3.5 图形的位似 巩固练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.5 图形的位似 巩固练习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 3．如图，与是位似图形，位似比为1：4，若，则的长为(　　)    A．4 B．6 C．8 D．10 4．把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，将按相似比放大，则顶点在第三象限的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的周长为1，则的周长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点D的坐标为，若与是位似图形，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10．如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，矩形与矩形关于点O位似，则点O、B与点______共线，（填“一定”或“一定不”或“不一定”） 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形．位似中心的坐标是________． 13．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．以坐标原点O为位似中心，将放大，记所得三角形为，若点A的对应点的纵坐标为，求点的横坐标为___________． 14．如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是______． 15．如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为______． 三、解答题 16．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，画出的位似图形，使与位于点的两侧，且与的相似比为； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 17．如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心（保留作图痕迹）； (2)若，位似比是，求的长． 18．在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是．将点O，B，C的横、纵坐标都乘，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与位似吗？ 19．如图所示，，相交于点，连接，，，，． (1)求证：． (2)直接回答与是不是位似图形． (3)若，，，求的长． 20．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图，中，点，分别在，边上，点，在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形：如图，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点． ②过点作交边于点，过点作于点．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点，，，均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，，．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图，可得正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为______，正方形的边长为______； 任务： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：______，______； 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C D A C B D C 1．【答案】C 【知识点】位似图形的识别 【分析】直接利用位似图形的性质解答即可． 【详解】解：因为图③与不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，所以与是位似图形的是③． 故选C． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2．【答案】D 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】根据对应点到位似中心距离之比等于位似比即可解答． 【详解】∵与是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形中“对应点到位似中心距离之比等于位似比”是解答本题的关键． 4．【答案】C 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点， 故选： 5．【答案】D 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图所示，连接，，连接并延长， 以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点， 位似比为， 点的对应点是． 故选：D ． 6．【答案】A 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】利用位似中心为原点，且两个三角形分别位于第一、三象限，可知对应点的坐标符号相反且比值为相似比． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按相似比放大， ∴与位似，相似比为， ∴， ∵位似中心为原点，点，且在第三象限，在第一象限 ， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 7．【答案】C 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了位似图形的性质； 根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的位似比是， ∵的周长为1， ∴的周长为3， 故选：C． 8．【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据位似图形的概念得到AC∥DF，证明△OAC∽△ODF，可得结果． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，，即， 与是位似图形， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键． 9．【答案】D 【知识点】位似图形相关概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项正确，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 10．【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 11．【答案】一定 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形，即可解题． 【详解】解：矩形与矩形关于点O位似， 点O、B与点一定共线， 故答案为：一定． 12．【答案】 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键． 连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图，连接两组点与以及与交于点， 点即为位似中心，． 故答案为：． 13．【答案】6 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向和扩大的倍数． 【详解】解：∵三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，将这个三角形放大后点A的对应点的纵坐标为，即， ∴点的横坐标为． 故答案为：． 14．【答案】12 【知识点】利用相似三角形的性质求解、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，由题意得出 和的位似比，从而得出和的面积的比是，即可得解． 【详解】解：点与点是对应点，原点是位似中心， 和的位似比， 和的面积的比是， 又 的面积是3， 的面积是12． 故答案为：12． 15．【答案】/ 【知识点】求两个位似图形的相似比、等边三角形的性质、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．先根据三角形中位线定理可得，，，，得出，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，从而即可求解． 【详解】解：∵分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， 又∵分别是，，的中点， ∴点与点，点与点，点与点的连线都经过点， ∴与是位似三角形，其位似中心是点， ∵， ∴与的位似比为， 故答案为：． 16．【答案】(1) 如图：即为所求； (2) 如图：即为所求． 【知识点】在坐标系中画位似图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了位似作图、旋转作图等知识点，准确找到对应点是解题的关键． （1）先根据位似的性质确定B、C的对应点，然后顺次连接A、即可； （2）先根据旋转的性质确定的对应点，然后顺次连接、即可. 【详解】（1）略 （2）略 17．【答案】(1) 解：如图，位似中心即为所求． ． (2) 【知识点】求两个位似图形的相似比、判断位似中心 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． （1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求； （2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵与是位似图形，位似比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．【答案】以这三个点为顶点的三角形与位似． 【知识点】在坐标系中画位似图形 【分析】利用平面直角坐标系画出图形，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：即为所求： 由图可知：与位似，它们的位似中心是O，位似比是1∶2． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出对应点位置是解题关键． 19．【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2)不是； (3) 【知识点】利用两角对应相等判定相似、相似三角形的判定与性质综合、位似图形的识别 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似图形的定义．关键是利用已知角相等和对顶角相等证明三角形相似，再结合相似三角形的性质求解线段长度，同时掌握位似图形的判定条件． （1）要证明，已知一组角相等()，结合对顶角相等的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明； （2）根据位似图形的定义：位似图形是对应顶点的连线交于一点，且对应边互相平行或在同一直线上的相似图形，结合图形特征判断即可； （3）先由得到对应边成比例，进而推出，再利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解的长度． 【详解】（1）略 （2）解：根据位似图形的定义，位似图形需满足对应边互相平行或在同一直线上，而与的对应边与、与、与均不平行，不满足位似图形的条件， ∴与不是位似图形； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 20．【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； (2)，． 【知识点】根据正方形的性质证明、求两个位似图形的相似比、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可解答； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可． 【详解】（1）略 （2）四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $