第三章 二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在某区间上的恒成立问题专项训练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在某区间上的恒成立问题专项训练 二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在某区间上的恒成立问题专项训练 考点目录 二次不等式在实数集上的恒成立问题 二次不等式在某区间上的恒成立问题 考点一 二次不等式在实数集上的恒成立问题 例1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设m为实数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判别式即可求解. 【详解】若不等式恒成立，则，解得， 故选：A 例2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况进行讨论，结合二次函数的图象性质即可求解. 【详解】由题意得关于的不等式恒成立， 当时，不等式化为，显然恒成立，符合条件； 当时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 例3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分和两种情况讨论,结合一元二次不等式恒成立求解即可. 【详解】当时不等式恒成立， 当时，不等式恒成立，需满足，解得：. 综上. 故答案为：. 例4．（25-26高一上·江苏南通·期中）若，其中，则__________. 【答案】或 【分析】由题意可得与有公共的正零点，设为，则可得，可得且，结合可得或，再分类计算即可得. 【详解】当时，，则， 由， 则单调递减，且在上单调递增， 则时，，当时，， 则与有公共的正零点，设为， 则，即有， 解得，且有， 则在上单调递减，又在上单调递增， 当时，，，满足题意； 当时，，，满足题意； 由，则，，又，则或； 若，则，此时； 若，则，此时. 故答案为：或. 例5．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知二次函数，其中 (1)若关于的不等式的解集为，解关于的不等式； (2)当时，若不等式对恒成立. （i）求的范围； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据不等式的解集可得为方程的两根，再利用根与系数关系用表示，再进行一元二次不等式的求解即可. （2）（i）不等式对恒成立可转化为一元二次不等式对恒成立，即，进行求解即可. （ii）令,换元后，分离常数，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】（1）由不等式的解集为可知， 且为方程的两根， 则有，， 故， 即，解得， 故不等式的解集为. （2）（i）当时，若不等式对恒成立， 即对恒成立， ，即，两边同时除以，可得， 故的范围为. （ii）由（i）可知， 故， 令， 则 ， 当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为1. 变式1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】不等式对一切实数都成立，按照和讨论求解， 当时， ，计算求出的范围，利用充分条件和必要条件的定义得到结论. 【详解】不等式对一切实数都成立， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式对一切实数都成立， ，，， 综上可知，不等式对一切实数都成立，则； 则“”是“为真命题”的充分不必要条件. 故选：A. 变式2．（25-26高一上·江苏南京·期中）命题“”是命题“对一切实数恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次不等式恒成立可得参数范围，进而可确定命题的充分必要性. 【详解】由对一切实数恒成立， 则，解得或， 所以命题“”是命题“对一切实数恒成立”的充分不必要条件， 故选：A. 变式3．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知命题“，关于的一元二次不等式mx2－mx－1<0”为真命题，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】分和两种情况分类讨论即可求解. 【详解】由题意有：当时，满足题意， 当时，由“，一元二次不等式mx2－mx－1<0”为真命题， 所以， 所以， 故答案为：. 变式4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分和讨论，时根据二次函数开口向下，且与轴无交点列出不等式即可. 【详解】若,得,符合题意； 若，由题知，解得， 综上实数的取值范围是. 故答案为：. 变式5．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设为实数，已知． (1)若关于的不等式的解集为，求； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得和是关于的方程的解，且，代入方程，解得即可； （2）分和两种情况，当时，即可求解； 【详解】（1）由，得， 因为关于的不等式的解集为， 所以和是关于的方程的解，且， 所以，解得． （2）因为对任意恒成立， 当时，，恒成立， 当时，有，解得． 综上可得的取值范围为． 考点二 二次不等式在某区间上的恒成立问题 例1．（25-26高一上·江苏南京·期中），恒成立的充要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分情况讨论，根据在上恒成立求的取值范围. 【详解】根据题意，不等式在上恒成立. 若，则不等式可化为，所以不合题意. 若0，则不等式可化为. 因为在上恒成立，所以必有的根为1， 所以. 故选：A 例2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，找到二次函数的对称轴，讨论对称轴在题中区间内，由对称轴求得函数最小值，由最小值建立不等式，解得实数的取值范围.讨论对称轴不在题中区间内，由单调性求得函数最小值，由最小值建立不等式，求得实数的取值范围,从而求得实数取值范围. 【详解】令， 则函数关于对称， 当时，即时， 则， 即，则，即 ∴. 当时，即时， 函数在上单调递增， 即恒成立， ∴. 综上所述. 故选：A. 例3．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若，则实数取值范围是________. 【答案】 【分析】由题可得，对恒成立，据此可得. 【详解】因，则，对恒成立. 则，又，当且仅当，即时取等号. 则. 故答案为： 例4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若“”为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用分离变量先求出该命题为真命题的时候的范围，再求其补集即可. 【详解】若“”为真命题，则， 当时，，所以此时， 所以若“”为假命题，则. 故答案为： 例5．（25-26高一上·江苏苏州·期中）记命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将不等式进行变形，求出函数的最小值，再根据恒成立的条件得到关于的不等式，进而求解实数m的取值范围； （2）先求出命题为真时的取值范围，再分真假和假真两种情况进行讨论，最后取并集即可. 【详解】（1）对任意，不等式恒成立，即在恒成立， 令，则，则，解得， 则实数m的取值范围为. （2）存在，使得不等式成立，有解，即在上恒成立， 令，根据均值不等式，得，当且仅当，即时等号成立， ，即，即命题q为真，，则命题q为假，， 又由（1）可知命题为真，，命题为假，或， 当真假时，，解得， 当假真时，与或求交集，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 变式1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况去掉绝对值符号结合不等式的解法讨论可得. 【详解】当时，恒成立， 当即时，不等式的解集为或， 又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即； 当即时，不等式的解集为或， 又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即； 当时，，而恒成立，此情况无解， 综上，时，；时，， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 变式2．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）命题 使得 成立，若p为假命题，则λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 或 【答案】A 【分析】由p是假命题可得命题p的否定为真命题，写出命题p的否定，再利用分离参数的方法求解即可． 【详解】因为命题，使得成立， 所以命题p的否定为：，成立， 而p是假命题，故命题p的否定为真命题． 所以在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即λ的取值范围为 故选：A 变式3．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知命题“，”是假命题，则实数的最小值为_____． 【答案】 【分析】存在命题是假命题，则其否定全称命题是真命题，然后结合二次函数性质求解． 【详解】命题“，”是假命题， 则命题“，”是真命题， 由二次函数性质得，解得，所以的最小值是． 变式4．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若对任意的，都有，则实数的取值范围为_____. 【答案】； 【分析】由于的解集为,可得，列出不等式即可求解. 【详解】由于的解集为,则，所以，解得：， 所以实数的取值范围为； 故答案为： 变式5．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，不等式解集为，，不等式解集为，，不等式解集为； (2) 【分析】（1）因式分解，由， ，，讨论即可； （2）通过参变分离得到，结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1） ， 因为 当时，即，不等式解集为， 当时，即，不等式解集为， 当时，即，不等式解集为， 综上：，不等式解集为， ，不等式解集为， ，不等式解集为； （2），不等式恒成立， 即，恒成立， 即，恒成立 因为，， 所以，，恒成立 即恒成立， 由基本不等式可知，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即的取值范围 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在某区间上的恒成立问题专项训练 二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在某区间上的恒成立问题专项训练 考点目录 二次不等式在实数集上的恒成立问题 二次不等式在某区间上的恒成立问题 考点一 二次不等式在实数集上的恒成立问题 例1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设m为实数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________. 例4．（25-26高一上·江苏南通·期中）若，其中，则__________. 例5．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知二次函数，其中 (1)若关于的不等式的解集为，解关于的不等式； (2)当时，若不等式对恒成立. （i）求的范围； （ii）求的最小值. 变式1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2．（25-26高一上·江苏南京·期中）命题“”是命题“对一切实数恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知命题“，关于的一元二次不等式mx2－mx－1<0”为真命题，则m的取值范围为______． 变式4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为__________. 变式5．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设为实数，已知． (1)若关于的不等式的解集为，求； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； 考点二 二次不等式在某区间上的恒成立问题 例1．（25-26高一上·江苏南京·期中），恒成立的充要条件是（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若，则实数取值范围是________. 例4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若“”为假命题，则实数的取值范围是__________. 例5．（25-26高一上·江苏苏州·期中）记命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围． 变式1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）命题 使得 成立，若p为假命题，则λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 或 变式3．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知命题“，”是假命题，则实数的最小值为_____． 变式4．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若对任意的，都有，则实数的取值范围为_____. 变式5．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $