精品解析：江苏省启东中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

江苏省启东中学2025-2026学年度高二第一学期第一次月考（数学） 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线斜率为（ ） A. B. C. D. 2 2. 圆的半径为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 3. 焦点为且经过点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设a为实数，已知直线：，：，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 5. 经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“点到直线的距离相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件 7. 已知圆心在y轴上移动的圆C经过定点，且圆C与x轴、y轴分别交于两个动点，则点的轨迹为（ ） A. 对称轴为x轴的抛物线 B. 对称轴为y轴的抛物线 C. 圆心在y轴上的圆 D. 圆心在直线上的圆 8. 已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知正方形中心的坐标为，若直线的方程为，则与边垂直的两条边所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 10. 设方程则下列说法正确的是（ ） A. 时，方程 C表示一条直线 B. 时，方程 C表示圆 C. 时，方程 C表示椭圆 D. 或时，方程C表示双曲线 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（ ） A. ，，则 B. 为坐标原点，动点满足，则的轨迹为圆 C. 对任意三点、、，都有 D. 已知点和直线：，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________． 13. 已知圆上至少有三点到直线的距离等于1，则b的取值范围是__________. 14. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 16. 已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， （1）求C的标准方程. （2）设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 17. 已知双曲线的离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于两点，若线段的长为8，求直线的方程. 18. 已知圆． （1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程： （2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N． （ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ⅱ）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省启东中学2025-2026学年度高二第一学期第一次月考（数学） 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线斜率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由斜率计算公式即可求解. 【详解】解：根据直线斜率的两点式公式，， 故选：B 2. 圆的半径为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】将一般方程化为标准方程即可求解. 【详解】解：原的标准方程为， 圆的半径为3， 故选：A 3. 焦点为且经过点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意设双曲线的标准方程为，得，解出即可求解. 【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 4. 设a为实数，已知直线：，：，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，据此可得的可能值，验证后可得答案. 【详解】因，则. 则或.当，：，：，满足； 当，：，：，两直线重合，不合题意. 则. 故选：A 5. 经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设过两圆交点的圆系方程，再将经过的点的坐标代入，求得所求圆的方程即可得圆心． 【详解】设经过两圆与交点的圆的方程为， 因为该圆经过点， 所以，解得， 所以，故圆心坐标为 故选：B. 6. “”是“点到直线的距离相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由点到线的距离公式列出等式求得，即可判断. 【详解】解：点到直线的距离：； 点到直线的距离：， 由，得，即， 解得或，即或。 故“”是“点A、B到直线距离相等”的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知圆心在y轴上移动的圆C经过定点，且圆C与x轴、y轴分别交于两个动点，则点的轨迹为（ ） A. 对称轴为x轴的抛物线 B. 对称轴为y轴的抛物线 C. 圆心在y轴上的圆 D. 圆心在直线上的圆 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心为，求得圆C的方程，进而得，，进而计算可得点的轨迹. 【详解】设圆心为， 因为圆C过定点，故半径， 则圆C的方程为： 由圆C与x轴交于，得，即①， 由圆C与y轴交于，得，即或， 当时，因为圆经过定点，故不符合题意， 所以②，联立①②，得点的轨迹方程为， 这是对称轴为y轴的抛物线. 故选：B. 8. 已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小，再设切线联立椭圆求切线即可. 【详解】由题意，与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小， 令切线为，联立椭圆方程有，整理得， 所以，则， 对于，其切点到的距离为， 对于，其切点到的距离为， 显然点M到直线距离最小值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知正方形中心的坐标为，若直线的方程为，则与边垂直的两条边所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先根据直线的方程求出直线的斜率，从而得出所求直线的斜率，再利用正方形中心的性质根据点到直线的距离即为点的所求直线的距离，利用点到直线距离公式构造方程计算求解． 【详解】直线的方程为， 直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 设其方程为（c为常数） 正方形中心到直线边的距离为， 正方形中心到所求直线的距离为，即，解得或， 与边垂直的两条边所在的直线方程为或． 故选：CD． 10. 设方程则下列说法正确的是（ ） A. 时，方程 C表示一条直线 B. 时，方程 C表示圆 C. 时，方程 C表示椭圆 D. 或时，方程C表示双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A、B选项，将的值代入方程即可判断；对于C，由椭圆方程特点可分析取值范围；对于D，由双曲线方程特点可分析取值范围. 【详解】选项A：当时，方程C化为，即，表示x轴，故A正确； 选项B：当时，方程C化为，表示以原点为圆心、半径为1的圆，故B正确； 选项C：当时，方程C化为， 当时，方程表示圆，并非椭圆，故C错误； 选项D：当时，、， 方程C化为，表示焦点在x轴上的双曲线； 当时，、， 方程C化为表示焦点在y轴上的双曲线，故D正确. 故选：ABD 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（ ） A. ，，则 B. 为坐标原点，动点满足，则的轨迹为圆 C. 对任意三点、、，都有 D. 已知点和直线：，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；对于B：设，分析可得，且等号至少有一个成立，即可得结果；对于C：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；对于D：设点可得，讨论可得距离，再由函数的性质，求得最小值. 【详解】对于选项A：若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于选项B：设， 若，则，且等号至少有一个成立， 可得的轨迹如图所示，为正方形，故B错误； 对于选项C：设， 则 ， 同理可得， 所以，故C正确； 对于选项D：设为直线上一点， 则， 当，即时，则， 可知当时，取得最小值； 当，即或，则，无最小值； 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程，求得，再求离心率即可. 【详解】根据题意可知，该双曲线的一条渐近线方程为：，故， 则其离心率为. 故答案为：. 13. 已知圆上至少有三点到直线的距离等于1，则b的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得圆心到直线的距离小于等于1，列式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线到圆心的距离为：， 若圆上至少有三点到直线的距离等于1，因此， 即：，解得. 故答案为：. 14. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合四边形的面积分析可知当且仅当点P为左顶点时，取到最小值，进而可得线段AB的长度. 【详解】由椭圆方程可知：， 圆的圆心为（也为椭圆的左焦点），半径， 因为，可知四边形的面积， 当最小时，即为四边形的面积最小， 又因为， 可知当取到最小值时，四边形的面积最小，即最小， 且点P是椭圆上一动点， 由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时，取到最小值， 此时，由对称性可知：， 即，为等边三角形，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【小问1详解】 由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 16. 已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， （1）求C的标准方程. （2）设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解； （2）设，，结合可得线段关于x轴对称，得，求得，得解. 【小问1详解】 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为 因为点M在抛物线上，所以，解得 因此，所求抛物线的标准方程是 【小问2详解】 设正三角形的顶点A、B在抛物线上，且设点，， 则，，又， ，即， ，又，，， 由此可得，即线段关于x轴对称， 轴垂直于，且，， ，， 17. 已知双曲线的离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于两点，若线段的长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）运用双曲线的离心率的公式和a，b，c的关系，解方程可得，，进而得到双曲线的方程； （2）直线的方程为，代入双曲线方程，设、，运用韦达定理和弦长公式即可求解. 【小问1详解】 依题意可得，解得，，， 双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 右焦点为, 当直线无斜率时，此时，代入双曲线方程可得，满足, 当直线有斜率，此时设直线的方程为， 由，可得， 设、，， 由根与系数的关系可得：，， ，解得，故， 故直线的方程为， 综上可得或. 18. 已知圆． （1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 【答案】（1）； （2）①3，； ②证明：设直线方程为，， 由消去得，则， 直线斜率，直线的斜率， 依题意，，整理得， 即有，化简得，经验证的， 因此直线：恒过定点， 所以直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）判断给定点在圆上，求出经过切点的半径所在直线的斜率即可求解出切线方程. （2）①利用三角形面积公式可得时，三角形面积最大，再结合点到直线距离公式求出直线方程；②设出直线方程，与圆的方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式计算推理即得. 【小问1详解】 由，得点在圆上，则过点的圆半径所在直线斜率为 因此所求切线斜率为，方程为，即. 【小问2详解】 ①显然直线的斜率存在且不为0，设方程为，而圆半径为， 则的面积， 当且仅当时取等号，此时圆心到直线的距离， 因此，解得，直线：，即， 所以的面积最大值为3，直线的方程为. ②略 19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程： （2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N． （ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）是定值，定值为4；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知，结合椭圆定义即可得方程； （2）①联立方程，结合相切关系可得和点Q的坐标，进而可得，进而可得结果；②根据垂径定理求面积，结合分析最值即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 则， 可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以曲线C的方程为. 【小问2详解】 ①联立方程，消去y可得， 因为直线与曲线C相切，则， 整理可得，则原方程为，解得， 将代入直线，可得， 可知，且， 则，为定值； ②由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离， 可得， 因为，则， 可得， 则面积， 可知当，即时，取到最大值. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $