河北省部分校2026-2027学年高三上学期10月测评数学试题

高三数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，等式与不等式，函数与导数，概率与统计，三角函数与解三角形． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若样本数据2，3，4，，6的极差为5，则 A．1 B．5 C．7 D．1或7 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．展开式中的常数项为 A． B． C． D． 4．已知，，，则 A． B． C． D． 5．已知，则 A． B． C． D． 6．若的内角，，的对边分别为，，，且，，则“有两解”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若，，则的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足①，，②，，③，，则 A．32 B． C．22 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，且，则 10．若的内角，，的对边分别为，，，且，则 A． B． C．当时，的取值范围为 D．当时，为等边三角形 11．已知函数及其导函数的定义域均为，且曲线在上是一条连续不断的曲线，恰有三个极值点，，，点，，，．若函数的图象经过某个点集中的所有元素，则称该点集能被承载，否则不能被承载．下列结论正确的是 A．，不能被承载 B．，不能被承载 C．，能被承载 D．若满足对任意的，当时，都有，则不能被承载 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线方程为 ． 13．一个8位数的编码由0或1组成，规定：含有三个及以上的相邻的1的编码为“故障码”，含有五个及以上的0的编码为“稀疏码”．在一个编码是“稀疏码”的条件下，这个编码不是“故障码”的概率为 ． 14．已知，均为锐角，且，若，，则= ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数是奇函数，且． （1）求，的值； （2）求不等式的解集． 16．（15分） 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上的最大值小于，求的取值范围． 17．（15分） 著名物理学家牛顿提出万有引力定律：两个质量分别为，（单位：千克）的物体间的距离为（单位：米），则这两个物体之间存在相互吸引的万有引力（单位：牛），且（其中为常数）．如图，将六个质量均为1千克的小球（视作质点）放在半径为1米的圆的圆周上，且任意相邻的两个小球之间的距离相等． （1）从六个小球中任选两个． （Ⅰ）求这两个小球之间的万有引力的大小为的概率； （Ⅱ）记这两个小球之间的万有引力的大小为，求的分布列与期望． （2）从这六个小球中随机地去掉一个，其余五个小球的位置不变，并从这五个小球中任选两个，记这两个小球之间的万有引力的大小为，比较的期望与（Ⅱ）中的期望的大小． 18．（17分） 在中，，，． （1）求的大小． （2）设，是边上的两个动点（不含端点）． （Ⅰ）若平分，求； （Ⅱ）若，求面积的最小值． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，证明：． （2）讨论的零点个数． （3）设存在两个零点，． ①证明：． ②证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学测评参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．B 3．A 4．D 5．C 6．A 7．D 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BD 10．ABD 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）因为是奇函数，所以， 1分 则． 2分 因为， 3分 所以． 4分 又，所以， 5分 解得，． 6分 （2）由（1）可得， 7分 易得在上单调递增． 8分 因为， 10分 所以等价于， 11分 则，解得或， 12分 故不等式的解集为． 13分 16．解：（1） 1分 ． 2分 因为，所以，， 3分 得，． 4分 设的最小正周期为，则得， 5分 则，得． 6分 由，，可得，则． 7分 （2）． 9分 由得． 10分 因为在上的最大值小于，且，所以， 13分 解得，，故的取值范围为． 15分 17．解：（1）（ⅰ）因为，则由，可得． 1分 从六个小球中任选两个，共有种不同的选法， 2分 其中这两个小球之间的距离为1米的选法有6种， 3分 故这两个小球之间的万有引力的大小为的概率为． 4分 （ⅱ）由题可知，任意两个小球之间的距离可能为，，， 5分 则的可能取值为，，，且，，． 7分 的分布列为 X P 8分 ． 9分 （2）由对称性可知，去掉哪一个小球都是等价的， 11分 的可能取值为，，，且，，． 13分 的分布列为 14分 ，则． 15分 18．解：（1）在中，由余弦定理可得． 2分 因为，所以． 3分 （2）（ⅰ）因为平分，所以． 4分 的面积， 5分 的面积， 6分 的面积． 7分 由，可得，解得． 8分 （ⅱ）在中，， 9分 由，，，，得，． 10分 设．在中，由正弦定理可得， 得， 11分 同理可得， 12分 则的面积． 13分 因为，所以， 14分 则． 15分 因为，所以，则， 16分 当时，取得最大值1，则，从而 面积的最小值为． 17分 19．（1）证明：当时，，则． 1分 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 2分 所以，得证． 3分 （2）解：显然不是的零点． 4分 当时，由，得． 令，则． 当和时，，单调递减，当时，，单调递增． 5分 当时，，当时，，且． 由，可知当且时，，当时，． 6分 当时，关于的方程有两解，则的零点个数为2； 7分 当或时，关于的方程有一解，则的零点个数为1； 8分 当时，关于的方程无解，则的零点个数为0． 9分 （3）证明：当存在两个零点，时，可得，不妨令，则． 由题可得则． 令，则由，可得， 10分 则整理得则． 11分 ①要证，即证． 因为，所以需证． 12分 令，则在上恒成立，则在上单调递增，则，故，得证． 13分 ②，因为，所以要证，需证，需证． 14分 由可得． 因为，所以要证，需证． 15分 令，，则需证，需证． 16分 令，则在上恒成立，则在上单调递减，从而，故，得证． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $