河北省部分校2026-2027学年高三上学期10月测评数学试题

高三数学测评参考答案 1.D若x<2,则样本数据的极差为6-x=5,得x=1;若2≤x≤6，则样本数据的极差为6一 2=4≠5；若x>6,则样本数据的极差为x-2=5,得x=7.故x=1或7. 2.B因为A={xx>-1},B={-2,-1,1,2,3},所以A∩B={1,2,3. 3A该常数项为Cx(-左)》= kD因为a=>2=1,6=lbg2<og5=司6=n晋>sn音-且sn晋<1.所以 a>c>b. 5.C由31ana=2sin(e+受）.可得2ag-2osa,则3sin&=2co3a=2-2snma,解得 cos a n7或n-2舍去)，则cos。,则c0s=士2 6.A由△ABC有两解，可得bsin A<a<b,则3<a<√6，所以“△ABC有两解”是“V2<a< √6”的充分不必要条件。 7.D由vx∈(1，+o),e≥a(1+）,得vx∈(1+o),xe≥u(x+lnx)=aln(xe). 令f(x)=xe(x>1),则f'(x)=(x+1)e>0在(1，+∞)上恒成立，则f(x)在(1，十∞) 上单调递增，则fx)>f)=e令4=ln(xe),则>l.由xe≥aln(xe),可得a<.令 g0)=(>1).则g)-eD>0在1，+)上恒成立，则g)在，十)上单调选 2 增，则g(t)>g(l)=e,从而a≤e. 8.C由题可得f(-1)=f(1).由f(x+2)=-2f(x),可得f(1)=-2f(-1),则f(1) 1+m+n=0.由f(x+2)=-2f(x),得f(x+4)=4f(x),则f(10)=4f(6)=16f(2)= -32f(0)=-32m,则f(10)-22m+10n=-22(m+n)=22. 9.BD对于A,取a=2,b=-1,则ab<b2,A不正确.对于B,因为a>b>c,所以a一c>a一 6,则2>2，B正确对于C取a-3,6-一2.6-1则十>十C不正确对于D.因 为a>6:且60，所以--”b<0,则片<行D正疏 10.ABD因为c0sB+bcos A=2,所以sin AcosB+sin BsA=anB,则sin(A十 B)_asnB.又sinC=sin(A+B),所以sinC-asin B,则c-,从而c2=ab,A正确，因 穷2十a≥26，分+b≥2a,当且仅当a=b时，等号成立，所以 g+答a+2%又a+6 【高三数学·参考答案◆第1页（共7页）】 a十b>c, c,所以空+号>a十6十6,5正确由a=2.得6-号：则由a+c>6:可得厅-1<c< 2b212a2 b+c>a; 5+1.C不正确.由C=号，得c2=a2+b-2 bes C=-a2+2-ab.因为c2=ab,所以 ab=a2+b2-ab,得a=b,从而△ABC为等边三角形，D正确. 11.ACD因为x1,x23(x1<x2<x3)是f(x)三个极值点，所以f(x1),f(x2),f(x3)满足 f(x1)f(x2),f(x2)>f(x3)或f(x1)>f(x2),f(x2)<f(x3),故Hc∈R,{P1,P2}不 能被g(x)=c承载，A正确.取f(x)=3x1-4x3-12x2,则f(x)=12x(x+1)(x-2),易 得-1,0,2是f(x)的3个极值点，且P,(-1,-5),P2(0,0),P3(2,-32),则{P1,P3}能被 g(x)=一9x一14承载，B不正确.由题意知P,P2,P3三点不共线且横坐标均不相等，则 由该三点的坐标可以唯一确定一条对称轴垂直于x轴的抛物线，C正确.对任意的a,b∈R, 当a≠b时，都有8a）二gb>0,则g(x)在R上单调递增，假设{P1,P,P,》能被g(x)承 a-b 载，则由x1<x2<x3,可得g(x1)<g(x2)<g(x3),即f(x1)<f(x2)<f(x3),这与 f(x1)<∫(x2),f(x2)>f(x3)或f(x1)>∫(x2),f(x2)<f(x3)矛盾，故{P1,P2,P3}不 能被g(x)承载，D正确. 12.y=-x由f)=hx-2x+1.得∫(x)=-2,则f1)=-1,f)=-1,曲线 f(x)=lnx一2x十1在点(1，f(1))处的切线方程为y=一x. 18器 记事件A为编码是“稀疏码”，事件B为编码是“故障码”，则P(A)= C8+C8+C+C8 9 C63 87 PE 2,P(AB)= -128则P(AB)=P(A)-P(AB)=256,则 PE4-器器 14.3因为3sina=22cos2B=2/2(1-sinB),3sinB=2√2cos2a=2√2(1-sina),所以 3(sin a-sin B)=22(sin'a-sin2B)=22(sin a+sin B)(sin a-sin B).y sin a-sin B 0,所以sna+ng=3y2,则3(sina十inB)=42-2反(sima十simp,得ima+ 4 sin月-g,则sin asin9=（sima+simg2-sim。-sim2_L 7 2 89sin asin B-8cos'acos 是因为c0,所以o月-含，则cos(a-的=6月叶sinsi月-子因 为aB均为锐角，且a>B,所以a一月=，ian(a-P)=5. 15.解：(1)因为f(x)是奇函数，所以∫（一x)=一f(x),…1分 【高三数学·参考答案◆第2页（共7页）】 【(乎上并)单￡患◆卷是半警·点豫三皇】 9G江… 9%十 ·业4忆十g N3 ·业4忆十g 9∠7十2 Mg0<6耳·士￥得刚于[是·2]（四）8国 i0[… [++]++做[]3甲 形6… (++z)rs=(6+)/=(8a) L… 正+Z)ms=(x)∫M【=m影世Z3Y片+I=m甲 ZI g9… 心号好m 6 s 9 >L> 6 M‘L年唯但卫/普傅(x)阁 业LL 9G… 739r8+品=是+8n1-=(是+)加s=(哥)/留 亿… ·(+m2)s gL… I gGL… (∞+‘？)∩(1一‘∞一)4莆糊9平步业裨 …‘I->x恒乙<x能拇‘L<I-x-2xM …(D/-工-)/上9我名<(1--2 0… .·名=（红-）f-=(1)fg图 98 斯東丁H(x)∫影 GL 9 8++8=()f血()甲() 8-1+r8 59 8一=qL一=D影鹅 斯s …‘-=8X e号 - 9+1-E=(1-)fX 巧币… …n_G-=9l日 9& G十1+x8 8+s￡4国 8·9+m-89+”-r-8 8 8+t+r 十8M q+”-8 q+”-x8 解得危+k<p<晋+kk∈N放的取值范围为危+k,+kx)∈N。15分 17.解：1)(1)因为m1=m,=1,则由F=Gmm2=G,可得=1..1分 从六个小球中任选两个，共有C哈=15种不同的选法，…2分 其中这两个小球之间的距离为1米的选法有6种，……3分 62 故这两个小球之间的万有引力的大小为G的概率为后一： ……4分 (ⅱ)由题可知，任意两个小球之间的距离可能为1,3,2， …5分 则X的可能取值为c,号号且P(X=G)=号，P(X-9)=是-号，P(X-9)-是 5 …7分 X的分布列为 X G G G P 层 …8分 E(X)= 2G+2G+G_7G 51520121 …9分 (2)由对称性可知，去掉哪一个小球都是等价的， 11分 Y的可能取值为G,号号，且PY=G)-是-号，P(Y-号)-是-号，P(y-9)-忌 GG 1 5 13分 Y的分布列为 Y G G G 3 P 异 …14分 2G,2G,G_7G EY)=答+S+8-·则E(X)=EY. 15分 18.解：I)在△ABC中，由余弦定理可得coS∠BAC=AB+AC-BC°_9+25-49 1 2AB·AC 2×3×5 2 .a.a......... 2分 因为0<∠BAC<,所以∠BAC=2 3 …3分 【高三数学·参考答案◆第4页（共7页）】 (2)(i)因为AM平分∠BAC,所以∠BAM=∠CAM= 3 …4分 △ABC的面积S△ABc= AB·ACsin∠BAC= 1 ×3× 5×3-155 4· …5分 B M △ABM的面积S△ABM= 2AB·AMsin∠BAM= 号×3×AM<2AM,·6s分 △ACM的面积Saa=号AC·AMsin∠CAM= X5XMX号-55AM7分 由SAMc-SAAw+SAGM,可得15,3_3V5 AM,解得AM=15 …8分 AC BC C)在AABC中，sin/ACB sin∠ABC sinBa。 …9分 由AB=3,AC=5.BC=7,∠BAC-得sn∠AbC- 14,sin∠ACB=33 14· …10分 设∠BAM=a(0<a<若).在△MBM中，由正弦定理可得in∠AMB sinZABM' AB AM 得AM=ABsin∠ABM 155 sin∠AMB14sin∠AMB' …11分 同理可得AV=ACsin∠ACV 15/3 sin∠ANC 14sn/AWC12分 则△AMN的面积SA=2AM·AN= 675 92sin∠AMBsin∠ANC …13分 因为∠AMB+∠ANC-,所以sin∠ANC=-6os∠AMB,…14分 则sin∠AMBsin∠ANC=-sin∠AMBcos∠AMB=sin∠AMNcos∠AMN= 万sin2∠AMN=7sin2(∠ABC+a.…15分 因为语-号所以后<∠AC是期后Ac+语 …16分 当∠ABC+a=平时，sin2(∠ABC+a)取得最大值1，则sin∠AMBsin∠ANC≤？，从面 △AMN面积的最小值为限 …17分 19.(1)证明：当a=1时，f(x)=e”-x-1(x∈R),则f'(x)=e-1.…1分 当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递 增，…2分 所以(x)≥f(0)=0,得证.…3分 【高三数学·参考答案◆第5页（共7页）】 (2)解：显然x=一1不是f(x)的零点.…4分 当x≠-1时，由f(x)=0,得a=x e 令8x)=年a≠-0.则g)平i xex 当x∈(-o∞，-1)和(-1,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(0，十o∞)时，g'(x)>0, g(x)单调递增。…5分 当x∈(-∞，-1)时，g(x)<0,当x∈(-1，+o∞)时，g(x)>0,且g(0)=1. 十可知当x>-1且x→-1时，g(x)→十oo,当x十o时，g(x)→十o0. 由g(x)=e …………6分 当01时，关于x的方程a有两獬，则f)的零点个数为2；…7 e 当a=1或a<0时，关于x的方程a=十有一解，则f(x)的零点个数为1：…8分 当0心a<1时，关于x的方程a=千无解，则/u)的零点个数为0…9分 (3)证明：当f(x)存在两个零点x1,x2时，可得a>1,不妨令x1<x2,则-1<x1<0<x2. e=a(x1+1), 由题可得 则e22西=x2十1 e2=a(x2+l), x1+1 令t=十1 ,十i则由-1<1<0<x2,可得>， …10分 Int 2-x=In t, x1 t-1 一1 则 整理得 则x1十x2= x2+1=t(x1+1), x2 1 +1Dlnt-2.…11分 t-1 t-1 ①要证x1+x,>0,即证+1Dn1 t-1 -2>0. 因为t>l,所以需证lnL 2(t-1) t+1 >0.…12分 0-z0号>0在+ 14(x-1)2 令h(x)=lnx 恒成立，则h(x)在(1，十∞)上单调递增，则h(x)>h(1)=0,放1nt- 2(t-1) t+1 >0,得证 …13分 @+1-,+,因为-1，<0<x,所以要证+>-1，需证十x<-x1, x'T2 xix2 需证(x1十1)(x2十1)<1.…14分 【高三数学·参考答案◆第6页（共7页）】 由 tInt 可得，+1Dx+1)=4·() ?=-i-1 因为>l,所以要证(x+1)(x十1)<1，需证n< …15分 E 令n=,m>1,则需证2hm<m,需证2hm-m1 <0.……16分 令(x)=2nx-(x>1D,则p0)=22x-+1-红D <0在(1，十∞) x 上恒成立，则9()在(1，+∞)上单调递减，从而p(x)<p(1)=0,放2nm-m- ∠0 得证.…17分 【高三数学·参考答案◆第7页（共7页）】高三数学测评 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 报 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，等式与不等式，函数与导数，概率 与统计，三角函数与解三角形。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.若样本数据2,3,4，x,6的极差为5，则x= 如 A.1 B.5 C.7 D.1或7 2已知集合A=2x-言>0，B=(-2,-11,23,则AnB= A.(-2,2,3)} B.(1,2,3) C.(2,3) D.{3) 国 展开式中的常数项为 A号 B号 c- 3 D 龄 4.已知a=20,b=1og2,6=sim号，则 A.a>b>c B.ba>c C.b>c>a D.a>c>b 5.已知3tana=2sin(a+),则 线 2 A.cos a=3 B.cosa=- 2 C.sin a 1 3 D.sina=-月 6.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且6=6，A=平，则“△ABC有两解”是 “√2<a<√6”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7若Yx∈(1，十o,e≥a(1+),则a的取值范围为 A.(-∞，0] B(-∞，] C.(-∞，1] D.(-o,e] 【高三数学◆第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 8.已知定义在R上的函数f(x)满足①Hx∈R,f(x十2)=一2f(x),②Hx∈[-1,1]， f(-x)=f(x),③Vx∈[0,1]，f(x)=x2+mx+n,则f(10)-22m+10n= A.32 B.-32 C.22 D.-22 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列结论正确的是 A.若a>b,则ab>b2 B.若a>b>c,则2a-c>2a-6 C若a>6,c>0,则ae<6 D若a>6,且ab>0,则日←分 10.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+bcos A= c,则 A.c2=ab B262+2a2 a 6 >a+b+c C.当a=2时，c的取值范围为(0,2] D,当C=于时，△ABC为等边三角形 11.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且曲线y=f(x)在R上是一条连续不 断的曲线，f(x)恰有三个极值点x1,x2,x3(x1<x2<x3),点P:(xi,f(x:)),i=1,2,3.若 函数g(x)的图象经过某个点集中的所有元素，则称该点集能被g(x)承载，否则不能被 g(x)承载.下列结论正确的是 A.Hc∈R,{P1,P2}不能被g(x)=c承载 B.Ha,b∈R,{P1,P3}不能被g(x)=ax十b承载 C.3a,b,c∈R,{P1,P2,P3}能被g(x)=ax2+bx十c承载 D.若g(x)满足对任意的a,6ER,当a≠b时，都有@）二gb>0,则{P,P2,Pg}不能被 a-b g(x)承载 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.曲线f(x)=1nx一2x+1在点(1，f(1))处的切线方程为 13.一个8位数的编码由0或1组成，规定：含有三个及以上的相邻的1的编码为“故障码”，含 有五个及以上的0的编码为“稀疏码”.在一个编码是“稀疏码”的条件下，这个编码不是“故 障码”的概率为▲ 14.已知a,B均为锐角，且a>β，若3sina=2√2cos2B,3sinB=2√2cos2a,则tan(a一B) ▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知函数f)=3+是奇函数，且f(-1)=- 3x+1十31 (1)求a,b的值； (2)求不等式f(x2-x一1)> 2的解集 【高三数学◆第2页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 16.(15分) 已知函数f(.x)=sin十V3cos'ox- 2 (>0)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式： (2)将f(x)的图象向左平移9(p>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)在[， ]上的最大值小于}，求p的取值范围， 17.(15分) 著名物理学家牛顿提出万有引力定律：两个质量分别为m1,m2(单位：千克)的物体间的距 离为x(单位：米)，则这两个物体之间存在相互吸引的万有引力F(单位：牛)，且F= Gm,(其中G为常数).如图，将六个质量均为1千克的小球（视作质点）放在半径为1米 的圆O的圆周上，且任意相邻的两个小球之间的距离相等 (1)从六个小球中任选两个. (1)求这两个小球之间的万有引力的大小为G的概率； ()记这两个小球之间的万有引力的大小为X,求X的分布列与期望 (2)从这六个小球中随机地去掉一个，其余五个小球的位置不变，并从这五个小球中任选两 个，记这两个小球之间的万有引力的大小为Y,比较Y的期望与（ⅱ）中X的期望的 大小 【高三数学@第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分) 在△ABC中，AB=3,AC=5,BC=7. (1)求∠BAC的大小. (2)设M,N是边BC上的两个动点（不含端点）. (I)若AM平分∠BAC,求AM; (I)若∠MAN=受，求△AMN面积的最小值， 19.(17分) 已知函数f(x)=e一ax一a. (1)当a=1时，证明：f(x)≥0. (2)讨论f(x)的零点个数. (3)设f(x)存在两个零点x1,x2: ①证明：x1十x2>0. ②证明：1+上>-1 x1 x2 【高三数学。第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP