精品解析：江西吉安市永丰县第二中学2024-2025学年度高一上学期第一次月考数学试卷

江西省永丰二中2024-2025学年度高一上学期第一次月考数学试卷 （2024.10） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若，集合，则下列表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若命题：，，则的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知a，b，c，，则下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与． A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④ 5. 已知， ，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. (－∞，－3] B. (－∞，1] C. [－3，＋∞) D. [1，＋∞) 6. 已知函数，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 7. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知实数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列结论中正确的是（　　） A. 的最小值为2 B. ， C. 当时，的最大值为 D. 若，则 10. 下列选项正确的是（ ） A. 的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数在的值域为 D. 函数的值域为 11. 已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为0 B. 方程无实数根的一个必要条件是 C. 方程有两个正根的充要条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 右图为由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 13. 若命题“”是假命题，则实数a的取值范围的解集是______ 14. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知集合A=，B={x|2m<x<1﹣m}. （1）当m=﹣1时，求A∪B； （2）若A∩B=A，求实数m的取值集合. 16. 已知函数求： （1）画出函数的简图（不必列表）； （2）求的值； （3）当时，求取值的集合． 17. 已知不等式的解集为或. （1）求的值； （2）解不等式. 18. （1）已知，求的最小值 （2）已知，均为正实数，若，求的最大值 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省永丰二中2024-2025学年度高一上学期第一次月考数学试卷 （2024.10） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若，集合，则下列表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断即可得正确选项. 【详解】因为，所以，故选项A正确，选项B不正确； 集合之间的关系符号有误，应为，故选项C不正确； 元素与集合之间的关系符号有误，应为，故选项D不正确； 故选：A. 2. 若命题：，，则的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得出答案. 【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题的否定形式为：，. 故选：D. 3. 已知a，b，c，，则下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质或通过反例判断选项的正误即可． 【详解】若，，，则不成立，故错误， 若，则，则正确， 若，，，；则不成立，故错误， 若，，则不成立，故错误 故选：． 4. 下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与． A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】通过验证定义域和对应法则，判断两个函数是否为同一函数. 【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数； ②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数； ③与的定义域都是，并且定义域内，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数； ④与定义域相同，对应法则相同，是同一函数； 所以是同一函数的是③④． 故选：C． 5. 已知， ，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. (－∞，－3] B. (－∞，1] C. [－3，＋∞) D. [1，＋∞) 【答案】D 【解析】 【分析】根据q是p的充分不必要条件，由求解. 【详解】由，解得或 ， 因为q是p的充分不必要条件， 所以， 所以， 所以a的取值范围是[1，＋∞). 故选：D. 6. 已知函数，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可. 【详解】令，则，且， 所以， 所以， 当时，. 故选：B 7. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件求出a，b的关系及满足的条件，由此解不等式即得. 【详解】因关于的不等式的解集是，则1是方程的根，且，于是得， 不等式化为：，即，解得， 所以关于的不等式的解集是. 故选：A 8. 已知实数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由恒成立可知，，利用基本不等式求最值即可. 【详解】∵不等式恒成立， ∴，又， ∴当且仅当即时取等号， 令，则，， ∴当且仅当即时取等号， ∴当且仅当时取等号， ∴. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列结论中正确的是（　　） A. 的最小值为2 B. ， C. 当时，的最大值为 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件及性质逐一判断即可. 【详解】A：显然当时，，因此最小值不可能为2，故本结论不正确； B：因为不成立， 所以，故本结论不正确； C：因为，所以，当且仅当时取等号，故本结论正确； D：因为，所以由，故本结论正确， 故选：CD 10. 下列选项正确的是（ ） A. 的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数在的值域为 D. 函数的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出抽象函数定义域判断A；配方并利用二次函数求出值域判断B；利用二次函数单调性求出值域判断C；利用分式函数值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，则在中，， 解得，即的定义域为，A正确； 对于B，函数， 当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确； 对于C，在上递减，， 则函数在的值域为，C正确； 对于D，函数，函数的值域为，D错误. 11. 已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为0 B. 方程无实数根的一个必要条件是 C. 方程有两个正根的充要条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BCD 【解析】 【分析】方程没有实数根，所以选项A错误；由题得，是的必要条件，所以选项B正确；由题得，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；由题得，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确. 【详解】对于选项A，方程为，方程没有实数根，所以选项A错误； 对于选项B，如果方程没有实数根，则所以，是的必要条件，所以选项B正确； 对于选项C，如果方程有两个正根，则所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确； 对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 右图为由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】当开关K1和K2有且只有一个闭合时，灯泡L亮 当灯泡L亮时，开关K1和K2有可能都闭合 即电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件 故答案为：充分不必要 13. 若命题“”是假命题，则实数a的取值范围的解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】通过求出函数的最小值即可得出实数a的取值范围的解集. 【详解】由题意， 命题“”是假命题 ∴恒成立， 在中，开口向上， 对称轴， ∴， 解得：， ∴实数a的取值范围的解集是， 故答案为：. 14. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】计算得出，利用海伦—秦九韶公式可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】，所以，. 当且仅当时，等号成立，且此时三边可以构成三角形. 因此，该三角形面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知集合A=，B={x|2m<x<1﹣m}. （1）当m=﹣1时，求A∪B； （2）若A∩B=A，求实数m的取值集合. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据并集的概念运算可得结果； （2）转化为，列式可得结果. 【详解】（1）由得且， 解得，所以， 当时，， 所以. （2）因为A∩B=A，所以， 所以，解得， 所以实数m的取值集为. 16. 已知函数求： （1）画出函数的简图（不必列表）； （2）求的值； （3）当时，求取值的集合． 【答案】（1） （2）11；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式，结合一次、二次函数的图象，即可求解； （2）先求得，进而得到，即可求解； （3）根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得各段上的值域，即可取值的集合． 【详解】（1）由分段函数可知，函数的简图为： （2）因为，所以. （3）当时，； 当时； 当时,， 所以一当时，取值的集合为． 17. 已知不等式的解集为或. （1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，且方程的解为，结合韦达定理即可得解； （2）分三种情况讨论即可得解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或， 所以，且方程即方程的解为， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）得不等式即， 即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. （1）已知，求的最小值 （2）已知，均为正实数，若，求的最大值 【答案】（1）12；（2）1. 【解析】 【分析】（1）将配凑成，利用基本不等式即可得出答案； （2）利用基本不等式将变为，整理即可求得的最大值. 【详解】解：（1）已知，∴．∴ 当且仅当，即时等号成立． 所以时，取得最小值为12； （2）解：∵，，，∴ 当且仅当，即时，等号成立， ∴，∴， ∴的最大值为1. 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）由已知得的解集为，只需可得答案； （2）由已知得对任意恒成立，可分别讨论对称轴的位置，然后利用单调性和二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）即， 即， 由不等式的解集为， 可得，即， 解得， 故的取值范围是． （2）即， 即， 由不等式对任意恒成立， 可得当，即时，，即，得，从而； 当，即时，，即， 得，从而； 当，即时，，即，得，此时无解． 综上，的取值范围是． 【点睛】对于一元二次不等式的恒成立的问题，可结合二次函数图象，利用函数的单调性和二次函数的性质处理，也可以利用参数分离求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $