精品解析：湖南长沙雅礼雨花中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷

2025年九年级上学科素养竞赛数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意． 故选：D． 2. 原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示可得出答案． 【详解】根据科学记数法的知识可得:1700000=． 故选B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示，主要是要对小数点的位置要清楚． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 【详解】解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 4. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（　　） A. （0，4） B. （1，1） C. （1，2） D. （2，1） 【答案】C 【解析】 【分析】选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P． 【详解】解：选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P，由图知，旋转中心P的坐标为（1，2） 故选：C． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化﹣旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 5. 把抛物线y＝3+1先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. y＝3﹣2 B. y＝3+3 C. y＝3﹣2 D. y＝3+3 【答案】D 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律得出即可． 【详解】解：y＝3+1先向上平移2个单位，得到y＝3+3，再向右平移3个单位y＝3+3． 故得到抛物线的解析式为y＝3+3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的平移法确定解析式，熟练掌握平移规律是解题的关键． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得， ， 故选：B． 7. 某车间20名工人日加工零件数如表所示： 日加工零件数 4 5 6 7 8 人数 2 6 5 4 3 这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（ ） A. 5、6 B. 5、5 C. 6、5 D. 6、6 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得． 【详解】解：因为5出现的次数最多， 所以众数是5， 将这组数据按从小到大进行排序后，第10个数和第11个数的平均数即为中位数， 所以中位数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键． 8. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意B的横坐标为10， 将代入得：， ， 即水面与桥拱顶的高度等于， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 9. 已知二次函数，当≤≤时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在- 1≤x≤2的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该抛物线的对称轴为，且， ∴当时，二次函数有最大值为1+c；当时，二次函数有最小值为-3+c． ∴函数的最大值与最小值的差为1+c-（-3+c）=4． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键． 10. 如图所示是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，且经过点，下列说法：①；②；③是关于的方程的一个根；④．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号即可判断；②根据抛物线与x轴的交点即可判断；③根据二次函数的对称性即可判断；④由对称轴求出b=-a即可判断． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴c＞0， ∵对称轴是直线x=， ∴， ∴b=-a＞0， ∴abc＜0． 故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0， 故②正确； ③∵对称轴为直线x=，且经过点（2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0）， ∴x=-1是关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根， 故③正确； ④∵由①中知b=-a， ∴a+b=0， 故④正确； 综上所述，正确的结论是②③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 使函数有意义的自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12. 分解因式：a2-4a+4=___ 【答案】（a-2）2． 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式． 【详解】解：a2-4a+4=（a-2）2． 故答案为：（a-2）2． 13. 已知点与点关于原点对称，则的值等于 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出a，b的值，代入求和即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：1． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两根为___． 【答案】， 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标，即可求得关于的方程的两根． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解为，， 故答案为：，． 15. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 16. 如图，直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则面积是______ 【答案】3 【解析】 【详解】解：已知底AD=3，过点D作DG垂直于BC于G， 过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F， DG, EF就是高，且AD=SG=3， 再由△EDF≌△CDG，得到EF=CG=2， 则△ADE的面积就能求出． 考点：三角形的面积，三角形全等 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别根据有理数的乘方，绝对值的意义，零指数幂和负整数指数幂运算法则分别计算出各项的结果，然后再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理化，正确化简是解答的关键．先根据分式的混合运算法则化简分式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，并使点落在边上，连接，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质并利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵, ∴根据勾股定理得：， 由旋转的性质可知， ， ， 【点睛】本题主要考查勾股定理及旋转的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键. 20. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出关于原点O对称的中心对称图形； （2）画出绕点A时逆针旋转得到的． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图，△AB2C2即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图－旋转变换，中心对称变换，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 证明：∵在中，， ， ， ， ， ∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，掌握的方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）将代入方程，求出，化简原方程可得，再根据因式分解法解二元一次方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得到，再根据平方的非负性，即可证明结论． 【小问1详解】 解：将代入方程，得：，解得：． 当时，方程为， ， ，， ∴方程的另一个根是． 【小问2详解】 略 22. 如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，根据矩形的四个角都是直角得到，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明； （2）根据菱形的邻角互补，对角线平分对角可得，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出，根据勾股定理求出，根据菱形的对角线互相平分求出，，根据菱形面积等于对角线积的一半即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等．掌握相关知识是解题的关键． 23. 丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+160 （2）销售单价应定为50元 （3）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元 【解析】 【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160； （2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元； （3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【小问1详解】 解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b， 把（35，90），（40，80）代入得：， 解得， ∴y＝﹣2x+160； 【小问2详解】 根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200， 解得x1＝50，x2＝60， ∵规定销售单价不低于成本且不高于54元， ∴x＝50， 答：销售单价应定为50元； 【小问3详解】 设每天获利w元， w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55， 而x≤54， ∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元）， 答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． 24. 对于二次函数，定义它在（p，q是常数）上的最大值与最小值之差为该函数在上的“幅度”R，即． （1）已知二次函数，求它在上的“幅度” （2）已知二次函数（m为常数）． ①求该函数在上的“幅度”R与m的关系式． ②是否存在实数m，使得该函数在上的“幅度”？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式，求出对称轴，顶点坐标，再根据开口方向得到增减性，根据增减性可确定时函数的最大值与最小值，再根据“幅度”的定义求解即可； （2）①把解析式化为顶点式，求出对称轴，顶点坐标，再根据开口方向得到增减性，再讨论对称轴的位置，根据增减性确定时函数的最大值与最小值，再根据“幅度”的定义求解即可；②根据（2）①所求令，求出m的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大； 在中，当时，，当时，， ∵， ∴当时，函数的最大值为6，最小值为2， ∴二次函数在上的“幅度”为； 【小问2详解】 解：①∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大； 当时， 当时，当时，函数有最小值，最小值为，当时，函数有最大值，最大值为， ∴； 当时，当时，函数有最小值，最小值为，当时，函数有最大值，最大值为， ∴； 当时，当时，函数有最小值，最小值为，当时，函数有最大值，最大值为， ∴； 当时，当时，函数有最小值，最小值为，当时，函数有最大值，最大值为， ∴； 综上所述，； ②当时，解得，不符合题意； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得，不符合题意； 综上所述，或． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， （3）存在，点的坐标为：或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得到答案； （2）作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示，数形结合，利用待定系数法确定直线解析式，联立求解即可得到答案； （3）由题意表示出点，点，再由菱形的性质分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、求函数图象的交点方法、勾股定理、菱形性质、二次函数与特殊平行四边形综合等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级上学科素养竞赛数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（　　） A. （0，4） B. （1，1） C. （1，2） D. （2，1） 5. 把抛物线y＝3+1先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. y＝3﹣2 B. y＝3+3 C. y＝3﹣2 D. y＝3+3 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 7. 某车间20名工人日加工零件数如表所示： 日加工零件数 4 5 6 7 8 人数 2 6 5 4 3 这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（ ） A. 5、6 B. 5、5 C. 6、5 D. 6、6 8. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当≤≤时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图所示是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，且经过点，下列说法：①；②；③是关于的方程的一个根；④．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 使函数有意义的自变量x的取值范围是______． 12. 分解因式：a2-4a+4=___ 13. 已知点与点关于原点对称，则的值等于 _____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两根为___． 15. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 16. 如图，直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则面积是______ 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，并使点落在边上，连接，求的长． 20. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出关于原点O对称的中心对称图形； （2）画出绕点A时逆针旋转得到的． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 22. 如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 23. 丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 24. 对于二次函数，定义它在（p，q是常数）上的最大值与最小值之差为该函数在上的“幅度”R，即． （1）已知二次函数，求它在上的“幅度” （2）已知二次函数（m为常数）． ①求该函数在上的“幅度”R与m的关系式． ②是否存在实数m，使得该函数在上的“幅度”？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $