精品解析：北京师范大学第二附属中学2026-2027学年高二直升班上学期10月月考数学试题

2028届高二直升班10月月考—数学 一、单选题（每题5分，共50分） 1. 已知直线l经过两点，，且直线l的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 与椭圆有公共焦点的椭圆是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 5. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，设的轨迹为曲线，下面关于曲线的四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点； ③对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点； ④对任意非零实数，曲线与曲线总有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（每题5分，共25分） 11. 已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是_____． 12. 双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为______，标准方程为_____． 13. 已知椭圆的焦距为，则实数的值为__________. 14. 已知直线与交于两点， （1）时，______； （2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为______． 15. 已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________． 三、解答题（共45分） 16. 已知圆． （1）将圆的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； （2）求直线被圆所截得的弦长； （3）过点作圆的切线，求切线方程. 17. 如图，四棱锥中，平面平面,//,, ,且，. （1）求证：平面； （2）求和平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由. 18. 已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点. （I）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （II）将表示为m的函数，并求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二直升班10月月考—数学 一、单选题（每题5分，共50分） 1. 已知直线l经过两点，，且直线l的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式即可求出的值. 【详解】直线l经过两点，，根据斜率公式，得， 又直线l的倾斜角为，. 故选：A. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的值，即可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】对于双曲线，，，则， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：C. 3. 与椭圆有公共焦点的椭圆是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】椭圆，，，，，焦点在y轴上. 选项A、B和D的焦点在x轴上，不符合题意，排除. 选项C：椭圆，，，，，焦点在y轴上，符合题意，所以选C. 4. 已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的一般方程及性质即可求解. 【详解】由圆，得圆的圆心坐标为， 因为圆被直线分成弧长相等的两部分， 所以直线过圆心，代入得，解得. 故选：C. 5. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题. 【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意； 所以直线斜率存在设为， 则直线方程为， 联立直线得： ， 联立直线得：，， 所以直线与直线，直线的交点为： ， 又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分， 所以， 解得：， 所以直线的方程为：， 故选：B. 6. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，直线过，根据双曲线渐近线的斜率可得到取值范围. 【详解】双曲线的标准形式为，渐近线为， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示， 要使直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则直线必须在两渐近线之间， 此时的取值范围为，故D正确. 7. 已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义和题设等式求出焦半径，再结合椭圆中焦半径的范围，求解不等式即得离心率范围.． 【详解】由椭圆的定义，得， 又，联立解得， 因， 即 ,解得, 则离心率， 又，所以． 8. 已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于为等腰直角三角形，所以，通过双曲线的性质可知，整理可得，最后求得的离心率. 【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即， 解得或（舍），所以． 9. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为直径的圆与圆有公共点，进而根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：因为圆上存在点，使得， 所以，以为直径的圆与圆有公共点， 因为以为直径的圆的方程为，圆心为， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，即， 所以，，即 所以，的最大值为 故选：C 10. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，设的轨迹为曲线，下面关于曲线的四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点； ③对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点； ④对任意非零实数，曲线与曲线总有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得曲线C方程满足：.对于①，通过验证，是否均在曲线上可判断正误；对于②③④，将对应方程与曲线方程联立，通过判断联立方程在题设限制下根的个数可判断正误. 【详解】设，由题可得. 对于①，设在曲线C上，则. 对于，代入方程左边可得， 从而也在曲线C上，即曲线C为中心对称图形，故①正确； 对于②，将与联立，则. 对于方程，其判别式为， 则方程总有两相异实根，又注意到当且仅当，方程有根， 则不为0时，与曲线C总有两不同交点，故②正确； 对于③，将与联立，则， 显然时，方程无实数根， 则当时，与曲线C无交点，故③错误； 对于④，将与联立，则， 显然时，方程无实数根， 则当时，与曲线C无交点，故④错误. 综上，可得①②正确. 故选：B 二、填空题（每题5分，共25分） 11. 已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的垂直关系得直线的斜率为，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为， 因为直线经过点， 所以直线的方程为：，即 故答案为： 12. 双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为______，标准方程为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点坐标设出双曲线的方程，然后结合双曲线经过的点坐标求出，进而可得到双曲线的实轴长和标准方程. 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标是，所以，设该双曲线的方程为. 由于双曲线经过点，所以， 又，两式联立得， 化简得，由于，所以解得. 所以，所以双曲线的实轴长为，标准方程为. 故答案为：①；②. 13. 已知椭圆的焦距为，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接由椭圆的几何性质计算可得. 【详解】因为椭圆的焦距为，得且， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 因此实数的值为或. 14. 已知直线与交于两点， （1）时，______； （2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合圆中半径、半弦长、弦心距的关系即可求解； （2）利用圆的性质及点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系及绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 所以弦长 （2）由，得圆的圆心坐标为,半径为. 由在圆上或其内部存在一点，使得，需使得以为弦的圆心角， 所以圆心到直线的距离为, 即，解得，即或. 且直线与交于两点， 所以，解得 故实数的取值范围为. 故答案为：；. 15. 已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率. 【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为 双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为， 故答案为：；． ［方法二］： 数形结合＋齐次式求离心率 设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为．由题可知，为正六边形相邻的两个顶点，所以（O为坐标原点）． 所以．因此双曲线的离心率． 由与联立解得． 因为是正三角形，所以，因此，可得． 将代入上式，化简、整理得，即，解得，（舍去）． 所以，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为2． 故答案为：；． ［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形 由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为，于是双曲线N的离心率为． 设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为．在中，． 由正弦定理得． 于是． 即椭圆的离心率． 故答案为：；． 【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解； 方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂； 方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率． 三、解答题（共45分） 16. 已知圆． （1）将圆的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； （2）求直线被圆所截得的弦长； （3）过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】（1），圆心坐标为，半径为 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）通过配方法将圆的一般方程转化为标准方程，进而得到圆心坐标和半径； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理即可求出弦长； （3）分切线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率，进而得到切线方程. 【小问1详解】 将进行配方可得，， 所以该圆的标准方程为，其圆心坐标为，半径为． 【小问2详解】 由（1）知，圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 设弦长为，则， 所以直线被圆所截得的弦长为. 【小问3详解】 因为， 所以点在圆外. 当切线斜率不存在时，过点的方程为，此时圆心到直线的距离为，所以不是圆的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 根据圆心到切线的距离等于半径，可得圆心到切线的距离 ， 整理得，即， 解得或. 当时，切线方程为； 当时，切线方程为，即； 所以过点与圆相切的直线方程为；. 17. 如图，四棱锥中，平面平面,//,, ,且，. （1）求证：平面； （2）求和平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 由，. 可得． 由，且， 可得．又． 所以． 又平面平面， 平面平面， 平面， 所以平面． （2） （3）存在，理由如下： 设，． ，，. 则． 设是平面一个法向量，则，， 即 令，则． 若平面平面，则，即，. 所以，在线段上存在一点使得平面平面. 【解析】 【分析】(1)在中，求出，在中，求出， 在中，三边符合勾股定理，所以， 利用面面垂直的性质，得平面； (2)利用第一问的证明得到垂直关系，建立空间直角坐标系，得到平面BDF和平面CDE中各点的坐标，得出向量坐标，先求出平面CDE的法向量，利用夹角公式求BE和平面CDE所成的角的正弦值； (3)假设存在，使得，用表示，求出平面BEF的法向量，由于两个平面垂直，则两个法向量垂直，则， 解出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设是平面的一个法向量，则，， 即 令，则． 设直线与平面所成的角为， 则． 所以和平面所成的角的正弦值． 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点. （I）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （II）将表示为m的函数，并求的最大值. 【答案】（Ⅰ）焦点坐标为，离心率为 （Ⅱ）. |AB|的最大值为2 【解析】 【详解】试题分析：（1）先由椭圆的标准方程求出值，再利用求出值，进而写出焦点坐标和离心率；（2）先讨论两种特殊情况（点在圆上，即斜率不存在的情况），再设出切线的点斜式方程，利用直线与圆相切得到与的关系，再联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系和弦长公式得到关于的关系式，再利用基本不等式进行求解． 试题解析：（1）由已知得：，所以． 所以椭圆G的焦点坐标为，． 离心率为． （2）由题意知：． 当时，切线的方程为，点A，B的坐标分别为，， 此时． 当时，同理可得． 当时，设切线的方程为．由，得 ． 设A，B两点的坐标分别为，，则 ，． 又由与圆相切，得，即． 所以， 由于当时，， 所以，． 因为，且当时，， 所以的最大值为2． 考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．直线与圆的位置关系． 【易错点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系，属于难题；在处理直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系时，往往第一步设直线方程时容易忽视“直线的斜率不存在”这一特殊情况，导致结果错误不得分或步骤不全而失分，如本题（2）中，当斜率不存在时的直线，即切线的方程为的情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $