精品解析：北京市中国农业大学附属中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

农大附中2026-2027学年第一学期月考练习 高二数学 2026.9.28 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 正棱柱的底面是正方形，侧棱垂直于底面 B. 棱台的侧棱所在直线交于一点，侧面都是等腰梯形 C. 底面直径与母线长相等的圆柱，其侧面积等于其表面积的一半 D. 底面半径为1，高为3的圆锥，其侧面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据多面体、旋转体的定义及侧面积、表面积公式逐一判断各选项的正误. 【详解】由正棱柱的定义知：底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱，底面不一定为正方形，选项 A错误； 棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，因此侧棱所在直线必交于一点， 但仅正棱台的侧面为等腰梯形，普通棱台的侧面仅为梯形，不一定为等腰梯形，选项B错误； 设圆柱底面直径为，由题意得母线长，侧面积， 表面积，显然，选项C错误； 圆锥母线长，侧面积，选项D正确. 2. 已知棱长为的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设球的半径为，由题意可知球的直径与该正方体的体对角线长相等， 故，可得， 故球的表面积为. 3. 已知平面，，直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若，由，则， 故“”是“”的充分条件； 若，平面，可能相交也可能平行， 故“”不是“”的必要条件； 综上可得：“”是“”的充分不必要条件. 4. 在正方体中，异面直线，所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为，所以为异面直线与所成角，再求解即可. 【详解】因为，所以为异面直线与所成角， 因为△为正三角形， 所以， 即异面直线，所成角的大小为． 5. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】对于①面面垂直则面面的法向量也垂直可得；对于②由条件可得或，再结合可判断；对于③由线线平行及面面平行的关系可判断；对于④：由和两种情况判断可得. 【详解】对于①：因为，，，所以直线的方向向量是平面的法向量，由两个平面垂直， 所以这两个平面的法向量也垂直，即这两条直线也垂直，故①正确； 对于②：由，，则或，而，则不能判断，所以②不正确； 对于③：若，，，则或，所以结论不一定成立，故③不正确； 对于④：，，若，则；若，则，所以④正确； 故选：D. 6. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥的表面积为， 又，解得， 所以圆锥的高为：， 所以该圆锥的体积为： 7. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，在阳马中，若平面ABCD，且，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为平面ABCD，底面为长方形， 所以,,, 所以平面， 所以, 所以就是二面角的平面角， 三角形是直角三角形，, 所以, , 所以二面角的余弦值为. 8. 如图，在正三棱锥中，，.过的中点作与和都平行的平面，则该平面截三棱锥所得的截面面积为（ ） A. B. 10 C. D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正三棱锥的截面面积，关键是通过平行关系确定截面的形状和边长.由截面与、平行且过中点，可知截面各边均为中点连线，截面是平行四边形.再证明，从而截面为矩形，其边长分别为和，面积即可求得. 【详解】设截面为，过中点，且，. 因为，，故与底面的交线过且平行于，交于. 在中，为中点，，所以为中点，且. 因为，， 故与侧面的交线过且平行于，交于. 在中，为中点，， 所以为中点，且. 同理，与侧面的交线过且平行于，交于， 则为中点，. 与侧面的交线为， 由中位线性质得，，. 故截面四边形为平行四边形，，. 下面证明. 设底面中心为，连接， 则底面.取中点，连接， 因为正三角形，. 又底面， 所以. 因此平面， 从而. 因为，，且， 所以， 所以平行四边形为矩形，面积. 9. 在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，，，则或是异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确； 10. 在棱长为1的正方体中，N为的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点P可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点P的轨迹是正方形 D. 点P轨迹的长度为 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方体的性质，判断出点P的轨迹，再分别判断各选项的正误. 【详解】取的中点，的中点，连，根据正方体的性质可知四边形为矩形.因为为的中点，为的中点，四边形为正方形， 所以直角与直角全等，所以, 因为，所以. 所以. 根据正方体的性质，平面，所以， 因此平面，因为点在正方体的面上运动，且， 所以的轨迹为矩形，故选项A，C错误； 当点与点重合时，线段最长，此时，故选项B错误； 因为的轨迹为矩形，，，所以点P轨迹的长度为，故选项D正确. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，该正三棱柱表面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为正三棱柱底面为正三角形，所以单个底面面积， 单个侧面面积， 故表面积. 12. 如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用等积法求解即可. 【详解】设点C到平面的距离为， 因为， 所以， 因为正方体棱长为， 所以， 所以是等边三角形， 所以， 又因为， 代入体积公式得. 13. 已知三个不同的平面，，和一条直线，给出五个论断：①；②；③；④；⑤．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________．（可以用序号表示） 【答案】①②③（③⑤④；④⑤③） 【解析】 【分析】从5个论断看，三个论断需涉及平面，，和直线四个元素中的三个，才可形成一个可能正确的命题，因此有两组①②③和③④⑤，根据线面间的位置关系可得正确命题． 【详解】从已知5人论断看，任取3个组成一个命题，只有涉及平面，，和直线四个元素中的三个时才可能构成一个正确的命题，因此可组成两组①②③和③④⑤， 由①②③组成命题：①②③， ，只要过作一个平面与相交，交线为，则，由得，从而可得，是真命题， 但把③作为条件，①②中一个作为结论时，与或与的位置关系不确定，不能得出正确命题． 由③④⑤构成命题， ③⑤④；④⑤③，是真命题，③④⑤是假命题． 在已知，时，可能平行也可能相交，③④⑤是假命题． 而③⑤④；④⑤③，就是真命题：一个平面垂直两个平行平面中的一个，必垂直于另一个． 例如，，根据面面垂直的性质定理内必有直线与垂直（与交线垂直的直线），而，则这条直线也与垂直，从而有． 因此③⑤④；④⑤③是真命题． 故答案为：①②③（或③⑤④；④⑤③） 14. 在棱长为2的正方体中，Q为AD的中点，P为正方体内部及其表面上的一动点，且平面，则满足条件的所有点P构成的平面图形是_________（四边形、五边形、六边形），其面积为___________． 【答案】 ①. 四边形 ②. 【解析】 【分析】通过建系，求出各个点的坐标，设出点P坐标，利用平面得到关于点P坐标的线性方程，从而得到点P的轨迹，结合正方体的范围依次求出该平面在正方体内的截面边界点，即可得到形状，利用向量坐标证明该形状是矩形，求出边长，即可算出面积. 【详解】以D为原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 由Q为中点，得 设平面的法向量， ，, ，即， 令，得，， 所以平面的一个法向量， 设点，则， 因为平面， 所以， 即， 即， 故点P的轨迹是平面截正方体所得的截面， 结合正方体的坐标范围：，，， 代入得到该平面在正方体内的截面边界点： 当时，，，得到点和点， 当时，超出正方体范围，取得，， 得到点和点， 连接这四个点，得到的图形是平行四边形属于四边形. 计算该四边形的面积： ，， 所以 所以， 所以四边形是矩形， 边长，， 面积为. 15. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____.  【答案】## 【解析】 【分析】设四棱锥的总体积为，利用同高不同底的棱锥体积比等于对应底边长（底面积）的比，结合已知比例​，分割几何体计算出平面上方（含顶点）部分的体积，即可求得上下两部分的体积之比. 【详解】设四棱锥P-ABCD的体积为V，在PD上取一点N，使，连接MN，AN，BD，BN， 如图.因为，所以且，又，所以， 则，所以A，B，M，N四点共面，即为截面. 又，其中， ，所以， 即截面截四棱锥所得的上半部分的体积为，则下半部分的体积为， 所以平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为. 三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在正方体中，E为的中点． （1）求证：平面AEC； （2）取中点F，求证：平面平面． 【答案】（1）连接，交于点，连接. ∵ 四边形为正方形， ∴ 为的中点. 又∵ 为的中点， ∴ 为的中位线，∴ . ∵ 平面，平面， ∴ 平面. （2）∵ 为的中点，为的中点，在正方体中，且， ∴ 且，即且. 又∵ 且， ∴ 且，四边形为平行四边形， ∴ . ∵ 平面，平面， ∴ 平面. 由(1)可知平面，且平面. ∵ ，均在平面内； ∴ 平面平面. 【解析】 【分析】(1) 依据线面平行的判定定理，通过构造三角形中位线得到平面内与平行的直线，完成证明. (2) 依据面面平行的判定定理，证明平面内两条相交直线分别平行于平面，进而证明两平面平行. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在三棱锥中，，M，N分别为棱，的中点，平面．求证：平面平面． 【答案】因为平面，平面，所以. 因为分别为中点，所以，即， 又，可知，，平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【解析】 【详解】略 18. 如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②． （1）求证：平面． （2）若平面，求直线与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）由图①得，折起后有， 且，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质与折叠前后垂直关系不变的特点，证明同时垂直于平面内的两条相交直线即可证明. （2）利用给定的线面垂直关系确定直线在底面的射影，从而明确所求夹角为，最后在构建的直角三角形中计算各边长度即可求得该角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，而平面，所以， 由于垂直于底面，线段即为斜线在平面上的射影， 因此即为直线与平面所成的夹角， 在正方形中，边长为1，则， 且有，在中，， 则. 19. 三棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，E是BC的中点，F在棱上，且平面． （1）求证：平面； （2）求证：F是的中点； （3）在线段EF上是否存在点P，使得?若存在，指出P的具体位置，并给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为平面平面，平面平面， 平面，已知，所以平面. （2）在平面，过点作交于点， 因为平面，且平面，所以平面， 又已知平面，且，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 在中，已知是的中点，且，所以是的中点， 在三棱柱中，侧面为平行四边形， 因为，所以四边形和四边形均为平行四边形， 从而有且，由于是的中点，因此，即F是的中点. （3）在线段EF上存在点P使得，且的位置就是点，证明如下: 由上知平面，且平面，所以， 已知侧面是正方形，所以且， ，易得， 则， 因为分别是边的中点， 所以， 又因为且分别是平行四边形对边的中点， 所以，所以， ， 由上知两两垂直，所以整理得， 由于，所以，即， 设线段上存在一点满足，则必有， 即，因为，所以， 因为在线段上，可设， 代入上式得，因为，所以，即点只能与点重合. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，由垂直于两平面的交线直接得出线面垂直. （2）过点作辅助线构造平行平面，结合面面平行的性质与三角形中位线定理即可求证. （3）通过计算向量内积证明，从而确定点只能与点重合. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 农大附中2026-2027学年第一学期月考练习 高二数学 2026.9.28 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 正棱柱的底面是正方形，侧棱垂直于底面 B. 棱台的侧棱所在直线交于一点，侧面都是等腰梯形 C. 底面直径与母线长相等的圆柱，其侧面积等于其表面积的一半 D. 底面半径为1，高为3的圆锥，其侧面积为 2. 已知棱长为的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面，，直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在正方体中，异面直线，所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 6. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，在阳马中，若平面ABCD，且，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正三棱锥中，，.过的中点作与和都平行的平面，则该平面截三棱锥所得的截面面积为（ ） A. B. 10 C. D. 20 9. 在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 在棱长为1的正方体中，N为的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点P可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点P的轨迹是正方形 D. 点P轨迹的长度为 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，该正三棱柱表面积为________． 12. 如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 13. 已知三个不同的平面，，和一条直线，给出五个论断：①；②；③；④；⑤．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________．（可以用序号表示） 14. 在棱长为2的正方体中，Q为AD的中点，P为正方体内部及其表面上的一动点，且平面，则满足条件的所有点P构成的平面图形是_________（四边形、五边形、六边形），其面积为___________． 15. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____.  三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在正方体中，E为的中点． （1）求证：平面AEC； （2）取中点F，求证：平面平面． 17. 在三棱锥中，，M，N分别为棱，的中点，平面．求证：平面平面． 18. 如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②． （1）求证：平面． （2）若平面，求直线与平面夹角的余弦值． 19. 三棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，E是BC的中点，F在棱上，且平面． （1）求证：平面； （2）求证：F是的中点； （3）在线段EF上是否存在点P，使得?若存在，指出P的具体位置，并给出证明；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $