第三章不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

不等式 ✅ 本讲学习目标 1 📚 本讲知识梳理 1 知识点 1：不等式的基本性质 1 知识点 2：基本不等式 2 知识点 3：从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3 📚典型例题 3 题型一：不等式的基本性质 3 题型二：基本不等式的运用 5 题型三：“1”的代换 8 题型四：从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 10 题型五：含参恒成立问题 14 题型六：不等式的实际应用 16 当堂即时训练 19 ✅ 本讲学习目标 · 掌握不等式的基本性质，熟练进行不等式的变形、比较大小，能准确区分可推导、不可逆、易错性质，规避符号变换陷阱。 · 熟练掌握一元二次不等式的解法，能结合二次函数图像、判别式精准求解含参、常规一元二次不等式，掌握解集书写规范。 · 理解基本不等式的推导过程与适用条件，严格牢记一正、二定、三相等核心原则。 · 熟练运用配凑法、1 的代换法求解最值问题，能判断等号能否成立，规避连续用不等式的逻辑错误。 · 掌握不等式恒成立、存在性问题的基础解题思路，能结合参数分类讨论解决简单含参题型。 · 能够建立不等式数学模型，解决简单实际应用最值问题。 📚 本讲知识梳理 知识点 1：不等式的基本性质 一：比较大小的方法 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 二：重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 三：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 四：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点 2：基本不等式 一：　基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 二：　用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数； (①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 知识点 3：从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 考点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 a＋bx＋c>0，a＋bx＋c <0，a＋bx＋c≥0，a＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 考点二　一元二次函数的零点 二次函数y＝a＋bx＋c，我们把使a＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝a＋bx＋c的零点． 考点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝a＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程a＋bx＋c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根， (<) 有两个相等的实数根＝＝－ 没有实数根 a＋bx＋c＞0(a>0)的解集 {x|x<，或x>} R a＋bx＋c <0(a>0)的解集 {x|<x<} ∅ ∅ 📚典型例题 题型一：不等式的基本性质 例1．（25-26高一上·江苏南京·期中）在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若，则． 性质2：若，则． 性质3：若，则． 性质4：若，则；若，则． 性质5：若，则． 性质6：若，则． 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明： 因为，，所以． 因为，，所以． 所以．在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A．性质1和性质2 B．性质2和性质4 C．性质3和性质4 D．性质4和性质5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】根据证明过程中所应用的不等式的性质判断即可. 【详解】因为，，利用性质4得到． 因为，，利用性质4得到． 再由，，利用性质2得到. 故选：B 例2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）下列命题中正确的个数是（   ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，；则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】由不等式的性质和特殊值逐项判断即可. 【详解】对于①，取，满足，显然不成立，错误； 对于②，取，满足，显然不成立，错误； 对于③，由可得，所以正确， 对于④，若，；则，错误， 故选：A 变式1．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】先举例说明ABD不成立，再根据不等式性质说明C成立. 【详解】当时，满足，但不成立，所以A错； 当时，满足，但不成立，所以B错； 当时，满足，但不成立，所以D错； 因为所以，又，因此同向不等式相加得，即C对； 故选：C 【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题. 变式2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可求解. 【详解】由，可得，又由，可得， 所以，即的取值范围为. 故选：D. 题型二：基本不等式的运用 例1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】用配凑法，根据基本不等式求和的最小值. 【详解】，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：A. 例2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则最小值为2 B．的最小值为6 C．若，则的最小值为4 D．的最大值为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】应用基本不等式求最值，注意取值条件判断A、B、D，由对勾函数的性质确定的最值判断C. 【详解】A，由，则，此时，当且仅当时取等号，为真命题； B，由，则， 当且仅当，即时取等号，为真命题； C：由，则，故在上单调递增， 所以，为假命题； D：由，则， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为，为真命题. 故选：C 变式1．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】直接利用基本不等式可得答案. 【详解】因为， 所以， 当且仅当即时取等号. 故的最小值为3. 故选：D 变式2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2． 故选：C 变式3．（多选）（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对ABC进行逐一分析即可判断，利用二次函数性质判断D. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 解得，当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取得等号，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取得等号，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 所以当时，取得最小值为，故D正确； 故选：ACD 题型三：“1”的代换 例1．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用均值不等式“1”的代换，求得最小值. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为. 故选：C. 例2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是非负实数且，则的最小值为（   ） A．9 B．11 C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先化简已知分式等式，转化的定量关系，再利用基本不等式性质 “积定，为定值”，求 “和的最小值”即可. 【详解】因为，所以， 即：，  所以：， 化简得：， 因，故， 所以：， 当且仅当时，基本不等式的等号成立， 又因为 所以即， 所以当时，的最小值为. 故选：D 变式1．（25-26高一上·江苏南京·期中）若正数满足，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正数满足，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 变式2．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】条件等式求最值 【分析】对进行变形，结合基本不等式逐项进行分析. 【详解】选项A：由得，， 又，，所以， 所以， 因为，所以，所以.故选项A正确. 选项B：由得，， 则， 又，所以，当且仅当即时，等号成立.故选项B错误. 选项C：， 又，所以，当且仅当即时，等号成立. 故选项C正确. 选项D：由得，， 所以， 由选项C知，当时，取得最小值， 故的最小值为.故选项D正确. 故选：ACD 题型四：从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 例1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由题意得，且是方程的两根，由韦达定理得，代入 中，因式分解即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且是方程的两根， 由韦达定理得，即. 所以不等式可化为即， ，则， 所以不等式的解集为. 故选：A 例2．（25-26高一上·江苏南通·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、解含参数的一元一次不等式 【分析】由已知可得且，将化为求解即可. 【详解】由于关于的不等式的解集是， 所以则有且， 所以等价于， 解得，即不等式的解集为． 故选：D. 变式1．（25-26高一上·江苏·期中）若一元二次不等式的解集为或，则的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据韦达定理得出的关系，即可化简不等式，进而求解. 【详解】由题意可知，，和是方程的两根， 则，，则，， 则可化为，即，得或， 则的解集为或. 故选：A 变式2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二次函数的图象分析与判断、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 变式3．（25-26高一上·江苏南京·期中）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分式不等式 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】由可得，即， 解得或， 故不等式的解集为. 故选：B. 变式4．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值； （2）根据一元二次不等式的解法，通过对的范围的讨论确定解集. 【详解】（1）不等式的解集为或， 方程的两根为和，且， ，解得：，. （2）由（1）知：； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型五：含参恒成立问题 例1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】将问题转化为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 例2．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设m为实数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据判别式即可求解. 【详解】若不等式恒成立，则，解得， 故选：A 变式1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次不等式的解集为． (1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最小值为1，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由不等式的解集可得方程的根，由根与系数的关系，可得与的关系，再根据一元不等式恒成立讨论得实数a的取值范围；； （2）确定二次函数的对称轴，讨论与，根据二次函数的性质确定最小值的位置，从而得实数a的值． 【详解】（1）若不等式的解集是， 则的根为，， 则，解得，，且； 则不等式转化为，且， 当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，要使得不等式对任意实数x恒成立， 则，解得， 综上，实数a的取值范围为； （2）由（1）可得函数，开口向下，其对称轴为， 当时，即时，根据二次函数的对称性可知在区间上， 时，取到最小值，解得，符合题意； 当时，即时，根据二次函数的对称性可知在区间上， 时，取到最小值，解得，不符合题意； 综上，. 题型六：不等式的实际应用 例1．（25-26高一上·江苏连云港·期中）如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点．已知米，米，设的长为米．    (1)要使矩形的面积大于16平方米，则的长应在什么范围内？ (2)求当，的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值； 【答案】(1) (2)米，米，最小面积为平方米. 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）先表达出矩形的面积表达式，再由面积大于16平方米求解即可. （2）由（1）得到的矩形的面积表达式，化简根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为的长为米，且四边形为矩形，所以，所以，因为， 所以，所以，解得或，所以的长应在. （2）由（1）可知，，当且仅当时，即时取等号， 所以此时米，米时，矩形花坛的面积最小，面积为平方米. 例2．（25-26高一上·江苏徐州·期中）某工厂生产件产品的总成本（单位：元）与生产件数之间满足二次函数. (1)若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围； (2)试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意列出不等式直接计算，结合实际意义即可得解； （2）表示出平均成本，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）若要求生产总成本不超过30000元，则， 即，解得， 又，所以满足生产总成本要求的产品件数的取值范围为. （2）由题意知，生产件数为时，每件的平均成本为， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即该工厂生产件产品时，每件产品的平均成本最小. 变式1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【难度】0.65 【知识点】分段函数模型的应用、基本不等式求和的最小值、基本不等式的实际应用、分段函数的值域或最值 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【详解】（1）当时，； 当时，， 故； （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 变式2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. (1)求的周长； (2)试用表示，并求的取值范围； (3)当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 【答案】(1)4； (2)，； (3)当时，的面积取得最大值. 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值、函数、图形的性质 【分析】（1）通过证明,即可得到,,从而求出的周长. （2）在利用勾股定理并结合（1）即可建立和的关系，根据题意即实际意义可求出的范围. （3）将的面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）依题意，， 则≌，于是, 因此， 所以的周长为定值4. （2）由折叠知，则，即, 由（1）知，即，则， 在中，由勾股定理得， 即，化简得， 而,，则且，即， 所以，. （3）在中,，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的面积取得最大值，为. 当堂即时训练 1、 单选题 1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用不等式的基本性质即可判断． 【详解】因为，所以，又， 所以，所以：. 故选：C 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质或取特殊值判断各选项即可. 【详解】解：对于A选项，取，满足且，但不成立，故错误； 对于B选项，因为，，所以由不等式的性质得，故正确； 对于C选项，当时，，不满足，故错误； 对于D选项，取，则，不满足，故错误. 故选：B 3．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知实数，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】令，表示出，然后由不等式性质得出结论． 【详解】解：令则， 则， 又，， 所以，，所以， 所以的最大值为16. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的性质以及整体代入法，掌握不等式的性质是解题关键,基础题． 4．（25-26高一上·江苏苏州·期中）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】对于A，取，可得，由此判断A，对于B，先求的范围，利用不等式的可加性求的范围，判断B，对于C，由不等式性质可得，利用不等式的性质证明，判断C，对于D，先证明，由此证明，判断D. 【详解】对于A，取，由，可得，A错误， 对于B，因为，故，又， 所以，B正确， 对于C，因为，所以， 所以，又， 所以，C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，D正确， 故选：A. 2、 多选题 5．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）已知均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举例说明判断A；利用不等式的性质推理判断BCD. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：BC 6．（多选）（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式性质可判断AC；利用赋值法判断BD. 【详解】因为，所以，所以，所以，即，故A正确； 取，可得，故B错误； 因为，所以，又，所以，故C正确； 取，可得，满足，但，故D错误. 故选：AC. 7．（多选）（25-26高一上·江苏连云港·期中）若非零实数满足，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】通过代特殊值，或是根据做差法，判断选项. 【详解】A.当时，不等式不成立，故A正确； B.当时，不成立，故B正确； C.因为是非零实数，且满足，所以一定成立，故C错误； D.，因为，所以，但可能是正数，负数，或零，所以不一定成立，故D正确. 故选：ABD 8．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）若实数，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】A. 取特殊值判断；B.利用指数函数的单调性判断；C.当时，，故错误； D.利用不等式的基本性质判断. 【详解】A. 当时，，故错误； B. 因为，且单调递增，所以，故正确； C.当时，，故错误； D.因为，，所以，故正确； 故选：BD 9．（多选）（25-26高一上·江苏·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】由不等式的基本性质分别判断各个选项即可得到答案. 【详解】∵，∴，∴，∴，A选项正确； ∵，∴，B选项错误； ∵，∴，即，C选项正确； ∵，∴，即，D选项正确. 故选：ACD. 10．（多选）（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】由题意，结合不等式的性质依次判断选项即可. 【详解】A：由，得，故A正确； B：由，得，故B正确； C：由，若，则不成立，故C错误； D：由得，由，得，故D正确. 故选：ABD 11．（多选）（25-26高一上·江苏宿迁·期中）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质判断ABC；利用基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，由，得，正确； 对于B，由可得，即可得，错误； 对于C，由可得，正确； 对于D，由得，则， 当且仅当时取等号，由于等号取不到，故，正确. 故选：ACD 12．（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，且，则下列选项正确的是（   ） A．的最小值为9 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为2 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式的性质，以及基本不等式的运用方法，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】对于A，可知，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以A错误； 对于B，可知，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确； 对于C，可知， 由，得，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 可知，所以C正确； 对于D，可知，则， 当且仅当时，即时取等号，因为，所以等号不成立，所以D错误； 故选：BC. 13．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，下列推理正确的是（   ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】利用图（1）和图（2）面积相等直接列式可判断A；根据三角形相似比求（3）中正方形边长，然后可得AE，利用等面积可得AF，由直角三角形斜边上的中线性质可得AD，然后根据题意推导可判断BCD． 【详解】A选项：由图（1）和图（2）面积相等可得，所以，A正确； B选项：因为AF⊥BC，所以，得， 设图（3）中正方形边长为t，因为小三角形（青）与相似， 所以，解得，所以， 因为，所以，整理得，B错误； C选项：因为为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，C错误； D选项：因为，所以，整理得，D正确． 故选：AD 14．（多选）（25-26高一上·江苏无锡·期中）下列函数中，最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于A选项，取特值，令，即可判断选项正误；对于B选项，利用“1”的代换结合均值不等式判断选项正误；对于C选项，直接使用均值不等式即可判断选项正误；对于D选项，由，得：，根据，求解的取值范围，进而求出的最小值即可判断选项正误. 【详解】对于A选项，当时，，得函数最小值不为，故A选项错误； 对于B选项，， 当且仅当，又，即当时等号成立， 因此可得函数的最小值为，故B选项正确； 对于C选项，由于，则， 当且仅当，即时等号成立. 因此可得函数的最小值为，故C选项正确； 对于D选项，已知函数的定义域为且满足， 则， 又，则，进而得到. 又，则，即当时取得最小值，函数的最小值为， 故D选项正确. 15．（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及不等式性质，逐项求解判断. 【详解】对于A，由，，得， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，，得，当且仅当时取等号， 则， ，因此，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，由，，得， 则， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 16．（多选）（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，，则下列结论中正确的结论是（　　） A．0 B．的最大值为2 C．的最大值为 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求积的最大值 【分析】根据不等式的性质判断A的真假；根据二次函数的值域判断B的真假，根据基本不等式可判断CD的真假. 【详解】对A：因为，所以，又，所以，故A正确； 对B：因为， 因为，所以，所以，故B错误； 对C：因为，当且仅当，即，时取等号.故C正确； 对D：因为，当且仅当即时取等号.故D正确. 故选：ACD 17．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知a，，，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为16 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】A选项由所给等式直接运用基本不等式再解不等式即可判断；B选项利用“1的妙用”求出最小值即可判断；C选项可以通过放缩来判断；D选项利用的完全平方进行配凑，再配方求解最小值即可判断. 【详解】A选项，，解得，当且仅当时等号成立，故A选项正确； B选项，， 当且仅当时等号成立，故B选项错误； C选项，，当且仅当时等号成立， 则，故C选项错误； D选项，， 故当时，的最小值为16，D选项正确； 故选：AD. 18．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知，，且，则（    ） A．xy的最大值为1 B．的最大值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】对A，利用基本不等式求解；对B，由题可得，利用二次函数单调性求解判断；对C，举反例说明；对D，将原式变形，利用基本不等式求解. 【详解】对于A，由，，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，，得， 则，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即，时，取等号，故D正确. 故选：AD. 19．（多选）（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知，，且，则（   ） A． B． C．最小值为 D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式及柯西不等式直接可得. 【详解】A：由，，且，所以， 当且仅当时等号成立，所以，错误； B：由，当且仅当等号成立，正确； C：令，则， ， 当且仅当，即时等号成立，正确； D：， 因，，所以， 由A可知，所以，当时等号成立， 所以成立，正确. 故选：BCD. 20．（多选）（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、判断零点所在的区间、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，的解集为， ∴，则， ∴，，则A正确，D错误； 原不等式可化为的解集为， 而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，    ∴由图知：，，故B错误，C正确. 故选：AC. 21．（多选）（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知关于x的不等式的解集为或，则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是或 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；结合根与系数关系可得的关系式，由此化简B，C，D选项中的不等式或进而求解，即可判断其正误，即得答案. 【详解】由关于的不等式解集为或， 得到和2是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知， ， 选项B：不等式化简为，解得， 即不等式的解集是，故B不正确； 选项C：由于，故，故C正确； 选项D：不等式化简为：， 解得或，故D正确； 故选：ACD. 22．（多选）（25-26高一上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B．4 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意，可得为一元二次方程的两个根，且，进而由韦达定理可得，即可判断A；再代入BCD求解判断即可. 【详解】由题意，为一元二次方程的两个根，且， 故，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，则，即，解得，故C正确； 对于D，由，则， 即，解得或，故D错误. 故选：ABC. 23．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】一元二次不等式的解的端点即为对应的一元二次方程的解，再根据开口确定的正负. 【详解】因为的解集为， 所以，解得，所以A错误； 对于B：将代入可得，解得，B正确； 对于C：不等式的解集为， 所以时，C错误； 对于D：将代入可得，即， 解得，D正确， 故选：BD 24．（多选）（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知实数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用不等式的性质判断AB选项，利用基本不等式判断CD选项. 【详解】对于A，当时，有，A选项正确； 对于B，当时，有，B选项错误； 对于C，若，则， 当且仅当时等号成立，C选项正确； 对于D，， ， 则， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 25．（多选）（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知，，.则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值是2 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式，结合配方法逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以有，当且仅当时取等号，因此本选项说法正确； B：因为，，， 所以， 因此，所以本选项说法不正确； C：因为，，， 所以，当时， 代数式有最小值，此时，因此本选项说法不正确； D：由， ， 因为，， 所以，当且仅当， 所以，当时取等号，因此本选项说法正确， 故选：AD 3、 填空题 26．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，，则的取值范围_______________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式性质直接计算可得结果. 【详解】由可得，， 则可得. 故答案为： 27．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的最大值是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，则， 故，当且仅当，即时取到等号，故最大值为， 故答案为： 28．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知正实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由已知变形可得，代入，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】因为，由可得，又，所以， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为， 故答案为： 29．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，满足，求的最小值___________ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】首先设，，得到，，.再利用基本不等式求解即可. 【详解】设，，则，即，. 因为，所以. 所以，. 所以. 因为， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 故答案为： 30．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是_____． 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【解析】根据，先将转化为，再根据的解集为空集，由求解. 【详解】因为， 又因为不等式的解集为空集， 所以， 解得 所以实数a的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及应用，属于中档题. 31．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分式不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先由二次不等式的解集确定的符号，再用韦达定理表示出与的关系，代入目标不等式后，通过变形、等价转化求解分式不等式的解集. 【详解】由不等式的解集为，知，且是方程的根. 由韦达定理得：；. 将、代入不等式，得：, 提取得：因，两边除以：, 移项通分：, 等价于且，即，解得. 故答案为： 32．（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解集为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】先把绝对值平方，再化简不等式求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 不等式的解集为. 故答案为：. 4、 解答题 33．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知a，b均为正实数． (1)比较与的大小并证明； 【答案】(1) 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）利用作差法，对与相减，化简进而得解； （2）先用表示出，，代入，从而得解. 【详解】（1）解：因为， 又a，b均为正实数， 所以， 所以， 即； 34．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【答案】(1)6； (2). 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）将给定等式变形为，再利用基本不等式求出最小值. （2）将给定等式变形为，再利用基本不等式求最大值． 【详解】（1）由，，得， 即，整理得，解得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当时，取得最小值6. （2）由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，由，得时取等号， 所以当时，取得最大值. 35．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数. (1)若，且，则的最小值； (2)若，解关于的不等式.（解集用参数表示） 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据给定条件可得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. （2）把代入不等式，再分类求解含参的一元二次不等式. 【详解】（1） ， 所以 当且仅当即，时取等号； 所以的最小值为； （2）当时，. ①当即时，解集为； ②当即或时， （i）当时解集为；（ii）当时解集为； ③当，即或时，解集为或. 综上所述：或时，解集为或； 当时，；当时解集为； 时，解集为. 36．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）2025年江苏城市足球联赛期间，沭阳某官方授权商家销售赛事定制纪念T恤.根据销售量不同，原材料采购成本与总利润的计算方式有所差异，总利润（单位：元）与销售量（单位：件，为正整数）的函数关系为： (1)若商家某次销售100件纪念T恤，求此次总利润； (2)当销售量时，求商家销售该纪念T恤总利润最小值，并指出此时的销售量； (3)当总利润不低于1000元时，求销售量至少为多少件. 【答案】(1)300元； (2)总利润最小值为元，销售量为件； (3)件. 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、利用二次函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值、解分段函数不等式 【分析】（1）直接代入总利润函数求值即可. （2）根据基本不等式求解最值即可. （3）结合一次函数的性质以及一元二次不等式的解法解分段不等式即可. 【详解】（1）因为，所以总利润为元. （2）当时，总利润为元. 当且仅当即件，满足， 所以总利润最小值为元，此时的销售量为件； （3）当时， 总利润为，不符合题意； 当时，由题意总利润为，即， 所以，解得或（与矛盾舍去），所以； 综上，当总利润不低于1000元时，销售量至少为件. 37．（25-26高一上·江苏苏州·期中）某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元），（其中，利润销售收入总成本） (1)写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元 【难度】0.65 【知识点】分段函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用、建立拟合函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式. （2）在每个分段上分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润. 【详解】（1）当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台）， 总成本为固定研发成本亿元加上其它成本亿元， 根据利润销售收入总成本，可， 当时，销售收入为亿元，总成本为亿元， 则， 所以. （2）当时，，图象开口向下，对称轴为, 但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元, 当时，根据基本不等式有， 当且仅当，即取等号, 所以亿元，当且仅当，即取等号, 因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元. 38．（25-26高一上·江苏无锡·期中）某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本） (1)写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润； (3)若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围． 【答案】(1) (2)当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元 (3) 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式.（2）在每个分段上分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润.（3）对于不亏本的情况，即利润大于等于，分别在不同分段上求解不等式得出产量的取值范围. 【详解】（1）当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台），总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元. 根据利润=销售收入-总成本，可. 当时，销售收入为亿元，总成本为亿元. 则. 所以. （2）当时，，图象开口向下，对称轴为. 但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元. 当时，根据基本不等式，有. 所以亿元，当且仅当，即取等号. 因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元. （3）当时，，即，解得. 结合，知道此时满足题意. 当时，，即， 即，令，对称轴， 当时，单调递减，且时,. 则当，恒成立，即恒成立. 综上所得，该企业当年不亏本，则年产量（万台）的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式 ✅ 本讲学习目标 1 📚 本讲知识梳理 1 知识点 1：不等式的基本性质 1 知识点 2：基本不等式 2 知识点 3：从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3 📚典型例题 3 题型一：不等式的基本性质 3 题型二：基本不等式的运用 5 题型三：“1”的代换 8 题型四：从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 10 题型五：含参恒成立问题 14 题型六：不等式的实际应用 16 当堂即时训练 19 ✅ 本讲学习目标 · 掌握不等式的基本性质，熟练进行不等式的变形、比较大小，能准确区分可推导、不可逆、易错性质，规避符号变换陷阱。 · 熟练掌握一元二次不等式的解法，能结合二次函数图像、判别式精准求解含参、常规一元二次不等式，掌握解集书写规范。 · 理解基本不等式的推导过程与适用条件，严格牢记一正、二定、三相等核心原则。 · 熟练运用配凑法、1 的代换法求解最值问题，能判断等号能否成立，规避连续用不等式的逻辑错误。 · 掌握不等式恒成立、存在性问题的基础解题思路，能结合参数分类讨论解决简单含参题型。 · 能够建立不等式数学模型，解决简单实际应用最值问题。 📚 本讲知识梳理 知识点 1：不等式的基本性质 一：比较大小的方法 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 二：重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 三：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 四：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点 2：基本不等式 一：　基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 二：　用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数； (①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 知识点 3：从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 a＋bx＋c >0，a＋bx＋c <0，a＋bx＋c≥0，a＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 二　一元二次函数的零点 二次函数y＝a＋bx＋c，我们把使a＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝a＋bx＋c的零点． 考点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝a＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程a＋bx＋c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根， (<) 有两个相等的实数根＝＝－ 没有实数根 a＋bx＋c＞0(a>0)的解集 {x|x<，或x>} R a＋bx＋c <0(a>0)的解集 {x|<x<} ∅ ∅ 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 📚典型例题 题型一：不等式的基本性质 例1．（25-26高一上·江苏南京·期中）在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若，则． 性质2：若，则． 性质3：若，则． 性质4：若，则；若，则． 性质5：若，则． 性质6：若，则． 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明： 因为，，所以． 因为，，所以． 所以．在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A．性质1和性质2 B．性质2和性质4 C．性质3和性质4 D．性质4和性质5 例2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）下列命题中正确的个数是（   ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，；则. A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型二：基本不等式的运用 例1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D．1 例2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则最小值为2 B．的最小值为6 C．若，则的最小值为4 D．的最大值为 变式1．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．3 变式2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D． 变式3．（多选）（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 题型三：“1”的代换 例1．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是非负实数且，则的最小值为（   ） A．9 B．11 C． D． 变式1．（25-26高一上·江苏南京·期中）若正数满足，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 变式2．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 题型四：从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 例1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏南通·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·江苏·期中）若一元二次不等式的解集为或，则的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 变式2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏南京·期中）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 题型五：含参恒成立问题 例1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设m为实数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次不等式的解集为． (1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最小值为1，求实数a的值． 题型六：不等式的实际应用 例1．（25-26高一上·江苏连云港·期中）如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点．已知米，米，设的长为米．    (1)要使矩形的面积大于16平方米，则的长应在什么范围内？ (2)求当，的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值； 例2．（25-26高一上·江苏徐州·期中）某工厂生产件产品的总成本（单位：元）与生产件数之间满足二次函数. (1)若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围； (2)试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 变式1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 变式2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. (1)求的周长； (2)试用表示，并求的取值范围； (3)当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 当堂即时训练 1、 单选题 1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知实数，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 4．（25-26高一上·江苏苏州·期中）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 2、 多选题 5．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）已知均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（多选）（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 7．（多选）（25-26高一上·江苏连云港·期中）若非零实数满足，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）若实数，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（多选）（25-26高一上·江苏·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B． C．2 D． 11．（多选）（25-26高一上·江苏宿迁·期中）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，且，则下列选项正确的是（   ） A．的最小值为9 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为2 13．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，下列推理正确的是（   ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 14．（多选）（25-26高一上·江苏无锡·期中）下列函数中，最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 15．（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 16．（多选）（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，，则下列结论中正确的结论是（　　） A．0 B．的最大值为2 C．的最大值为 D． 17．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知a，，，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为16 18．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知，，且，则（    ） A．xy的最大值为1 B．的最大值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 19．（多选）（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知，，且，则（   ） A． B． C．最小值为 D． 20．（多选）（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（多选）（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知关于x的不等式的解集为或，则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是或 22．（多选）（25-26高一上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B．4 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 23．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 24．（多选）（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知实数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．（多选）（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知，，.则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值是2 C．的最小值为1 D．的最小值为 3、 填空题 26．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，，则的取值范围_______________. 27．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的最大值是______. 28．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知正实数，满足，则的最大值为________． 29．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，满足，求的最小值___________ 30．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是_____． 31．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________． 32．（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解集为______. 4、 解答题 33．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知a，b均为正实数． (1)比较与的大小并证明； 34．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 35．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数. (1)若，且，则的最小值； (2)若，解关于的不等式.（解集用参数表示） 36．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）2025年江苏城市足球联赛期间，沭阳某官方授权商家销售赛事定制纪念T恤.根据销售量不同，原材料采购成本与总利润的计算方式有所差异，总利润（单位：元）与销售量（单位：件，为正整数）的函数关系为： (1)若商家某次销售100件纪念T恤，求此次总利润； (2)当销售量时，求商家销售该纪念T恤总利润最小值，并指出此时的销售量； (3)当总利润不低于1000元时，求销售量至少为多少件. 37．（25-26高一上·江苏苏州·期中）某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元），（其中，利润销售收入总成本） (1)写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润. 38．（25-26高一上·江苏无锡·期中）某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本） (1)写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润； (3)若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $