江西省重点中学盟校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题

江西省重点中学盟校2026年10月高二联考 考试时间：120分钟试卷分数：150分命题学校：赣州三中 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.(1+5i)i的虚部为 A.-1 B.0 C.1 D.6 2.点A(1,2)到直线1：x+2y+5=0的距离为 A.1 B.2 c.5 D.2W5 3.已知直线l:2x+y+1=0的倾斜角为a,则sin2a= 2 c.3 2 4 4.已知方程x2+y2-2mx-2y+2m2-2m+1=0(m∈N)表示圆C,则C的面积为 A.元 B.2π C.3π D.4π 5.已知单位向量a,b满足ab=0,若向量c=√7a+√2b,则sin(a,c)= A. B.2 C.分 D.v2 3 3 9 9 6.过圆C:x2+y2-4y=0上的点P作圆C2:x2+y2-6x+4y+12=0的切线，切点为Q, 则PQ最大值为 A.2√2 B.3V5 C.4V5 D.52 1BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,Asπ， A.a>b>c B.a>c>b C.a2+c2<b2 D.a2+b2<c2 8.已知点A(3,0),B(0,3),P(s,t)在曲线x=V4-y2上，记∠APB=a,则存在函数f(x), 对任意一点P都有 A.s=f(a) B.a=f(s) C.t=f(a) D.a=f(t) 数学试题第1页共4页 1/4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线l:y=2x+1,l2:ax+y-a-1=0,则 A.I在x轴的截距为 B.12过定点(1,1) C.若l∥12，则a=-2 若，凸及y轴围成的三角形面积为，则a=2或 10.已知函数f(x)=2 sinxcosx-25cos2x+V5,下列关于f(x)结论正确的是 A.最小正周期为π B.值域为[-2,2] C.对称轴为x=”+匹(keZ) D.对称中心为 2+2,0kez) πkπ 32 11.已知圆C:x2+y2+2x+2y+1=0,直线l:x+2y-4=0,P(m,n)为l上的动点，过点 P作圆C切线PA,PB,切点为A,B,下列结论正确的是 A.若m=4,则直线AB方程为5x+y+5=0 B.若m=4,则AB=526 26 C,当四边形PACB面积最小时，Sin∠CPA=y5 D.当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为7x+14y+16=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.直线5x+2y-3=0和直线3x-2y-5=0的交点坐标为(m,n),则mn= 13.设a为正数，若圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-2)2=25存在三条公切线，则a= 14.一个底面半径为lcm,高为6cm的圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内部有三个半径为1cm 的铁球.现往该容器放入n个半径为r(单位：cm)的小铝球，使得每个小铝球与容器内壁及其 中两个铁球都相切，则”= ,n的最大可能值为 数学试题第2页共4页 2/4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),C(2,6) (I)求直线BC方程： (2)求△ABC垂心H关于直线BC的对称点坐标. 16.(15分) 已知直线1：2x+y-1=0,12:x+ay+2=0. (1)若l⊥12，求a: (2)若圆心C在坐标轴上，且1,1，为C的两条平行切线，求C的标准方程 17.(15分) 在△BC中，已知AB=5,AC=4且simA+cosA=5 (I)求△ABC的面积； (2)过点B作BD⊥BC,使BD=2BC,且∠DBA为锐角，求AD. 数学试题第3页共4页 3/4 18.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，已知M(4,0),N(-4,0),动点P在曲线E上运动，且满足 PM.PN=0 (1)求E的方程； (2)已知直线I:y=c+2-4k(k∈R),1与E交于A,B两点. ()若△OAB是等边三角形，求k; ()记直线MA的斜率为k,直线MB的斜率为k,证明：k+k,为定值. 19.(17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，D,E分别为PA,BC的中点，F为AB上的一点，且BF=2AF. (I)证明：PE∥平面CDF: 7 (②)设底面是边长为7的等边三角形，点P到底面MBC的距离为2且点P在底面ABC上 的射影恰好在线段CF上， ()求二面角P-CF-D的正弦值： ()若三棱锥P-ACE的所有顶点都在同一个球面上，求该球表面积的最小值. 0 A E 数学试题第4页共4页 4/4参考答案及解析 江西省重点中学盟校2026年10月高二联考 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 c A A B D D BCD AB ACD 一、 选择题 1.c【解析】因为(1+5i)i=i-5,所以虚部为1 2.D【解析】点A(1,2)到直线1：x+2y+5=0的距离为d= 1+4+5-25 V12+22 2tan a 4 3.A【解析】因为l斜率k=tana=-2,所以sin2a=2 sina cos a= 1+tan'a 5 4.A【解析】因为圆C:(x-m)2+(y-1)2=2m-m2,2m-m>0,得0<<2. 由于m∈N,故m=1,半径为r=1,圆的面积为πr2=π. 5.B【解析】因为c=v7a+V2,所以d=V7a+V2=N7a+V2b) a-(7a+2b)万 V7+26=3,则coa(a.c)了 lallel 、3 所以sin(a,c=5 3 6.C【解析】因为圆心C(0,2),C,(3,-2),所以圆心距d=C,C,=V32+42=5, 由于C,与C,半径分别为2和1，则点P到圆C,距离的最大值为7，所以 Pg=VPC-1≤V72-1=45 7.D【解析】因为inA=V2 >sin B=v3 ,由正弦定理知：a>b,所以0<B<A=元 2 3 4 <A+B<T, 4 ),进而匹之C<3元。所以B<A<C,b<a<c,根据余弦定理有 2 4 co8C=。+-c2<0,即a+b-2<0 2ab 江西省重点中学盟校高二10月联考答案解析 KIRZHU MATH 8.D【解析】根据函数y=f(x)的定义知：一个x对应唯一的y;一个y对应一个x或不 同的x.记P(S,t)(i=1,2,3,4,…),考虑A选项，由于∠APB=∠APB=a,但S=0, S2=2,不符题意；考虑B选项，由于S3=S4,但∠A乃B≠∠APB,不符题意；考虑C 选项，同A选项类似∠APB=∠APB=,但t=2,t=0,不符题意；对于D选项， 当点P由(0-1)→(0,1)变化过程中，t逐渐变大，对应唯一的，符合题意. P 二、选择题 9.BCD【解析】因为直线1：y=2x+1,令y=0,得x=-,则1在x轴的截 距为-：，：x+y-a-1=0,即，：(x-1a+y-1=0,所以4过定点(1，： 当l,∥1时，则-a=2,得a=-2:联立l,1方程，得交点 a3a+2 ,所 a+2’a+2 以三角形面实为-司方解两？2诚和小 10AB【解析】因为函数f(x)=sim2x-V3cos2x=2sin(2x-,所以最小正周期 为7==，值城为-2a小：令2x-音+m,得x径+kez列.即为四 32 Γ122 的对称辅号=a,得x吾，即)的对称中心为及会0Z 62 (62 江西省重点中学盟校高二10月联考答案解析 KIRZHU MATH LAcΦ【解若m4,则P40,k如仁0易知PCB,所. 以kAB=-5.设切线PA:y=k(x-4),即ac-y-4k=0, 则d-PA k+1-4州，=1，得太=0或太=高，所以4(-10)，直线4B方程 √k2+1 12 1 为5x+y+5=0;圆心C(-1,-1)到直线AB距离d。-s= V26 V52+1226 根据垂径定理可知： 2广-1六2有- 139 因为S边形PcB=2SAac=PA4C=PA=VPC-1，所以当PC⊥1时， PC=d-上1-2-475 5 ,此时sin∠C2A二 PC7;记PCNAB=M, 此时sin∠CAB=sin∠CPA='-5 石9，e-rmA5 ，设直线 V535,解海m=16 4B方程为1：x+2y+m=0,所以P=m+4_445 所以直线AB方程为7x+14y+16=0. 三、填空题 5x+2y-3=0 x=1 12.-1【解析】联立直线方程 3x-2y-5=0'解得 =-1'故交点为1-1)， 所以m=-1. 13.4v2【解析】依题意两圆外切，圆心距等于√a2+4=5+1,由于a>0,故 a=4v2. 14.4,18 【解析】如图1为圆柱的轴截面，设小圆半径为r,由几何关系知： 江西省重点中学盟校高二10月联考答案解析 KIRZHU MATH (1-+1=(1+r广，得r=子：如图2为圆柱的其中一个横梭面（相邻两个铁球的 切点为圆心O由阿关系知n日故0<0<今0c30<元 6 由三倍角公式n30-3m0-4am0-引9，知0<39<子放0<0<号 272 又因为8>m0}吾所以哥8<号传题监n292,4≤音 所以n最大值为9，的最大可能值为18.（第一空2分，第二空3分） 020 C C 图1 图2 15.解：因为B4.0),C(26,所以0=4 6-0-2-4 即y=-3x+12 (5分) (2)由(1)知：kc=-3,则BC边的高线方程为y=3X, 1 (7分) 又因为AB边的高线方程为x=2,所以垂心H 2-3 (9分) b- 31 a= 26 设对称点为(a,b),则 a-23 ,解得 2 26 b+ b= 3 --3.0+2 +12 15 2 2626 所以垂心H关于直线BC的对称点坐标为 、515 (13分) 评分说明：其他求对称点的方法，答案正确给满分：答案错误酌情给步骤分 江西省重点中学盟校高二10月联考答案解析 KIRZHU MATH 16.解：(1)因为l⊥1，则2+a=0,得a=-2: (3分) ②)方法1：因为41，则a= (5分) 因为1与1间的距离为d= 4+=5, √22+1 所以圆的直径为√5， (9分) 依题可知圆心在直线1：2x+y+=0上」 (11分) 1与坐标轴的交点为 即为圆心 (13分) 3)2 所以圆C的标准方程为x+ (15分) 4 4 方法2：设C0m.0,则2m2m+4,得m=-3 -4 (8分) 3 所以圆C:x+ (10分) 4 4 设c0,,则-+4，得=-3 (13分) 5 V5 所以圆C:x +y+ 325 2=4 (15分) 综上圆C的标准方程为x十】 +y=或 (15分) 评分说明：第一问3分：第二问求对一个圆的标准方程给5分，结果是圆的一般 方程扣5分 江西省重点中学盟校高二10月联考答案解析 KIRZHU MATH 17.解：0因为n4+e0A=5,平方得24c8A-号 (1分) 所以(s如nA-c08A}-1-2 sin Acos4=9 5 sin A-cos A= 3v5 5 (2分) si 4+c04=5 联立 解得sinA= ’cosA=-5 25 (4分) 35 5 sin A-cosA= 所以△ABC的面积S= 2*5x4x25 4V5 (5分) (②)在△ABC中，由余弦定理得： BC2=42+52-2×4×5× =41+8V5 (8分) BC AC 由正弦定理得： ,则sin∠CBA=8V5 (10分) sin∠CAB sin∠CBA 5BC 因为BD⊥BC,故coS∠ABD=coS -∠CBA =sin∠CBA= 8V5 (12分) 5 BC 在△ABD中，由余弦定理得： AD=AB2+BD2-2AB·BD cos∠ABD =25+4BC-2×5×2BC✉8V5-25+441+8v5325=189, 5BC 所以AD=3√21. (15分) 江西省重点中学盟校高二10月联考答案解析 KIRZHU MATH 18.解(1)设动点P(x,),M(4,0),N(-4,0), 则PM=(4-x,-y),PN=(-4-x,-y) (2分) 所以PM.PN=x2-16+y2=0,即E的方程为x2+y2=16. (4分) (①因为△OAB是等边三角形，则圆心O到直线1的距离 4-5,-25,所以4=225， (6分) Vk2+1 化简得：K2-4-2=0,解得k=2+√6或k=2-√6 (8分) (设直线1：y=kx+m,其中m=2-4k,且A(x,乃)，B(x,y). 联立方程 y+m,消去y得：(k2+1x+2kmc+m-16=0 x2+y2=161 (10分) 2km 则x+x,=一2+1 5=m16 (11分) k2+1 2m y+y=kx+m+kx,+m= k2+1 (12分) -32k (+m)x(k+m)= 13分) 所以k+k,=当，+少=4+七4-4(y+当)-32%-8m x-4x-4xx3-4(:+x2)）+16m2+16k'+8m -8 =-4为定值 (17分) m+4k 评分说明：第二问①漏掉一个结果扣1分：第二问()其他解法只要结果正确给 满分，但需要详细步骤.直接套用二级结论结果错误得0分，结果正确无过程只 给1分 江西省重点中学盟校高二10月联考答案解析 KIRZHU MATH 19.(1)证明：如图1，设G为AE与CF的交点，连接DG.过E作EM∥AB, 交CF于点M.因为E为BC的中点，且BF=2AF,所以ME=BF=AF, 故AG=EG, (2分) 又D为PA的中点，所以DG为△APE的中位线，故DG∥PE. (3分) 因为DGC平面CDF,PEt平面CDF,所以PE∥平面CDF. (4分) D E B 图1 (②)解：如图2，记H为P在底面ABC上的射影，连接AH,则点H在线段CF上， 且平面PCF⊥底面ABC,平面PAH⊥底面ABC 记D在底面ABC上的射影为K,则K在线段AH上.因为D为PA的中点，故K 为AH的中点.过K作KS⊥CF,垂足为点S,连接DS.因为DK⊥底面ABC, CFC底面ABC,所以DK⊥CF. 又KS∩DK=K，,KS,DKC平面DKS,所以CF⊥平面DKS. 又DSC平面DKS,故CF⊥DS, 所以∠DSK为二面角A-CF-D的平面角. (7分) 过点A作AT⊥CF,交CF的延长线于点T,由几何关系知AT=2KS 因为底面△ABC边长为7的等边三角形，所以Ar=工，则KS=V 2 4 江西省重点中学盟校高二10月联考答案解析 KIRZHU MATH 点P到底面4BC的距离为所以DK且am∠DXE水 3 cos∠DSK=V30 10 因为平面PCF⊥底面ABC,所以二面角P-CF-D的平面角与二面角A-CF-D 互余，所以二面角P-CP-D的正弦值为V30 (9分) 10 D D E 图2 图3 (如图3，设球心为O,球的半径为R,由几何关系可知O在底面ABC上的射影恰为AC 的中点，记为点N,且记ON=h,则R=AW+?,其中AN=) 过点V作O1CF,垂足为点O,由几何关系可知NO=CWsm∠ACF= 设0x0≤x≤ 4 则台几何炎系有R=0+尽方 ，故 AW2+2=N02+x2+ 即7h=Ng-Aw+49+ 4 所以当x=0时，取得最小值，R也取得最小值，此时=3，故R-49+9-3145 16 4256-256 所以该球表面积的最小值为4R'= 3145元 (17分) 64 评分说明：第二问向量法建系解答过程答案正确给满分，若答案错误酌情给分， 但不应超过7分. 江西省重点中学盟校高二10月联考答案解析 KIRZHU MATH