第01讲 函数的概念及其表示（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的概念与表示，涵盖函数三要素、定义域、值域、分段函数等核心考点，按“概念-要素-应用”逻辑构建知识框架。通过命题透视研判考情，思维建模梳理脉络，知识精讲拆解题型技巧，真题溯源感知考向，分层训练突破难点，形成系统高效的复习闭环。 讲义创新采用“知识点+题型+方法”三维突破策略，如针对分段函数单调性，通过各段单调分析与分段点关系判断，培养学生逻辑推理能力。设置基础与重难分层练习，结合课本典例挖掘高考素材，助力学生在有限时间内提升数学抽象与问题解决能力，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

第01讲 函数的概念及其表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的概念 知识点2 函数三要素 知识点3 函数相等 知识点4 具体函数的定义域问题 知识点5 函数的表示方法 知识点6 分段函数 题型破译 (含超链接） 题型1 函数关系的判断【含方法技巧】 题型2 求函数值【含方法技巧】 题型3 己知函数值求参数【含方法技巧】 题型4 具体函数的定义域【含方法技巧】 题型5 抽象函数及复合函数的定义域【含方法技巧】 题型6 求分式型、根式型函数值域【含方法技巧】 题型7 求抽象函数、复合函数值域【含方法技巧】 题型8 判断函数相等【含方法技巧】 题型9 函数的图象及其应用【含方法技巧】 题型10 求函数解析式【含方法技巧】 题型11 分段函数求值及参数值【含方法技巧】 题型12 分段函数的单调性问题【含方法技巧】 题型13 分段函数的值域问题【含方法技巧】 题型14 解分段函数不等式【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数的概念与定义域、值域 —— T7（4分） —— 考情分析 高考中函数专题为必考内容，主要考查函数的三要素（定义域、对应关系、值域）、分段函数、函数表示法及与不等式、逻辑、实际情境的综合应用。题型以选择题、填空题为主，解答题常在首问涉及函数定义与基本性质。近几年北京卷分值约4~13分，难度中等偏易，注重基础性与灵活性。近三年考情显示，函数概念常与量词逻辑、实际建模、抽象函数判断相结合，强调对函数本质的理解；分段函数和值域问题多出现在填空或选择压轴位置，考查学生的分类讨论与数形结合能力。 复习目标 1.理解函数的三要素，能判断两个函数是否为同一函数，会求简单函数的定义域。 2.掌握值域的常见求法（观察法、配方法、换元法、单调性法等）。 3.熟练运用函数的三种表示法，能根据条件求解析式。 4.掌握分段函数的概念，会求分段函数的函数值、定义域、值域，能解分段方程与不等式。 5.能将实际问题抽象为函数模型，提升数学建模与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 任意一个数 ，在集合中都有 唯一确定的数 和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ． 自主检测已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 知识点2 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的 定义域 ，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指： 定义域 ， 对应法则 ， 值域 . （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 自主检测已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据函数的定义，结合函数的定义域和值域进行求解即可. 【详解】令，则，则满足条件的有，，共3个． 故选：C 知识点3 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 定义域 相同， 对应关系 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 自主检测下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 知识点4 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 自主检测函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】要使函数有意义， 需使，解得且， 所以函数的定义域为且. 知识点5 函数的表示方法 【答案】解析式；列出表格 自主检测1已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义求值即可． 【详解】因为，所以． 故选：C． 自主检测2中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（     ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数定义及表示法逐项判断得解. 【详解】对于A，由图象法表示函数，且该图象符合函数的定义，A正确； 对于B，集合中大于2且小于等于4的数，在集合中没有元素与之对应，不符合函数定义，B错误； 对于C，集合中存在元素，在中与之对应的元素不唯一，如时，对应值有2个，C错误； 对于D，集合中存在元素，在中与之对应的元素不唯一，且的范围不对，D错误. 故选：A 知识点6 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 取值区间 ，有不同的 对应方式 ，则称其为分段函数. 自主检测已知函数,则（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由题设有，而， 故. 题●型●破●译 题型1 函数关系的判断 例1-1集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【答案】C 【分析】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【详解】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，,不是的子集，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C 例1-2下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的定义及定义域的定义，结合函数的值域概念逐一判断即可. 【详解】A：由图可知函数值域是集合N的真子集，所以不符合题意； B：显然函数的定义域不是集合，所以不符合题意； C：在内，存在值有两个值与之对应，不符合函数的定义，所以不符合题意； D：由图象可以看到，符合函数的定义、定义域和值域，符合题意， 故选：D 方法技巧 1. 判断两个变量之间是否具有函数关系，要紧扣函数的定义：对于自变量 的每一个确定的值，因变量 都有唯一确定的值与之对应。 1. 对于解析式，需看其是否满足“一对一”或“多对一”的对应关系。 1. 对于图象，可使用垂直于 轴的直线进行检验：若直线与图象最多只有一个交点，则 是 的函数；否则不是。 【变式训练1-1】已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义，对于A，易知时无意义，对于C和D，时，其函数值都不在集合B中，对于B，一个一个验证即可确定. 【详解】对于A，，，易知时无意义，故A错误； 对于B，，，时，， 时，，时，，故B正确； 对于C，，，时，，故C错误； 对于D，，，时，，故D错误. 故选：B. 【变式训练1-2】下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察所给的四个选项是否符合函数的概念，自变量到因变量对应关系允许“一对一”、“多对一”不允许“一对多”；自变量元素不允许“剩余”即可判断. 【详解】A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对应，故A选项不正确； B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不正确； C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C选项不正确； D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D选项正确． 故选：D 【变式训练1-3】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 题型2 求函数值 例1-1已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】B 【分析】将看成一个整体，利用求解即可. 【详解】， 故， 所以， 故，解得. 故选：B. 例1-2已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义函数，直接赋值即可求解. 【详解】取，得， 又，故． 取，得，即． 对正整数x，， 累加，得，, 故选：D． 方法技巧 1. 代入法：当函数解析式明确时，直接将自变量的值代入解析式进行计算。 1. 整体代换法：对于复合函数或抽象函数，若所求值对应的自变量与已知条件中的变量存在整体关系，可先求出整体变量的值，再代入求解。 1. 分段函数：求函数值时，首先判断自变量的取值属于哪个区间段，然后代入对应的解析式。 【变式训练1-1】已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】令，结合对数的定义运算求解即可. 【详解】令，则， 所以． 故选：C． 【变式训练1-2】已知函数的定义域为，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助赋值法，分别令及，可得求得答案. 【详解】令，得①； 令，得②， 由得. 故选：A. 【变式训练1-3】已知函数的定义域为，且，则__________． 【答案】/ 【详解】令，得， 令，得，所以， 于是． 题型3 已知函数值求参数 例1-1已知函数，且，则____ 【答案】 【分析】由已知可得，求解即可. 【详解】因为函数，且，所以，解得. 故答案为：. 例1-2已知函数，则__________. 【答案】0 【分析】由题设知有根，从而设出函数的解析式，代入特殊值求出待定系数，进而求得结果. 【详解】∵ 所以方程，即有根， 设， 当时，， ∴， ∴，∴ 故答案为：. 方法技巧 1. 直接列方程：根据函数值的定义，将函数值等于给定数值代入解析式，建立关于参数的方程（或方程组）。 1. 分类讨论：若函数为分段函数，需对参数可能所在的区间进行分类讨论，分别列出方程求解。 1. 检验：求出参数值后，务必验证其是否满足定义域或分段区间的范围要求，防止增根。 【变式训练1-1】已知，若，则________. 【答案】/ 【分析】首先求出解析式，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，解得. 故答案为： 【变式训练1-2】已知函数，若，则________． 【答案】-7 【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案. 详解：根据题意有，可得，所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目. 题型4 具体函数的定义域 例1-1（2026·北京大兴·三模）函数的定义域是______． 【答案】 【详解】函数有意义，等价于，解得且， 故函数的定义域为. 例1-2（2026·北京顺义·一模）函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 方法技巧 1. 求具体函数的定义域，就是求使函数解析式有意义的所有自变量 的取值集合。 1. 常见的限制条件： 分母不能为 ； 偶次根号下的被开方数必须大于等于 ； 零次幂的底数不能为 ； 对数的真数大于 ，底数大于 且不等于 ； 正切函数 中，。 1. 最终结果应写成集合或区间的形式。 【变式训练1-1】（25-26高三下·北京·开学考试）函数 的定义域为_____． 【答案】 【分析】根据对数函数，根式的性质得，再解不等式即可求得答案. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为 【变式训练1-2】（2026·北京丰台·一模）函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 题型5 抽象函数及复合函数的定义域 例1-1已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可. 【详解】由函数的定义域为， 所以函数要有意义则：，解得：， 所以函数的定义域为：. 例1-2函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的定义域，再由抽象函数求定义域的法则列不等式，解不等式求的定义域． 【详解】函数的定义域为，即，则， 的定义域为， 需满足，解得且， 的定义域为，故C正确． 故选：C． 方法技巧 1. 明确定义域的含义：定义域永远指自变量 的取值范围。 1. 换元思想：对于复合函数 ，其定义域是满足 的取值范围恰好等于函数 定义域的所有 的集合。 1. 同一对应法则下“地位相同”：在同一个函数 中，括号内整体的取值范围是相同的。例如，若 的定义域为 ，则对于 ，有 ，解此不等式即可。 【变式训练1-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【变式训练1-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的定义域得出的范围，再根据指数函数的单调性求解，最后取交集即可. 【详解】因函数的定义域为，则，得 又，即，得， 故的定义域为. 故选：B 【变式训练1-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 【变式训练1-4】若函数的定义域为，则的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的定义域为，再由求解即可． 【详解】因为函数的定义域为， 所以，所以的定义域为， 则函数有意义， 有，得，得， 则函数的定义域为：， 故选：D 题型6 求分式型、根式型函数值域 例1-1函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 例1-2函数的值域为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据函数的单调性进行判断；方法二：利用换元法把函数转化成二次函数，再求其值域. 【详解】方法一：由得定义域为； 因为单调递增，单调递减， 所以单调递增； 所以函数值域为． 方法二：令，则，， 所以， 函数在上单调递减，且时，函数取到最大值2， 所以函数值域为， 故选：A． 例1-3已知函数在区间上的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】依题意构造函数，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数的图象关于点对称，结合题意即可求得答案. 【详解】由题意，，, 令函数， 则， 所以为奇函数，图象关于对称，故的图象关于点对称， 因函数在对称区间上的值域为，故． 方法技巧 1. 分离常数法（适用于一次分式）：将分子变形为分母的倍数加常数，从而简化求值域。 1. 判别式法（适用于二次分式）：将函数式转化为关于 的一元二次方程，利用判别式 建立关于 的不等式，求出 的范围。注意检查二次项系数为零的特殊情况。 1. 换元法（适用于含根式）：令根式整体等于新变量 ，将原函数转化为二次函数或其他常见函数，利用新变量的范围求值域。 1. 单调性法：先判断函数在定义域上的单调性，再根据单调性确定端点处的值，从而得出值域。 【变式训练1-1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定函数的定义域，分析分母的取值范围，进而得值域． 【详解】函数的定义域为， 当时，，从而，则， 故函数的值域为． 故选：D． 【变式训练1-2】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】令，可得，即， 所以， 因为函数在上为增函数，故， 即函数的值域为. 故选：C. 【变式训练1-3】函数 的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用与的平方和为定值，采用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题答案. 【详解】， 设， , ， 即函数的值域为， 故选：C 【变式训练1-4】已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域. 【详解】因为，且，所以函数的定义域为． 设，，则是直线的斜率． 点是半圆上的动点．如图， 设点，则． 设切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离，解得（舍去）或． 由图可知，即的值域为， 则． 故选：A. 题型7 求抽象函数、复合函数值域 例1-1已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可. 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为，即， 则，故函数的值域为. 故选：C 例1-2已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得， 则，则，而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为3. 故选：B 方法技巧 1. 换元法：引入新变量代替内层函数，先求出新变量的取值范围，再求外层函数在该范围下的值域。 1. 单调性法：若内外层函数的单调性均可判断，可根据“同增异减”原则判断复合函数的单调性，进而确定值域。 1. 利用已知函数模型：将抽象函数具体化，转化为学过的初等函数（如一次、二次、指数、对数函数）求值域。注意定义域对值域的限制。 【变式训练1-1】若函数的值域是，则函数的值域是________． 【答案】 【详解】，，， ，即函数的值域为． 【变式训练1-2】已知满足，且，则的值域为_____ 【答案】 【分析】根据题意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. 故答案为：. 【变式训练1-3】已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查函数定义域和值域的概念以及函数图象的平移变换，解题的关键在于理解函数图象平移对定义域和值域的影响. 【详解】函数的图像向右平移1个单位长度得到函数的图像，故定义域为，值域不变； 故选：D 题型8 判断函数相等 例1-1下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函数相同，从而得到结果. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，和的定义域均为，且，故B正确； 对C，的定义域为，的定义域为，故C错误； 对D，和的定义域均为，但，对应关系明显不同，故D错误. 故选：B. 例1-2下列函数和为同一函数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据同一函数的定义判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为，而， 所以函数和不为同一函数； 对于B，函数的定义域为， 函数的定义域为， 而，， 所以函数和为同一函数； 对于C，函数的定义域为， 函数，则的定义域为， 所以函数和不为同一函数； 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 而， 所以函数和不为同一函数. 故选：B. 方法技巧 1. 判断两个函数是否相等，需同时满足两个条件： 定义域相同； 对应关系（解析式）相同。 1. 若定义域不同，则一定不是同一函数，无需再比较对应关系。 1. 若对应关系看似不同，可通过化简、变形（如约分、有理化等）来判断是否等价，但化简时需注意定义域是否发生变化。 【变式训练1-1】下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 【变式训练1-2】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，的定义域均为R，且，B是； 对于C，的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 【变式训练1-3】下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 题型9 函数的图象及其应用 例1-1（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 【答案】A 【详解】因为， 所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 例1-2（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确. 【详解】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得：；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 方法技巧 1. 作图：利用描点法或利用基本初等函数的图象通过平移、对称、伸缩等变换得到。 1. 识图：观察图象的左右范围（定义域）、上下范围（值域）、上升下降趋势（单调性）、对称性（奇偶性）、与坐标轴的交点等。 1. 用图：函数的交点、方程的解、不等式的解集问题，常可转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合直观求解。 【变式训练1-1】（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 【变式训练1-2】函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，且定义域为R， 所以为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项， 并且在y轴右侧，趋近于0时，，故， 故只有选项满足题意. 【变式训练1-3】函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可． 【详解】由，， 可得， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，故可排除选项C、D， 当时，可得，可排除选项B， 所以该函数的图象大致为选项A． 题型10 求函数解析式 例1-1（25-26高三上·北京东城·期末）已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意结合指数运算性质可得. 【详解】因为，且.所以当时，满足题意. 所以满足条件的一个函数解析式. 故答案为：. 例1-2（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 方法技巧 1. 待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），先设出含参数的一般形式，再根据条件列出方程（组）求出参数。 1. 换元法：若已知 的表达式，令 ，反解出 代入原式，即可得到 的表达式。注意求出新元 的取值范围。 1. 配凑法：将 的表达式配凑成关于 的代数式，然后整体替换为 。 1. 消元法（解方程组法）：若已知 与 或 的关系式，可将原式中的 替换为 或 ，构造方程组求解。 【变式训练1-1】已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【分析】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围. 【详解】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 【变式训练1-2】（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【答案】（1） （2） 【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后根据求出参数，进而得到函数的解析式. （2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式. 【详解】（1）因为函数是一次函数，则设. 由于，所以 所以.化简得： 这是一个恒等式，所以，且. 所以. 所以函数的解析式为. （2）， 令，. 所以. 所以函数的解析式为. 【变式训练1-3】求下列函数的解析式： (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式； (3)是一次函数，且满足，求的解析式； (4)已知满足，求的函数解析式. 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4) 【分析】（1）设，由换元法可得出答案. （2）由，由配凑法可得答案. （3）可设，利用待定系数法可得答案. （4）将用替换,由方程消元法可得答案. 【详解】（1）设，， 则，， ，. 即，. （2）， ，. （3）因为是一次函数，所以设， 所以， 又因为，所以， 故 解得或 所以或. （4）将代入， 得， 因此 解得. 题型11 分段函数求值及参数值 例1-1已知函数则______. 【答案】2 【分析】根据分段函数解析式求值即可. 【详解】因为 所以， 故答案为：2 例1-2已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 【答案】D 【详解】当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，或. 方法技巧 1. 求函数值：首先确定自变量的值落在哪个区间，再代入对应解析式。若自变量带有参数或范围不确定，需进行分类讨论。 1. 求参数值：若给出函数值求参数，需对参数所在区间进行讨论，分别令各段解析式等于已知值，解出参数后必须检验是否满足该段自变量的范围。 1. 多层分段：对于嵌套分段函数（如 ），从内层开始逐层向外求解，每一步都要判断所在区间。 【变式训练1-1】已知函数 ，则 （    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】已知函数， 因为. 所以， 又 所以. 【变式训练1-2】已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】由题意得：当时，， 所以， 则. 【变式训练1-3】已知函数若，则（    ） A．3或1 B．0或-2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，列出关于的不等式组，求解可得，代入可求得其值. 【详解】由的解析式易得在区间上单调递增，在区间上单调递减. 由，得，所以解得. ． 故选：C. 题型12 分段函数的单调性问题 例1-1已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 例1-2若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，解得． 方法技巧 1. 判断分段函数的单调性，不能只看各段内是否单调，还需考虑分段点处的函数值大小关系。 1. 若函数在 上单调递增，则需满足： 各段内在对应区间上均单调递增； 在分段点处，左侧函数的最大值 右侧函数的最小值（或左侧端点值 右侧端点值）。 1. 若函数在 上单调递减，则需满足： 各段内在对应区间上均单调递减； 在分段点处，左侧函数的最小值 右侧函数的最大值（或左侧端点值 右侧端点值）。 【变式训练1-1】已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数，二次函数与分段函数的单调性列式解不等式即可求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，解得 又在上单调递增，即 ； 函数在上单调递增，即，解得， 综上，的取值范围是. 【变式训练1-2】已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到相应的不等式组，进而求解即可． 【详解】由在上单调递减，而在上单调递增， 所以在上单调递减， 想要函数 在上单调递减， 即要在上单调递减，且， 即，解得， 所以的取值范围是． 故选：D 【变式训练1-3】已知，且.函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别考虑每一段函数的单调性，并且要保证在分段点处满足单调递减的条件即可求解. 【详解】二次函数，开口朝上，对称轴为， 因为函数在上单调递减， 所以，即 . 所以的取值范围为. 题型13 分段函数的值域问题 例1-1（25-26高三上·北京东城·期末）设函数，若在区间上的最大值为9，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】分析得到，最大值为，求出答案. 【详解】由于时，，， 故最大值9一定为，取得， 又为开区间，故一定有， 且最大值在上取到，即， 解得或5（舍去）， 故选：A 例1-2（2026·北京顺义·三模）设，函数则（    ） A．有最小值且在上是单调递减的 B．有最小值且在上是单调递减的 C．无最小值且在上是单调递减的 D．无最小值，且在是单调递减的 【答案】C 【分析】分别分析各分段区间的单调性、端点函数值，结合趋向负无穷时取值趋势判断最值情况. 【详解】当时，，其中，故在上函数单调递增； 当时，，因此无最小值，直接排除A、B选项. 当时，，其中，故在上函数单调递减. 当时，，该函数在上单调递减，在处取值为； 当时，处的右极限为， 因为，所以，所以函数在上不是单调递减函数，D错误. 综上，C正确. 方法技巧 1. 分段求并集：分别求出每一段函数在其对应区间上的值域，再将各段的值域取并集，即为整个函数的值域。 1. 数形结合：画出分段函数的图象，从图象上直接观察纵坐标的取值范围。 1. 注意分段点：计算每段端点处函数值时，需注意开闭区间对值域的影响，避免遗漏或重复。 【变式训练1-1】（2026·北京昌平·一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 【答案】 （答案不唯一，取均可） 【详解】当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，符合题意 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 所以. 当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 无解，故不满足题意. 综上所述，的取值范围为，最小值为. 【变式训练1-2】（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 【变式训练1-3】．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用一次函数和二次函数在各自区间，先求值域，再取并集即可；利用分类讨论，来分析一次函数和二次函数在各自区间的值域，再结合题意作出判断即可. 【详解】当时，， 则当时，， 当时，， 所以根据二次函数和一次函数的值域可知：的值域是； 当时，由一次函数在区间上单调递增，故无最大值， 当时，，可得有最大值，故不符合题意， 当时，二次函数对称轴为， 故二次函数在区间上有最大值， 一次函数在区间上单调递减，即， 所以必有最大值，故不符合题意， 综上的取值范围是， 故答案为：， 题型14 解分段函数不等式 例1-1已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分区间求解的解集，结合函数单调性确定x的范围后，再代入解关于a的不等式即可. 【详解】 分情况讨论不等式的解： 当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 例1-2已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式. 【详解】由已知得，当时，， 所以，当时，同理有，可知是奇函数． 又当时，，所以在上单调递增， 从而可得在上单调递增． 不等式即， 所以有，解得． 方法技巧 1. 分类讨论：根据不等式中自变量的可能取值，将其划分到不同的区间段，分别列出不等式组。 1. 解不等式组：在每个区间内，解出对应的不等式，并与该区间的范围求交集。 1. 取并集：将各区间上得到的解集合并，即为原不等式的解集。 1. 数轴辅助：对于含多个分段点的不等式，可在数轴上标出各分段点，直观地划分讨论区间，避免遗漏。 【变式训练1-1】已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，为单调递增函数，当时，，所以此时. 当时，为单调递增函数，也为单调递增函数， ∴ 在上单调递增，且. ∴ 函数是定义域为的单调递增函数. 令，当时，有. 设（），则，整理得. 解得或，∵ ，∴ 不符合题意，舍去. ∴ ，即. ∵ 在上单调递增， ∴ 等价于，解得. ∴ 实数的取值范围为，故选A. 【变式训练1-2】已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得或，解得，故选项D正确． 【变式训练1-3】设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】当时，，为单调递减函数，且， 当时，，也为单调递减函数，， 所以在上单调递减. 因为，所以，解得， 所以. 故该不等式的解集为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 3．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________． 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 4．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列函数的定义域： （1）；（2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据分母不为0，求出函数的定义域即可； （2）根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可． 【详解】（1）由，得， ∴函数的定义域. （2）由，且，得， ∴函数的定义域为. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，函数定义域等价于令函数有意义的自变量的取值范围，因此可根据题目列关于自变量的不等式（组）求解即可，属于基础题. 2．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字，如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么你认为y是n的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域；如果不是，请说明理由. 【答案】是，函数的定义域为：，值域为. 【解析】根据函数的定义直接判断即可. 【详解】根据函数的定义可以判断出： 函数的定义域为：，值域为 . 【点睛】本题考查了函数的定义，属于基础题. 3．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求，的值． 【答案】(1)且 (2) (3)， 【详解】（1）由题意，解得且, 函数的定义域为且. （2）. （3），． 4．给定函数，，. (1)画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析；. 【详解】（1）解：由函数， 根据一次函数与二次函数的图象与性质，可得函数和的图象，如图所示：    （2）解：联立方程组，整理得，解得或， 结合（1）中的图象，可得： 当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的解析式为. 函数的图象，如图所示.    5．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里， (1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式； (2)画出该函数的图像． 【答案】(1)； (2)作图见解析. 【详解】（1）依题意，令x为里程数（单位：公里），为行驶x公里的票价（单位：元）， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以票价与里程之间的函数关系式为. （2）由（1）得函数的图象，如下： 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D. 【详解】对A，，由可知其定义域为，故A错误； 对B，，由知其定义域为，故B错误； 对C，，由，解得，则其定义域为，故C错误； 对D，，显然其定义域为，故D正确. 2．已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，即，，得， 解得：. 3．若函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，. 4．设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数解析式分两段得到不等式，分别解两个不等式取并集即可. 【详解】根据题意，由于函数， 那么可知当，则，解得； 当，则，即，解得或， 综上，不等式的解集是. 故选：A. 5．下列两个函数是相同函数的有（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用函数的定义域和对应法则、判断函数是否相同的方法分析运算判断即可得解. 【详解】对于选项A，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，故不是相同函数，故A错误； 对于选项B，， 两函数定义域不相同，故不是相同函数，故B错误； 对于选项C，与定义域不同， 故不是相同函数，故C错误； 对于选项D，，函数的定义域、对应法则均相同， 所以两函数是相同函数，故D正确. 故选：D． 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用换元法将变为关于的二次函数，根据二次函数单调性即可求解. 【详解】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 故选：D． 7．已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域. 【详解】因为，且，所以函数的定义域为． 设，，则是直线的斜率． 点是半圆上的动点．如图， 设点，则． 设切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离，解得（舍去）或． 由图可知，即的值域为， 则． 故选：A. 8．已知函数，且在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段函数的单调性，对数函数的单调性以及二次函数的单调性列不等式，即可得到答案. 【详解】由题意得， 得. 故选：C 9．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，再进行回代求解解析式即可. 【详解】令，则，而，则， 可得， ∴. 故选：B. 10．已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 则，值域. ，所以A错误，B正确； 集合之间不用连接，所以CD错误. 重难·创新演练 11．【新考法】已知表示不大于x的最大整数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在和两种情况下确定函数解析式，进而确定函数的单调性，从而求得值域. 【详解】当时，，; 当时，，，则在上递减， ； 在上的值域为. 故选：C 【点睛】本题考查函数值域的求解，涉及到新定义问题的求解；关键是能够明确取整运算的含义，进而通过分类讨论得到分段函数解析式. 12．已知函数的值域为，则函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的值域为，由题意知，分析各选项是否满足. 【详解】当时， 又的值域是R， 设的值域为，则， 对A：，当时，，不符合题意； 对B：，当时，,不符合题意； 对C：，当时，，符合题意； 对D：，当时，,不符合题意. 故选：C 13．已知函数，则_______. 【答案】 【分析】先根据题设推导得到，可得当时，函数是以3为周期的函数，进而代值计算即可. 【详解】由， 当时，， 则，即， 则， 即，则， 所以当时，函数是以3为周期的函数， 而，且，， 则. 14．【新考法】已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域以及的定义求得，进而求得. 【详解】函数有意义，应满足，所以，根据所表示的意义可知， 所以，． 15．【新考法】设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 【答案】 【详解】当时，，所以. 展开式中，的系数为. 16．（1）已知，则______． （2）已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． （3）定义在内的函数满足，则函数的解析式为______． 【答案】 ， ， 【分析】（1）法一：使用换元法，设，对原式进行代换即可，法二：使用配凑法，将原式配凑成二次函数的形式即可求解，（2）使用待定系数法，分别设二次函数不同的表达式并代入已知条件即可求解，（3）使用消元法消去即可求解. 【详解】（1）法一：设，则，， 代入原式有． 故，． 法二：∵， ∴，，即，． （2）法一(利用一般式)：设． 由题意得解得． ∴所求二次函数的解析式为． 法二(利用顶点式)：设． ∵，∴抛物线的对称轴为．∴． 又根据题意函数有最大值8，∴．∴． ∵，∴，解得， ∴． 法三(利用零点式)：由已知两根为，， 故可设，即． 又函数有最大值，即．解得或(舍)． ∴所求函数的解析式为． （3）当时，有．① 以代替x得，．② 由①②消去得，，． 17．（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______． （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 【答案】 【分析】（1）利用函数在给定区间单调递增的性质，由区间端点对应值域端点列方程组，求解参数的值； （2）通过配凑分式结构变形函数，运用基本不等式求函数最小值并确定取等条件； （3）换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值. 【详解】（1）因为函数在区间上是增函数，值域为. 所以，，即，解得． （2）. 当且仅当，即时，． （3）令，则，所以，所以. 设，则在单调递增. 所以，所以（时取等号），即的最大值为． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 函数的概念及其表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的概念 知识点2 函数三要素 知识点3 函数相等 知识点4 具体函数的定义域问题 知识点5 函数的表示方法 知识点6 分段函数 题型破译 (含超链接） 题型1 函数关系的判断【含方法技巧】 题型2 求函数值【含方法技巧】 题型3 己知函数值求参数【含方法技巧】 题型4 具体函数的定义域【含方法技巧】 题型5 抽象函数及复合函数的定义域【含方法技巧】 题型6 求分式型、根式型函数值域【含方法技巧】 题型7 求抽象函数、复合函数值域【含方法技巧】 题型8 判断函数相等【含方法技巧】 题型9 函数的图象及其应用【含方法技巧】 题型10 求函数解析式【含方法技巧】 题型11 分段函数求值及参数值【含方法技巧】 题型12 分段函数的单调性问题【含方法技巧】 题型13 分段函数的值域问题【含方法技巧】 题型14 解分段函数不等式【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数的概念与定义域、值域 —— T7（4分） —— 考情分析 高考中函数专题为必考内容，主要考查函数的三要素（定义域、对应关系、值域）、分段函数、函数表示法及与不等式、逻辑、实际情境的综合应用。题型以选择题、填空题为主，解答题常在首问涉及函数定义与基本性质。近几年北京卷分值约4~13分，难度中等偏易，注重基础性与灵活性。近三年考情显示，函数概念常与量词逻辑、实际建模、抽象函数判断相结合，强调对函数本质的理解；分段函数和值域问题多出现在填空或选择压轴位置，考查学生的分类讨论与数形结合能力。 复习目标 1.理解函数的三要素，能判断两个函数是否为同一函数，会求简单函数的定义域。 2.掌握值域的常见求法（观察法、配方法、换元法、单调性法等）。 3.熟练运用函数的三种表示法，能根据条件求解析式。 4.掌握分段函数的概念，会求分段函数的函数值、定义域、值域，能解分段方程与不等式。 5.能将实际问题抽象为函数模型，提升数学建模与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 ，在集合中都有 和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ． 自主检测已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点2 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的 ，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指： ， ， . （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 自主检测已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点3 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 相同， 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 自主检测下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点4 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 自主检测函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 知识点5 函数的表示方法 自主检测1已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 自主检测2中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（     ） A．   B．     C．   D．   知识点6 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 ，有不同的 ，则称其为分段函数. 自主检测已知函数,则（ ） A． B．1 C． D．2 题●型●破●译 题型1 函数关系的判断 例1-1集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 例1-2下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   方法技巧 1. 判断两个变量之间是否具有函数关系，要紧扣函数的定义：对于自变量 的每一个确定的值，因变量 都有唯一确定的值与之对应。 1. 对于解析式，需看其是否满足“一对一”或“多对一”的对应关系。 1. 对于图象，可使用垂直于 轴的直线进行检验：若直线与图象最多只有一个交点，则 是 的函数；否则不是。 【变式训练1-1】已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型2 求函数值 例1-1已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 例1-2已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（    ）． A． B． C． D． 方法技巧 1. 代入法：当函数解析式明确时，直接将自变量的值代入解析式进行计算。 1. 整体代换法：对于复合函数或抽象函数，若所求值对应的自变量与已知条件中的变量存在整体关系，可先求出整体变量的值，再代入求解。 1. 分段函数：求函数值时，首先判断自变量的取值属于哪个区间段，然后代入对应的解析式。 【变式训练1-1】已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练1-2】已知函数的定义域为，，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练1-3】已知函数的定义域为，且，则__________． 题型3 已知函数值求参数 例1-1已知函数，且，则____ 例1-2已知函数，则__________. 方法技巧 1. 直接列方程：根据函数值的定义，将函数值等于给定数值代入解析式，建立关于参数的方程（或方程组）。 1. 分类讨论：若函数为分段函数，需对参数可能所在的区间进行分类讨论，分别列出方程求解。 1. 检验：求出参数值后，务必验证其是否满足定义域或分段区间的范围要求，防止增根。 【变式训练1-1】已知，若，则________. 【变式训练1-2】已知函数，若，则________． 题型4 具体函数的定义域 例1-1（2026·北京大兴·三模）函数的定义域是______． 例1-2（2026·北京顺义·一模）函数的定义域为______. 方法技巧 1. 求具体函数的定义域，就是求使函数解析式有意义的所有自变量 的取值集合。 1. 常见的限制条件： 分母不能为 ； 偶次根号下的被开方数必须大于等于 ； 零次幂的底数不能为 ； 对数的真数大于 ，底数大于 且不等于 ； 正切函数 中，。 1. 最终结果应写成集合或区间的形式。 【变式训练1-1】（25-26高三下·北京·开学考试）函数 的定义域为_____． 【变式训练1-2】（2026·北京丰台·一模）函数的定义域为___________． 题型5 抽象函数及复合函数的定义域 例1-1已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例1-2函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 明确定义域的含义：定义域永远指自变量 的取值范围。 1. 换元思想：对于复合函数 ，其定义域是满足 的取值范围恰好等于函数 定义域的所有 的集合。 1. 同一对应法则下“地位相同”：在同一个函数 中，括号内整体的取值范围是相同的。例如，若 的定义域为 ，则对于 ，有 ，解此不等式即可。 【变式训练1-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】若函数的定义域为，则的定义域为（       ） A． B． C． D． 题型6 求分式型、根式型函数值域 例1-1函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 例1-2函数的值域为（ ）． A． B． C． D． 例1-3已知函数在区间上的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 方法技巧 1. 分离常数法（适用于一次分式）：将分子变形为分母的倍数加常数，从而简化求值域。 1. 判别式法（适用于二次分式）：将函数式转化为关于 的一元二次方程，利用判别式 建立关于 的不等式，求出 的范围。注意检查二次项系数为零的特殊情况。 1. 换元法（适用于含根式）：令根式整体等于新变量 ，将原函数转化为二次函数或其他常见函数，利用新变量的范围求值域。 1. 单调性法：先判断函数在定义域上的单调性，再根据单调性确定端点处的值，从而得出值域。 【变式训练1-1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】函数 的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 题型7 求抽象函数、复合函数值域 例1-1已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 例1-2已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 方法技巧 1. 换元法：引入新变量代替内层函数，先求出新变量的取值范围，再求外层函数在该范围下的值域。 1. 单调性法：若内外层函数的单调性均可判断，可根据“同增异减”原则判断复合函数的单调性，进而确定值域。 1. 利用已知函数模型：将抽象函数具体化，转化为学过的初等函数（如一次、二次、指数、对数函数）求值域。注意定义域对值域的限制。 【变式训练1-1】若函数的值域是，则函数的值域是________． 【变式训练1-2】已知满足，且，则的值域为_____ 【变式训练1-3】已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型8 判断函数相等 例1-1下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 例1-2下列函数和为同一函数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 方法技巧 1. 判断两个函数是否相等，需同时满足两个条件： 定义域相同； 对应关系（解析式）相同。 1. 若定义域不同，则一定不是同一函数，无需再比较对应关系。 1. 若对应关系看似不同，可通过化简、变形（如约分、有理化等）来判断是否等价，但化简时需注意定义域是否发生变化。 【变式训练1-1】下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练1-2】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 题型9 函数的图象及其应用 例1-1（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 例1-2（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 作图：利用描点法或利用基本初等函数的图象通过平移、对称、伸缩等变换得到。 1. 识图：观察图象的左右范围（定义域）、上下范围（值域）、上升下降趋势（单调性）、对称性（奇偶性）、与坐标轴的交点等。 1. 用图：函数的交点、方程的解、不等式的解集问题，常可转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合直观求解。 【变式训练1-1】（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【变式训练1-2】函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 题型10 求函数解析式 例1-1（25-26高三上·北京东城·期末）已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 例1-2（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 方法技巧 1. 待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），先设出含参数的一般形式，再根据条件列出方程（组）求出参数。 1. 换元法：若已知 的表达式，令 ，反解出 代入原式，即可得到 的表达式。注意求出新元 的取值范围。 1. 配凑法：将 的表达式配凑成关于 的代数式，然后整体替换为 。 1. 消元法（解方程组法）：若已知 与 或 的关系式，可将原式中的 替换为 或 ，构造方程组求解。 【变式训练1-1】已知函数，则的解析式为______. 【变式训练1-2】（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【变式训练1-3】求下列函数的解析式： (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式； (3)是一次函数，且满足，求的解析式； (4)已知满足，求的函数解析式. 题型11 分段函数求值及参数值 例1-1已知函数则______. 例1-2已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 方法技巧 1. 求函数值：首先确定自变量的值落在哪个区间，再代入对应解析式。若自变量带有参数或范围不确定，需进行分类讨论。 1. 求参数值：若给出函数值求参数，需对参数所在区间进行讨论，分别令各段解析式等于已知值，解出参数后必须检验是否满足该段自变量的范围。 1. 多层分段：对于嵌套分段函数（如 ），从内层开始逐层向外求解，每一步都要判断所在区间。 【变式训练1-1】已知函数 ，则 （    ） A． B．1 C． D． 【变式训练1-2】已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【变式训练1-3】已知函数若，则（    ） A．3或1 B．0或-2 C．0 D．1 题型12 分段函数的单调性问题 例1-1已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例1-2若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 判断分段函数的单调性，不能只看各段内是否单调，还需考虑分段点处的函数值大小关系。 1. 若函数在 上单调递增，则需满足： 各段内在对应区间上均单调递增； 在分段点处，左侧函数的最大值 右侧函数的最小值（或左侧端点值 右侧端点值）。 1. 若函数在 上单调递减，则需满足： 各段内在对应区间上均单调递减； 在分段点处，左侧函数的最小值 右侧函数的最大值（或左侧端点值 右侧端点值）。 【变式训练1-1】已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知，且.函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型13 分段函数的值域问题 例1-1（25-26高三上·北京东城·期末）设函数，若在区间上的最大值为9，则（   ） A． B．0 C．1 D． 例1-2（2026·北京顺义·三模）设，函数则（    ） A．有最小值且在上是单调递减的 B．有最小值且在上是单调递减的 C．无最小值且在上是单调递减的 D．无最小值，且在是单调递减的 方法技巧 1. 分段求并集：分别求出每一段函数在其对应区间上的值域，再将各段的值域取并集，即为整个函数的值域。 1. 数形结合：画出分段函数的图象，从图象上直接观察纵坐标的取值范围。 1. 注意分段点：计算每段端点处函数值时，需注意开闭区间对值域的影响，避免遗漏或重复。 【变式训练1-1】（2026·北京昌平·一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 【变式训练1-2】（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 题型14 解分段函数不等式 例1-1已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 例1-2已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 分类讨论：根据不等式中自变量的可能取值，将其划分到不同的区间段，分别列出不等式组。 1. 解不等式组：在每个区间内，解出对应的不等式，并与该区间的范围求交集。 1. 取并集：将各区间上得到的解集合并，即为原不等式的解集。 1. 数轴辅助：对于含多个分段点的不等式，可在数轴上标出各分段点，直观地划分讨论区间，避免遗漏。 【变式训练1-1】已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________． 3．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________． 4．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列函数的定义域： （1）；（2）. 2．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字，如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么你认为y是n的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域；如果不是，请说明理由. 3．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求，的值． 4．给定函数，，. (1)画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数． 5．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里， (1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式； (2)画出该函数的图像． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．若函数则（    ） A． B． C． D． 4．设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．下列两个函数是相同函数的有（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 8．已知函数，且在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 重难·创新演练 11．【新考法】已知表示不大于x的最大整数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数的值域为，则函数可以是（    ） A． B． C． D． 13．已知函数，则_______. 14．【新考法】已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________． 15．【新考法】设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 16．（1）已知，则______． （2）已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． （3）定义在内的函数满足，则函数的解析式为______． 17．（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______． （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $