3.2.2奇偶性讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

3.2.2 奇偶性 讲义 教学目标 课标要点 · 理解奇函数、偶函数的定义，掌握函数具有奇偶性的前提条件：定义域关于原点对称； · 掌握判断函数奇偶性的基本步骤：求定义域、验证对称性、计算，对比； · 掌握奇偶函数图像特征：偶函数图像关于轴对称，奇函数图像关于原点对称； · 会利用奇偶性求函数值、求解析式； · 奇偶性与单调性综合问题； · 已知函数奇偶性求参数； · 理解既奇又偶、非奇非偶函数。 重难点 重点：奇偶性判断；奇偶函数图像性质；利用奇偶性求函数值与解析式；已知奇偶性求参数。 难点：定义域优先；奇偶性与单调性综合；分段函数奇偶性判断；利用奇偶性补全解析式。 知识点 知识点1 偶函数、奇函数定义 设函数的定义域为，如果，都有，即定义域关于原点对称，才可以讨论奇偶性。 · 偶函数：若，，则为偶函数；图像关于轴对称。 · 奇函数：若，，则为奇函数；图像关于原点中心对称。 > 重要推论： > 1. 奇函数若在处有定义，则必有； > 2. 既奇又偶函数：，定义域关于原点对称；除此之外没有其他既奇又非零函数； > 3. 定义域不关于原点对称函数非奇非偶。 知识点2 判断函数奇偶性的步骤 1. 第一步：求函数定义域，检验定义域是否关于原点对称；不对称直接判定非奇非偶。 1. 第二步：计算。 1. 第三步：比较与的关系。 1. 第四步：下结论：奇函数 / 偶函数 / 既奇又偶 / 非奇非偶。 知识点3 奇偶函数运算性质（两函数定义域都关于原点对称） · 奇奇奇；偶偶偶； · 奇奇偶；偶偶偶；奇偶奇。 知识点4 奇偶性与单调性综合 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同； 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 知识点5 利用奇偶性求解析式 已知函数在的解析式，求的解析式：设，则，代入已知表达式，再利用奇偶性转化得到；注意单独处理。 随学随练 1. 函数是______函数（填奇、偶）。 1. 若奇函数在处有定义，则 ______。 1. 已知是偶函数，，则 ______。 1. 是奇函数，时，则 ______。 典型题型 题型1：奇偶性概念辨析 解题贴士：定义域必须关于原点对称是前提；只有部分点满足不能判定偶函数。 例1（24‑25高一·广州月考）下列说法正确的是（ ） A. 如果，则是偶函数 B. 函数是偶函数 C. 奇函数定义域关于原点对称 D. 偶函数图像关于原点对称 解析：A：需要任意的，不能只用两个特殊值；B定义域不关于原点对称；D偶函数图像关于轴对称；C正确。答案C。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·石家庄期中）下列函数具有奇偶性的是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. （24‑25高一·南京阶段检测）判断：函数，是既奇又偶函数，说明理由。 1. （25‑26高一·武汉月考）若一个函数是奇函数，则下面说法正确的是（ ） A. 一定成立 B. 定义域关于原点对称 C. 一定是单调函数 D. 图像关于轴对称 题型2：判断简单函数奇偶性 解题贴士：定义域优先；严格按照四步走；化简表达式之后再比较。 例2（24‑25高一·济南期中）判断函数的奇偶性。 解析：定义域，关于原点对称。 是奇函数。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·长沙月考）判断奇偶性。 1. （24‑25高一·福州期中）判断的奇偶性。 1. （25‑26高一·成都阶段检测）判断奇偶性。 题型3：分段函数的奇偶性判断 解题贴士：分段函数判断奇偶性，先检验定义域对称；分，分别计算，对比或者。 例3（24‑25高一·武汉联考）判断分段函数的奇偶性。 解析：定义域，关于原点对称。 ①当，则， 。 ②当，则， 。 综上，对定义域内任意都有，函数为奇函数。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·天津月考）判断 奇偶性。 1. （24‑25高一·沈阳期中）判断 奇偶性。 1. （25‑26高一·哈尔滨阶段）判断 奇偶性。 题型4：利用奇偶性求函数值 解题贴士：充分利用，把负自变量转化成正自变量求值。 例4（24‑25高一·太原期中）已知是定义在上的奇函数，，求；若求。 解析：奇函数， ； 。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·贵阳月考）已知是偶函数，，求。 1. （24‑25高一·西安联考）已知是上奇函数，，若，求。 1. （25‑26高一·重庆阶段）已知奇函数，时，求。 题型5：利用奇偶性求函数解析式 解题贴士：求解析式，令，则，代入已知区间解析式，利用奇偶性转换；注意单独处理。 例5（24‑25高一·郑州期中）已知是定义在上奇函数，当时，，求时的解析式。 解析：设，则，代入已知： 为奇函数，， 。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·南宁月考）是偶函数，时，求时解析式 。 1. （24‑25高一·呼和浩特期中）是奇函数，定义域；时，求解析式 。 1. （25‑26高一·福州阶段）已知为奇函数，定义域；时，求的解析式 。 题型6：已知奇偶性求参数取值 解题贴士：①定义域关于原点对称求参数；②利用恒等式比较系数；③奇函数有定义时快速求参，求出参数后最好回代检验。 例6（24‑25高一·济南联考）已知函数是偶函数，求实数的值。 解析：偶函数满足对一切成立。 ，故。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·合肥月考）已知是奇函数，求的值 。 1. （24‑25高一·石家庄期中）已知为偶函数，求的值 。 1. （25‑26高一·成都月考）已知是奇函数，求的值 。 题型7：奇偶性与单调性综合（抽象函数不等式） 解题贴士：奇函数对称区间单调性相同；偶函数对称区间单调性相反；偶函数处理不等式常用简化；不要忘记定义域。 例7（24‑25高一·天津联考）已知偶函数在单调递增，且，解不等式。 解析：是偶函数，。 又在递增，，解得。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·长沙期中）奇函数定义在，且在上递减，比较与大小。 1. （24‑25高一·哈尔滨月考）偶函数在递减，解,求x的取值范围 。 1. （25‑26高一·太原阶段）已知奇函数在区间上递增，，求的取值范围 。 课后练习 1. 判断的奇偶性。 1. 判断分段函数 的奇偶性。 1. 已知是上奇函数，，求的值 ；若，求的值 。 1. 是定义在上偶函数；时，求时，解析式 。 1. 已知是奇函数，求参数的值 。 1. 偶函数定义域，且单调递减，，求取值范围 。 1. 已知是奇函数，定义域，当时，求函数完整解析式 。 1. 已知奇函数在单调递减，解不等式。 答案与详细解析 随学随练解析 1. 偶； 1. ； 1. ； 1. ；解析：。 题型1解析 对点练 1. B；只有B定义域关于原点对称。 1. 是既奇又偶函数；定义域关于原点对称，同时成立。 1. B；解析：奇函数只有在有定义时才有，A错；奇函数不一定单调，C错；奇函数图像关于原点对称，D错。 题型2解析 对点练 1. 定义域，，偶函数。 1. 定义域，，既不等于也不等于，非奇非偶函数。 1. 定义域，关于原点对称； ，奇函数。 题型3解析 对点练 1. 定义域；，；；，非奇非偶。 1. 定义域；，；同理；偶函数。 1. 定义域；，；同理；奇函数。 题型4解析 对点练 1. 偶函数。 1. ；奇函数；。 1. 。 题型5解析 对点练 1. 设，，；偶函数；。 1. ，；奇函数，。 1. ，；。 题型6解析 对点练 1. 分式，定义域关于原点对称；分子为一次奇函数，分母偶函数；分式为奇函数，任意实数；。 1. 偶函数，一次项系数为，。 1. 奇函数，定义域，。 题型7解析 对点练 1. 奇函数在上，递减，则也递减；整体递减；，。 1. 偶函数，；递减， 1. 奇函数，；函数在递增： 课后练习解析 1. 定义域；，偶函数。 1. 定义域；当，；同理；奇函数。 1. ，奇函数；。 1. ，，；偶函数，。 1. 奇函数，二次项系数必须为，。 1. 偶函数；递减，定义域约束： · 综合： 或 。 1. ，； ，，；奇函数； ； 1. 奇函数，递减，则；且在上单调递减。 ，，得。 本章复习小结 · 讨论奇偶性的大前提：定义域关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶。 · 奇函数：；若在定义域内，则；偶函数：，图像关于轴对称。 · 判断奇偶性流程：定义域计算比较关系下结论；分段函数奇偶性要分区间代入计算。 · 奇偶性运算：奇奇奇，偶偶偶；奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇。 · 单调性与奇偶性：奇函数对称区间单调性相同；偶函数对称区间单调性相反；偶函数不等式常用简化运算。 · 已知奇偶性求参数：①利用定义域对称；②恒等式比较系数；③奇函数快速求解，求出参数务必回代检验。 · 已知一半区间解析式求另一半：设所求区间，转换到已知区间，代入表达式，利用奇偶性做符号变换。 学科网（北京）股份有限公司 $