4.1 数列的概念讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1 数列的概念 知识点1 数列及其有关概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． 知识点2 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中 n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点3 数列的表示方法 1．列表法 列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表： 序号n 1 2 3 … n … 项an a1 a2 a3 … an … 2．图象法 在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)． 3．通项公式法 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　 注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 4．递推公式法 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 注：常见数列的通项 (1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝ . (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝ . (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝ . (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝ . (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝ . (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝ . (7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝ . (8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝ . 知识点4 数列的前n项和Sn与an的关系 1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即 Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．数列的前项和和通项的关系：则 。 特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段． 知识点5 数列的性质 （1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列； 在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 （2） 数列的周期性. 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． 考点一 数列的有关概念和分类 【例1】现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】下列说法：①数列，，，与，，，是相同数列；②数列，，，可表示为；③数列，，，，…的一个通项公式为；④数列，，，，…是常数列；⑤数列是严格递增数列，其中正确的是______．（填编号） 【变式2】下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A．… B．… C．… D． 【变式3】【多选】下列结论中正确的是（    ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点 C．数列的项数是无限的 D．数列是递增数列 考点二 判断或者写出数列的项 （一）根据规律填写数列中的某项 【例2-1】数列，，，，的第14项是_________． 【变式1】一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（  ） A．1 B．6 、 C．10 D．20 【变式2】如果正整数排列规律如下： （1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15）…… 则第十个括号内从左到右第3个数是（    ） A．39 B．46 C．47 D．48 【变式3】南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l，95，则该数列的第8项为 A．99 B．131 C．139 D．141 （2） 根据通项公式写出项 【例2-2】已知数列满足，则 ． 【变式1】数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列的通项公式为，则它的前五项依次为______． 【变式3】函数的正数零点从小到大构成数列，则( ) A． B． C． D． （3） 根据项写出通项公式 【例2-3】已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式． （1）1，3，7，15，31，…；（2）4，44，444，4 444，…； （3）2，－，，－，，－，…；（4）1，2，1，2，1，2，…. 【变式1】（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______； （2）数列，，，，…的一个通项公式为=______； （3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______． 【变式2】已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是( ) A． B． C． D． 【变式3】(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是( ) A． B． C． D． （四）由递推公式求数列的指定项 【例2-4】正项数列中，，，猜想通项公式为_________． 【变式1】已知数列满足，，则______． 【变式2】已知数列满足，.若数列是常数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】由1，3，5，…，2n-1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1=2，当n≥2时，，则b6的值是( ) A．9 B．17 C．33 D．65 考点三 数列的单调性 【例3】设且，已知数列满足，且是递增数列，则a的取值范围是__________． 【变式1】已知数列的通项公式是，则（    ） A． 不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列 【变式2】数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（    ） A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D． 【变式3】已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 考点四 数列的最值 【例4】已知，求数列的最小值. 【变式1】数列{bn}满足bn=，则当n=　　　　　　时，bn取最大值为　　　　　　.  【变式2】已知数列的通项公式为， (1)依次写出数列的前项；(2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项． 【变式3】已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，当取得最小值时，n=　　　　　　.  考点五 数列的周期性 【例5】在数列中，，，则等于（    ）． A． B． C． D．2 【变式1】在数列中，，对所有的正整数都有，则（    ） A．             B．             C．             D． 【变式2】斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】在数列{an}中，a1=-2，anan+1=an-1，则数列{an}的前2 025项的积为(　　) A.-1 B.-2 C.-3 D. 考点六 利用Sn与an的关系求通项公式 【例6】已知数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】数列满足，则( ) A． B． C． D． 【变式3】已知数列{an}满足=n+1，则a2 025等于(　　) A.2 025 B.2 024 C.4 049 D.4 050 考点七 利用数列的递推关系求通项 【例7】求下列数列的通项： （1）已知数列{an}的项满足an+1=an，且a1=1，求数列{an}的通项公式。 【变式1】已知数列{an}中，a1=1，nan+1=(n+1)an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  【变式2】若数列{an}满足a1=12，a1+2a2+3a3+…+nan=n2an，则a2 025=　　　　　.  【变式3】已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=2nanan+1，则an=　　　　　　.  题组A 基础过关练 1.下列有关数列的说法正确的是( ) ①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列； ②数列{an}与{a2n－1}表达同一数列； ③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一； ④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N*. A．①④ B．②③ C．③ D．①② 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2-1，则a3等于(　　) A.-5 B.5 C.7 D.8 3．数列中，，，，则（    ） A． B．11 C． D．12 4．已知数列的前n项和为，对任意的都有，则的值为（   ） A．2 B．-1 C．1 D．0 5.已知数列－1，，－，…，(－1)n .，…，则它的第5项的值为( ) A． B．－ C． D．－ 6.(多选）已知数列{an}的前n项和公式为Sn=，则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的首项为a1= B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{an}为递减数列 D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn= 7．给出下列命题： ①已知数列，，则是这个数列的第10项，且最大项为第1项； ②数列，…的一个通项公式是； ③已知数列，，且，则； ④已知，则数列为递增数列．其中正确命题的个数为______． 8.若数列的前n项和，则的通项公式是=___________. 9．已知数列的前项和为，若点在函数的图象上，则数列的通项公式___________. 10．已知数列是严格增数列，且对任意正整数n，都有，求实数的取值范围． 题组B 能力提升练 11．已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 12．已知数列满足，，则数列的通项公式为___________. 13．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（    ） A．89 B．55 C．34 D．144 14．在数列中，. (1)求证：数列先递增后递减；(2)求数列中的最大项. 15．若数列的前n项和为，，且数列满足__________． 在①，②这两个条件中任选一个补充在上面的横线上，并解答． (1)求，；(2)求数列的通项公式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念 知识点1 数列及其有关概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． 知识点2 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中 n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点3 数列的表示方法 1．列表法 列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表： 序号n 1 2 3 … n … 项an a1 a2 a3 … an … 2．图象法 在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)． 3．通项公式法 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　 注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 4．递推公式法 如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 注：常见数列的通项 (1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n. (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n. (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1. (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n. (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n. (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝. (7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝. (8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 知识点4 数列的前n项和Sn与an的关系 1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即 Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．数列的前项和和通项的关系：则 特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段． 知识点5 数列的性质 （1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列； 在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 （2） 数列的周期性. 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． 考点一 数列的有关概念和分类 【例1】现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】①不正确；②正确；③不正确；④不正确；对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B 【变式1】下列说法：①数列，，，与，，，是相同数列；②数列，，，可表示为；③数列，，，，…的一个通项公式为；④数列，，，，…是常数列；⑤数列是严格递增数列，其中正确的是______．（填编号） 【解析】①错误；②错误；③错误；对于④，常数列是指各项均为同一常数的数列，④错误；对于⑤，若，则，，数列是严格递增数列，⑤正确.故答案为：⑤. 【变式2】下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A．… B．… C．… D． 【答案】C 【解析】对于选项A：数列是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；故选项A不正确； 对于选项B：数列是无穷数列，但它不是递增数列；故选项B不正确； 对于选项C：数列是无穷数列，也是递增数列；故选项C正确； 对于选项D：数列是递增数列，但不是无穷数列，故选项D不正确；故选：C 【变式3】【多选】下列结论中正确的是（    ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点 C．数列的项数是无限的 D．数列是递增数列 【解析】ABD 考点二 判断或者写出数列的项 （一）根据规律填写数列中的某项 【例2-1】数列，，，，的第14项是_________． 【解析】不妨设数列为，则，，，，由此归纳得到的一个通项公式为，所以；故答案为： 【变式1】一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（  ） A．1 B．6 C．10 D．20 【解析】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：.故选：C 【变式2】如果正整数排列规律如下： （1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15）…… 则第十个括号内从左到右第3个数是（    ） A．39 B．46 C．47 D．48 【解析】由排列的规律可得，第个括号最后一个数为，所以第九个括号最后一个数为45，则第十个括号内从左到右第3个数是48．故选：D. 【变式3】南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l，95，则该数列的第8项为 A．99 B．131 C．139 D．141 【答案】D 【解析】所给数列为高阶等差数列 设该数列的第8项为 根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图： 根据图象可得：，解得 解得： 故选：D． （2） 根据通项公式写出项 【例2-2】已知数列满足，则 ． 【答案】10 【解析】数列满足，可得，，，所以． 【变式1】数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以.故选：C 【变式2】已知数列的通项公式为，则它的前五项依次为______． 【答案】1，1，2，2，3 【解析】因为数列的通项公式为，所以，，故答案为：1，1，2，2，3 【变式3】函数的正数零点从小到大构成数列，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ ∴ 令得：或，， ∴或，， ∴ 正数零点从小到大构成数列为： 故选：B. （3） 根据项写出通项公式 【例2-3】已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式． （1）1，3，7，15，31，…；（2）4，44，444，4 444，…； （3）2，－，，－，，－，…；（4）1，2，1，2，1，2，…. 【解析】（1）.（2）．（3）. (4). 【变式1】（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______； （2）数列，，，，…的一个通项公式为=______； （3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______． 【解析】（1）．（2）．（3）． 【变式2】已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，故A错误. 对于B，，故B错误. 对于C，，故C正确. 对于D，，故D错误.故选：C. 【变式3】(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是( ) A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，若，则，，，符合题意； 对于B，若，则，不符合题意； 对于C，若，当时，，不符合题意； 对于D，若，则，，，符合题意. 故选：AD. （四）由递推公式求数列的指定项 【例2-4】正项数列中，，，猜想通项公式为_________． 【答案】 【解析】方法一:由得，所以为等差数列，且公差为3，首项为1，故，故， 方法二：由得，，由此可猜想 【变式1】已知数列满足，，则______． 【解析】由题设，，所以，又，所以. 【变式2】已知数列满足，.若数列是常数列，则（    ） A． B． C． D． 【解析】∵数列满足，，∴.∵数列是常数列，∴，解得.故选：A. 【变式3】由1，3，5，…，2n-1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1=2，当n≥2时，，则b6的值是( ) A．9 B．17 C．33 D．65 【答案】C 【解析】因{an}的通项公式为，而n≥2时，，又b1=2， 则. 故选：C 考点三 数列的单调性 【例3】设且，已知数列满足，且是递增数列，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为是递增数列，所以解得， 故答案为: . 【变式1】已知数列的通项公式是，则（    ） A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列 【答案】C 【解析】因为，所以是递增数列.故选：C. 【变式2】已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，解得故选：D. 【变式3】数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（    ） A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D． 【答案】D 【解析】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列， 所以对于都成立，所以对于都成立， 即，所以对于都成立，所以对于都成立， 所以，即的取值范围是，故选：D 考点四 数列的最值 【例4】已知，求数列的最小值. 【答案】4 【解析】因为二次函数的对称轴为，故在上，为增函数， 而，故当时，为递增数列，故当时，的最小值为. 【变式1】数列{bn}满足bn=，则当n=　　　　　　时，bn取最大值为　　　　　　.  【答案】4　 【解析】方法一　∵bn+1-bn=-=， ∴当n≤3时，bn+1>bn，{bn}单调递增， 当n≥4时，bn+1<bn，{bn}单调递减， 故当n=4时，(bn)max=b4=. 方法二　令即 解得≤n≤，又n∈N*，∴n=4， 故当n=4时，(bn)max=b4=. 【变式2】已知数列的通项公式为， (1)依次写出数列的前项；(2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项． 【解析】(1)由题意得：，，，，. (2)，当时，且递增；当时，且递增； ；. 【变式3】已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，当取得最小值时，n=　　　　　　.  【答案】　3 【解析】因为Sn=n2+n， 则当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n， 又当n=1时，a1=S1=2，满足an=2n，故an=2n， 则==+， 又y=x+在(1，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 故当n=3时，n+取得最小值，即当n=3时，取得最小值. 考点五 数列的周期性 【例5】在数列中，，，则等于（    ）． A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由，可得：， 故数列为周期性数列，每3项为一循环，而 ，故，故选：C 【变式1】在数列中，，对所有的正整数都有，则（    ） A．             B．             C．             D． 【答案】B 【解析】由得，两式相加得， ，是以6为周期的数列，而，.故选：B. 【变式2】斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意有，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则，，，，，，，，，则数列是以6为周期的周期数列，则，则数列的第100项为3，故选：． 【变式3】在数列{an}中，a1=-2，anan+1=an-1，则数列{an}的前2 025项的积为(　　) A.-1 B.-2 C.-3 D. 【答案】A 【解析】因为anan+1=an-1，an≠0， 所以an+1=1-， 又a1=-2，则a2=，a3=，a4=-2， 所以数列{an}的周期为3，且a1a2a3=-1， 设数列{an}的前n项积为Tn， 则T2 025=a1a2a3…a2 025=(-1)675=-1. 考点六 利用Sn与an的关系求通项公式 【例6】已知数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，当时，，∴当时，，当时，，∴A，B均错误；又当时，，当时，，∴D正确。 【变式1】已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，；当时，，不符合，则.故选：B. 【变式2】数列满足，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，则有； 当时，由，① 可得，② ①②可得，所以，，满足. 故对任意的，. 故选：D. 【变式3】已知数列{an}满足=n+1，则a2 025等于(　　) A.2 025 B.2 024 C.4 049 D.4 050 【答案】C 【解析】由题意可得a1+++…+=n+1，① 当n=1时，a1=2； 当n≥2时，a1+++…+=n，② ①②两式相减得=1，即an=2n-1. 又a1=2不满足an=2n-1， 综上所述，an= 所以a2 025=4 049. 考点七 利用数列的递推关系求通项 【例7】求下列数列的通项： （1）已知数列{an}的项满足an+1=an，且a1=1，求数列{an}的通项公式。 【答案】an= 【解析】由an+1=an，得=，所以=，=，=，…，=，=(n≥2)，所以···…··=×××…××，所以=，因为a1=1，所以an=，又因为a1=1满足上式，所以an=. 【变式1】已知数列{an}中，a1=1，nan+1=(n+1)an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  【答案】　an=n 【解析】∵nan+1=(n+1)an，∴=， ∴an=a1··…·=1××…×=n， 当n=1时，结论也成立. ∴an=n. 【变式2】若数列{an}满足a1=12，a1+2a2+3a3+…+nan=n2an，则a2 025=　　　　　.  【答案】　 【解析】　因为a1+2a2+3a3+…+nan=n2an，① 所以a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=(n+1)2an+1，② ②-①得，(n+1)an+1=(n+1)2an+1-n2an⇒=， 所以an=···…··a1=×××…××12=(n≥2)， 又a1=12也符合，所以an=， 所以a2 025=. 【变式3】已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=2nanan+1，则an=　　　　　　.  【答案】　 【解析】若an+1=0，则an-an+1=0， 即an=an+1=0，这与a1=1矛盾，所以an+1≠0， 由an-an+1=2nanan+1，两边同时除以anan+1， 得-=2n， 则-=2n-1， -=2n-2， … -=22， -=2， 上面的式子相加可得-=2+22+23+…+2n-1==2n-2(n≥2)， 所以an=(n≥2)， 又a1=1符合该式，所以an=. 题组A 基础过关练 1.下列有关数列的说法正确的是( ) ①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列； ②数列{an}与{a2n－1}表达同一数列； ③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一； ④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N*. A．①④ B．②③ C．③ D．①② 【答案】C 【解析】①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列； ②是错误的，数列{an}表达数列a1，a2，a3，a4，…，an，…， 而数列{a2n－1}表达数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列； ③是正确的，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等； ④是错误的，显然当n＝5时，a5＝7，不是数列中的项． 故选：C. 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2-1，则a3等于(　　) A.-5 B.5 C.7 D.8 【答案】B 【解析】因为Sn=n2-1， 所以a3=S3-S2=(32-1)-(22-1)=5. 3．数列中，，，，则（    ） A． B．11 C． D．12 【答案】D 【解析】因为，，，所以，；故选：D 4．已知数列的前n项和为，对任意的都有，则的值为（   ） A．2 B．-1 C．1 D．0 【答案】C 【解析】在中，令可得，，即 所以，令，可得故选：C 5.已知数列－1，，－，…，(－1)n .，…，则它的第5项的值为( ) A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【解析】由题设，数列的通项公式为，∴当n＝5时，该项为.故选：D. 6.(多选）已知数列{an}的前n项和公式为Sn=，则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的首项为a1= B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{an}为递减数列 D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn= 【答案】ABC 【解析】　对于A，数列{an}的首项为a1=S1==，故A正确； 对于B，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=，a1=适合上式，故B正确； 对于C，因为an+1-an=-=-<0，所以数列{an}为递减数列，故C正确； 对于D，Tn=×××…×=，所以数列{Sn}的前n项积Tn=，故D错误. 7．给出下列命题： ①已知数列，，则是这个数列的第10项，且最大项为第1项； ②数列，…的一个通项公式是； ③已知数列，，且，则； ④已知，则数列为递增数列．其中正确命题的个数为______． 【答案】. 8.若数列的前n项和，则的通项公式是=___________. 【答案】 【解析】时，， 而，也适合上式， 所以. 9．已知数列的前项和为，若点在函数的图象上，则数列的通项公式___________. 【答案】 【解析】由题，点在函数的图象上，则，，，当时，符合，所以。 10．已知数列是严格增数列，且对任意正整数n，都有，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】因为是递增数列，所以恒成立，因为，所以恒成立，所以对于任意正整数n恒成立．而在时取得最大值-3，所以． 题组B 能力提升练 11．已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】①，当时，②， 则①－②得，，故．当时，，也符合.故选：D． 12．已知数列满足，，则数列的通项公式为___________. 【答案】 【解析】当时，.当时，，① .②，①②，得.因为不满足上式，所以 13．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（    ） A．89 B．55 C．34 D．144 【答案】C 【解析】设第行实心圆点的个数为，由题图可得，，，，，，，……， 则，故，，，． 故选：C． 14．在数列中，. (1)求证：数列先递增后递减；(2)求数列中的最大项. 【解析】(1)证明：因为，令，即，整理得，解得，即当时，.同理，令，即当时，.令，得， 即当时，.综上，数列从第1项到第8项递增，从第9项起递减，即数列先递增后递减. (2)由（1）知，，，故是数列中的最大项. 15．若数列的前n项和为，，且数列满足__________． 在①，②这两个条件中任选一个补充在上面的横线上，并解答． (1)求，；(2)求数列的通项公式． 【解析】选择①：（1）代入，可分别求解， （3） 原式可转化为，叠加法可得，即得解.选择②：（1）由，代入，可得解 （2）项和转换，，可得解 (1)选择①：，则．，则； 选择②：．； (2)选择①：由，得， 所以，所以； 选择②：当时，； 当时，，不符合上式，故的通项公式为. 学科网（北京）股份有限公司 $