精品解析：甘肃省平凉市第一中学2026-2027学年高三上学期第二次阶段性考试数学试题

平凉一中2027届高三第一学期第二次阶段性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，解得，所以，满足. 2. 已知角的终边过点，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】根据角的终边过点，可得， 则得点位于第四象限. 3. 当时，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，因为，由可得且， 故函数的定义域为，排除AC， 当时，，排除D. 4. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 【答案】B 【解析】 【详解】设训练个单位数据的时间为​，训练个单位数据的时间为​， 由已知，得. 根据对数运算性质，可得：. 由题意，，因此时间之比为：， 即前者所需时间是后者的3倍. 5. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，由此列不等式组求解即可. 【详解】由题意得函数在上单调递减，且在上恒成立， 所以，解得， 故a的取值范围是. 故选；B. 6. 设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，比较自变量的范围和大小，利用函数单调性和奇偶性比较即得. 【详解】因为,所以函数是偶函数，所以. 当时,,此时有，所以函数在单调递增， 又因为 ,所以. 又因为,所以, 由函数的单调性可得即 7. 已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，． 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． 8. 定义域为的函数的导函数记作，满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，利用导数及已知研究函数的单调性，且将问题化为求解集. 【详解】由题设，令，则，则函数在上单调递减， 由不等式，得，又，等价于，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（    ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导函数的图像，可得函数的单调性，逐一判断即可. 【详解】由图像可知：当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值，在区间上单调递增，故A错误，B正确，C正确； 由图可知，故D正确， 故选：BCD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象及性质，结合函数图象的平移变换求解即可. 【详解】由题意知，，所以. 由，得，又，得. 由，得， 所以，所以． 又，即，所以，故， 所以，所以的最小正周期为，即A正确； ， 所以为偶函数，即B不正确； 又，所以直线不是的图象的对称轴，即C不正确； 当时，， 故在上单调递减，即D正确． 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为， ，所以为奇函数， 又在上为增函数， 所以， 所以，解得，所以原不等式的解集为 13. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式和倍角公式，代入即可求解. 【详解】因为，所以． 14. 设，若对任意的，不等式恒成立，则实数λ的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知不等式变形得出，当，则恒成立；当时，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，可得出，于是得出，变形得出，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，对任意的，不等式恒成立， 所以，即， 若，则恒成立，符合题意； 若，则， 令，其中， 则，所以函数在上为增函数， 当时，因为，则，， 由可得， 所以，所以，其中， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，亦即最小值，即， 此时. 综上所述，，则实数的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的各项均为正数，记为的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可求解公比，即可求解通项， （2）利用等比求和公式得，进而根据裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则， 由题意知，所以，解得或（舍去）， 所以，所以． 【小问2详解】 ，所以， 所以， 所以． 16. 已知函数，. （1）讨论函数的极值； （2）设函数，若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. （2） 【解析】 【小问1详解】 的定义域为，易得， 若，则，则在上单调递增，无极值； 若，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则，则在上单调递增， 则，则， 故的取值范围为. 17. 如图，在三棱锥中，点在上，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）因为，，平面，， 所以平面，而平面，则， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，再利用线面垂直的判定得到面，最后结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合面面夹角的向量求法即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在平面内过点作交于点， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 由题意得，，， ， 则，，，，， 由题意得，， 设平面的法向量为， 可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 由题意得，， 设平面的法向量为， 可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：在上单调递减． （3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 【答案】（1） （2） 令，， 则， 所以当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 即在上恒成立， 则在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，即可求出切线的斜率，再求切点坐标，最后利用点斜式计算可得； （2）令，利用导数求得函数的最大值为，则在上恒成立，可得证； （3）关于的不等式恒成立，转化为恒成立，设，利用导数求出的最大值范围，即可求出整数的最小值． 【小问1详解】 因为，所以， ，又，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 关于的不等式恒成立，即恒成立， 由于，所以恒成立， 设，则， 由（2）知在上单调递减，且，， 所以存在唯一，使得，即， 则当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 因为在上单调递增，则， 要使恒成立，且为整数， 所以的最小值为. 19. 若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．当点在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外时，其极线是圆锥曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．已知点是双曲线上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线为点处的切线，直线与轴的交点为． （1）证明：直线l的方程为； （2）若点，，直线上是否存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由题意知，点与直线是双曲线的一对极点和极线， 故直线的方程为，即． （2）由直线，知，又，，则， 故，即，故双曲线的方程为． 假设存在点，使得过点的双曲线的两条切线互相垂直． 由双曲线的几何性质可知，切线的斜率不为0，则两条切线的斜率都存在且不为0， 设切点分别为，， 则切线，． 由点和直线是双曲线的一对极点和极线， 得直线的方程为，即． 又，则． 因为点在直线上，所以， 切点在双曲线上，则， 化简可得， 同理可得， 则与是方程的两个解． 由韦达定理可得，得，故点的轨迹方程为． 又直线， 圆心到直线的距离， 令，则， 由均值不等式，得，因此，即， 故，所以直线与曲线无交点， 故不存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直． 【解析】 【分析】（1）利用极点极线的对应规则，曲线上点的极线就是该点的切线，代入圆锥曲线一般式可直接写出切线方程； （2）圆锥曲线两条互相垂直切线的交点轨迹为蒙日圆，先求出轨迹方程，再通过直线与曲线的位置关系判断是否存在满足条件的点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2027届高三第一学期第二次阶段性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边过点，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 当时，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 5. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义域为的函数的导函数记作，满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（    ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 10. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则不等式的解集为________． 13. 已知，则的值为______． 14. 设，若对任意的，不等式恒成立，则实数λ的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的各项均为正数，记为的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知函数，. （1）讨论函数的极值； （2）设函数，若在上单调递增，求的取值范围. 17. 如图，在三棱锥中，点在上，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：在上单调递减． （3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 19. 若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．当点在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外时，其极线是圆锥曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．已知点是双曲线上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线为点处的切线，直线与轴的交点为． （1）证明：直线l的方程为； （2）若点，，直线上是否存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $