精品解析：北京市第九中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026北京九中高二10月月考 数学 2026.10 一、单选题（本大题共10小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在四面体中，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 2. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，计算可求数量积. 【详解】 . 故选：B. 3. 设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 4. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】设直线与平面的夹角为，则， 由，解得. 5. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形；，，且，则错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】A．利用空间向量的线性运算求解判断；B．利用空间向量的数量积运算求解判断；C．利用空间向量的模及向量数量积运算律求解判断；D．连接AC得到即直线与平面ABCD所成的角，利用余弦定理求解判断． 【详解】由题可知，A正确． ，B错误． ，故，C正确． 连接AC如图所示： 则即直线与平面ABCD所成的角， 所以，，D正确． 故选：B. 6. 卢浮宫玻璃金字塔是世界著名建筑，其结构单元中采用了正四面体衍生的索桁架体系，通过交叉拉索与刚性杆件形成稳定单元，体现了正四面体在复杂结构中的力学优势．一个正四面体两侧面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过取中点作中线找到二面角的平面角然后在三角形中利用余弦定理求其余弦值. 【详解】如图所示所示正四面体，取的中点，连接，， 设四面体棱长为，则， 因为所有面都为等边三角形所以，，则为两侧面所成角的平面角， 在中由余弦定理有. 故选：C 7. 如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 【点睛】 8. 已知过原点的直线的方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量法求解. 【详解】原点，则，，， 所以点到直线的距离为. 故选：C 9. 如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得间最小距离即为异面直线与间的距离，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 因为点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离即为 异面直线与间的距离， 建立如图所示空间直角坐标系，则， 则，， 设与异面直线与都垂直的向量， 则，解得，取，则， 所以，则异面直线间的距离为. 即间最小距离为. 故选：C 10. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 已知向量，求______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量夹角坐标公式计算即可. 【详解】由题意得，， 所以. 故答案为： 12. 如图，若于A，于B，平面PAB交l于C，则为二面角的平面角，，若二面角的平面角的大小为θ，其两个面α、β的法向量分别为、，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，证得平面，得到，得出为二面角的平面角，结合向量的 夹角公式，即可求解. 【详解】由，且，可得，同理可证， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，可得， 所以为二面角的平面角， 因为，可得， 又因为两个面的法向量分别为、， 则. 故答案为：. 13. 平面与平面夹角为，与的交线上有A，B两点，直线AC，BD分别在平面与内，且都垂直于AB.已知，则CD的长为__________. 【答案】或4 【解析】 【分析】由，利用向量法求解. 【详解】如图所示： 因为平面与平面夹角为，， 若二面角为时， 所以， 所以， ， ， 所以； 当二面角为时，， 所以. 故答案为：或4. 14. 如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，若边上存在点，使得，则线段长度的最大值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，，根据，得，化简整理，根据二次函数得最值即可得出答案. 【详解】解：如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设，， 则，设， 则， 因为，所以， 即， 所以， 当，即时，取得最大值4， 所以的最大值为2， 即线段长度的最大值是2. 15. 如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，若侧面（包含边界）内的动点满足（，），则点的轨迹的长度是________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，证明，得到四点共面，结合题设条件和平面平面，可得点的轨迹为线段，求其长度即可. 【详解】如图，分别取的中点，连接. 易得，则四边形为平行四边形，. 又，可得，则，故， 即四点共面. 又平面平面， 侧面（包含边界）内的动点满足（，）， 由共面向量基本定理可知点既在平面内，又在平面内， 故点的轨迹即线段，其长度为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，共35分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，， （1）用表示； （2）求． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合空间向量基本定理求解即可； （2）根据数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 由题意可知，，， ， 所以． 所以 =. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积； 【答案】（1）证明：由题意知、分别是、的中点，则得， 因为平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值即可； （3）利用向量法求点到平面的距离，再由棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则以点为坐标原点， 以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 在中，，，， 所以，，所以， 所以的面积为， 所以， 即三棱锥的体积是. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得底面，建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可； （2）由面面角向量法计算即可. 【小问1详解】 ∵侧面底面，侧面底面，， 底面， ∵底面，， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由（1）得，． 设平面的法向量为， 则令，则，， 得平面的法向量为． 易得平面的一个法向量为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 19. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 【答案】（1）由折叠的性质，，且两两垂直， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， ， 故，即． （2） （3）存在，为线段的中点 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得出相关线段长度和垂直关系，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，计算得出，从而证明结论； （2）求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解； （3）设在线段上，令，得出，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求出的坐标，得出点的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面中，，设平面法向量为， 则，令，则； 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，则． 【小问3详解】 设在线段上，令， 则向量， 直线与平面所成角为，由线面角公式： ， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京九中高二10月月考 数学 2026.10 一、单选题（本大题共10小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在四面体中，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 3. 设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 4. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形；，，且，则错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 6. 卢浮宫玻璃金字塔是世界著名建筑，其结构单元中采用了正四面体衍生的索桁架体系，通过交叉拉索与刚性杆件形成稳定单元，体现了正四面体在复杂结构中的力学优势．一个正四面体两侧面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知过原点的直线的方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 已知向量，求______． 12. 如图，若于A，于B，平面PAB交l于C，则为二面角的平面角，，若二面角的平面角的大小为θ，其两个面α、β的法向量分别为、，则______． 13. 平面与平面夹角为，与的交线上有A，B两点，直线AC，BD分别在平面与内，且都垂直于AB.已知，则CD的长为__________. 14. 如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，若边上存在点，使得，则线段长度的最大值是___________. 15. 如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，若侧面（包含边界）内的动点满足（，），则点的轨迹的长度是________. 三、解答题（本大题共4小题，共35分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，， （1）用表示； （2）求． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积； 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $