第一次月考复习冲刺（提高篇）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册（第一-三章）

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第一次月考复习冲刺（提高篇） 考点01：集合的概念与表示 1.已知集合，若对都有，则的值为_______ 2.已知集合，且，则M等于 A. B. ，3， C. ，3， D. ，3， 3.已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ①②③④ A．0 B．1 C．2 D．3 4.已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 5.已知集合，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，，求实数的取值范围. 考点02：子集、全集、补集 6.若集合，，则集合与的关系是（　　） A． B． C． D．不确定 7.已集合，若，则实数a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 8.若集合有2个子集，则实数的值为_______． 9.已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10.已知集合，集合，若，求的取值范围. 11.集合，集合，集合． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 考点03：交集、并集 12.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 13.已知集合，，若，则实数___________ 14.已知集合}，若，则 k的值为 . 15.已知集合，，若，则实数的值为 . 16.学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 17.设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 18.已知集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数的取值集合． 19.已知集合，集合，定义集合且 (1)若，求． (2)若，求a的取值范围． 考点04：命题、定理、定义 20.若命题“”是假命题，则a的取值范围是______ 21.命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 22.命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 考点05：充分条件、必要条件、充要条件 23. “”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 24. 使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 25.设，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26.已知，若的一个必要不充分条件是，则的取值范围是 ． 27.已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的必要条件，求的取值范围. 28.设p：实数x满足，q：实数x满足． (1)若q为真，求实数x的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 考点06：全称量词命题与存在量词命题 29.下列四个命题中，是真命题的为（    ） A．任意，有 B．任意，有 C．存在，使 D．存在，使 30.命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 31.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32.若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33.若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34.命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 考点07：不等式的基本性质 35.若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 36.已知为实数，则下列命题成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 37.已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 38.已知，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 39.已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（    ） A．(1，3) B． C． D． 40.已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点08：一元二次不等式与分式不等式的求解 41．不等式的解集为______． 42.若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 43. 一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 44.若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 45.若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46.在上定义运算，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 . 47.若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为 . 48.不等式的解集为 . 49.已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的值； (3)解关于的不等式 考点09：基本不等式及其应用 50.已知，则的最小值为______ 51.若，则的最大值为 . 52.已知，求的最大值为_______ 53.已知正实数，满足，则的最小值为______ 54.已知，则的最小值为 . 55.已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 56.正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足，求的最小值，并指出等号成立的条件； （2）设的最小值为，且正数满足，求的最小值； （3）若实数满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时m的值. 考点10：集合新定义问题 57.若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 58.已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 59.集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 60.记，表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则 ，若，则的最小值为 . 61.已知集合，设，令表示集合所含元素的个数，则 . 62.已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 63.集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 考点11：不等式的实际应用题 64. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 65. 某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． （1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 66.近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 考点12：压轴题 67.已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 68.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由； （3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第一次月考复习冲刺（提高篇） 考点01：集合的概念与表示 1.已知集合，若对都有，则的值为______ 【答案】2 【知识点】根据集合的包含关系求参数、集合元素互异性的应用、根据元素与集合的关系求参数、判断两个集合的包含关系 【分析】得到，分和两种情况，求出，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】由题意得， 当时，解得或， 当时，满足要求， 当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去， 当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 2.已知集合，且，则M等于 A. B. ，3， C. ，3， D. ，3， 【答案】D  【解答】因为集合且， 所以可能为1，2，3，6， 对应a的值为4，3，2，， 所以 故选 3.已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ①②③④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【详解】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 4.已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 5.已知集合，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）求出集合、，利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）根据元素与集合的关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为或， ， 且，则，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为，则，解得， 因为，则或，可得或. 综上所述，实数的取值范围是. 考点02：子集、全集、补集 6.若集合，，则集合与的关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】由集合间子集关系的判断方法判断即可． 【详解】B＝{y|y＝6m+5，m∈Z}＝{x|x＝6m+5，m∈Z}， 任意x∈B，则存在m∈Z，使x＝6m+5， 而x＝6m+5＝3（2m+2）﹣1∈A， 故B⊆A， 又∵2∈A，2∉B， ∴A＝B，A⊆B都不正确， 故选：C． 7.已集合，若，则实数a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ∴当时，，满足； 当时，若，则时，时，． 的取值集合是． 故选：C． 8.若集合有2个子集，则实数的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】由子集个数得到方程根的个数，根据方程根的个数求解的值. 【详解】因为集合有个子集，所以方程有且只有一个根. 当时，方程可化为，解得，满足条件； 当时，若方程有且只有一个根，则，解得； 综上，实数的值为或. 故答案为：或. 9.已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，又，， 所以，解得，故选：B. 10.已知集合，集合，若，求的取值范围. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、分式不等式 【分析】化简集合，根据集合的包含关系列不等式可求的范围. 【详解】解不等式得， 所以， 由，，可得 当集合时，，解得； 当集合时，，解得. 综上：. 11.集合，集合，集合． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得：，即，； 由得：，解得：，即； . （2）由得：，解得：； 当时，满足，此时，解得：（舍）； 当时，由得：，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 考点03：交集、并集 12.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 则. 故选：C 13.已知集合，，若，则实数___________ 【答案】0或2 【详解】∵，∴， 显然，若，则，满足题意； 若，则或，不合题意，代入可知满足题意， 综上，或2. 故答案为：0或2. 14.已知集合}，若，则 k的值为 . 【答案】或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、已知直线平行求参数 【分析】集合中的元素都是直线上的点，可将“交集为空集”转化成“两条直线没有交点”，根据两直线间的位置关系可求得结果. 【详解】由题意，集合中，可整理成， 所以，集合表示直线上的点集，集合表示直线上的点集. 因为，所以直线与直线平行或有一个交点， 当两直线平行时，；当两直线交点为时，. 故答案为：或. 15.已知集合，，若，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证. 【详解】由，知是的子集，所以或或. 由集合中元素的互异性，知，所以，故，. 从而，而，故. 经验证满足条件. 故答案为：. 16.学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 【答案】 【知识点】容斥原理的应用 【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，作出韦恩图，根据题意可得出关于的方程，解出的值即可. 【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加游泳和球类比赛的有人. 故答案为：. 17.设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】并集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【详解】（1）若，则， 所以， （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 18.已知集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数的取值集合． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，再根据集合交集和并集的概念求解即可； （2）根据集合的包含关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）由解得， 所以，， 所以，. （2）因为，所以， 当时可知，解得， 所以实数的取值集合为． 19.已知集合，集合，定义集合且 (1)若，求． (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， . 由，则，故. （2）由得，即有或，故. 故a的取值范围为. 考点04：命题、定理、定义 20.若命题“”是假命题，则a的取值范围是______ 【答案】 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【详解】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 21.命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数、根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 22.命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、已知命题的真假求参数、根据或且非的真假求参数 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 考点05：充分条件、必要条件、充要条件 23. “”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】解不等式，得到或，根据推出关系得到答案. 【详解】或， 或，但或， 故“”是“”的充分而不必要条件，A正确，BCD错误. 故选：A 24. 使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式可得，结合充分条件及必要条件的定义判断结论. 【详解】解不等式，可得， 所以不等式成立的一个充分不必要条件必须为的非空真子集， 所以可以排除选项A，B，C， 因为由可推得，由不能推得， 所以使不等式成立的一个充分不必要条件为． 故选：D． 25.设，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解一元二次不等式，再应用充分必要条件定义判断即可. 【详解】解不等式，得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 26.已知，若的一个必要不充分条件是，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题命题对应集合为命题对应集合的真子集，据此可得答案. 【详解】或， 则命题对应集合为. ，则命题对应集合为. 因的一个必要不充分条件是，则命题对应集合为命题对应集合的真子集， 则. 故答案为： 27.已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）根据已知条件化简集合和，再求交集即可. （2）根据已知可得是的子集，列不等式组进而求解. 【详解】（1）解不等式，得，即， 当时，， 所以 （2）因为是的必要条件， 所以， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 28.设p：实数x满足，q：实数x满足． (1)若q为真，求实数x的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若q为真，则实数x满足，即， 所以，解得：， 即q为真时，实数x的取值范围为； （2）对于p：实数x满足，变形为：， 即，所以， 对于q，由（1）有：， 因为p是q的必要不充分条件，则q可推出p，而p不能推出q 则，解得， 故实数a的取值范围为. 考点06：全称量词命题与存在量词命题 29.下列四个命题中，是真命题的为（    ） A．任意，有 B．任意，有 C．存在，使 D．存在，使 【答案】C 【详解】由于对任意，都有，因而有，故A为假命题． 由于，当时，不成立，故B为假命题． 由于，当时，，故C为真命题． 由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题． 故选：C 30.命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解； 【详解】“，”的否定是，； 故选：B 31.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由题可得为真命题，据此可得答案. 【详解】则，即函数的图象恒在x轴上方， 则其判别式，则. 故选：B 32.若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根， 所以，即，解得或， 故选：D. 33.若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数、全称命题的否定及其真假判断 【分析】利用全称量词命题的否定与真假性，将问题转化为二次不等式的有解问题，从而得解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则在区间上有解， 设，则的图象开口向上，对称轴为， 且，则当时，函数取得最大值为， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 34.命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 考点07：不等式的基本性质 35.若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对，故选D. 36.已知为实数，则下列命题成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，当时，不满足，即A错误； 对于B，若，则，所以B错误； 对于C，若，可知，不等式两边同时除以，即，可得，即C正确； 对于D，若，不妨取，则，可得D错误，故选：C 37.已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因，则，，则， 等号成立时，故B错误； 对于C，因且，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选C 38.已知，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质求解 【详解】， 故，，得 故选：C 39.已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（    ） A．(1，3) B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出的范围. 【详解】因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故的取值范围为(1，3)，故选：A． 40.已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的同向可加性，结合待定系数法可得，即可得的取值范围. 【详解】解：设，所以， 则，又， 所以，，由不等式的性质得：， 则的取值范围为. 故选：D. 考点08：一元二次不等式与分式不等式的求解 41．不等式的解集为______． 【答案】 【分析】求得不等式对应的方程的解，即可求得一元二次不等式的解集. 【详解】不等式即， 的根为， 故的解集为， 即不等式的解集为， 故答案为： 42.若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意， 当时，若解集为空集，则，解得， 当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意， 综上可得,故选：C 43. 一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 44.若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由题意得和1为方程的两个根且， 则，解得， 所以不等式，即，即， 故选:D. 45.若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为不等式，当时恒成立， 所以. 当时，， 当且仅当时取等号.所以.故选：C 46.在上定义运算，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据定义，不等式即为：， 整理得：对一切实数x恒成立， 则只需，整理得：， 解得，即实数的取值范围是. 47.若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题得命题的否定“，不等式有解”为真命题， 所以，即在内有解. 令，则， 所以， 当且仅当即，即时取等号，所以. 48.不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由，得到，等价于，且， 即，且，所以，得到不等式的解集为， 故答案为：. 49.已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的值； (3)解关于的不等式 【答案】(1)或 (2) (3)答案见解析 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）解一元二次不等式即可； （2）由题意得方程的两根为1和2，利用韦达定理和判别式求解； （3）分类讨论解一元二次不等式即可． 【详解】（1）当时，不等式为， ∴，解得或， ∴不等式的解集为或． （2）不等式，即， ∵不等式的解集为， ∴方程的两根为1和2， ∴，解得． （3）不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 考点09：基本不等式及其应用 50.已知，则的最小值为______ 【答案】4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】原式可变为，利用基本不等式求解. 【详解】由， 当且仅当时取等号，可得.可得的最小值为4， 51.若，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本（均值）不等式求和的最小值即可. 【详解】因为，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立. 故. 故答案为： 52.已知，求的最大值为_______ 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 53.已知正实数，满足，则的最小值为______ 【答案】 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意分析可知，代入化简后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数，满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 54.已知，则的最小值为 . 【答案】4 【知识点】条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用、求二次函数的值域或最值 【分析】由题巧设，将题中复杂的二元问题巧妙进行了换元和消元成一元问题，即将所求因式变形为，再使用基本不等式即可求解. 【详解】令， 则 ， 所以， 因此当且仅当，即时，取得最小值为4. 故答案为：4. 55.已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由， 解得． 故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即． 故选：D 56.正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足，求的最小值，并指出等号成立的条件； （2）设的最小值为，且正数满足，求的最小值； （3）若实数满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时m的值. 【答案】（1） （2） （3）；的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，结合基本不等式，即可求解； （2）先求得函数的最小值为1，再化简，即可利用题干中方法求最值； （3）由，结合，即可判断；令，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 若正实数满足， ,当且仅当且,即时取等号， 所以的最小值，当且仅当时取等号. 【小问2详解】 函数，作出图象， 函数的最小值为1，则， ， 当且仅当且，即时，等号成立； 所以，所求最小值为. 【小问3详解】 若正实数满足,且， 由 因为，且仅当时取等号， 所以 ，所以. 代数式, 令,则, 所以, 当且仅当，即时取等号, 又因为，解得， 即，所以. 所以的最小值为，此时. 考点10：集合新定义问题 57.若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 58.已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【解析】根据题意，， 则集合的非空子集的个数是. 故选：B 59.集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】集合新定义、交集的概念及运算 【分析】先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合的“长度”的最小值． 【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为， 当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端， 故的长度的最小值是 故选：B. 60.记，表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则 ，若，则的最小值为 . 【答案】 14 【知识点】集合新定义、求等差数列前n项和 【分析】根据定义确定，从而可归纳出中的元素，求和后解不等式可得． 【详解】当，时，，表示2个元素的有限集， 由可知，或或，故； 由题意知， 故由可得，即， 结合，可以估算得的最小值为14 故答案为：；14. 61.已知集合，设，令表示集合所含元素的个数，则 . 【答案】3712 【知识点】集合新定义 【分析】分别计算整除，和整除的情况，进而可求解； 【详解】表示集合所含元素的个数， 其中整除的有，共5个. 整除的： ①1整除的有2024个；②2整除的有个；③3整除的有个.重复的有，共3个. 所以. 故答案为：3712 62.已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 【答案】(1)不是，是，理由见解析 (2)证明过程见解析. (3)334， 【分析】（1）根据题目信息进行计算，得到不是，是； （2）利用反证法进行证明； （3）结合（2），得到尽可能小，取，得到答案. 【详解】（1）不是，是，理由如下： 中，令，则， 由于，故不是集合的“好子集”， 中，当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 综上：是集合的“好子集”； （2）假设原命题为假命题， 即若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有， 显然，且均为正整数， 当时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当时，则是两个奇数，或是两个偶数，此时为偶数， 故故能整除，所以不合要求， 故假设不成立， 又由（1）知，当时，满足是的“好子集”，且， 综上：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有 （3）由（2）知，集合的“好子集”所含两个不同的元素，满足， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3， 故可取，通过验证，此时满足不能整除， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为， . 63.集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【详解】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 考点11：不等式的实际应用题 64. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】（1）， （2）当的长为m时，总造价最低，为59000元 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，结合十字形区域面积为，可得，整理可得解析式，根据，，可求得x的范围，即可得答案. （2）分别求出各个区域的面积及造价，可得总造价的表达式，结合基本不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为十字形区域面积为， 所以，解得， 因，所以，因为，所以， 所以，. 【小问2详解】 四个矩形地砖面积，造价； 四个三角形草坪面积； 造价； 正方形花坛面积，造价； 总造价， 化简得， 因为， 当且仅当（在范围中）时取等号，此时元． 综上，当的长为时，总造价最低，为59000元． 65. 某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． （1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 【答案】（1）20元 （2）当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元 【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得的取值范围，从而求得最高售价. （2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价. 【小问1详解】 设提价元，由题意，每瓶饮料的利润为元，月销售量为万瓶， 所以提价少月销售总利润为万元． 因为原来月销售总利润为(万元)，月利润不低于原来月利润， 所以，即， 所以，所以售价最多为(元)， 故该饮料每瓶售价最多为20元． 【小问2详解】 由题意，每瓶利润为元，月销售量为万瓶，设下月总利润为， 整理得 因为，所以， 所以， 当且仅当时取到等号， 故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元． 66.近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 【答案】(1)实际意义是未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费， (2)当时，的最小值为 (3) 【分析】（1）代入即可求出，从而得到其函数关系，再根据题意得到实际意义； （2）变形得，再利用基本不等式即可； （3）由题意得到不等式，解出即可. 【详解】（1）表示太阳能电池板的面积为0时，该企业每年消耗的电费． 即未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费． 当时，该企业每年消耗的电费36万元，代入可得： ，则， . （2）， ， 当且仅当，即等号成立，的最小值为. （3）由题可知． 即，解得， 即的取值范围为. 考点12：压轴题 67.已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【分析】（1）分与讨论，当时结合二次函数图像，列出不等式，代入计算，即可求解； （2）先因式分解，然后对两根的大小进行讨论，即可求解； （3）先令，由可得，将问题转化为有四个不同的实根，结合韦达定理代入计算，即可求解. 【解析】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有解得． 故实数的取值范围是． （2）不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． （3）当时，因为， 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根，则 由②③式可得， 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或． 综上，实数的取值范围是． 68.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由； （3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 【答案】（1）“上位点”，“下位点”；（2）是，证明见解析；（3）. 【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论； （3）结合（2）中的结论，可得，，满足条件，再说明当时，不成立，可得出的最小值为. 【详解】（1）对于平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. 点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）点是点的“上位点”，，. ， 点是点的“下位点”， ， 点是点的“上位点”； （3）若正整数满足条件：在时恒成立. 由（2）中的结论可知，，时满足条件. 若，由于，当时，不存在符合题意； 因此，的最小值为. 【点睛】本题考查的知识点是新定义“上位点”和“下位点”，同时也考查了利用作差法比较两数的大小关系，解题的关键就是对题中新定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $