第四章 根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简求值专项训练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简求值专项训练 根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简求值专项训练 考点目录 根式的化简求值 分数指数幂与根式的互化 指数幂的化简求值 考点一 根式的化简求值 例1．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分子、分母通过提取公因式化简，再结合分母有理化即可求解. 【详解】因为 ； ； 所以 . 例2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，，所以A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，当为奇数时，（，），所以C错误； 对于D，（，），所以D正确. 故选：D. 例3．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）现有下列说法：其中正确的有________．（填序号） ①；②16的4次方根是；③（，且）；④． 【答案】②④ 【详解】负数的3次方根是一个负数，，故①错误； 16的4次方根有两个，为，故②正确； 当为奇数时，；当为偶数时，，故③错误； 当时，；当时，，故，故④正确． 例4．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知a满足，则的值为______. 【答案】2026 【详解】由，得， 因为，所以，故. 变式1．（25-26高一上·江苏连云港·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 变式2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 变式3．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）当时，化简________. 【答案】4 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 变式4．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）若，则______. 【答案】 【分析】根据题意结合根式的运算求解即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 考点二 分数指数幂与根式的互化 例1．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 例2．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 例3．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知，化简__________． 【答案】 【分析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算公式化简可得解. 【详解】. 故答案为：. 例4．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）设，则_____.（结果用分数指数幂表示） 【答案】 【分析】根据分数指数幂的计算公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 变式1．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A 变式2．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】. 故选：A 变式3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）根式化成分数指数幂是________. 【答案】 【详解】. 变式4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）化简的结果为____________ 【答案】1 【分析】由根式与指数幂的关系及指数幂的运算性质化简求值. 【详解】由 . 故答案为：1 考点三 指数幂的化简求值 例1．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； 【详解】（1）； （2）； （3）， ，则， . 例2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）7；（2）. 【分析】（1）利用指数运算性质求出的值. （2）逆用指数运算法则，代入计算得解. 【详解】（1）由，得. （2）由，得. 例3．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由指数幂的运算性质化简求解即可； （2）给两边同时平方即可求出，再两边同时平方可得，然后求解即可. 【详解】（1）原式=. （2）因为，所以两边同时平方得：， 所以，两边再平方得：， 故， 所以. 变式1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将条件式子进行平方； （2）将（1）中式子进行平方得出； （3）将进行平方，计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，得； （2）因为， 所以，则； （3）因为， 所以， 则 变式2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）（1）计算：； （2）因式分解：； （3）已知，，，，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用分数指数幂，及分母有理化与根式的化简可求值； （2）利用十字相乘法可因式分解； （3）由已知可求得，利用立方和因式分解可求值. 【详解】（1） （2） ； （3）由，可得，又，所以， 由. 变式3．（25-26高一上·江苏泰州·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）18. 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算法则计算即得. （2）根据给定条件，结合指数幂的化简求出，再借助因式分解法求值即得. 【详解】（1）原式. （2）由，得， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简求值专项训练 根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简求值专项训练 考点目录 根式的化简求值 分数指数幂与根式的互化 指数幂的化简求值 考点一 根式的化简求值 例1．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 例3．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）现有下列说法：其中正确的有________．（填序号） ①；②16的4次方根是；③（，且）；④． 例4．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知a满足，则的值为______. 变式1．（25-26高一上·江苏连云港·期中）（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）当时，化简________. 变式4．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）若，则______. 考点二 分数指数幂与根式的互化 例1．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知，化简__________． 例4．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）设，则_____.（结果用分数指数幂表示） 变式1．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）根式化成分数指数幂是________. 变式4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）化简的结果为____________ 考点三 指数幂的化简求值 例1．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 例2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 例3．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，求的值. 变式1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 变式2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）（1）计算：； （2）因式分解：； （3）已知，，，，求的值. 变式3．（25-26高一上·江苏泰州·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $