福建省厦门第一中学2026-2027学年第一学期高三年第二次阶段性练习数学试题

厦门一中2026-2027学年第一学期高三年第二次阶段性练习 数学试题参考答案与评分标准 -、单选题：1.D2.D3.C4.B5.A6D7.B8.D 8.【详解】若f(x)满足对任意的1>0，都存在唯一实数x使得(x-儿f(x)-f(]=0, (若f(x)不严格单调，则至少存在一个t,使得除x=t外还有其他x满足f(x)=f),与“唯一实数x”的 条件矛盾)所以f(x)在(0，+∞)上严格单调， 所以f(x)=nx+1-1+2m+2=hx-1+2m+3,所以f(x)≥0在(0，+o)恒成立，或f(x)s0在(0，+o) 恒成立，当f'(x)≤0在(0，+o)恒成立时，即nx-+2a+3≤0对x∈(0，+o)恒成立， 1 所以2as1-n-3，令g)-1-血-3x,即2a≤g(),所以g()=血x+2r-2 x2 x2 x3 令h(x)=xnx+2x-2,所以h(x)=lnx+3,令h(x)=0,解得x=e3, 令h(x)>0,解得x>e3,令h(x)<0,解得0<x<e3, 所以h(x)在(0，e)单调递减，在(e3,+o∞）单调递增，又h()=0, 当0<x<1时，h(x)<0,所以g(x)<0,当x>1时，h(x)>0,所以g(x)>0 所以g(x)在(0,1)单调递减，在(1，+)单调递增，所以g(x)m=g()=-2,所以2a≤-2，即a≤-1， 当f'(x)≥0在(0，切)恒成立时，即nx-+2ar+3≥0对x∈(0，+o)恒成立， 当x→0时，f'(x)→-0，不满足题意， 综上所述，a∈(-o,-选择D. 二、多选题：9.ABD10.BC11.ACD 11.【详解】首先拆解曲线方程： 当x>0,y>0(第一象限)时：Ixx,1y=y,方程化为4x2-5y2=20,即 当>0，<0（第四象限）时：非x,叶y,方程化为4K2+5y=20,即号+=1： 5+4 当x<0,y>0(第二象限)时，|x=-x,1y=y,方程化为-4x2-5y2=20,即4x2+5y2=-20,无实数 解，不存在对应曲线： 当x<0,y<0(第三象限)时，x-x,1川-y,方程化为4x2+52=20,即 x2 =1 作出图象如右图： y525 = 对于A:由图可知，三段图象全部随x增大y增大，在全体实数域单调递增，A正确 32 对于B:将4xx-5y=20中的x替换成-y,y替换成-x,得4yy+5x=20 34=1(6x20,20) 与4x-5yy=20不相同，故f(x)的图象不关于直线y=-x对称，故B错误 0 对于C直线25：为双面线号-若1与双間发苦-号=1的条公共价远发 2y2 5 -2 5+4=1620y<0) 且直线y=25 、5x与曲线+y=1Kx≥0，y<0)无公共点 5”4 1x<0,s0 则直线)y-25x与函数f)的图象没有公共点，则函数FK)=V5矿2x不存在专点，C正确， 5 对于D:设曲线C上第一象限内的点为B(化，⅓)>0乃>0)，则生发=1，即4-56=20， 54 2xo+V5yo2xo+v5yo 所以点P到直线2.x+√5y=0的距离4= V22+(5) 第1页/共4页 26-V5为2x。-5yg 点P到直线2.x-√5y=0的距离4，= 3 所以dd= 4x-56_20, 故D正确 V2+(5 9 9 综上，选择ACD 三、填空题：12-号；13（--引； 14.1013. 14.【详解】由题意，=3，Pn1=Pn+(Dn-1)=2Pn-1,所以Pn+1-1=2(Dn-1), 即数列{P-}是以R-1=2为首项，2为公比的等比数列，所以P-1=2”,=2”+1,乃6=2226+1. 由题意，S=4048,S1=Sn-2,即数列{S}是以4048为首项，-2为公差的等差数列， 所以Sn=4048+(0n-)-(-2)=-2n+4050，S,0s=0.所以P%+Sms=206+1,1Dg,(Co6+Ss-）=1013. 四、解答题： 15.解：(1)由sina-cosa= 5-1,两边平方可得：（sina-c0s02=1-sm2=1-5。 2分 2 2 ·sim2a=V 或，即a-或」 ，又：0是三角形内角，所以2a=无或2r, 63’ 4分 当u= 时，sina-cosa= 3 3-意相符，当a时，如wcoa+.金法 2 2 π ∴.0= 3 6分 包j的=nxm±令=mx+sin.cossin.9 2cosr=5sim(r+29分 ∴当且仅当x +严=交+2kπ欣∈Z),即x=T+2kπ∈Z)时，f()取得最大值5l1分 62 3 令2款-号x+营2r+5e0,可得2-号5x≤2k-香e刀-业分 广田的单调递增区间为2k元2kx十（ke2Z.lB 16.(1)证明：连接B,C交BC于O,连接OE,O为BC中点，E为AC中点，∴.OE/1AB,2分 而AB丈平面CEB,OEC平面CEB,ABI1平面CEB. .5分 (2)取AC的中点D,由正三棱柱得ED∥AA,则ED⊥平面ABC △ABC为等边三角形，E为AC的中点，.BE⊥EC. .6分 以E为原点，分别以EB,EC,ED所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，·BB,=BA=2,CF=2FC, D E0.0,0,Bw5.00,C0,12),F0,l3 8分 则F-(5)E-(6.0.C=0L29分 设平面BEC的法向量为i=(x,y,z), [i.BE=0m「-5x=0 x=0 即 令y=-2,.平面BEC的一个法向量i=(0,-2,), EC =0 y+2z=0 11分 z=1 -2+ 设直线BF与平面BEC所成角为a,∴sina=cos(i,BF n.BF V65 BF v5x2i③ 65 ’.14分 3 即直线BF与平面BEC所成角的正弦值为V65 …15分 65 第2页/共4页 a=2 a=2 17解：(1)由题意可得 a 2 ，解得b=1, 所以，椭圆的方程为+少=13分 b=Va-c c=V3 (2)(i)假设x轴上存在定点Q(m,0)使得OP⊥EQ, 由题意可知，AD所在的直线方程为y=k(x+2),点D(x,), 联立 +44可得(4+)小r+163x+16k2-4=0,△>0显然成立， y=k(x+2) 是然点A为直线y=k(x+2)与稀圆一+y=1的一个公共点。 4 2-8k2 韦达定理可得2164，所以4+ a5分 4k2+1 2-8M+2 4k 则= -+2 42+1’故点D 2-8k24k 4k2+1 4k2+1'4k2+1 6分 8k2 因为点P为线段AD的中点，所以，点P 2k 4k2+1'4k2+1' 易知直线AD交y轴上的点为E(O,2k), 2k-02k 所以，k0=0-mm kor=-4k 1 8分 因为OP⊥E0,则Krokor= 9分 所以在x转上布在定) 使得使得OP⊥E观成立；… 10分 ci)因为1+4.am∠40D=Di0D,所以，01-0Dem∠10D V1+4k21 即3m-网O0sm∠400=+4g 12分 时4-k-器 1 13分 解得k=t5 ,即为所求…m 15分 18解：(1)(i)设“第一次取到2号牌”为事件A,“第二次取到2号牌”为事件B, 1分 曲全概率公式，Pa)=P④P(4小+P(同Pa可-名0+名x-故第2次取出2号卡牌段李为3分 5 66 6 (i)X=1,3,4,5,6,… …4分 x0-g0x-列-名名*0 1,1111 6 1111_1 1465420 PK==104号1个1分) .9分 20 所以X的分布列为 X 1 3 4 5 6 1 4 1 1 1 P 20 5 20 20 20 第3页/共4页 效华期即为8)-山动3号4力+50+60台 4 1 1 116 11分 (2)记盒中装有编号1,2，…，n的n张卡牌时，最后一次取出的是n号卡牌的概率为Pn, 第1次取卡分为三类互斥事件： ①第1次取出1号卡牌，概率为一，后续依次取出2,3，…，n-1号卡牌， n 则最后一次取出的是n号卡牌； …12分 1 ②第1次取出n号卡牌，概率为二，则最后一次取出的不可能是n号卡牌；13分 n ③第1次取出m号卡牌，2≤m≤n-1,概率为二，第2,3，…，m-1次按规则取出2,3，…，m-1号卡牌， 第m次在剩余n-m+1张卡牌中等概率抽取，该子问题等价规模为n-m+1的原型， 所以+1D,整理得D士，15分 n-2 同理对n-1可得：(n-1)P=1+∑？， =2 两式相减可得：nPn-(n-)Pn=Pn,即P=Pn所以{Dn}是常数列， 16分 又n=2时，B=),故对任意整数n≥2，卫=)… 17分 19.解：(1)因为f(x)=c0sx,g(x)=2x,所以f(x)=-sin,g'(x)=2.2分 所以2f'(x=2-sin≤2=g'(x),所以y=g(x是y=f(x)的“2-调整函数”；3分 (2)f(x)=x,g(x)=e"+bx,f(x)=2x,g'(x)=e"+b. 由于y=g(x)是y=f(x)的“k-调整函数”，那么存在常数k,使得g(x)≥kf(x)恒成立， 即C+b≥k2x=2k，即b≥2k|x-e5分 因为存在实数b∈[-2，，满足上式，所以-1≥2kx-e,即e-1≥2kx6分 1)若x=0,则e-122kX成立；7分 2)若x<0,则2kx≤e-1<0,所以k<0,且e+2a-1≥0. 设h(x)=e+2kcx-l,x<0,则h(x)=e+2k在(-oo,0)单调递增 当-<k<0时，由1(x)>0可得：ln(-2)<x<0,所以当x∈（血(2），0)时，h()>0,h(x)单调递增， 则当xe(n(-2),0)时，h(x)<h(0)=0,不满足题意： 当≤时，2k≤-1，h(水0，（倒在(-@0）上单调递减，hy>h0)=0恒废立…l10分 3)当k≤-2时对vx>0,。-1>0>2k纠恒成立… 11分 家上调整系数k的取值范围是一0、一)w 12分 (3)y=f(x)-g(x)不一定是常值函数.可举反例如下： Lxs-2 -月 0xs- 0rs- 例：令f-mr<经g)-m受<x<至，f倒-cox受<x<受，g-coa<x<受l15分 -2 1x2 0.x≥ 0x2≥ 此时函数y=g(x)的值域是一个闭区间，为集合P=[-1,],函数y=f(x)的值域为集合9=[-1，]，满足 Pc9,又g(x)=f'(x)满足对任意实数x,g'(x)≥f'(x)恒成立，即满足y=g(x)是y=f(x)的1-调整 函数，此时y=f(x)-g(X)不是常值函数.17分 第4页/共4页 厦门一中2026-2027学年第一学期高三年第二次阶段性练习 数学试题 （考试时长：120分钟　满分分值：150分） 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数为纯虚数，则 A． B． C． D． 3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则 A．2 B．4 C．5 D．9 4．已知，是非零平面向量，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，，则 A． B． C． D． 6．已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于 A． B． C． D． 7．已知，且，，则 A． B． C． D． 8．设函数．若满足对任意的，都存在唯一实数使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 10．如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则 A．，，，四点共面 B．线段为直三棱柱外接球的直径 C．三棱锥的体积为 D．点到面的距离为 11．已知方程所表示的曲线即为函数的图象，则下列结论正确的是 A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数不存在零点 D．曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．从凌晨3点到6点，时针转了________弧度． 13．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围________． 14．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差(前项减后项)，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，，，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知是三角形内角，． （1）求； （2）求函数的最大值，及的单调递增区间． 16．（15分）如图，正三棱柱中，为中点． （1）求证：平面； （2）若，点在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）已知椭圆的左顶点为，离心率，过点且斜率为的直线与椭圆交于点与轴交于点． （1）求椭圆的方程； （2）设点为的中点．若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点）． （i）求出点的坐标； （ii）若，求的值． 18．（17分）盒内装有张相同的卡牌，编号分别为1，2，3，…，．从盒内每次不放回地取出一张卡牌，直至卡牌全部取出．具体规则如下： ①第1次取卡：从盒内随机取出1张卡牌； ②第次取卡（）：若号卡牌仍在盒内，则取出号卡牌；否则，从盒内随机取出1张卡牌． （1）若． （i）求第2次取出的是2号卡牌的概率； （ii）设第3次取出的卡牌编号为，求的分布列与数学期望； （2）求最后一次取出的是号卡牌的概率． 19．（17分）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和．若存在常数，使得对任意实数，恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数． （1）设，．判断是否为的“调整函数”，并说明理由； （2）设，．若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； （3）已知是的“调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合．若，判断是否一定是常值函数，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $