精品解析：江西省吉安市永丰县永丰中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

江西省永丰中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈保进 审题人：刘清海 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 故，则，故B正确. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求否定是，. 故选：C 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，故A项错误； 不等式两边同乘正数 2，不等号方向不变，若，则，故B项正确； 当时，，故C项错误； 当，时，，，，，故D项错误. 4. 设集合，则满足的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得，列举出集合即可确定选项. 【详解】由题意得，. 由得，， ∴，，或，共4个. 故选：C. 5. 设，不等式的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义、结合选项即可得答案. 【详解】解：因为， 所以，解得， 由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合. 故选：D. 6. 已知，，则的大小关系为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用基本不等式求出的最小值，再利用配方法求出的最大值，即可进行比较. 【详解】因为，当且仅当，即时等号成立取到最小值6， 又，当时取到最大值6， 所以. 7. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法得，从而有，且，即可求解. 【详解】由题知的两根为，且， 则，得到，则，即， 解得或， 故选：D. 8. 若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案. 【详解】由，，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 因为不等式有解, 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，求得，且， 分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以， 当时，即方程无实根，可得； 当时，可得， 若，解得，此时，满足； 若，解得，此时，满足， 综上可得，实数的值可以是或或. 故选：ABC. 10. 以下四个命题中，是真命题的有（     ） A. B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用配方法即可进行判断；B选项，利用集合的包含关系，得出是的真子集，即可进行判断； C选项，解分式不等式，根据取值范围可进行判断；D选项，整体代换，利用不等式同向可加性即可求出范围. 【详解】对于A：，故A选项为真命题； 对于B：因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件，故B为假命题； 对于C，由，即，解得或；所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，因为，所以．因为，所以，即，故D正确. 11. 若正实数a，b满足，则下列结论中正确的有（ ）． A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式，逐项判断即可. 【详解】对于A项，因为，所以， 当且仅当，时取等号，则ab的最大值为，故A项正确； 对于B项，因为 ， 当且仅当，且，即，时取等号，，故B项正确； 对于C项，， 当且仅当，时取等号，所以， 所以的最大值为2，故C项错误； 对于D项，因为， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为，故D项正确． 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，且，则实数的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，分类求解，并用集合元素的互异性进行检验即可. 【详解】因为，所以有或. 当时，有，不符合集合元素的互异性，故舍去； 当时，解得，此时集合，符合集合元素的互异性. 故答案为：0 【点睛】本题考查了根据元素与集合的关系求参数问题，考查了集合元素的互异性，属于基础题. 13. 设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，以及一元二次不等式的解法，求出不等式的解集，根据充分不必要条件，判断解集之间的包含关系，求出结果. 【详解】由得，解得， 由得，解得， 当是的充分不必要条件时，可得是的真子集， 则，解得， 所以实数的取值集合是. 故答案为：. 14. 已知，且关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由不等式恒成立可得出，化简后得出，利用不等式的传递性及基本不等式求最值即可得解. 【详解】由题意得，一元二次不等式对一切实数都成立， 则需满足即， ， 则， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：3 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，其中． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用并集和补集运算即可； （2）利用充分条件转化为子集关系，再结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 16. 已知命题:,使得不等式成立,命题,． （1）若为假命题,求实数的取值范围； （2）若,一个为真命题,一个为假命题,求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 由为假命题,则为真,即,, 则,解得.所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 若为真命题,则,解得. 若为真命题,则方程有实数根,,. 若,一个为真命题,一个为假命题,则 ①当为真命题,为假命题时,则解得； ②当为假命题,为真命题时,则,解得； 综上所述,实数的取值范围为或. 17. 某企业为响应国家节水号召,决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）求与的关系式； （2）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （3）设备占地面积为多少时，的值最小? 【答案】（1） （2） （3）15平方米 【解析】 【分析】（1）利用条件建立函数模型即可； （2）由条件建立不等关系解不等式即可； （3）利用基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由题意可知， 即； 【小问2详解】 由题意可知，整理得， 解不等式得； 【小问3详解】 由基本不等式知， 当且仅当，即时取得等号， 所以设备占地面积为15平方米时，的值最小. 18. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若，为真命题，求实数的范围. 【答案】（1）,, （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集． （2）根据函数的解析式，可将化为，分类讨论可得不等式的解集． （3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，则，由，得， 令，解得，或. 原不等式的解集为,,. 【小问2详解】 由得， 令，得， . 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 由即在上恒成立， 得， 令， 则， ． 故实数的取值范围是 19. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 【答案】（1） 集合是“封闭集”，理由如下： 集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 集合中， 因为，，，，，， 所以集合是“封闭集”； （2） （3） 因为是“封闭集”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 由集合元素的互异性可知 所以，，，，， 所以， 即 命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据“封闭集”的定义分析判断； （2）根据“封闭集”的定义结合可求出，从而可求出集合； （3）根据是“封闭集”，结合“封闭集”的定义及集合中元素的互异性，求出，，，，，，相加可得递推式，进而可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且是“封闭集”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，，， 由集合的元素互异性可知，，而，所以， 故集合； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查集合中元素特征的应用，考查集合的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，利用新定义解决问题，考查计算能力和推理能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省永丰中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈保进 审题人：刘清海 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 设集合，则满足的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 5. 设，不等式的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的大小关系为（     ） A. B. C. D. 7. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 10. 以下四个命题中，是真命题的有（     ） A. B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若，，则 11. 若正实数a，b满足，则下列结论中正确的有（ ）． A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，且，则实数的值为__________. 13. 设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是______. 14. 已知，且关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，其中． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 16. 已知命题:,使得不等式成立,命题,． （1）若为假命题,求实数的取值范围； （2）若,一个为真命题,一个为假命题,求实数的取值范围. 17. 某企业为响应国家节水号召,决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）求与的关系式； （2）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （3）设备占地面积为多少时，的值最小? 18. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若，为真命题，求实数的范围. 19. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $