精品解析：江苏省启东中学2026-2027学年高二第一学期第一次月考数学试题

江苏省启东中学2026~2027学年度第一学期第一次月考 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由两点式知，且倾斜角的范围是， 根据斜率与倾斜角的关系知，直线的倾斜角大小为. 2. 椭圆的一个焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的性质即可求解. 【详解】把椭圆方程化为标准方程可得 ， 所以椭圆焦点在轴，，坐标为. 3. 圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为，则该圆的半径为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的弦长公式，结合待定系数法进行求解即可. 【详解】圆C的圆心坐标为，设半径为， 圆C与轴相切，则有， 又因为圆心C在直线上， 所以，则 设圆心C到直线的距离为，， 因为圆C被直线截得弦长为， 所以有， 于是有，即， 所以， 即该圆的半径为3. 4. 长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出、、点坐标，由题意可得、两点坐标间的关系，用点的横纵坐标替换、点坐标代入计算即可得. 【详解】设、，， 则有，，即，， 由题意可得，即，即. 故选：D. 5. 已知点不在直线上，则方程表示（ ） A. 过点且垂直于的直线 B. 过点且平行于的直线 C. 不过点且垂直于的直线 D. 不过点且平行于的直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的特点，判断其是否过点以及与直线的位置关系. 【详解】将点的坐标代入方程的左边， 可得：，等式成立，因此该直线一定过点， 当时，直线的方程为，其斜率为， 方程可化简为， 即，其斜率为， 因为，且点不在直线上，所以两直线平行， 当时，直线的方程为：，即， 这是一条垂直于轴的直线，方程可化简为： ，即，也是一条垂直于轴的直线， 由于点不在直线：上，所以， 即，两直线不重合，所以两直线平行， 所以方程表示过点且平行于的直线. 6. 由曲线围成的图形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对曲线方程分类讨论从而去绝对值，得出各象限曲线方程，再利用圆和三角形的面积公式求解. 【详解】当，时，曲线方程为，变形得，， 即在第一象限，该曲线是圆心为半径为的圆的一部分； 当，时，曲线方程为，变形得，， 即在第二象限，该曲线是圆心为半径为的圆的一部分； 当，时，曲线方程为，变形得，， 即在第三象限，该曲线是圆心为半径为的圆的一部分； 当，时，曲线方程为，变形得，， 即在第四象限，该曲线是圆心为半径为的圆的一部分； 当时，或；当时，或， 因此该曲线还经过，，，，， 所以该曲线的大致图象如下： 根据此图形的对称性，其面积为第一象限部分面积的倍， 第一象限的图形可分割为一个直角三角形和一个半圆， 所以第一象限面积为， 所以该曲线围成的图形的面积为 7. 若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，若圆上恰有3个点到直线的距离为1，说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交，列式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为， 若圆上恰有3个点到直线的距离为1， 说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交， . 8. 在中，，，，以的各边为直径分别向三角形外作半圆，记为三个半圆围成的封闭曲线，，是上两点，则的最大值为（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】先根据余弦定理求三角形的第三边长度，再利用平面向量的加法法则分析三个半圆上两点的最大距离． 【详解】在中，，，， 由余弦定理得：， 即， 故． 以的各边为直径分别向三角形外作半圆，记为三个半圆围成的封闭曲线，，是上两点． 当，位于同一个半圆时，长度小于等于直径，即三角形的一边长，其小于三角形周长的一半； 当，不位于同一个半圆上时，如图， 不妨设，分别为弧，弧上任意一点，取的中点分别为，， 连接并延长交两个半圆于，， 根据平面向量的加法法则可得， ， 因为的中点分别为，， 所以， 因为，， 所以， 故， 则的最大值为10． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在直角坐标系中，点，在下列直线中，直线上存在点使的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分别求出点距离各直线的距离，若距离大于，则不存在点，若距离等于，则存在一个点，若距离小于，则存在两个点. 【详解】对于选项A，点距离直线的距离为， 即点到该直线的距离最小为， 因为，所以，因此直线上不存在点使得； 对于选项B，点距离直线的距离为， 因此直线上存在点使得； 对于选项C，点距离直线的距离为， 因此直线存在且只有一点使得； 对于选项D，点距离直线的距离为， 因为，所以，因此直线上不存在点使得； 10. 已知点，椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 可能为直角三角形 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据离心率公式计算可判断A；求出焦点坐标，利用两点间的距离公式求解可判断B；结合椭圆的定义及勾股定理可判断C；结合椭圆定义，利用数形结合法，根据三角形的两边关系列式求解可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，所以，所以， ， 所以，故B正确； 对于C：当或时，为直角三角形，故C正确； 对于D：，故D错误. 11. 已知圆和直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 四边形的面积的最小值为4 D. 的最大值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可判断A选项；推导出，可得出，利用三角形的面积公式可判断B选项；分析可知，当最小时，四边形为正方形，求出线段的中点坐标，结合直线的点斜式方程可判断C选项；分析可知，，可判断D选项. 【详解】圆心为，半径为，连接、，则. 对于A选项，由勾股定理可得， 当时，取最小值，此时，也取最小值， 且，则，A错； 对于B选项，越小，越大，越大. ， ，，，故B正确. 对于C选项，由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 故， 当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为4,C对； 对于 D 选项，设， 因为，则， 因为，则，且E为的中点， 所以，，()，D 错. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 已知地球运行的轨道是长半轴长为a千米，离心率约为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最大距离约为________千米（用a表示）． 【答案】## 【解析】 【详解】椭圆长半轴为，离心率，则半焦距， 地球到太阳的最大距离为远日点距离，即， 所以最大距离约为千米. 13. 已知点，点在直线上，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出点的轨迹为直线：，利用点到直线的距离求解即可. 【详解】设，，因为点在直线上，所以， 由于，则，解得， 所以，化简得：， 所以点的轨迹为直线：， 的最小值为点到直线的距离 14. 已知，，，，，，则的最小值为______． 【答案】25 【解析】 【分析】将所求问题转换成与的距离问题，再结合两圆位置关系即可求解. 【详解】 设点，由可知： 点在以为圆心、半径的圆上， 设点，由可知： 点在以为圆心、半径的圆上， ， 它表示点与点的距离的平方， 因为，两点关于原点对称， 所以的轨迹是以为圆心、半径仍为的圆， ， 又，说明小圆完全内含于大圆， 内含两圆上点的最小距离为， 因此的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直线与垂直，求直线的方程，再与直线方程联立，解方程组可得点坐标. （2）根据点在直线上，设出点坐标，利用为中点，表示点坐标，再根据点在直线上，可求的值，可确定点坐标，进而得直线的方程. 【小问1详解】 如图： 因为边上的高所在直线方程为， ，且， 的顶点， 直线的方程：，即. 联立方程 ，解得. 顶点的坐标为. 【小问2详解】 因为所在直线方程为， 故设点的坐标为， 是的中点，， . 在所在直线上， ，解得， 点坐标为， 由知点的坐标为， 故直线的方程为，即. 16. 已知圆． （1）若直线被圆截得的弦长为，求的值； （2）求过点的圆的切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把直线方程化为一般式得，根据垂径定理可知圆心到直线距离，再根据点到直线的距离公式求的值； （2）当直线斜率不存在时可知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，从而得到所求切线方程. 【小问1详解】 设圆心到直线即的距离为，那么 弦长，解得，， 根据点到直线的距离公式可知，解得，. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离，与圆相切； 当直线斜率存在时，设方程为即，那么 圆心到直线距离，解得，, 此时切线方程为; 综上，过点的圆的切线方程为或. 17. 设椭圆的离心率为，左、右焦点为，，且，为上的点． （1）求的方程； （2）若在第一象限，，求点的坐标； （3）若，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由焦距、离心率求出，写椭圆方程； （2）垂直转向量点积得圆方程，联立椭圆取第一象限解； （3）用椭圆定义得两边长，余弦定理求夹角正弦，代入面积公式计算. 【小问1详解】 由焦距. 离心率 ，所以, 椭圆方程： 【小问2详解】 由已知，，设， 则, 因为，所以， 故. 联立椭圆方程： ,由①得 代入②可得 ， . 在第一象限，，，，. 故. 【小问3详解】 根据椭圆定义可得， 又，设，则. 故， 所以，，又 . 设，由余弦定理在中有， 代入数值可得， ，故. 由同角三角关系得. ，所以. 18. 如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=. （1）求新桥BC的长; （2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 【答案】(1) 150 m (2) |OM|=10 m 【解析】 【详解】 【分析】试题分析：本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系.（1） 点坐标为 ， ，因此要求 的长，就要求得 点坐标，已知 说明直线斜率为 ，这样直线 方程可立即写出，又 ，故斜率也能得出，这样 方程已知，两条直线的交点的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线的距离最大，为此设，由，圆半径是圆心 到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端 和到该圆上任一点的距离均不少于80 ，列出不等式组，可求得的范围，进而求得最大值．当然本题如果用解三角形的知识也可以解决． 试题解析： （1）如图，以为 轴建立直角坐标系，则 ， ，由题意 ，直线方程为 ．又 ，故直线 方程为，由，解得 ，即 ，所以； （2）设，即 ，由（1）直线 的一般方程为 ，圆的半径为 ，由题意要求 ，由于 ，因此，∴∴ ，所以当时，取得最大值，此时圆面积最大． 【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系. 19. 已知点，点，定义，其中表示和中较大的数；若是直线上任意一点，的最小值记为． （1）已知点，点，直线，求，； （2）已知椭圆的上、右顶点分别为，，右焦点为，，． （i）求的方程； （ii）过点的直线与交于，两点，记直线为，为，证明：． 【答案】（1），. （2）（i）. （ii）证明：由（i）知. 当直线的斜率为时，直线为轴，，为椭圆的左、右顶点，此时，都是轴，所以. 当直线的斜率不为时，设直线，，. 联立，消去得. 由，得，且，. 若，则，代入得，，矛盾，所以，同理. 于是直线，的斜率都存在，设为，，则. 因为，所以. 所以，，直线与关于轴对称. 对上任意一点，点在上，反之亦然，且. 所以（在上）与（在上）的取值范围相同，最小值相等，即. 综上，. 【解析】 【分析】（1）按定义直接计算；设直线上的点，比较与的大小，分段求的最小值. （2）（i）写出，，的坐标，由新定义得，，分类讨论求出，；（ii）如图所示，设直线与椭圆方程联立，由韦达定理证明，得，关于轴对称，再利用点在轴上及对称性得结论. 【小问1详解】 . 设为直线上任意一点，则. 由，即，得. 当时，；当时，. 所以当时，取得最小值，即. 【小问2详解】 （i）由题意得，，，其中. ，. 若且，则，由得，解得，满足，此时. 若且，则，，即，矛盾. 所以，，椭圆的方程为. （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省启东中学2026~2027学年度第一学期第一次月考 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的一个焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为，则该圆的半径为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 4. 长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点不在直线上，则方程表示（ ） A. 过点且垂直于的直线 B. 过点且平行于的直线 C. 不过点且垂直于的直线 D. 不过点且平行于的直线 6. 由曲线围成的图形面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 8. 在中，，，，以的各边为直径分别向三角形外作半圆，记为三个半圆围成的封闭曲线，，是上两点，则的最大值为（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在直角坐标系中，点，在下列直线中，直线上存在点使的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 可能为直角三角形 D. 11. 已知圆和直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 四边形的面积的最小值为4 D. 的最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 已知地球运行的轨道是长半轴长为a千米，离心率约为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最大距离约为________千米（用a表示）． 13. 已知点，点在直线上，，则的最小值为________． 14. 已知，，，，，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 16. 已知圆． （1）若直线被圆截得的弦长为，求的值； （2）求过点的圆的切线方程． 17. 设椭圆的离心率为，左、右焦点为，，且，为上的点． （1）求的方程； （2）若在第一象限，，求点的坐标； （3）若，求的面积． 18. 如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=. （1）求新桥BC的长; （2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 19. 已知点，点，定义，其中表示和中较大的数；若是直线上任意一点，的最小值记为． （1）已知点，点，直线，求，； （2）已知椭圆的上、右顶点分别为，，右焦点为，，． （i）求的方程； （ii）过点的直线与交于，两点，记直线为，为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $