天津市南开中学2026-2027学年第一学期学情调查(一)数学试卷

南开中学2026—2027学年度第一学期学情调查（一） 高三数学试卷 考试时间 120分钟 Ⅰ卷 一、选择题（每题5分，共45分） 1．设全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 5．若，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 6．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ） A． B．1 C．5 D． 7．已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（ ） A． B． C． D． 8．已知向量在单位向量上的投影向量为，且，，则，的最小值为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，共30分） 10．已知，则_________． 11．的展开式中常数项是，则_________． 12．已知，，若，同向，则_________． 13．为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为_________；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是_________． 14．直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于_________． 15、若，，对满足时，都有恒成立，则的最小值是_________． 三、解答题（16题14分，17-19每题15分，20题16分，共75分） 16．已知函数，若任意，恒成立时，的最小值为． （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，将其图象向右平移个单位得到函数的图象．当时，求的最大值与最小值，及其对应的x的值． 17．如图，已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，M、N、P、D分别是、、、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求到平面的距离． 18．如图，平面内四点A，B，C，P，满足，，，． （1）若，，（ⅰ）求的面积；（ⅱ）求． （2）若，，求． 19．已知椭圆：，离心率为，点在椭圆上． （1）求曲线的方程； （2）设直线l是过原点O的一条动直线，直线l与圆O：交于M，N两点，，直线，与曲线的交点分别为点B，C． （ⅰ）直线是否过定点，过的话求出定点坐标，否则，说明理由； （ⅱ）是否存在直线l，使得四边形为梯形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 20．已知定义域为的函数，且曲线在点处的切线方程为． （1）求m的值； （2）当时，研究的单调性； （3）若在上恒成立，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $