3.5 图形的位似同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以考向为分层，覆盖位似坐标计算、比值与面积、作图操作，梯度从基础应用到综合实践，适配新授课知识巩固与几何直观、推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|位似图形坐标变换|选用中考真题（如内蒙古、兰州中考题）强化坐标公式直接应用，培养符号意识| |能力提升|相似比与线段长度、面积计算|结合网格、投影情境（如攀枝花、凉山州中考题）深化相似比与面积关系推理，发展运算能力| |综合实践|位似作图及与旋转、平移综合|通过网格作图题（如安徽中考题）实现作图技能与空间观念融合，提升创新意识|

3.5 图形的位似 考向1 根据位似求点的坐标 1.（2025内蒙古中考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 2.（2025兰州中考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 3. （2024绥化中考）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是 故选：D． 4.（2023遂宁中考）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定直线 的解析式为：，由位似图形的性质得出 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线 的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线 的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时， ， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 5.（2026银川一模） 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点为位似中心，将放大，且点为对应点的黄金分割点，则点的对应点的坐标是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据位似变换是以原点为位似中心，将放大，且点为对应点的黄金分割点，可得出相似比为，然后分别计算即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，将放大，且点为对应点的黄金分割点， ∴相似比为， ∵点， ∴点的坐标为． 即点的坐标为． 6.（2026绥化中考）. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是等腰直角三角形得到，，即可判断旋转后点在x轴上，轴，，，通过解直角三角形得到，，得到点的坐标，再根据位似图形的坐标变化求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴与x轴的夹角为， ∵绕点顺时针旋转后，得到， ∴点在x轴上，轴，，， ∴， ， ∴， ∵以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到， ∴顶点在第一象限对应点的坐标是，即． 7.（2026西宁二模）已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换以原点为位似中心时，相似比为，位似图形对应点的坐标的比等于或，进行计算． 【详解】解：点的坐标为，以原点为位似中心，位似比为， 当以原点为位似中心将缩小时，点的对应点的坐标为或，整理得或； 当以原点为位似中心将扩大时，点的对应点的坐标为或，整理得或． 8.如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 【答案】（3,2）或（-9，-2） 【详解】当时，；当时，，则点B的坐标为（0,1）， ∴A（-3,0）. ∵△，且相似比为2꞉1， ∴， ∴O’B’=2，O’A’=6. 当△B’O’C’在点A右侧时，B’（3,2）； 当△B’O’C’在点A左侧时，B’（-9，-2）. 综上，B’（3,2）或B’（-9，-2）. 9.（2025烟台中考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 考向2 根据位似求比值或线段长度 1.（2024攀枝花中考） 如图，与是位似图形，点为位似中心．已知，则与的相似比为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据题意得到，得出，得到与的相似比为，即可得到答案． 【详解】解：与是位似图形，， ， ， 与的相似比为， 故选：A． 2.（2025眉山中考）. 如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到以点O为位似中心放大2倍后得到是解题的关键； 根据题意可得以点O为位似中心放大2倍后得到，再根据位似图形性质求解即可. 【详解】解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到， ∵， ∴与的周长之比是； 故选：B 3.（2024凉山州中考）. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 4.（2026武威中考）如图，四边形与四边形是以原点 为位似中心的位似图形．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ， ∵四边形与四边形是以原点 为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 5.（2026宁波二模）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 6.（2026晋中二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴的垂线，交轴于点，容易求得 ，进而可求得，得到点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，交轴于点， 由题意得， ∴ ， ∴． ，， ． ∴， 又∵，， ，． ． ∴点的坐标为． ． 7.（2025绥化中考） 在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键． 根据坐标与图形的性质进行解答即可． 【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 8.（2026金华一模）古书《墨子·天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则，C两点之间的距离为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，记正方形对角线的交点为，由题意可知三点在同一直线上，先根据正方形的面积求出其边长，进而推出，再利用位似性质求出，即可解题． 解题的关键在于灵活运用位似图形的性质． 【详解】解：连接，，记正方形对角线的交点为， 由题意可知三点在同一直线上， 正方形的面积为4， ， ， ， ， ， ， ． 9.（2026榆林模拟）如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 【答案】6 【解析】 【详解】解：连接， ∵平行四边形 与平行四边形是以点A 为位似中心的位似图形， 且相似比为， ∴A，G，C三点在同一条直线上，，，， ∵平行四边形 的面积为， ∴ 和 的面积都是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，同理可得 ， ∴与的面积之和为， 故答案为． 考向3 画位似图形 1.（2025安徽中考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求作的三角形． 2.（2026怀远模拟）如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列任务． （1）作图：以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到． （2）以点O为位似中心，在网格内作的位似图形，使与的位似比为． （3）的面积为______． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求作的图形． （2）解：如图所示，即为所求作的图形． （3）8 【解析】 【分析】（1）根据旋转作图的步骤，逐步作图即可； （2）根据位似作图的步骤，逐步作图即可； （3）根据割补法求三角形的面积进行计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∴． 3.（2026安徽模拟） 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似图形的性质画图即可． （3）作直线，交于点P，点P即为位似中心． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心， ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 将与联立，得：， 解得， 点的坐标为． 4.（2026阜阳模拟）如图，在每个小正方形边长均为的方格中，的顶点都在格点上． （1）将向左平移格，再向上平移格，在图中画出平移后的； （2）以点为位似中心，将线段缩小到原来的，在图中画出缩小后的线段； （3）图中能使的格点的个数是_____（不包括点）． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3） 【解析】 【分析】（）根据平移的性质画出图形即可； （）根据位似图形的性质画出图形即可； （）过点画出的平行线，找出格点个数即可求解； 本题考查了平移作图，位似图形作图，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点均符合题意， ∴点的个数是， 故答案为：． 5.（2026武汉模拟）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下问题，每问的画线不得超过三条． （1）在图1中，作的高线； （2）在图1中，在上画一点F，使； （3）在图1中，在上画一点G，使； （4）在图2中，P是上一点，连接，将以点B为位似中心缩小到原来的得到． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析； （4）见解析； 【解析】 【分析】（1）取格点、，连接并延长与交于点，可通过全等得出，再结合，得出，即； （2）取格点，连接与交于点，先利用相似三角形的性质，得出，则，结合勾股定理进而推出，则，即； （3）取格点、，连接并延长与交于点，则，得，，即垂直平分，即可得出； （4）在上取三等分点，取格点，连接与交于点，由可得与相似，且相似比比为． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点F即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点G即为所求； 【小问4详解】 解：如图即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 图形的位似 考向1 根据位似求点的坐标 1.（2025内蒙古中考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2.（2025兰州中考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. （2024绥化中考）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4.（2023遂宁中考）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 5.（2026银川一模） 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点为位似中心，将放大，且点为对应点的黄金分割点，则点的对应点的坐标是（ ） A. ， B. C. D. ， 6.（2026绥化中考）. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7.（2026西宁二模）已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 8.如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 9.（2025烟台中考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 考向2 根据位似求比值或线段长度 1.（2024攀枝花中考） 如图，与是位似图形，点为位似中心．已知，则与的相似比为（　　） A. B. C. D. 2.（2025眉山中考）. 如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（ ） A. B. C. D. 3.（2024凉山州中考）. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 4.（2026武威中考）如图，四边形与四边形是以原点 为位似中心的位似图形．若，，，则（ ） A. B. C. D. 5.（2026宁波二模）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 6.（2026晋中二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7.（2025绥化中考） 在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 8.（2026金华一模）古书《墨子·天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则，C两点之间的距离为_____________． 9.（2026榆林模拟）如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 考向3 画位似图形 1.（2025安徽中考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 2.（2026怀远模拟）如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列任务． （1）作图：以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到． （2）以点O为位似中心，在网格内作的位似图形，使与的位似比为． （3）的面积为______． 3.（2026安徽模拟） 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 4.（2026阜阳模拟）如图，在每个小正方形边长均为的方格中，的顶点都在格点上． （1）将向左平移格，再向上平移格，在图中画出平移后的； （2）以点为位似中心，将线段缩小到原来的，在图中画出缩小后的线段； （3）图中能使的格点的个数是_____（不包括点）． 5.（2026武汉模拟）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下问题，每问的画线不得超过三条． （1）在图1中，作的高线； （2）在图1中，在上画一点F，使； （3）在图1中，在上画一点G，使； （4）在图2中，P是上一点，连接，将以点B为位似中心缩小到原来的得到． 学科网（北京）股份有限公司 $