江西部分学校2026-2027学年高二上学期10月限时训练数学试题

高二数学限时训练参考答案 1.D因为直线3x+3y+7=0的斜率为一号-1，所以直线3x十3y+7=0的倾斜角为 2.A若圆(x十3)2+(y-√2)2=r2(r>0)经过坐标原点，则r2=(0+3)2十(0一√2)2=11， 又r>0,所以r=√11. 3.B依题意可设所求直线的方程为5x十y十c=0,将点A(-5,1)的坐标代入，得一25+1+c =0,解得c=24,故所求直线的方程为5x+y+24=0. 4.B圆(x-1)2+y2=4的圆心为A(1,0),半径r1=2,圆(x+sin1)2+y2=1的圆心为 B(-sin1,0),半径r2=1.因为lAB|=1+sin1∈[r1-r2,r1+r2],所以圆(x-1)2+y2=4 与圆(x+sin1)2+y2=1的位置关系是相交. 5.A点P(6,4)关于x轴对称的点为P'(6,一4).因为反射光线同时经过点P'和点Q, 且。。。号所以反射光线所在直线的方程为y=青C一3》，即y=一号， 所以反射光线经过的点的坐标为（红，一专x十）红<3)，放反射光线经过的点的坐标可以为 (-3,8). 6.C 依题意可得1识2√当且仅当--时，寺号立则。·6≥4X a2+i 14,则所求三角形面积S=7a2.b2≥28，其最小值为28， 7.D圆(x十m)2+y2=36的圆心为(-m,0),半径r=6,圆心到直线y=-x十m的距离d= 20-反m,依愿意可得，-3d<r+3,即3<反m<9,解得m(色2,9号）). √2 8.C依题意可知，点M在L1与l2之间，且M到这两条直线的距离相等，所以点M在平行于 这两条直线的直线上，设该直线的方程为3x十y十c=0,则c+=G+5,解得c= √32+12√32+12 一3，故MA|的最小值为点A(1,10)到直线3x+y-3=0的距离，即一10 √W32+12 =√10. 9.BC因为直线m2x十my一1=0与直线4x十my十6=0平行，所以m2·m-4m=0,解得m =0或m=士2.当m=0时，m2x十my一1=0即为一1=0，这显然不成立，所以m≠0.经检 验，m=土2符合题意. 10.ABC直线y=ax十b-一1的斜率为a,纵截距为b-1,圆(x一a)2+y2=b2的圆心坐标为 (a,0),半径为b. 对于D,图中的直线的倾斜角为锐角，则a>0,所以点(a,0)在x轴的正半轴上，排除D. 当a=b=1时，直线y=ax十b一1与圆(x一a)2+y2=b2的图形是A对应的图形；当a= 2,b=-1时，直线y=ax十b-1与圆(x-a)2十y2=b2的图形是B对应的图形；当a=b= 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 一1时，直线y=ax十b一1与圆(x一a)2+y2=b2的图形是C对应的图形 11.ABD由(x2+y2)2+(2x-4)(x2+y2)=8x,得(x2+y2+2x)(x2+y2-4)=0, 则(x+1)2+y2=1或x2+y2=4,所以M由圆C:(x+1)2+y2=1与 圆O:x2+y2=4组成，则yp的最大值为2，A正确.直线y=k(x+1) 过定点（一1,0），由图可知，当k≠0时，直线y=k(x十1)与圆C有两个 交点，与圆O也有两个交点，且这些交点没有重合.将y=(x十1)代入 (x+1)2+y2=1,得(1十k2)x2+2(1+2)x+2=0,设该方程的两个 k2 根为x1,x2,则x1十x2=一2，x1x2=1十k2 将y=(x十1)代入x2十y2=4,得(1十2)x2十2k2x十2一4=0，设该方程的两个根为x3, 2k2k2-4 x4,则x3十x4= 一1中k2xx4-1+k2 H6=-2元26242二2兔十24f2 1+k2 十1十k>-4,B正确。 设1+=>1则1，=《0-D-14县9=5（经号》-号 当：=号时，：取得最小值，且最小值为一号，C错误 当Jk=1十‘1+2 43时，7k-10+3=(72-3)(-1D<0,解得 正确。 12.-10由3x-5y十30=0，得0+名=-1，所以1在x轴上的截距为-10. 13.3.15以O为坐标原点，OB,OP所在直线 分别为x,y轴，建立如图所示的平面直角 坐标系，则P(0,3.5),B(10.5,0).设圆心 坐标是(0，b),圆的半径是r,则圆的方程是 A A A2 O A B x2+(y-b)2=r2.因为P,B两点都在圆 1(3.5-b)2=r2, 七所以0十二，解得业则圆的方程是十y+10=.5,将点P,的 b=-14, 横坐标x=一3.5代人圆的方程，得(-3.5)2+(y+14)2=17.52,其中P2的纵坐标y>0, 所以y=√17.52-3.52-14=√/17.5-3.5)×(17.5+3.5)-14-7√6-14=7×2.45- 14=3.15,故支柱A2P2的高度约为3.15m. 14.（-0∞，- 217 20J 因为4一x2≥0，且x十2≠0，所以x∈(-2,2].设点 B A(x,W√4一x2),B(-2,5),则f(x)是直线AB的斜率.A是圆C:x2+ y2=4的上半部分的动点.当直线AB与圆C的上半部分相切时，设其 斜率为k,则直线AB的方程为y一5=k(x十2)，即kx一y十2k十5= 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 0,侧则26+5=2，解得=一忍结合图形可知直线AB的斜率的取值范围是(-○， √k2+1 201 引]，故了c)的值域为-0， 217 20J 15.解：1)因为-3_-2， 1-3 2分 所以直线AB的方程为y一3=一2(x一1)，…4分 即y=-2x十5。…5分 (2)若A,B,C三点共线，则点C在直线AB上，…6分 所以点C的坐标满足方程y=一2x+5,则m=5. 8分 (3)线段AB的中点为N(2,1).… …10分 若m-2,则C0,8则ka名 11分 所以AB边上的中线所在直线的方程为y一1=一 12分 即x十2y一4=0.… 13分 【注】第(2)问还可以这样解答： 若A,B,C三点共线，则kAC=AB,… 6分 所以0十=2， 7分 解得m=5.… 8分 16.解：(1)设B(xo,yo).因为直线y=x一2的斜率为1，… …1分 所以e女二手 -1,… 2分 所以y0一4=4-x0,即xo十y0=8. 3分 因为线段AB的中点（色士，士）在直线y=x-2上，…4分 所以十4x十4 22 -2,即x0-y0=4,…1 5分 又xo十yo=8,解得x0=6,yo=2,所以点B的坐标为(6,2).…7分 (2)线段AB的巾点坐标为士，)，即(5,3》. …9分 因为AB|=√(4-6)2+(4-2)2=22，…10分 所以圆的半径为2|AB=厄.…11分 因为直线3x十4y十m=0与以线段AB为直径的圆相切， 所以圆心(5,3)到直线3z十4y十m=0的距离d=15+12+m =√/2，…13分 5 解得m=-27士5√2. …15分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 17.解：(1)由题意得|AC=|AB|=2√2，…1分 则C在以A为圆心，2√2为半径的圆上， ……2分 且点C不在直线AB上。……3分 因为直线AB的方程为y=一x十1，… 。。。。。。。。 所以2的方程为(x一3)2十(y十2)2=8(y≠一x十1).…5分 (2)(i)设D(x,y).由|DA|=2DB|,得√(x-3)2+(y+2)2=2W(x-1)2+y2, …6分 即(x-3)2+(y+2)2=4[(x-1)2十y2],整理得3x2+3y2-2x-4y-9=0,…7分 所以点D的轨迹方程为（女》+(》-是。 ……8分 所以点D的轨迹是圆心为C:(兮，号)半径- 3的圆。 …9分 (i)点C在圆心为C1(3,一2)，半径r1=2√2的圆M上，记点D的轨迹为圆N. Icc-√(3)》°+(-2--82 …10分 _22 r1十r2 -10W2 3,r1-r2 3 11分 因为r1一r2<CC2<r1十r2|,所以圆M与圆N相交.…12分 (x-3)2+(y+2)2=8, 由《 得圆M与圆N的公共弦所在直线的方程为2x一2y一3= 3x2+3y2-2x-4y-9=0, 0,…13分 因为2不经过点B(1,0)和点E(5,一4)，且点B和点E的坐标均不满足方程2x一2y一3= 0,…14分 所以点D可能在2上.… …15分 【注第(1)问中，2的方程还可以写为(x一3)2+(y+2)2=8(x≠1，y≠0且x≠5，y≠ -4). 18.(1)解：方程4x-5y+1+λ(x+6y-7)=0即为(4十λ)x+(6-5)y十1-7=0，·1分 因为4十λ与6入一5不能同时为0， 所以方程4x一5y十1十入(x十6y一7)=0表示一条直线.…2分 4x-5y+1=0, 由 3分 (x+6y-7=0, 得个所以该宜线过定点，少，…分一 无论λ取何值，直线4x一5y+1+λ(x+6y一7)=0不能与直线x十6y一7=0重合，… …6分 所以方程4x一5y+1+λ(x+6y一7)=0表示过定点(1,1)的所有直线（不包含直线x+6y 7=0)】…7分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 (2)(i)证明：l的方程可化为m(3x十y一2)十n(6x-5y一11)=0.…8分 3x十y-2=0,得 x=1, 由 …10分 6x-5y-11=0,y=-1, 所以1过定点P(1,一1). …11分 (i)解：设A到l的距离为d. 由题意得△ABH的面积S=ABd=2d, …12分 由图可知，当AP⊥1时，d取得最大值，且最大值为AP|,… …13分 当APL1时，a如2-是，所以当m十× 5-1 m-5n 4 =-1,即 5m十38n=0时，d取得最大值，… …15分 又|AP|=√(5-1)2+(2+1)2=5，… …16分 所以△ABH的面积的最大值为2|AP|=10. 17分 19.(1)解：过点D作圆C的切线，切点为T1,T2,则CT1=2,CD =4,…1分 在RtACDT中，sin∠CDT=2则∠CDT,=石，…2分 则∠TDT,=晋×2=号，则点D与圆C的张角为号…3分 (2)解：设点P到圆心C的距离为d,点P与圆C的张角为0 8r、2 因为PT1l=PT,=√a-r=√a=4,sin2=a=a: 所以os0=1-2in号-1-9 d2, …4分 所以P可P元-1PT1PTos0=d-1-)）-4-12+器.…5分 由点P在圆外，得d2>4, 所以7·P--12+器2a 32 -12=82-12,…6分 当且仅当d2-32 2,即2=4/2时，等号成立，…7分 则c0s0=1-8=1-2, 42 故当PT1·PT2取得最小值时，点P与圆C的张角的余弦值为1一√2.…8分 (3)()解：圆Q的方程为x2十y2=4.…9分 设圆C上所求的点为M(x0,yo),则(x十2)2+y2=4,① 由该点与圆Q的张角为120，得MQ=sin60=3’ 24 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 因为Q(0,0,所以x6+= 3,②… 10分 由①和②，解得x=3=士4 4 3 则所球点的坐标为-专号)或一-专，号)， …11分 (i)证明：由题意知直线L的斜率不为0，设直线l的方程为x=ty十1，A(x1,y1),B(x2, y2）.…12分 将x=ty十1代人圆Q的方程，得(t2+1)y2+2ty一3=0， 2t 3 由韦达定理得，y1十y2= t2+1y1y2= t2+1’ 13分 则2ty1y2=3(y1十y2).… …14分 直线AC的方程为y=千2红+2， 直线B0的方程为y”2红-2》 15分 两式相除，得+？_y(x1十2)_y2(y十3) x-2y1(x2-2)y1(ty2-1)' 将=(+g代人，得多-21+)+8：豆+ 39 3 x-23 1 13=3,…16分 2y1+2)-y12y1+2y2 所以中号3，解得x=4 故直线AC与BD的交点在定直线x=4上. …17分 ▣回 可 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】高二数学限时训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.直线3x十3y+7=0的倾斜角为 A晋 B背 c π D.4 的 2.若圆(x十3)2+(y一√2)2=r2(r>0)经过坐标原点，则r= 欧 A.√1I B.√13 .11 D.13 3.过点A(-5,1)且与直线x一5y十6=0垂直的直线方程为 A.x+5y=0 B.5x+y+24=0 C.5x-y+26=0 D.5x+y+26=0 戡 4.圆(x-1)2+y2=4与圆(x+sin1)2+y2=1的位置关系是 A内含 B.相交 C.外切 D.外离 5.一条光线从点P(6,4)射出，与x轴交于点Q(3,0),经x轴反射，则反射光线经过的点的坐 标可以为 A.(-3,8) B(4,-) C.(0,3) D.(6,-) 6若直线1导+片=1经过点A16,9,则1与两坐标辅回皮的三角形面积的最小值为 A.144 B.240 C.288 D.576 7.若圆(x十m)2十y2=36上到直线y=一x十m的距离为3的点仅有2个，则|m|的取值范 线 围是 (9) 都 c(, n(2,2) 8.设P为直线l1:3x十y一1=0上的动点，Q为直线l2:3x十y一5=0上的动点，M是线段PQ 的中点，点A(1,10),则|MA|的最小值为 A.5v0 B.4v10 C.√10 D.6v10 6 5 5 【高二数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若直线m2x十my一1=0与直线4x十my+6=0平行，则m的值可以为 A.1 B.-2 C.2 D.0 10.在同一平面直角坐标系中，方程y=ax十b-1与(x-a)2+y2=b2表示的图形可能是 C D 11.若P(xP,yP)为曲线M:(x2+y2)2+(2x一4)(x2+y2)=8x上任意一点，直线y=(x十 1)(k≠0)与M的交点为A1,A2,A3,A4,记A1,A2,A3,A4的横坐标之和为H。,横坐标之 积为J6,则 Ayp的最大值为2 B.H>-4 CJ:的最个值为一号 D当J:<-时，<<1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.直线1：3x一5y+30=0在x轴上的截距为▲ 13.某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图所示.圆拱跨度AB=21m,拱高OP=3.5m,建造时每 间隔3.5m需要用一根支柱支撑，则支柱A2P2的高度约为 ▲m.（参考数据：取 √6=2.45) A A A2 O A3 A 14.函数f(x）=√4-x2-5。 x+2 的值域为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知点A(3,一1)，B(1,3),C(0,m). (1)求直线AB的斜截式方程； (2)若A,B,C三点共线，求m的值； (3)若m=2,求△ABC中AB边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式. 16.(15分) 已知点A(4,4)关于直线y=x一2对称的点为B. (1)求点B的坐标； (2)若直线3x+4y十m=0与以线段AB为直径的圆相切，求m的值. 17.(15分) 已知等腰三角形ABC的一个顶点为A(3,一2)，底边的一个端点为B(1,0),底边的另一个 端点C的轨迹记为2. (1)求2的方程 (2)设点D满足|DAI=2DB· （I)求点D的轨迹 (ⅱ)试问点D是否可能在2上？说明你的理由。 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) (1)已知λ为任意实数，当λ变化时，方程4x一5y+1十λ(x十6y一7)=0表示什么图形？ 该图形有何特征？ (2)已知直线l:(3m+6n)x+(m一5n)y=2m+11n,其中m,n均为任意实数，m2+n2≠0. (「)证明：直线l过定点， (1)过点A(5,2)作直线AB,使得AB,且|AB|=4,过A作L的垂线，垂足为H,求 △ABH的面积的最大值， 欧 19.(17分) 设P是圆C外一点，过点P作圆C的切线，切点为T1,T2,∠TPT2=9,则称点P与圆C 的张角为0.已知圆C的半径为2，圆心为C(一2,0)，点D(2,0) (1)求点D与圆C的张角 封》 (2)当PT·PT?取得最小值时，求点P与圆C的张角的余弦值， (3)将圆C向右平移两个单位长度后得到圆Q. (1)求圆C上一点的坐标，使得该点与圆Q的张角为120°； (i)过点(1,0)的直线l与圆Q交于A,B两点，A,B两点都不在x轴上，证明：直线AC 与BD的交点在一条定直线上 线 【高二数学第4页（共4页）】