第三章 解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题专项训练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题专项训练 解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题专项训练 考点目录 解不含参的二次不等式 解含参的二次不等式 由二次不等式的解求参数问题 考点一 解不含参的二次不等式 例1．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）不等式的解集为（ ） A．     B． C．     D． 【答案】A 【详解】等价于， 令， 即， 解得，， 所以不等式的解集为， 即原不等式解集为. 例2．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）满足的整数的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】不等式，即，解得， 当为整数时解集为， 所以满足的整数的个数是6. 例3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】先取绝对值转化为一元二次不等式，进而求出解集即可. 【详解】当时，， 此时令，解得， 当时，，不符合题意，故排除， 当时，， 此时令，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 例4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】先移项把分式不等式右侧变为0，再把转化为一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】不等式，移项得到，即， 得，解得，即不等式解集为. 故答案为：. 变式1．（2026·江苏苏州·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解不等式的解集得到的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断关系. 【详解】由，得，即， 则“”是“”的必要不充分条件. 变式2．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）不等式的解集中整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先解出一元二次不等式的解集，再对解集分析即可. 【详解】由不等式对应的方程为：， 因为， 所以方程有两个不同的实数根：， 所以不等式的解集为：， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以共4个整数， 故选：D. 变式3．（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】先把绝对值平方，再化简不等式求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 不等式的解集为. 故答案为：. 变式4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）不等式的解集是______． 【答案】 【分析】移项、通分，将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组），解得即可. 【详解】不等式，即，即， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 考点二 解含参的二次不等式 例1．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 【答案】(1) (2)4 (3) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）讨论m的取值范围，根据不等式恒成立，解相应不等式，即得答案； （2）将化为，利用基本不等式，即可求得答案； （3）分类讨论m的取值范围，解一元二次不等式，即得答案. 【详解】（1）由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，. （2）由（1）可知，则， 则 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为4. （3）由，可得， ①当时，即，解集为； ② 当时，，不等式即为，解集为； ③ 当时，，不等式即为，解集为； ④ 当时，可得，解集为； ⑤ 当时，，不等式即为，解集为. 综上可得,的解集为: 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 例2．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）设函数. (1)当时，解不等式； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2) 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】（1）由一元二次不等式解法即可求解； （2）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）当时， 可得：， 解得或， 所以不等式的解集 （2）由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 例3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时， 不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为； 当时， 不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. (2) 【分析】（1）分五类进行讨论； （2）根据第（1）的结论列出不等式即可得出答案. 【详解】（1）当时，， 此时方程的两根为， 不等式的解集为或； 当时，不等式变为，此时不等式的解集为； 当时，，则恒成立， 所以不等式的解集为； 当时， ，不等式即为， 所以不等式的解集为； 当时，， 此时方程的两根为， 不等式的解集为； 综上所述，当时， 不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为； 当时， 不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）由（1）可知，当时，不等式含有无穷多个整数解，不满足题意； 当时，解集为，不等式的解集为，不满足题意； 当时， 不等式的解集只含一个整数解，不满足题意； 当时，函数，故抛物线的对称轴为且开口向上， 要想不等式的解集中恰有三个整数解，这三个整数解只能是，并且和不是不等式的解， 所以有，解得， 因此，实数的取值范围是. 变式1．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）已知恒成立． (1)求的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【分析】（1）对讨论，根据二次函数的性质即可求解； （2）根据的范围，讨论不等式的解集. 【详解】（1）因为恒成立， ①当时，恒成立， ②当时，要使恒成立．则，， 即，解得：， 综上，的取值范围为：； （2）由，得． 因为：， ①当，即时，则； ②当，即时，，不等式无解； ③当，即时，则． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 变式2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集是，求的值： (2)若，求此不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由题意可知1和5是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系列方程可求得结果； （2）分，，，，五种情况求解不等式即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是方程的两个根，且， 则，解得，故. （2）当时，由题意得， 当时，可化为，解得， 由（），解得或， 当时，由，得或， 当，即时，由，得， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，由，得， 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 变式3．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式： 【答案】(1) (2) 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据a的不同取值范围分类讨论即可. 【详解】（1）不等式的解集为，即恒成立； 当时，的解集不为，不合题意； 当时，恒成立，则， 解得，所以实数的取值范围为. （2）由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 考点三 由二次不等式的解求参数问题 例1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测·多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】先利用一元二次不等式与二次函数的关系得到，.再代入各选项验证即可. 【详解】对于A，因为不等式的解集为或， 由二次函数的性质可知，，故A正确. 对于B，利用零点式可得一元二次不等式为. 对比，可得. ，故B正确. 对于C，，因为， 所以，故C错误. 对于D，，因为， 所以不等式等价于，所以解集为或，D正确. 例2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测·多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用三个二次的关系，结合韦达定理用表示，再逐项判断即得. 【详解】由不等式的解集为或， 得是方程的两个实根，且， 则，即，ACD正确； 不等式，解得，B错误. 例3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测·多选）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据不等式的解与方程的根之间的关系，结合韦达定理可得，即可代入选项中逐一求解. 【详解】对于A，由不等式的解集为，可知是不等式的两个实数根， 所以且，则且，则，故A正确， 对于B，不等式为，解得，故解集是，故B正确， 对于C， ，C错误， 对于D， 化为，即，解得， 故不等式的解为，D错误， 故选：AB 变式1．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测·多选）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，结合二次函数的图象与性质求解. 【详解】由关于的不等式的解集是，其中， 所以，且是方程的两根， 所以，， 所以，，故AB正确； 又因为，故C错误； 作出和的图象，则为两函数图象交点的横坐标， 由图象可知，故D错误. 故选：AB 变式2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测·多选）已知关于x的不等式的解集为或，则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是或 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；结合根与系数关系可得的关系式，由此化简B，C，D选项中的不等式或进而求解，即可判断其正误，即得答案. 【详解】由关于的不等式解集为或， 得到和2是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知， ， 选项B：不等式化简为，解得， 即不等式的解集是，故B不正确； 选项C：由于，故，故C正确； 选项D：不等式化简为：， 解得或，故D正确； 故选：ACD. 变式3．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测·多选）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】AC 【分析】根据不等式的解与方程的根之间的关系，结合韦达定理可得，即可代入选项中逐一求解. 【详解】由不等式的解集为，可知是不等式的两个实数根，所以且，则且，故A正确， 对于B,不等式为，解得，故解集是，故B错误， 对于C, ，C正确， 对于D, 化为，即，解得，故不等式的解为，D错误， 故选：AC 2 学科网（北京）股份有限公司 $解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题专项训练 解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题专项训练 考点目录 解不含参的二次不等式 解含参的二次不等式 由二次不等式的解求参数问题 考点一 解不含参的二次不等式 例1．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）不等式的解集为（ ） A．     B． C．     D． 例2．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）满足的整数的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 例3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）不等式的解集为______. 例4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）不等式的解集为__________． 变式1．（2026·江苏苏州·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）不等式的解集中整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解集为______. 变式4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）不等式的解集是______． 考点二 解含参的二次不等式 例1．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 例2．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）设函数. (1)当时，解不等式； (2)解关于的不等式：. 例3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）已知恒成立． (1)求的取值范围； (2)解关于的不等式． 变式2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集是，求的值： (2)若，求此不等式的解集. 变式3．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式： 考点三 由二次不等式的解求参数问题 例1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测·多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 例2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测·多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D． 例3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测·多选）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 变式1．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测·多选）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测·多选）已知关于x的不等式的解集为或，则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是或 变式3．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测·多选）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 2 学科网（北京）股份有限公司 $