3.5 图形的位似 梯度提升训练2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.5 图形的位似 梯度提升训练2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，下面三组图形中，位似图形有（　　） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 3．和是位似图形，位似中心是点O，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．直线经过点O D．直线、和相交于一点 4．如图所示是利用图形变换设计的一个美术字图案，这样设计的美术字更富有立体感，则该图案在设计的过程中用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 5．以为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形位似，且位似比为，则所画的矩形可以是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 6．《西游记》的故事家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．假如这个过程可以看成是在平面直角坐标系中的一次无旋转的变换，设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为．则变化后树叶的面积变为原来的（    ） A．300倍 B．3000倍 C．9000倍 D．90000倍 7．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 9．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若的周长表示为，则的周长表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    12．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为3，把放大，则点A的对应点的坐标为_____． 13．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、的坐标分别为、．若线段和是位似图形，且位似中心在轴上，则位似中心的坐标为_____．    14．如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为__________． 15．已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为___________；连接，若的周长为，则的面积为___________． 三、解答题 16．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，将的各边放大为原来的2倍得到． (1)在图中第一象限内画出符合要求的（不要求写画法）； (2)计算的面积． 17．如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 18．在如图所示的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置． (2)已知的面积为，则的面积为___________． 19．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图，中，点，分别在，边上，点，在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形：如图，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点． ②过点作交边于点，过点作于点．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点，，，均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，，．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图，可得正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为______，正方形的边长为______； 任务： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：______，______； 20．在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称． 例如：如图1，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称． (1)如图2，在中，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是____________（填写所有符合条件的序号）； (2)如图3，已知经过自位似轴对称变换得到，若，，连接和，点是的中点，在变化过程中，试猜想和的数量关系和位置关系是否变化，如果变化，请给出变化范围；如果不变，请写出和的数量关系和位置关系，并就图3的情况说明理由； (3)在（2）的条件下，若，当时，请直接写出的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D C D D D D A 1．【答案】C 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据位似图形的性质逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：三组图形都是相似图形，第一组和第三组图形的对应点连线所在的直线经过同一点，第二组图形的对应点连线所在的直线不经过同一点， 第一组和第三组图形是位似图形，第二组不是位似图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形必须同时满足两个条件：①两个图形是相似图形；②两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，二者缺一不可． 2．【答案】B 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，从而得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：OD=18， 故选：B． 3．【答案】B 【知识点】位似图形相关概念辨析、相似三角形的综合问题 【分析】依据位似变换的性质逐项判断即可． 【详解】∵和关于点O位似， ∴，且直线、和相交于一点O，即选项C、D正确； 如图，作出直线、和，三者交于O点， 根据位似变换的性质有：，故A答案合理； 根据位似变换的性质有：和交于点O，故B答案不合理； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一个点，也考查了平行线的判定和相似三角形的性质． 4．【答案】D 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据位似图形的定义，即可解决问题． 【详解】解：根据位似的定义可知：该图案在设计的过程中用到的图形变换是位似． 故选：D． 【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似图形的定义． 5．【答案】C 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】分别连接并延长，，，，即可根据位似的性质判断． 【详解】解：分别连接并延长，，，，根据图形可得只有③中矩形的各点在延长线上，如图：    故选：C． 【点睛】本题考查的是位似的性质，根据位似中心和能代表原图的关键点画出符合条件的位似图形是解题的关键． 6．【答案】D 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、利用平移的性质求解 【分析】根据题意树叶尖部点的变换是扩大300倍，然后向上平移200个单位，向下平移100个单位，根据位似变换的性质，以及平移的性质，根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为． ∴树叶变换是扩大300倍，然后向上平移200个单位，向下平移100个单位， 根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方， 可得变化后树叶的面积变为原来的90000倍 故选D 【点睛】本题考查了位似变换，平移的性质，相似图形的性质，根据题意理解变换是位似变换加平移变换是解题的关键． 7．【答案】D 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 8．【答案】D 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 9．【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即， 当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即， 综上所述，点C的对应点的坐标为或． 10．【答案】A 【知识点】求两个位似图形的相似比、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】先根据位似中心的性质，求出两三角形的位似比，然后根据相似三角形的周长之比等于位似比解答即可． 本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键． 【详解】解：∵，，与位似，原点是位似中心． ∴位似比为， ∵的周长表示为，则的周长表示为． 故选：A． 11．【答案】 【知识点】判断位似中心 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 12．【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或计算． 【详解】解：在轴同侧时， ，相似比为3， ； 在轴异侧时， ，相似比为3， ； 故答案为：或． 13．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、在坐标系中画位似中心 【分析】根据题意，位似中心在轴上，如图所示，连接与轴交于点，则点是位似中心，运用待定系数法求出直线的解析式，令，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接与轴交于点，则点是位似中心，    ∵，， ∴设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴位似中心的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查位似与一次函数的综合，掌握位似的定义，待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比、用勾股定理解三角形 【分析】先由勾股定理算出，，再结合位似的性质进行列式代入数值，进行计算即可作答．本题考查位似变换，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴，， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴相似比为， 故答案为：． 15．【答案】 / 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了位似，正确作出位似图形，理解位似相似性质是解题的关键， ①依据题意，根据对角线最长，当位似中心P与点D重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的，根据勾股定理计算即可； ②根据正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，得到正方形得边长为2，得到，设，则，根据，列式计算即可． 【详解】解：如图，当位似中心P与点D重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的． ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形∽正方形，相似比为， ∴正方形的边长为2． ∴． 故答案为：； ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为， ∴正方形的边长为2， ∴， 设，则， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的面积为． 故答案为：． 16．【答案】(1) 如图所示，即为所求 (2)6 【知识点】在坐标系中画位似图形、利用网格求三角形面积 【详解】（1） 略 （2）的面积为 17．【答案】①是位似图形，位似中心是点A；②是位似图形，位似中心是点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中心是点O；⑤不是位似图形 【知识点】位似图形的识别、判断位似中心 【分析】根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是位似图形，位似中心是点A； ②是位似图形，位似中心是点P； ③不是位似图形； ④是位似图形，位似中心是点O； ⑤不是位似图形． 【点睛】本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念． 18．【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 【知识点】求两个位似图形的相似比、判断位似中心 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——位似，掌握位似图形的特点是解题的关键． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）根据勾股定理求出、，进而得到与的位似比为，推出与的面积比为，即可求解． 【详解】（1）略 （2） ，， ， 与的位似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为， 故答案为：． 19．【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； (2)，． 【知识点】根据正方形的性质证明、求两个位似图形的相似比、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可解答； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可． 【详解】（1）略 （2）四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为． 20．【答案】(1)①② (2)不变，且 (3) 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、位似图形相关概念辨析、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据自位似轴对称的定义逐一分析； （2）延长到，使，连接，易证和全等，得到，；结合自位似轴对称的性质推导出，，从而证得，进而利用相似三角形的性质求得与的数量和位置关系； （3）利用平行性质和勾股定理，结合（2）中结论，即可计算的长． 【详解】（1）解：①与成自位似轴对称，对称轴为的角平分线所在的直线，如图； ②与成自位似轴对称，对称轴为平分线所在的直线，如图： ③与不成自位似轴对称， 故答案为：①②； （2）解：不变，且，理由如下， 延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴； ∴，， ∴， ∴； ∵和成自位似轴对称， ∴，且 ∴，， ∴，， ∴， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：∵，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查自位似轴对称的定义，位似的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解新定义，通过构造全等三角形推导线段和角的关系，从而证得相似三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $