3.3.2 第1课时 三个二次关系、一元二次不等式的解法(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

3.3 从函数观点看一元二次方程和一元 二次不等式 1 第1课时 三个二次关系、一元二次不等式的解法 3.3.2 从函数观点看一元二次不等式 2 探究点一 解一元二次不等式 探究点二 解含参数的一元二次不等式 探究点三 三个“二次”的关系 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.结合具体实例，能够借助二次函数的图象求解一元二次不等式， 并能用集合表示解集，能够从函数观点认识不等式. 2.能够借助二次函数的图象解释二次函数与相应方程、不等式之 间的关系，感悟函数的重要性及数学知识之间的关联性. 4 知识点一 一元二次不等式的定义 只含有______未知数,并且未知数最高次数是___的整式不等式叫作一 元二次不等式. 一个 2 课 前 预 习 5 知识点二 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系 判别式 方程 的根 有两个相异的实 数根， 有两个相等的实数 根 没有实数 根 二次函数 的图象 课 前 预 习 6 判别式 的解集 _______________ __________ ________________ ____________ ___ 的解集 ________ ___ ___ 续表 课 前 预 习 探究点一 解一元二次不等式 例1 解下列不等式： （1） ； 解：因为，所以方程 有两个不等实根， . 又二次函数 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 . 课 中 探 究 8 例1 解下列不等式： （2） ； 解：原不等式可化为 ， 因为， 所以方程 有两个不相等的实数根，， 又二次函数 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 . 课 中 探 究 9 例1 解下列不等式： （3） ; 解：由，得方程 无实根， 又函数 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 . 课 中 探 究 10 例1 解下列不等式： （4） . 解：原不等式可化为， ， 所以方程无实根， 又二次函数 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 . 课 中 探 究 11 变式（1）[2026·江苏苏州高一期中]不等式 的解 集为( ) A. B. C.或 D.或 [解析] 由，得 ， 易知方程的两根分别为,9， 又二次函数 的图象开口向上， 所以不等式 的解集为 .故选A. √ 课 中 探 究 12 （2）解不等式： . 解：原不等式等价于不等式组 不等式①可化为 ，解得或 . 不等式②可化为，解得 . 故原不等式的解集为或 . 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 解一元二次不等式的方法 （1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几 个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方 向得到不等式的解集. （2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何 值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得. （3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解 集的通法，即判别式法. 课 中 探 究 14 探究点二 解含参数的一元二次不等式 例2 解关于的不等式 . 解：（1）当时，原不等式即为，解得 . （2）当时，原不等式化为，解得 或 . （3）当时，原不等式化为 . 若，即，不等式无解； 若，即 ，解不等式得； 若，即，解不等式得 . 课 中 探 究 15 综上可知，当时，不等式的解集为； 当 时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 . 课 中 探 究 变式 解关于的不等式 . 解：关于的不等式 可化为， 当，即时， 或； 当，即时，或 ； 当，即时， . 所以当时，原不等式的解集为或； 当 时，原不等式的解集为或； 当 时，原不等式的解集为 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 含参一元二次不等式的解法： 课 中 探 究 18 探究点三 三个“二次”的关系 例3（1）[2026·山东淄博实验中学高一期中]不等式 的解集为，则不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 19 [解析] 因为不等式的解集为 ， 所以所以所以 ，即 ， 又，所以 ，解得， 所以所求的解集为 .故选B. 课 中 探 究 20 （2）（多选题）[2026·河北保定高一期末] 已知函数 ，则下列结论中正确的是( ) A.不等式的解集可以是 B.不等式的解集可以是 C.该函数在 上可以有两个零点 D.“方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“ ” √ √ √ 课 中 探 究 21 [解析] 对于A，若不等式的解集是，则 且 ，则，由，解得 ，与题意不符，错误； 对于B，令，，则， 的解集为 ， 正确； 对于C，令， ，则， 令，则或， 正确； 对于D，方程有一个正根和一个负根等价于 等价于，正确.故选 . 课 中 探 究 22 变式（1）若关于的不等式 的解集为 ，求 的值. 解：因为关于的不等式的解集为 ， 所以和2是方程 的两个根， 所以解得所以 . 课 中 探 究 23 （2）设关于的方程有两个实数根, . ①若,均大于0，试求 的取值范围； 解：若,均大于0，则满足 解得 故，即的取值范围为 . 课 中 探 究 24 （2）设关于的方程有两个实数根, . ②若，求实数 的值. 解：由①知因为 ， 所以，即 ， 所以，即，解得或 . 由①知，即或，所以，即实数的值是 . 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题 转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究. （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函 数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题. 课 中 探 究 26 课后习题 27 1.不等式 的解集为( ) A.或 B. C.或 D. [解析] 解可得或 ， 所以不等式的解集为或 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 2.设集合，集合 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] ， ， ，故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 3.若，则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 不等式可化为 ， 因为，所以， 故的解集是 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 4.若不等式的解集为，则 等 于( ) A. B.8 C. D.1 [解析] 由题知，和是方程 的两根. . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 5.下列不等式的解集为 的是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 [解析] 对于A，可化为 ,二次函数 的图象开口向上，故A中不等式的解集不为 ； 对于B，二次函数 的图象开口向上， ，故B中不等式的解集不为 ； 对于C，二次函数的图象开口向上， ，故C中不等式的解集为； 对于D，不等式 可化为，二次函数 的图象开口向上，故D中不等式的解集不为 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.若集合 ，则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. [解析] 当时，不等式等价于，此时不等式无解； 当 时，要使原不等式无解，应满足 解得 . 综上，的取值范围是 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 7.不等式 的解集为_ ____________. [解析] 由不等式，得 ， 解得，故所求解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 8.当时，不等式 的解集为_______________. [解析] 函数 的图象开口向下， 函数的两个零点为和， 又 ，所以原不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 9.（13分）[2026·江苏淮安高一期末] （1）已知集合, ，请用列举法表示集合 ，并写出集合 的所有真子集； 解：由,得，解得 ， 又，所以 ，则集合的真子集为 ,, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 9.（13分）[2026·江苏淮安高一期末] （2）求关于的不等式组 的解集. 解：由,得 ， 则，解得或 . 由,得，解得 . 所以不等式组的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 10.（13分）已知一元二次不等式 . （1）若该不等式的解集为 ，求不等式 的解集； 解：由题意得，2，3是方程的两根，则 所以所以不等式可化为 ， 解得 ，所以不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 10.（13分）已知一元二次不等式 . （2）当时，求不等式 的解集. 解：当时，原不等式可化为 ， 即 . 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式 的解集为 ； 当时，不等式 的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 综上，当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.[2026·安徽六安高一期中]不等式 的解集为 ，则函数 的图象大致为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 由题意得，且，为 的两个根，可得 故所以 的图象开口向下， 对称轴方程为，与轴交点的纵坐标为 ， 由，解得或 ， 观察所给的图象可知只有B符合.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 12.对于实数，规定表示不大于的最大整数，如 ， ，那么不等式 成立的一个充分且 不必要条件是( ) A. B. C. D. [解析] 由，得 ，解得 ，因此或或， 又因为 表示不大于的最大整数，所以. 根据选项，只有是 的一个充分且不必要条件.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 13.（多选题）[2026·江西南昌高一期中] 已知二次函数 ,,为常数,且 的部分图象如图所示,则 ( ) A. B. C. D.不等式的解集为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 由题图可知,该二次函数的图象开口向上,故 ,该二次函数的图象与轴的交点为, , 故 ,则, . 对于A， ,故A正确. 对于B， ,故B错误; 对于C， ,故C正确; 对于D，不等式可化为, 即 ,即,其解集为,故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 14.[2026·江苏苏州锦溪中学高一月考] 若关于 的不等式 的解集中恰有2个整数，则实数 的取值范围是 _________________. [解析] 由，可得. 若 ，则不等式为，解集为空集； 若 ，则不等式的解集为 ，此时要使不等式解集中 恰有2个整数，则； 若，则不等式的解集为 ，此时要使不等式解集中 恰有2个整数，则. 综上， 的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 15.[2026·江苏南通高一期末]已知关于 的不等式 ，下列结论正确的是( ) A.当时，不等式的解集为 B.当时，不等式 的解集为 的形式 C.当时，不等式的解集为 D.若不等式的解集为 ，那么 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 [解析] 由 ，得， 当 时， ， 从而不等式的解集为 ，故A正确. 在同一平面直角坐标系中作出函数 的图象及直线 和 ，如图所示， 由图可知，当 时，不等式 的解集为 的形式，故B错误. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 由图可知，当 时，不等式 的解集为 ，C正确； 若不等式 的解集恰好为 ，则，即 ， 因此当，时函数值都是， 当 时函数值是，得，解得或 . 当时，由，解得 或. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当时，不满足，舍去； 当 时，满足，所以 ， 此时. 当 时，由， 解得或 ，不满足，舍去,故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）已知函数, . （1）求集合 ； 解：， 由 ，得. 由,解得 或 . 当时，恒成立，故 ； 当时，，故或 ； 当时，，故或 . 综上所述，当时， ；当时，或 ；当时，或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 16.（15分）已知函数, . （2）设,，若中恰好有2个元素，求实数 的 取值范围. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 解：当时，，则 ，不符合要求； 当时，或，则 , ，由中恰好有2个元素，得，则 ，解 得 . 当时，或，则 , ，由中恰好有2个元素，得,，则 ， 解得 . 综上所述，实数的取值范围是或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $