专题01 集合中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦集合含参数问题，以“通法+题型”双模块构建系统性方法体系，通过五类核心题型串联元素关系、集合性质等知识逻辑，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|提炼互异性检验、集合关系分析两条底线原则|以元素与集合关系、集合性质为概念基础，构建参数求解通用框架| |题型归纳|5类题型（每类1典例+3变式）|每题型模版含特征描述与具体解法（如元素关系法、集合相等法等）|从元素互异性到集合间关系，形成“概念-解法-变式”递进链条| |压轴挑战|14题|综合运用通法与题型技巧解决复杂问题|通过高难题目深化知识迁移，提升逻辑推理与问题解决能力|

专题01 集合中含参数问题的五种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用元素与集合的关系以及集合的互异性求参数 题型二、利用集合相等求参数 题型三、利用集合中元素的个数求参数 题型四、利用(真)子集的个数求参数 题型五、利用集合间的关系求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合中含参数问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕元素与集合的关系、集合中元素的互异性； 集合中元素的个数、(真)子集的个数、集合间的关系五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是利用集合元素的限制条件求参数值时，要注意检验集合是否满足元素的互异性；二是利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用元素与集合的关系以及集合的互异性求参数 典例1 设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【解析】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 题型模版 1.特征：给出具体元素与集合的关系，求参数 2.方法：根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果 变式1-1（多选）已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　） A． B． C． D．或或 【答案】AB 【分析】根据元素与集合的关系依次判断的情况是否满足题意即可. 【解析】对于A，当时，，满足题意，A正确； 对于B，当时，，满足题意，B正确； 对于C，当时，，不合题意，C错误； 对于D，由ABC知：或，D错误. 故选：AB. 变式1-2（多选）已知，且，，，则取值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合的关系求解，从选项中代值检验。 【解析】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确. 故答案为：BCD. 变式1-3已知集合，，则集合中所有的元素之和为为________. 【答案】 【分析】根据集合的定义求出集合后可得结论． 【解析】，， ①当时，， 时，，； 时，，满足条件； ②当时，，，满足条件； ③当时，，，满足条件； ④当时，，，满足条件． 从而得到， 所以集合中所有元素之和为． 故答案为： 类型二、利用集合相等求参数 典例2 若，则等于（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】∵，∴只有一个实数根. 当时，，此时； 当时，，所以，此时. ∴.故或. 故选：B. 题型模版 1.特征：由题意可知只有一个实数根，讨论和，由根的判别式可得答案. 2.方法：根据集合中的元素完全相同进行求解 变式2-1已知集合， 若， 则（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解； 【解析】因为且， 所以，且， 又， 所以和为方程的两个实数根， 所以； 故选：D 变式2-2已知，其中，则（ ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据，对分类讨论求解。 【解析】由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 变式2-3若，则的值为__________. 【答案】1 【分析】根据集合中元素的性质可知或，解得，，即可求解. 【解析】因为， 所以或，则或， 所以， 所以， 故答案为：1 题型三、利用集合中元素的个数求参数 典例3 已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（ ） A．-1 B．2 C． D．0 【答案】C 【解析】或， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意. 当时，要使集合有且仅有一个元素， 则需， 解得或（舍去） 综上所述，的可能取值为或，C选项符合. 故选：C 题型模版 1.特征：由题意可知只有一个实数根，讨论和，由判别式可得答案； 2.方法：利用根与系数的关系（韦达定理）或者数轴研究集合中的元素个数求参数的取值范围。 变式3-1已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出集合A，进一步得到m的范围. 【解析】由题意可知，可得. 故选：D 变式3-2（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（ ） A．6 B． C．9 D． 【答案】AB 【分析】由题设得且，注意对m的讨论 【解析】当时，满足的有6，3，2，1，，，，， 即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，， 即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，， 即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，， 即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：AB． 变式3-3已知集合，a为实数，若集合A中元素个数为偶数，则实数a的取值范围 【答案】且 【分析】若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素，二次方程无解或两不相同的解. 【解析】若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素. 当中有0个元素时，由(1)知； 当中有2个元素时，解得且. 综上所述，实数的取值范围为且. 故答案为：且 题型四、利用(真)子集的个数求参数 典例4 已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集， 当时，则且，解得， 当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ， 综上，或， 故选：D 题型模版 1.特征：根据（真）子集的个数确定方程根的个数，进而根据方程的根可求解. 2.方法：根据集合子集个数确定元素的个数，讨论、，结合一元二次方程中判别式求参数值 变式4-1（多选）若集合有且仅有两个子集，则实数a的值可以为（ ） A．0 B．2 C．18 D．3 【答案】ABC 【分析】根据集合子集个数确定元素的个数，讨论、，结合一元二次方程中判别式求参数值. 【解析】由题意，集合A中只有一个元素，即方程仅有一个解， 当时，，可得或； 当时，方程为仅有一解，满足题设； 综上，实数a的值为0，2，18. 故选：ABC 变式4-2已知集合恰有4个子集，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】集合恰有4个子集，则集合有2个元素，问题转化为有两个不相等的实数解即可. 【解析】因为集合恰有4个子集，所以集合有2个元素，则有两个不相等的实数解，则，解得. 故答案为：． 变式4-3已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程得答案. 【解析】集合恰有两个非空真子集, 则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根， ， 解得且. 故答案为：（答案不唯一）. 题型五、利用集合间的关系求参数求参数 典例5 已知集合，，，若，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围,最后根据补集思想即得. 【解析】， 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得 当时，或，解得：或 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为： 题型模版 1.特征：给定条件可以确定集合之间的包含关系以及集合是否为空集进行讨论分析. 2.方法：借助数轴结合集合之间的包含关系分析求求参数值 变式5-1已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【解析】因为则 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a取值范围为. 故选：C. 变式5-2(多选)设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 1 【答案】ABD 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的a. 【解析】，因为，所以或或或， 若，则； 若，则； 若，则； 若，无解． 故选：ABD 变式5-3已知关于的不等式的解集为，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若___________，求的取值范围. 请在①；②；③A与B没有公共元素这三个条件中任选一个补充在横线处然后作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）或；（2）答案见解析. 【分析】（1）由题意，二次方程有解，由判别式求解即可； （2）如选①： 因为，所以分与两种结合二次方程的根的情况讨论即可求解； 如选②： 因为，所以时，所以只需和时即可，代入即可求解； 如选③：分与两种情况讨论即可求解； 【解析】（1）因为，二次方程有解 所以，即， 解得或； （2）如选①： 因为 所以当时，即，解得； 当时，即或， 所以的两个根在区间[1，3]内， 即，解得， 综上，； 如选②： 因为， 所以时， 所以只需和时即可， 即，解得； 如选③： 当时，即，解得； 当时，即或， 所以的两个根均大于3或均小于1， 即或， 解得， 综上，； 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据交集的结果直接得出答案. 【解析】由题意知，， 因为， 所以. 故选：B. 2．已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【答案】B 【分析】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解. 【解析】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 3．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系列不等式，解不等式可得结论. 【解析】由，得， 解得且， 故实数的取值范围是． 故选：C． 4．已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设得求参数范围，即可得结果. 【解析】由题设且，可得， 所以，符号条件的一个a值为2. 故选：C 5．已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【解析】因为则 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a取值范围为. 故选：C. 6．（多选）已知，且，，，则取值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合的关系求解，从选项中代值检验。 【解析】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确. 故选：BCD. 7．已知集合，若，则的值可能为（ ） A． B．2 C． D．12 【答案】ABD 【分析】根据，得到或，分类讨论得到的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出的值. 【解析】因为，所以或. ①当时，，， 所以或，得或4. 当时，不合题设，舍去. 当时，，，此时. ②当时，，， 所以或，解得：或或 当时，不合题设，舍去. 当时，，此时. 当时，，此时. 故选：ABD 8．已知集合.若，则的最大值为 【答案】 【分析】由并集的定义可得 【解析】由于得，所以， 故的最大值为， 故答案为： 9．已知集合，若，则 ；若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】，进而得出求出m的取值范围即可. 【解析】， 所以， 若，则， ， 若，， 则，故的取值范围为. 故答案为：；. 10．设集合，或，若，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 11．已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】集合中只有一个整数元素，应满足，从而确定 【解析】集合中只有一个整数元素， 则，，即， 此时，故，解得. 故. 故答案为： 12．已知集合A是方程的解集． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值； （3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)1；(3) 【分析】（1）需对参数进行分类讨论，分和两种情况求解； （2）结合（1）可直接求解； （3）将（1）（2）结论综合，即为对应取值范围. 【解析】(1)若，则或，当时，方程为， 其解为，所以A是单元素集． 当时，方程为，无实数解，所以A为空集． 所以，若A是空集， 则或 即，所以a的取值范围为； (2)由（1）可知，若A是单元素集，则或即； (3)由（1）（2）知，若A中至多只有一个元素，即A为空集或单元素集，则a的取值范围为. 13．已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，；(2)或3或5 【分析】（1）求出，再求； （2）分类讨论求出集合，根据得，可得答案. 【解答过程】（1）， ， ， （2）存在. ， ①当时，，满足，所以； ②当时，，要满足，则， 因为，所以或5； 综上所述，或3或5. 14．已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【解析】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合中含参数问题的五种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用元素与集合的关系以及集合的互异性求参数 题型二、利用集合相等求参数 题型三、利用集合中元素的个数求参数 题型四、利用(真)子集的个数求参数 题型五、利用集合间的关系求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合中含参数问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕元素与集合的关系、集合中元素的互异性； 集合中元素的个数、(真)子集的个数、集合间的关系五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是利用集合元素的限制条件求参数值时，要注意检验集合是否满足元素的互异性；二是利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用元素与集合的关系以及集合的互异性求参数 典例1 设集合，，已知且，则的取值集合为________. 题型模版 1.特征：给出具体元素与集合的关系，求参数 2.方法：根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果 变式1-1（多选）已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　） A． B． C． D．或或 变式1-2（多选）已知，且，，，则取值可能为（ ） A． B． C． D． 变式1-3已知集合，，则集合中所有的元素之和为________. 类型二、利用集合相等求参数 典例2 若，则等于（ ） A． B．或 C． D．或 题型模版 1.特征：由题意可知只有一个实数根，讨论和，由根的判别式可得答案. 2.方法：根据集合中的元素完全相同进行求解 变式2-1已知集合， 若， 则（ ） A．3 B．4 C． D． 变式2-2已知，其中，则（ ） A．0 B．或 C． D． 变式2-3若，则的值为__________. 题型三、利用集合中元素的个数求参数 典例3 已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（ ） A．-1 B．2 C． D．0 题型模版 1.特征：由题意可知只有一个实数根，讨论和，由判别式可得答案； 2.方法：利用根与系数的关系（韦达定理）或者数轴研究集合中的元素个数求参数的取值范围。 变式3-1已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式3-2（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（ ） A．6 B． C．9 D． 变式3-3已知集合，a为实数，若集合A中元素个数为偶数，则实数a的取值范围 题型四、利用(真)子集的个数求参数 典例4 已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 题型模版 1.特征：根据（真）子集的个数确定方程根的个数，进而根据方程的根可求解. 2.方法：根据集合子集个数确定元素的个数，讨论、，结合一元二次方程中判别式求参数值 变式4-1（多选）若集合有且仅有两个子集，则实数a的值可以为（ ） A．0 B．2 C．18 D．3 变式4-2已知集合恰有4个子集，则的取值范围是______． 变式4-3已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 题型五、利用集合间的关系求参数求参数 典例5 已知集合，，，若，则实数m的取值范围是 ． 题型模版 1.特征：给定条件可以确定集合之间的包含关系以及集合是否为空集进行讨论分析. 2.方法：借助数轴结合集合之间的包含关系分析求求参数值 变式5-1已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式5-2(多选)设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 1 变式5-3已知关于的不等式的解集为，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若___________，求的取值范围. 请在①；②；③A与B没有公共元素这三个条件中任选一个补充在横线处然后作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 3．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6．（多选）已知，且，，，则取值可能为（ ） A． B． C． D． 7．已知集合，若，则的值可能为（ ） A． B．2 C． D．12 8．已知集合.若，则的最大值为 9．已知集合，若，则 ；若，则的取值范围为 . 10．设集合，或，若，则实数的取值范围为 11．已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 12．已知集合A是方程的解集． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值； （3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 13．已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 14．已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $