， ． 设半径，则． 由勾股定理：， 代入得： ， ． 的半径长为4． 14．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的应用，判断出圆心的位置是解决本题的关键． 作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，分别表示出的长，可得为等腰直角三角形，进而即可得解． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，如图， 由图可得圆心为点Q， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴弧的度数是， 故答案为：． 15．如图，点是正八边形的中心，连接、，若，则该正八边形的面积为______．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，先求出，作于点H，构造等腰直角，求出，进而可依次求出和该正八边形的面积． 【详解】解：如图，作于点H， 该多边形为正八边形，， ，， 又 ， 是等腰直角三角形， ， ， 该正八边形的面积， 故答案为：． 16．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______． 【答案】 【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 如图，与等腰直角的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， ∵同一个圆中，弦相等则弦心距相等， ∴等弦圆的圆心到等腰直角三条边的距离相等，故圆心就是等腰直角的内心， ∴当过时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大， 过点分别作弦的垂线，垂足分别为，连接， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 即， 在中，， ∴． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，弦，在上，分别连接，，，，，与交于点E，半径为6，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握好圆的基本概念是关键． 根据圆心角与弧的关系证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 18．（6分）如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，圆的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，先由勾股定理得出的长度，再根据勾股定理逆定理得出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证明． 【详解】证明：连接，      ∵， ∴， 又， ， ， 取的中点O，连接， ∴， ∴点在同一个圆上． 19．（8分）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：， ， ， ，是半径， ， ∴为的中点； (2)半径为5 【分析】（1）由得到，进而有，根据垂径定理得到，因此，即可得证； （2）连接．设的半径为r，即，根据垂径定理得到，进而根据勾股定理在Rt中构造方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． 设的半径为r，即， ， ， 在Rt中，， ，解得， 的半径为5． 20．（8分）如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接． (1)求证：． (2)连接，若，，求的长．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，求弧长； （1）连接，由作图可知，均为等边三角形，进而得到，等角对等弧，得到，进而得到，即可得证； （2）求出，利用弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：连接， 由题可得， ∴，均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，即半径为5， ∴． 21．（8分）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E、F． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查圆的内接四边形，三角形的内角和及外角定理，对顶角相等，解题的关键是熟知三角形的内角和及圆内接四边形的性质． （1）根据对顶角与三角形的外角定理即可求解； （2）根据圆内接四边形得到，再根据三角形的内角和及外角定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ∵， ； （2）∵四边形是的内接四边形，， ∴， ． ，且， ∴, ， ∵， ． 22．（10分）如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角进行证明即可； （2）求出，，在中利用勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴，， ∵于点E， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∴ 23．（12分）如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． (1)连接，证明为等腰直角三角形； (2)连接，若点，在上，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，得出，再根据，即可得出为等腰直角三角形； （）连接，根据，得出，再根据为等腰直角三角形得出，从而得出． 【详解】（1）证明：∵为直径，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形； （2）证明：连接，交于， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 24．（14分）如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O． (1)________； (2)若，求的半径r； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据圆心角，弧，平角的定义解答即可； （2）过O作于H，根据直角三角形的性质，勾股定理解答即可； （3）利用分割法求面积，得阴影面积扇形的面积减去弓形面积． 本题考查了圆的性质，扇形的面积，弓形面积，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：120． （2）解：中，，， ∴， 过O作于H， 则，， 在中，，即， 解得， ． （3）解：半圆的面积， 扇形的面积， 的面积． 弦与弧围成的弓形面积， 弦与弧围成的弓形面积， 弓形面积弓形面积， ∴阴影面积扇形的面积减去弓形面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $