第三章 二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在某区间上的恒成立问题讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在某区间上的恒成立问题讲义 二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在某区间上的恒成立问题讲义 考点目录 二次不等式在实数集上的恒成立问题 二次不等式在某区间上的恒成立问题 考点一 二次不等式在实数集上的恒成立问题 【知识点解析】 核心本质 对全体实数 ，不等式恒成立，对应二次函数图像完全位于 轴上方（或下方），与 轴无公共点（或至多一个公共点）。 充要条件（以 为例） ⚠️ 若题目未明确说明是「一元二次不等式」，必须先讨论二次项系数 的情况，此时不等式退化为一次不等式/常数不等式。 1. 当 时 不等式变为 ： · 若 ：一次函数值域为 ，不可能对所有实数 恒正，不成立； · 若 ：不等式退化为常数不等式 ： · 时，不等式恒成立； · 时，不等式不成立。 2. 当 时（标准一元二次不等式） 结合开口方向与判别式 共同判定： 不等式 成立条件 几何意义 恒成立 开口向上，与 轴无交点，图像全程在 轴上方 恒成立 开口向上，与 轴至多一个交点，图像全程不在 轴下方 恒成立 开口向下，与 轴无交点，图像全程在 轴下方 恒成立 开口向下，与 轴至多一个交点，图像全程不在 轴上方 解题步骤 1. 看二次项系数是否含参数，含参则分 、、 三类讨论； 1. 对应每类情况，结合判别式列出不等式（组）； 1. 求解参数范围，合并所有符合条件的情况。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若命题：，为假命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由命题：为假命题， 可得命题为真命题，即在上恒成立， 当时，不等式即为在上恒成立，符合题意； 当时，则满足，即，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：B 例2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数对任意实数，函数值恒大于零，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论考虑二次项的系数为和不为，当二次项的系数为时，满足题意；当二次项系数不为时，且，解不等式即可得解. 【详解】当时，得或， 若时，，其对任意实数不可能恒大于； 若时，，其对任意实数恒大于； 当时，根据题意得，解得； 综上：实数的取值范围是，故B正确. 故选：B. 例3．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意可得命题“”是真命题，利用二次函数的性质计算即可得. 【详解】由命题“”是假命题， 则命题“”是真命题， 则有，解得. 故答案为：. 例4．（25-26高三上·江苏连云港·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意，即“”是真命题，结合二次函数的图象与性质对的符号分类讨论即可. 【详解】根据题意可得“”是真命题， 当，即时，命题成立； 当时，得，解得， 综上，符合题意的实数的取值范围是. 故答案为：. 例5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的不等式的解集是． (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集为，求实数b的取值范围． 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值，最后解一元二次不等式即可； （2）讨论参数是否为0，分别讨论并得出不等式计算求解. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. 则不等式为， 则，所以解集为；. （2）因为关于x的不等式的解集为，由（1）， 所以关于x的不等式的解集为， 所以当时，解集为，符合题意； 当时，，所以； 所以实数b的取值范围是. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知命题：“，”为假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出其否定，再讨论当时与时的情况即可得到结果. 【详解】命题“，”为假命题， 可得，为真命题， 当时，不等式显然成立． 当时，由题可得函数图象恒在x轴下方， 则，解得． 综上可得，即的取值范围是． 故选：B. 变式2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】当时，，解得，解集不为R，不合要求，舍去； 当时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A 变式3．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先由题得，有，接着按时和时两种情况分类讨论即可得解. 【详解】因为命题“，使得”是假命题， 所以，使得， 当时，有，符合； 当时，则有即， ， 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 变式4．（25-26高一上·江苏泰州·期中）若命题：，为真命题，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据题意，分与讨论，结合一元二次不等式恒成立代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，不等式为，满足题意； 当时，，为真命题， 则，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 变式5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知不等式的解集为或． (1)求的值； (2)若的解集为，求实数的取值范围； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可知是方程的两根，从而可求a、b； （2）结合二次函数图象即可求解； （3）对不等式进行因式分解，根据二次不等式解法，分类讨论c的范围即可． 【详解】（1）由已知可得是方程的两根， 则，解得； （2）若的解集为， 则，解得， 即实数的范围为； （3）不等式化为，即， 当时，不等式化为，不等式无解， 当．时，解不等式可得：， 当时，解不等式可得：， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 考点二 二次不等式在某区间上的恒成立问题 【知识点解析】 核心本质 对区间 内的所有 ，不等式均成立，等价于二次函数在区间 上的最值满足条件： · 在 上恒成立 在 上的 · 在 上恒成立 在 上的 三大核心解法 1. 图像分类讨论法（动轴定区间/定轴动区间） 根据二次函数的开口方向、对称轴与区间的位置关系，分类讨论求出区间上的最值，列不等式求解。 以开口向上（）、区间 、对称轴 为例： 对称轴位置 单调性 最小值位置 最大值位置 对称轴在区间左侧 区间上单调递增 对称轴在区间内 先减后增 顶点值 离对称轴更远的端点 对称轴在区间右侧 区间上单调递减 开口向下时，最值位置完全相反：顶点为最大值点，端点取最小值。 2. 参变分离法（优先推荐，参数为一次时） 将参数与变量完全分离到不等式两侧，转化为「参数与不含参函数的最值」的关系，无需分类讨论。 核心结论：对任意 ， · 恒成立 （参数大于等于函数最大值） · 恒成立 （参数小于等于函数最小值） 注意：分离参数时，若除以含 的式子，必须先判断式子的正负，负号要反转不等号方向。 3. 主元法（双变量、参数为一次） 若不等式中参数是一次式，将参数视为主元 ， 视为参数，原式转化为关于 的一次函数 。 一次函数在区间上的最值必在端点取得，因此只需区间两个端点都满足不等式，则整个区间恒成立。 解题思路 1. 优先判断参数能否分离，能分离则用参变分离法，简化计算； 1. 不能分离则用图像分类法，按对称轴与区间的位置分类求最值； 1. 列不等式求解参数范围，验证端点等号是否成立。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 例2．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 例3．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在上的最小值即得参数m的取值范围. 【详解】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立， 因，，则得， 故得，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 例4．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于x的函数，其中为实数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； (3)对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. (2) (3) 【分析】（1）化简不等式，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解集不是空集列不等式，由此求得的取值范围. （3）化简恒成立的不等式，利用换元法，结合基本不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）由， 得， 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. （2）若关于的不等式的解集不为， 即关于的不等式的解集不为， 当时，不等式即，解集为，不为，符合题意. 当时，不等式的解集不为，符合题意. 当时，要使不等式的解集不为， 则需， 解得. 综上所述，的取值范围是. （3）若对恒成立， 则对恒成立， 由于， 所以则对恒成立， 设，则，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）“，”恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据恒成立求解，即可根据集合间的关系求解. 【详解】若，，则对恒成立，即， 由可得， 所以，所以， 由于是的真子集，故符合题意. 选项AB是必要不充分条件，C是充要条件. 故选：D. 变式2．（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即， 因为恒成立，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 变式3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）不等式对于恒成立，则m的取值范围______. 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，， 等号成立当且仅当，所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 变式4．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 变式5．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次不等式求解即可； （2）分情况讨论对称轴与区间的位置关系，再根据恒成立问题求解即可. 【详解】（1）当时，，即，解得 （2）当对称轴，即时，在时取最小值，解得，与矛盾，不合题意； 当，即时，在时取最小值，解得，此时； 当，即时，在时取最小值，解得，此时. 综上，的取值范围为 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在某区间上的恒成立问题讲义 二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在某区间上的恒成立问题讲义 考点目录 二次不等式在实数集上的恒成立问题 二次不等式在某区间上的恒成立问题 考点一 二次不等式在实数集上的恒成立问题 【知识点解析】 核心本质 对全体实数 ，不等式恒成立，对应二次函数图像完全位于 轴上方（或下方），与 轴无公共点（或至多一个公共点）。 充要条件（以 为例） ⚠️ 若题目未明确说明是「一元二次不等式」，必须先讨论二次项系数 的情况，此时不等式退化为一次不等式/常数不等式。 1. 当 时 不等式变为 ： · 若 ：一次函数值域为 ，不可能对所有实数 恒正，不成立； · 若 ：不等式退化为常数不等式 ： · 时，不等式恒成立； · 时，不等式不成立。 2. 当 时（标准一元二次不等式） 结合开口方向与判别式 共同判定： 不等式 成立条件 几何意义 恒成立 开口向上，与 轴无交点，图像全程在 轴上方 恒成立 开口向上，与 轴至多一个交点，图像全程不在 轴下方 恒成立 开口向下，与 轴无交点，图像全程在 轴下方 恒成立 开口向下，与 轴至多一个交点，图像全程不在 轴上方 解题步骤 1. 看二次项系数是否含参数，含参则分 、、 三类讨论； 1. 对应每类情况，结合判别式列出不等式（组）； 1. 求解参数范围，合并所有符合条件的情况。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若命题：，为假命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数对任意实数，函数值恒大于零，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________. 例4．（25-26高三上·江苏连云港·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______. 例5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的不等式的解集是． (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集为，求实数b的取值范围． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知命题：“，”为假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为__________． 变式4．（25-26高一上·江苏泰州·期中）若命题：，为真命题，则实数的取值范围为______. 变式5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知不等式的解集为或． (1)求的值； (2)若的解集为，求实数的取值范围； (3)解不等式． 考点二 二次不等式在某区间上的恒成立问题 【知识点解析】 核心本质 对区间 内的所有 ，不等式均成立，等价于二次函数在区间 上的最值满足条件： · 在 上恒成立 在 上的 · 在 上恒成立 在 上的 三大核心解法 1. 图像分类讨论法（动轴定区间/定轴动区间） 根据二次函数的开口方向、对称轴与区间的位置关系，分类讨论求出区间上的最值，列不等式求解。 以开口向上（）、区间 、对称轴 为例： 对称轴位置 单调性 最小值位置 最大值位置 对称轴在区间左侧 区间上单调递增 对称轴在区间内 先减后增 顶点值 离对称轴更远的端点 对称轴在区间右侧 区间上单调递减 开口向下时，最值位置完全相反：顶点为最大值点，端点取最小值。 2. 参变分离法（优先推荐，参数为一次时） 将参数与变量完全分离到不等式两侧，转化为「参数与不含参函数的最值」的关系，无需分类讨论。 核心结论：对任意 ， · 恒成立 （参数大于等于函数最大值） · 恒成立 （参数小于等于函数最小值） 注意：分离参数时，若除以含 的式子，必须先判断式子的正负，负号要反转不等号方向。 3. 主元法（双变量、参数为一次） 若不等式中参数是一次式，将参数视为主元 ， 视为参数，原式转化为关于 的一次函数 。 一次函数在区间上的最值必在端点取得，因此只需区间两个端点都满足不等式，则整个区间恒成立。 解题思路 1. 优先判断参数能否分离，能分离则用参变分离法，简化计算； 1. 不能分离则用图像分类法，按对称轴与区间的位置分类求最值； 1. 列不等式求解参数范围，验证端点等号是否成立。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 例3．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为___________． 例4．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于x的函数，其中为实数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； (3)对恒成立，求的取值范围． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）“，”恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）不等式对于恒成立，则m的取值范围______. 变式4．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是________． 变式5．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $