3.2 单调性及最大（小）值讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第07讲 单调性及最大（小）值 一、必备知识整合 知识点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有 ，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有 ，那么就说在区间上是减函数． 2．单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 3．单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 4．证明函数单调性的步骤 （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 5．函数单调性的判断方法 （1） ． （2） ． （3） ． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为 ；若是减函数，则为 ； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为 ； ③若且为增函数，则函数为 ，为 ；若且为减函数，则函数为 ，为 ． 6．复合函数单调性的判断： . 7．利用函数单调性求参数的范围 （1）在上恒成立在上的 ． （2）在上恒成立在上的 ． 知识点二、基本初等函数的单调性 1. 一次函数 2. 二次函数 3. 反比例函数 知识点三、函数的最大（小）值 前提 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M (1)∀x∈D,都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 二、考点分类精讲 ►考点01 单调性的概念 【例1】若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】设函数的定义域为，已知为上的减函数，，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知函数y＝f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>－1,则下列说法正确的是(　　) A.y＝f(x)＋x是增函数 B.y＝f(x)＋x是减函数 C.y＝f(x)是增函数 D.y＝f(x)是减函数 【变式3】下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是(　　) A.f(x)＝|x| B.f(x)＝ C.f(x)＝－x2＋2x D.f(x)＝ex ►考点02 单调性的证明 【例2】判断并证明在的单调性. 【变式1】已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的值域. 【变式2】设函数． (1)判断函数在区间和上的单调性，并证明； (2)若，求函数在上的最大值； (3)若，且，使得成立，求实数t的取值范围． 【变式3】已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断在区间上的单调性并用定义证明. ►考点03 求函数的单调区间 【例3】的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】以下函数在其定义域上为增函数的是( ) A． B． C． D． 【变式2】函数的增区间是 A． B． C． D． 【变式3】函数的单调递增区间为( ) A． B． C． D． ►考点04 利用函数单调性求参数的取值范围 【例4】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知在上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若是定义在上的减函数，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【变式3】已知函数． (Ⅰ)若函数在区间上具有单调性，求实数k的取值范围； (Ⅱ)若对任意的恒成立，求实数k的取值范围． ►考点05 利用函数单调性的性质解不等式 【例5】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（    ） A． （0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2） 【变式1】函数满足：对任意的总有．则不等式的解集为________． 【变式2】已知函数 (1)判断并证明函数在的单调性； (2)若函数的定义域为且满足，求的范围. 【变式3】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ►考点06 利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 【例6】已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，，（其中e=2.71828…），则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式1】定义在R上的函数f(x)关于y轴对称，并满足：对任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有<0,则(　　) A.f(－2)<f(3)<f(4) B.f(－2)>f(3)>f(4) C.f(3)<f(4)<f(－2) D.f(4)<f(－2)<f(3) 【变式2】函数在是增函数，若，则有  （    ） A． B． C． D． 【变式3】(多选)函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2(x1≠x2),满足x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1),下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)是减函数 B.f(－5)<f(0)<f(1) C.f(0)＝0 D.不等式f(2x－1)<f(3－x)的解集为 ►考点07 利用单调性求函数的最值 【例7】函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数 在区间上的值域为，则（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A.当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B.函数y＝的值域为R C.函数y＝2x－的值域为 D.函数y＝的值域为[，＋∞) 【变式3】设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． ►考点08 抽象函数单调性问题 【例8】已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．(1)求的值；(2)若，求的取值范围． 【变式1】柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程,满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数　　　　　　.  【变式2】已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，； (1)求证：；(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论； (3)解不等式 【变式3】已知定义在(0,＋∞)上的函数f(x),满足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m,n>0),且当x>1时,f(x)>0. (1)求证：f＝f(m)－f(n)；(5分) (2)若f(2)＝1,解不等式f(x＋2)－f(2x)>2.(9分) 三、课后作业 1．函数在区间上的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列函数中，在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.如果函数在上是增函数，那么实数的取值范围( ) A． B． C． D． 5.已知函数在上单调递减，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 6.函数f (x)＝1－( ) A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 7.函数的单调减区间是( ) A． B． C． D． 8．（多选）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．定义域、值域分别是， B．单调减区间是 C．定义域、值域分别是， D．单调减区间是 9.（多选）已知函数f(x)的定义域为R,对任意a,b∈R,都有f(a)f(b)＝f(a＋b),f(0)≠0且当x>0时,0<f(x)<1,则(　　) A.∀x∈R,都有f(x)＝－ B.当x<0时,f(x)>1 C.f(x)是减函数 D.若f(3)＝则不等式f(2t2－5t)>的解集为 10.函数f(x)＝的单调递增区间为　　　　　　.  11.函数的单调递减区间为________ 12.已知函数在上的最大值为，则m的取值范围是( ) A． B． C． D． 13．已知． (1)用分段函数的形式表示；(2)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域． 14．已知函数． (1)试判断函数在区间上的单调性，并证明； (2)求函数在区间上的值域. 15.已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义法证明； (2)已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 单调性及最大（小）值 一、必备知识整合 知识点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 2．单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 3．单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 4．证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 5．函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 6．复合函数单调性的判断：同增异减 7．利用函数单调性求参数的范围 （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 知识点二、基本初等函数的单调性 1. 一次函数 2. 二次函数 3. 反比例函数 知识点三、函数的最大（小）值 前提 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M (1)∀x∈D,都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 二、考点分类精讲 ►考点01 单调性的概念 【例1】若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确.若，则，故选项C不正确.故选：C. 【变式1】设函数的定义域为，已知为上的减函数，，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【变式2】已知函数y＝f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>－1,则下列说法正确的是(　　) A.y＝f(x)＋x是增函数 B.y＝f(x)＋x是减函数 C.y＝f(x)是增函数 D.y＝f(x)是减函数 【答案】A 【解析】不妨令x1<x2,∴x1－x2<0, ∵>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2, 令g(x)＝f(x)＋x,∴g(x1)<g(x2), 又x1<x2,∴g(x)＝f(x)＋x是增函数. 【变式3】下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是(　　) A.f(x)＝|x| B.f(x)＝ C.f(x)＝－x2＋2x D.f(x)＝ex 【答案】　B 【解析】对任意x1,x2∈(0,＋∞), 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2), 则函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减, f(x)＝|x|在(0,＋∞)上单调递增,故A错误； f(x)＝在(0,＋∞)上单调递减,故B正确； f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(0,＋∞)上不单调,故C错误； f(x)＝ex在(0,＋∞)上单调递增,故D错误. ►考点02 单调性的证明 【例2】判断并证明在的单调性. 【解析】根据函数单调性的定义：任取，所以 因为，所以，所以所以原函数单调递增。 【变式1】已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的值域. 【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2) 【解析】(1)在区间上单调递增， 证明如下：任取且， ， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. (2)由(1)知：在区间上单调递增， 所以，， 所以函数的值域是. 【变式2】设函数． (1)判断函数在区间和上的单调性，并证明； (2)若，求函数在上的最大值； (3)若，且，使得成立，求实数t的取值范围． 【解析】(1)函数在区间单调递减，在上单调递增，证明如下： 设，， 当时，，，当时，， ，故在区间单调递减，在上单调递增. (2)若，由（1）知，函数在区间单调递减，在上单调递增，又，故函数在上的最大值为. (3)，使得成立，即，由（2）知，故，解得或. 【变式3】已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断在区间上的单调性并用定义证明. 【答案】(1)1；(2)在区间上单调递减，证明见解析. 【解析】(1)由，得，所以. (2)由(1)知，其定义域为， 在区间上单调递减. 证明如下： 任取，且， . 因为，，且， 所以，，， 则，所以， 故在区间上单调递减. ►考点03 求函数的单调区间 【例3】的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【变式1】以下函数在其定义域上为增函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，，由于反比例函数为减函数，故为减函数，A选项错误； 对于B选项，的对称轴为，开口向上，故为增函数，B选项正确； 对于C选项，由于上是减函数，故由复合函数的单调性得为定义域上的减函数，C选项错误； 对于D选项，为减函数，故D选项错误. 故选：B. 【变式2】函数的增区间是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由二次函数的图象可知 在上是增函数故选：C 【变式3】函数的单调递增区间为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 所以递增区间是. 故选:C. ►考点04 利用函数单调性求参数的取值范围 【例4】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．【答案】B 【变式1】已知在上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．【答案】D 【变式2】若是定义在上的减函数，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的减函数， 所以，即，解得， 故选：A 【变式3】已知函数． (Ⅰ)若函数在区间上具有单调性，求实数k的取值范围； (Ⅱ)若对任意的恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)由函数知， 函数图象的对称轴为. 因为函数在区间上具有单调性， 所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为. (2) 因为对任意的恒成立， 所以可得对任意的恒成立， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以只需，解得， 所以实数的取值范围为. ►考点05 利用函数单调性的性质解不等式 【例5】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（    ） A． （0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2） 【答案】A 【变式1】函数满足：对任意的总有．则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】因为对任意的总有 所以函数是上的单调增函数， 从而由得，解得． 故答案为： 【变式2】已知函数 (1)判断并证明函数在的单调性； (2)若函数的定义域为且满足，求的范围. 【答案】(1)证明见解析，时，函数为减函数；(2). 【解析】(1)，在上是减函数，证明如下： 设，则， ，，，， ，在上为减函数； (2)由(1)可知：当时，函数为减函数， 由得，，解得，范围为． 【变式3】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】，不妨设，故，即， 令，则，故在上单调递减，， 不等式两边同除以得：，因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上：故选：B ►考点06 利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 【例6】已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，，（其中e=2.71828…），则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为当时，恒成立，所以函数在上是减函数，又函数的图象关于直线对称，所以， 而，所以，所以，故选：B. 【变式1】定义在R上的函数f(x)关于y轴对称，并满足：对任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有<0,则(　　) A.f(－2)<f(3)<f(4) B.f(－2)>f(3)>f(4) C.f(3)<f(4)<f(－2) D.f(4)<f(－2)<f(3) 【答案】A 【解析】因为对任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有<0, 所以f(x)在(－∞,0]上单调递减, 又f(x)关于y轴对称, 所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增, 则f(2)<f(3)<f(4), 又f(－2)＝f(2), 所以f(－2)<f(3)<f(4). 【变式2】函数在是增函数，若，则有  （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，又函数在上是增函数，故故选：C. 【变式3】(多选)函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2(x1≠x2),满足x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1),下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)是减函数 B.f(－5)<f(0)<f(1) C.f(0)＝0 D.不等式f(2x－1)<f(3－x)的解集为 【答案】BD 【解析】由x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1), 得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0, 因此f(x)是增函数,A错误； 由－5<0<1,得f(－5)<f(0)<f(1),B正确； 不一定有f(0)＝0,如f(x)＝2x在R上为增函数,f(0)＝1,C错误； 由f(2x－1)<f(3－x),得2x－1<3－x,解得x<D正确. ►考点07 利用单调性求函数的最值 【例7】函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B 【变式1】若函数 在区间上的值域为，则（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】函数在其定义域上为增函数，故或，同理或，，，故.故选：A. 【变式2】(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A.当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B.函数y＝的值域为R C.函数y＝2x－的值域为 D.函数y＝的值域为[，＋∞) 【答案】　ACD 【解析】对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6). 对于B，(分离常数法)y＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). 对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为. 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝在[1，＋∞)上为增函数，∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞). 【变式3】设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，由，得，不符合题意； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，此时函数， 要使，恒成立，只需，解得，所以； 当时，函数在区间上单调递减，此时函数， 要使，恒成立，只需，解得，不符合题意； 综上：实数的取值范围是. 故选：B ►考点08 抽象函数单调性问题 【例8】已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．(1)求的值；(2)若，求的取值范围． 【解析】（1）因为，令，得，即； （2）由题意知，，∴由，可得，又在R上单调递增，∴，即，∴的取值范围是． 【变式1】柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程,满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数　　　　　　.  【答案】f(x)＝－x(答案不唯一) 【解析】设f(x)＝－x,在R上单调递减. f(x＋y)＝－x－y,f(x)＝－x,f(y)＝－y,满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y). 所以函数f(x)＝－x是在R上单调递减的加性函数. 【变式2】已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，； (1)求证：；(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论； (3)解不等式 【解析】（1）令，得，解得，再令，则所以 （2）在上为增函数，证明如下：设，则，因为时，所以由（1）知所以所以在上为增函数. （3）因为，所以，得，又因为，所以， 所以由上可知，是定义在上为增函数所以，原不等式，解得，即原不等式的解集为. 【变式3】已知定义在(0,＋∞)上的函数f(x),满足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m,n>0),且当x>1时,f(x)>0. (1)求证：f＝f(m)－f(n)；(5分) (2)若f(2)＝1,解不等式f(x＋2)－f(2x)>2.(9分) (1)证明　f(m)＝f＝f ＋f(n), 即f＝f(m)－f(n). (2)解　任取x1,x2∈(0,＋∞),且x1<x2,则>1. 由(1)得f(x2)－f(x1)＝f>0, 即f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,＋∞)上单调递增, ∵f(2)＝1,∴2＝f(2)＋f(2)＝f(4), f(x＋2)－f(2x)>2⇔f(x＋2)>f(2x)＋f(4)⇔f(x＋2)>f(8x), 又f(x)在(0,＋∞)上单调递增, ∴解得0<x< 故不等式f(x＋2)－f(2x)>2的解集为. 三、课后作业 1．函数在区间上的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 2．下列函数中，在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为函数是上的减函数，所以，解得. 4.如果函数在上是增函数，那么实数的取值范围( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数为二次函数，对称轴为，故函数在单调递减，单调递增，因此：.故选：B 5.已知函数在上单调递减，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递减， 所以 ， 解得， 所以a的取值范围是， 故选：A 6.函数f (x)＝1－( ) A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 【答案】B 【解析】f (x)图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示． 故选：B 7.函数的单调减区间是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 直接通过解析式，结合二次函数图象得：递增，在递减，故选：A. 8．（多选）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．定义域、值域分别是， B．单调减区间是 C．定义域、值域分别是， D．单调减区间是 【答案】BC 9.（多选）已知函数f(x)的定义域为R,对任意a,b∈R,都有f(a)f(b)＝f(a＋b),f(0)≠0且当x>0时,0<f(x)<1,则(　　) A.∀x∈R,都有f(x)＝－ B.当x<0时,f(x)>1 C.f(x)是减函数 D.若f(3)＝则不等式f(2t2－5t)>的解集为 【答案】BCD 【解析】令a＝0,b＝1,则f(0)f(1)＝f(1),易知0<f(1)<1,所以f(0)＝1. 当x<0时,－x>0,所以0<f(－x)<1,又f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1, 所以f(x)＝即f(x)>1,A错误,B正确； 设x1<x2,且x1,x2∈R,则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)f(x2)－f(x2)＝f(x2)[f(x1－x2)－1],又x1<x2,所以x1－x2<0,所以f(x1－x2)>1, 又当x<0时,f(x)>1,当x>0时,0<f(x)<1,f(0)＝1, 所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x)是减函数,C正确；因为f(3)＝ 所以f(12)＝f(6)f(6)＝[f(3)]4＝所以f(2t2－5t)> 即f(2t2－5t)>f(12),又f(x)是减函数, 所以2t2－5t<12,解得－<t<4, 所以不等式f(2t2－5t)>f(12)的解集为D正确. 10.函数f(x)＝的单调递增区间为　　　　　　.  【答案】 【解析】f(x)＝＝2－ 由2x＋3≠0,得x≠－ 当x∈时,y＝单调递减, f(x)单调递增； 当x∈时,y＝单调递减, f(x)单调递增, 所以f(x)的单调递增区间为. 11.函数的单调递减区间为________ 【答案】(或) 【解析】对于函数，有，解得或. 所以，函数的定义域为. 内层函数在区间上为减函数，在区间上为增函数， 外层函数在上为增函数， 因此，函数的单调递减区间为(或). 故答案为：(或). 12.已知函数在上的最大值为，则m的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的图象如下图： 对称轴为， 令，得. 因为， 所以数形结合可得或. 故选：D 13．已知． (1)用分段函数的形式表示；(2)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域． 【解析】（1）当时，当时，， 当时，，所以． （2）的图象如图：由图易得，的单调递增区间为，单调递减区间为，的值域为． 14．已知函数． (1)试判断函数在区间上的单调性，并证明； (2)求函数在区间上的值域. 【解析】（1）函数在上的为增函数，理由如下： 任取，且，有 ∵，∴ ∴即∴函数在区间上单调递增 （2） 由（1）可知函数在区间上单调递增，∴，又∵时，，∴∴∴函数的值域为. 15.已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义法证明； (2)已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析；(2)2. 【解析】(1)函数在上单调递增. 证明如下： 令， . 因为，所以，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. (2)由(1)知函数在上单调递增， 所以函数在上的最大值为， 即，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $