天津市南开中学2026届高三上学期第三次质量检测数学试题

2026届高三年级第三次质量检测

数学试卷

一、选择题（共9小题，每题5分，共45分）

1. 设全集，，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

2. “”是“直线与直线垂直”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 已知表示变量x与y之间的相关系数，表示变量u与v之间的相关系数，且，，则（    ）

A. 变量x与y之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性

B. 变量x与y之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性

C. 变量u与v之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性

D. 变量u与v之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性

4. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数恰有个零点，则正数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知抛物线：的准线经过双曲线：的左焦点F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点M，延长FM与抛物线相交于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（   ）

A.  B. 2 C.  D.

二、填空题：（共6小题，每题5分，共30分）

10. 若复数，则___________

11. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）.

12. 若直线被圆截得的弦长为2，则 ______.

13. 甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛，比赛共五局（无平局），先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为，且对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为；若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为.甲同学第二局比赛获胜的概率为________；在比赛三局即结束的条件下，乙同学取得比赛最终胜利的概率为________.

14. 在中，，，点M满足，，O为线段BM的中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则线段的长度为________，的最小值为________.

15. 已知函数，若关于x的不等式的解集为，且，，则实数t的取值范围为________.

三、解答题（共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 在中，角所对的边分别是，已知．

（1）求角的大小；

（2）设

①求的值；

②求的值．

17. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值；

（3）求直线到平面的距离.

18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4.

（1）求椭圆C的标准方程；