天津市南开中学2026届高三上学期第三次质量检测数学试题

2026届高三年级第三次质量检测 数学试卷 一、选择题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知表示变量x与y之间的相关系数，表示变量u与v之间的相关系数，且，，则（ ） A. 变量x与y之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性 B. 变量x与y之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性 C. 变量u与v之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性 D. 变量u与v之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（   ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线：的准线经过双曲线：的左焦点F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点M，延长FM与抛物线相交于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题：（共6小题，每题5分，共30分） 10. 若复数，则___________ 11. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 12. 若直线被圆截得的弦长为2，则 ______. 13. 甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛，比赛共五局（无平局），先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为，且对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为；若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为.甲同学第二局比赛获胜的概率为________；在比赛三局即结束的条件下，乙同学取得比赛最终胜利的概率为________. 14. 在中，，，点M满足，，O为线段BM的中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则线段的长度为________，的最小值为________. 15. 已知函数，若关于x的不等式的解集为，且，，则实数t的取值范围为________. 三、解答题（共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角所对的边分别是，已知． （1）求角的大小； （2）设 ①求的值； ②求的值． 17. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知数列的前n项和为，对任意，， （1）证明：为等比数列，并求出数列的通项公式. （2）设数列，其中，设. （ⅰ）求的值； （ⅱ）设，求使得成立的最大正整数n的值.（其中符号表示不超过x的最大整数） 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：. 2026届高三年级第三次质量检测 数学试卷 一、选择题（共9小题，每题5分，共45分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 二、填空题：（共6小题，每题5分，共30分） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】 三、解答题（共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【16题答案】 【答案】（1） （2）①；② 【17题答案】 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）在轴上存在点，使得为定值． 【19题答案】 【答案】（1） 任意，①， 当时，，解得； 当时，②， 由①-②得，即， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 则. . （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【20题答案】 【答案】（1） （2）①实数的取值范围是； ② 由①知，， 要证，只需证，即证明， 令，则 则在上单调递增，∴， 即； 取，则， 则， 令，则，， 设，则，则在上单调递增， 则，即，故 要证，只需证， 令，则且， 只需证明． 令，则， ∴在上单调递减，∴， 即，从而得证. 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $