福建厦门市第二外国语学校2026-2027学年上学期高三第一次月考数学试卷

厦门二外2026-2027学年高三上学期第一次月考 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 3．已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．已知是上的偶函数，当时，，则（ ） A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6 5．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 6．函数，若方程有三个不同实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8．若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（ ） A． B．对于已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为4 C．若，则 D．设函数导函数为，且，则 10．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 11．对于函数，下列说法正确的是（ ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．若有两个解，则 D．设，至少有三个整数解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则的单调递减区间为__________． 13．已知，，则__________． 14．已知函数，则关于的不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数，当时，有极小值0． （1）求实数，的值； （2）求函数在区间上的最值． 16．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 17．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证： 18．已知抛物线的焦点为． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线相交于，两点， （i）若，求实数的值； （ii）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 19．设函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）已知，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $《厦门二外2026-2027学年高三上学期第一次月考》参考答案 题号 2 6 8 10 答案 A A B BD ABD 题号 11 答案 BCD 12.(4,+0） 13.-1 （ug+o) 14. 15.【详解】(1)“(x)=r+ax2+bx+2.f(x)=3x2+2ax+b .f'(1)=0 :当x=1时，f()有极小值0.“f0=0 3+2a+b=0,「a=0 l1+a+b+2=0…lb=-3.∴f(x)=x3-3x+2.f'(x)=3x2-3 :f()>0的解为x>1或x<-,·f()在(，+），（0，-)上是单调递增函数： :f()<0的解为-1<x<1,(x)在1，)上是单调递减函数， a=0 ()在x=1处取得极小值，满足题意，故b=-3 a=0 (2)由(1) b=-3.fx)=x3-3x+2.f'(x)=3x2-3」 又”x∈[-1,3]，∫()>0在-，3上的解为1<x≤3，f()在L,3]上是单调递增函数： “f()<0在-1,3]上的解为1<x<1,小()在1,1上是单调递减函数： f()在1,3]上的最小值为f（0=1-3+2=0.又f(-)=(-)-3x(-)+2=4, f(3)=32-3x3+2=20.f()在-1,3]上的最大值为20， 综上可知，()在[-，3]上的最小值为0，最大值为20. 16.(1)证明：由题意知E、F分别是BC、CP的中点，则得PB/EF, 因为EFC平面DEF,PBC平面DEF,所以PB∥平面DEF. (2)由PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，则可以A点为坐标原点，以AB,AC,AP所在直线为x, y,z轴建立空间直角坐标系. ZA 则40a0.8La0.coL0.Po02.D5o0.5号0.r0 P=aa2)呢-20F-( 设平面DEF的一个法向量为元=(x,少2)， ED.i=上=0 2 则( E- 2 ，令x=1,则得i=(2,0,1) n·AP sin= 2」5 2×V5 设直线PA与平面DEF所成角为B,则 5 故线PA与平面DEF所成角的正弦值为5， 17.【详解】(1)设等差数列fa,}的公差为d(d≠0)，则S=3a+3d=15,又4,4，a成等比 数列，所以4=aa,则a+3d)=a(a+12d化简得d(9d-6a)=0,即9d-6a=0,解得 a=3,d=2,所以0，=3+(n-1)×2=2n+1 6-1。1 =1-1） (2)由(1)得”a,a+2(2n+1)(2n+5)42n+12n+5 111,11,11,11, 11,11 -437十5g+7ii+913++2m-12n+32n+12m+5) 则 =+1-1）-2-1+1 4352n+32n+51542n+32n+5 1(1 1 >0 211 +1）2 2 因42n+32n+5 ,所以1542n+32n+515,即n15成立， 18。【详解】(1)由抛物线C:y=2px的焦点为(2,0)可得p=4, 所以抛物线C的方程为y=8x. (2)联立抛物线C:y=8x与直线y=k(x-2)的方程可得 4k2+8 y2=8x x1+X2= k2 =k(x-2),整理得k2x2-4k2x-8x+4k2=0,故 xx2=4 :MN=x+x+p=10,x+x=6,解得k2=4,k=士2. 4k2+8 +x2= (i)由(i)得 k2 y+y=G-2+(,-2)=(5+）4k= x=+ 4k2+8=4+ 8 3 +x2=3x 3x 2 =出+当 y+2=3y 8 设△OMN重心坐标为（化），则 3y= 3 即 k 32 3x=4+8' y2-8x-32 4 所 即=39，x> 19.【详解】(1)因为 ()=nr++0的定义域为0，+oo).了-了=r-】】 令f'(=0得，x=1:令f(>0得，x>1:令()<0得，0<x<1, 所以，f(☒)在(0,1)上单调道减，在+切)上单调递增。 lnx+ax+>0 e,即 令8（间-血r+r+。,xe(0+w）.则8）小0恒成立，8m>0,。 g'(x)=Inx+1+a 令8()=0得，x=e>0:令8()>0得，x>e:令8()K0得，0<x<e, 所以.8()在(0e)上单调莲减，在c+四小上草调道路， g(x)min=g(e14)=e-1-Ine1+ae+-(-1-a)e1+ac+1=-c1+0 1 e e e, 则e<e,得-l-a<-1,解得a>0,故a的取值范围为(0，+o）. (3)x>xx.证明如下： 因为方程了()=m有两个不等实根，，不妨设0<<1<， Inx+I-m-a Inx:+=m-a 1 所以 X +L=In+- Inx 1 n=-为 化简得 ,即， 4s支 Int =4-1 令，其中0<4<1，则=，所以 5=1 5=G-10 解得血4，则解得 i(m): 因为方程()=-m有两个不等实根5，。，不妨设0<。<1<。， 1 1 Inx3+-=-m-a Inxa+=-m-a 所以 X3 s+上=ln+n点=5s 化简得 4,即4x4, 4s5 4,=专-1 令2，其中0<巧<1，则=x4,所以x, 龙51 ，=- 解得，解得（血，； ()=-02 设 7(n)°，其中0<t<1,令u(0)=),v()=《-1, 则0=+2w=a+2￥0）=2t-0. h0）=v@u0-0r0_20t-lnP-1-P（r'+2y) w2(t) (Int) （2-1lt-2t-_-l[+1)int-2-] t2(Int) t2(Int) 因为∈(0，，所以t∈(0,1)，t-1<0,t<0,(n)<0, 令p()=(t+1)ht-2(t-l),其中te(0,+o）, 则0=+-2=+1 0--01P00.a0e0:43成 p'()>p'(0)=0,所以p0在(0，)上单调递增， 当t→0时，t+1→L,lt→-o,所以p<0,则h'()<0, 所以h)在(0,1上单调递减， 因为m>0,所以m-a>-m-a,所以0<x<<1<4<, 4=占<点=63 则名x5,所以G)>h),即>4