第01讲 函数的概念及其表示（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念及表示核心考点，按“命题透视-知识解构-题型破译”逻辑架构，整合定义域、值域、解析式及分段函数等内容，通过考点梳理、方法归纳、真题训练环节，帮助学生构建系统知识网络，突破高考基础送分题。 资料以天津高考考情为导向，创新采用“题型技巧+分层训练”模式，如分段函数问题强调“先判区间再代解析式”培养数学思维，设置基础与重难分层练习适配不同学生。通过真题溯源与课本典例结合，保障复习效率，助力学生夯实基础提升应考能力，为教师提供精准复习节奏指导。

第01讲 函数的概念及其表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的概念 知识点2 基本的函数定义域限制 知识点3 基本初等函数的值域 知识点4 分段函数的应用 题型破译 题型1 同一函数的判断 【方法技巧】同一函数的判断 题型2 函数的定义域的求解 【方法技巧】具体与抽象函数的定义域的求解 题型3 函数值域的求解 【方法技巧】函数值域的求解 题型4 已知函数定义域、值域求参数 【方法技巧】已知函数定义域、值域求参数 题型5 已知函数类型求解析式 【方法技巧】已知函数类型求解析式 题型6 已知f(g(x))求解析式 【方法技巧】已知f(g(x))求解析式 题型7 分段函数及其应用 【方法技巧】分段函数及其应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数的概念与三要素（定义域、值域、解析式） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T4（5 分） 函数的表示方法（解析法、列表法、图象法） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T4（5 分） 分段函数与函数求值 天津卷 T15（5 分） 考情分析 函数的概念及其表示是天津高考必考基础考点，以选择题、填空题为主，单题分值 5 分，整体难度低，属于基础送分题。高频考查方向为：①具体 / 抽象函数的定义域求解；②分段函数的求值、分段函数与不等式结合；③函数解析式与图象的匹配问题，常与指数、对数、三角函数等结合考查，极少单独考查单一知识点，是后续函数性质、导数应用等模块的基础，必须熟练掌握。 复习目标 1. 理解函数的定义与三要素，会求具体函数（分式、根式、对数等）的定义域，掌握抽象函数定义域的求解方法； 2.掌握函数的三种表示方法，能根据实际情境选择合适的表示方法，会用待定系数法、换元法、配凑法求函数解析式； 3.理解分段函数的概念，能熟练求解分段函数的函数值、最值，掌握分段函数与不等式、方程结合的基础题型； 4.会判断两个函数是否为同一函数，理解函数值域的概念，掌握常见函数值域的求解方法（如配方法、换元法、分离常数法）。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中______的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的______. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 必记结论 函数是两个非空数集间的对应关系，核心特征是任意 x 对应唯一 y，多对一允许、一对多不允许。函数三要素为定义域、对应法则、值域，定义域和对应法则相同，函数即为同一函数。 自主检测已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．0 知识点2 基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母______零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 必记结论 求定义域四大规则：分母不为零、偶次根式被开方数非负、零次幂底数不为零、对数真数大于零。抽象函数定义域遵循 “括号范围不变” 原则 自主检测已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 知识点3 基本初等函数的值域 (1)的值域是. (2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为． (3)的值域是.(4)且的值域是. (5)且的值域是. 必记结论 值域常用方法：配方法、分离常数法、单调性法、换元法。判断图像是否为函数，只需用竖线检验。分段函数遵循先定区间、再代解析式，多层求值由内向外计算。 自主检测已知，则的值域为________． 知识点4 分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的______不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 必记结论 解决分段函数问题，首要技巧是先判区间再代解析式，切勿直接代入计算。遇到多层嵌套求值，坚持由内向外逐层运算。求解方程、参数问题时，需按区间分类讨论，算出结果后务必检验解是否落在对应区间，避免出现增根。研究单调性时，不仅要保证每一段函数自身单调，还要核对分段端点处的函数值大小。处理零点、交点、参数范围题型，优先使用数形结合，画图时分界点分清实心、空心。解分段不等式要拆分区间列不等式组，最终取所有解集的并集。 自主检测（2026·天津和平·二模）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 同一函数的判断 例1-1（2026·天津·二模）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 例1-2下列各组函数为同一个函数的是________． ①， ②， ③， ④，且 方法技巧 同一函数的判断 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数 【变式训练1-1】下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练1-2】下列表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】下列五组函数中，表示同一函数的是________． ①，         ②， ③，     ④， ⑤， 题型2 函数的定义域的求解 例2-1函数的定义域为________． 例2-2求函数的定义域________. 方法技巧 具体与抽象函数的定义域的求解 1.对求函数定义域问题的思路是： （1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组 （2）解不等式组 （3）将解集写成集合或区间的形式。 2.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 3．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集. 【变式训练2-1】函数的定义域为___________． 【变式训练2-2】已知函数，则函数的定义域为________. 【变式训练2-3·变考法】已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型3 函数值域的求解 例3-1（1）求，的值域； （2）求函数的最大值 例3-2（2026·天津和平·模拟预测）已知函数，． (1)求的值域； (2)解不等式． 例3-3对于任意的，表示不超过x的最大整数．18世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．给出下列四个结论： ①函数为奇函数； ②函数的值域为； ③对于任意的，不等式恒成立； ④不等式的解集为． 其中所有正确结论的序号是________． 方法技巧 函数值域的求解 函数值域的求法主要有以下几种： (1)观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域 （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域 （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型 （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等 （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数 （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析 （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R） (8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法 （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法 (10)导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域． 【变式训练3-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D．3 题型4 已知函数定义域、值域求参数 例4-1已知函数，. (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围. 例4-2已知定义在上的函数满足，若函数（）在上的值域与函数的值域相同，则=（    ） A．2 B．1 C． D． 方法技巧 已知函数定义域、值域求参数 1.已知定义域、值域求解参数，核心依托函数单调性与区间最值解题。先判断函数在给定定义域内的增减性，闭区间上最值一定出现在区间端点，开区间则无法取到端点值。 2.普通函数结合解析式列式计算即可；若是分段函数，需逐段分析，整体值域为各分段值域的并集，要保证每一段取值范围符合要求。 3.若已知定义域反推值域求参，根据单调性算出对应最值，建立等式或不等式求解；若已知值域反求定义域相关参数，结合值域边界锁定自变量范围。 4.解题后务必检验参数结果，确认区间划分、取值范围合理，避免因忽略分段端点、区间开闭产生错误。遇到含参二次函数，还要结合对称轴位置综合分析。 【变式训练4-1】已知二次函数过坐标原点，有，且在上的值域为． (1)求函数的解析式； (2)求解关于的不等式，其中为实数． 【变式训练4-2】已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)当且时，求的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的值域是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【变式训练4-3】若函数的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是________． 题型5 已知函数类型求解析式 例5-1二次函数满足，且 (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)求在上的最小值． 例5-2以下命题中正确的是__________（填序号）. ①函数（且）过定点； ②已知函数是一次函数，且在上单调递增，并满足，则； ③函数的值域为； ④函数单调减区间为. 方法技巧 已知函数类型求解析式 当已知函数的类型时，可用待定系数法求解 【变式训练5-1】已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 【变式训练5-2】已知函数是定义在上的函数，且． (1)求出的值并写出函数的解析式； (2)用定义法证明在上是减函数； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 【变式训练5-3】已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 题型6 已知f(g(x))求解析式 例6-1已知函数，则__________. 例6-2函数，则__________. 方法技巧 已知f(g(x))求解析式 （1）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法.若易换元后求出，用换元法 （2）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法 （3）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求 （4）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解 （5）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出。 【变式训练6-1】已知，则__________. 【变式训练6-2】已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 题型7 分段函数及其应用 例7-1已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例7-2已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是__________. 方法技巧 分段函数及其应用 1.分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2.函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内。 【变式训练7-1】函数，若恰有四个不同零点，则实数a的取值范围为______________． 【变式训练7-2】设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________． 2．（2019·天津·高考真题）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 3．（2016·天津·高考真题）已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是___________. 4．（2011·天津·高考真题）对实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2010·天津·高考真题）设函数，则的值域是（  ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知 (1)求和； (2)求函数的值域． 2．研究函数的图象和性质，其中． 3．函数是周期为2的周期函数，且，． (1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值； (2)求的值； (3)求在区间上的解析式，其中． 4．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 5．设，求满足的x值． 6．已知函数在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围． 7．设，求证： (1)； (2)（，且）． 8．设函数，，求函数的定义域． 9．求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3) 10．求下列函数的函数值： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，，求． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考基础演练侧重考查函数三要素判定、定义域求解与解析式书写。高频考点为判断两函数是否为同一函数，求解常规函数与抽象函数定义域，牢记分式、根式、对数等限制条件。同时常考函数求值、分段函数嵌套计算，要求严格按区间选取对应解析式。题型以选择、填空为主，兼顾简单求值域、函数图像识别。整体侧重基础概念理解与常规方法运用，着重检验答题细心度，区间分界、端点取值、增根检验是高频易错点。 1．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A．B． C． D． 2．已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 4．若函数（且）在上为减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数是上的单调递减函数，那么实数的取值范围是__________. 6．已知函数若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．已知函数（为常数） (1)若函数的定义域为，求实数的取值集合： (2)当时，是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 9．已知函数，则________． 10．已知函数为常数），其图象过点和. (1)求和的值，确定的解析式； (2)证明：函数是奇函数； (3)若，求函数的最大值和最小值. 重难·创新演练 设题创新:天津高考创新点集中在题型融合与情境变式。常将分段函数与嵌套求值、零点、不等式综合命题，结合含参问题考查分类讨论能力。打破单一考法，把抽象函数定义域、值域与参数求解结合，增设多区间复合结构。同时融入数形结合思路，依托函数图像交点、分段端点设计难题。部分题目结合实际背景出题，条件设置更隐蔽，不再直接给出区间，侧重考查逻辑分析与知识迁移，端点验证、区间取舍、多情况讨论是主要难点。 1．已知函数，若方程有且仅有3个根，则实数的取值范围为______. 2．函数的最小值为________ 3．已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是_________________. 4．已知函数，满足对任意，都有 成立，则a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 5．函数，满足对任意不相等的成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．函数，且对于任意的，，有，则的取值范围是______. 7．已知函数，则____________；若存在实数满足，且，则的取值范围是________. 8．给出下列命题，其中正确命题的个数是（   ） ①两个函数，表示的是同一函数； ②函数的单调递减区间是； ③函数的图象与直线的交点最多有1个； ④函数的定义域为，则函数的定义域为 A．1 B．2 C．3 D．4 9．若为定义在上的偶函数，在上单调，且满足对任意，都有则的值为__________. 10．定义在上的函数f（x）满足且有且则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 函数的概念及其表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的概念 知识点2 基本的函数定义域限制 知识点3 基本初等函数的值域 知识点4 分段函数的应用 题型破译 题型1 同一函数的判断 【方法技巧】同一函数的判断 题型2 函数的定义域的求解 【方法技巧】具体与抽象函数的定义域的求解 题型3 函数值域的求解 【方法技巧】函数值域的求解 题型4 已知函数定义域、值域求参数 【方法技巧】已知函数定义域、值域求参数 题型5 已知函数类型求解析式 【方法技巧】已知函数类型求解析式 题型6 已知f(g(x))求解析式 【方法技巧】已知f(g(x))求解析式 题型7 分段函数及其应用 【方法技巧】分段函数及其应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数的概念与三要素（定义域、值域、解析式） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T4（5 分） 函数的表示方法（解析法、列表法、图象法） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T4（5 分） 分段函数与函数求值 天津卷 T15（5 分） 考情分析 函数的概念及其表示是天津高考必考基础考点，以选择题、填空题为主，单题分值 5 分，整体难度低，属于基础送分题。高频考查方向为：①具体 / 抽象函数的定义域求解；②分段函数的求值、分段函数与不等式结合；③函数解析式与图象的匹配问题，常与指数、对数、三角函数等结合考查，极少单独考查单一知识点，是后续函数性质、导数应用等模块的基础，必须熟练掌握。 复习目标 1. 理解函数的定义与三要素，会求具体函数（分式、根式、对数等）的定义域，掌握抽象函数定义域的求解方法； 2.掌握函数的三种表示方法，能根据实际情境选择合适的表示方法，会用待定系数法、换元法、配凑法求函数解析式； 3.理解分段函数的概念，能熟练求解分段函数的函数值、最值，掌握分段函数与不等式、方程结合的基础题型； 4.会判断两个函数是否为同一函数，理解函数值域的概念，掌握常见函数值域的求解方法（如配方法、换元法、分离常数法）。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 必记结论 函数是两个非空数集间的对应关系，核心特征是任意 x 对应唯一 y，多对一允许、一对多不允许。函数三要素为定义域、对应法则、值域，定义域和对应法则相同，函数即为同一函数。 自主检测已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【详解】根据题意：. 故选：A 知识点2 基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 必记结论 求定义域四大规则：分母不为零、偶次根式被开方数非负、零次幂底数不为零、对数真数大于零。抽象函数定义域遵循 “括号范围不变” 原则 自主检测已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 知识点3 基本初等函数的值域 (1)的值域是. (2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为． (3)的值域是.(4)且的值域是. (5)且的值域是. 必记结论 值域常用方法：配方法、分离常数法、单调性法、换元法。判断图像是否为函数，只需用竖线检验。分段函数遵循先定区间、再代解析式，多层求值由内向外计算。 自主检测已知，则的值域为________． 【答案】 【详解】由，开口向上，对称轴为， 当时，，当时，， 则的值域为. 故答案为：. 知识点4 分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 必记结论 解决分段函数问题，首要技巧是先判区间再代解析式，切勿直接代入计算。遇到多层嵌套求值，坚持由内向外逐层运算。求解方程、参数问题时，需按区间分类讨论，算出结果后务必检验解是否落在对应区间，避免出现增根。研究单调性时，不仅要保证每一段函数自身单调，还要核对分段端点处的函数值大小。处理零点、交点、参数范围题型，优先使用数形结合，画图时分界点分清实心、空心。解分段不等式要拆分区间列不等式组，最终取所有解集的并集。 自主检测（2026·天津和平·二模）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，则， ，解得， ，解得， 综上，不等式的解集是． 题●型●破●译 题型1 同一函数的判断 例1-1（2026·天津·二模）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 例1-2下列各组函数为同一个函数的是________． ①， ②， ③， ④，且 【答案】③④ 【详解】①的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； ②的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； ③ ，且定义域为，值域为， ，且定义域为，值域为， 函数三要素一致，故是同一个函数； ④定义域为，值域为， 定义域为，值域为， 函数三要素一致，故是同一个函数. 故答案为：③④ 方法技巧 同一函数的判断 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数 【变式训练1-1】下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为R，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，B是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为R，C不是； 对于D，函数与的定义域均为R，而的值域为， 函数的值域为R，D不是. 故选：B 【变式训练1-2】下列表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，定义域为，定义域为，定义域不同，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为，定义域不同，故B错误； 对于C，定义域为，定义域为，且，故C正确； 对于D，定义域为，定义域为，定义域不同，故D错误； 故选：C． 【变式训练1-3】下列五组函数中，表示同一函数的是________． ①，         ②， ③，     ④， ⑤， 【答案】②⑤ 【详解】对于①，的定义域为，的定义域为，故不能表示同一函数； 对于②，的定义域为，的定义域为，且，故能表示同一函数； 对于③，的定义域为，的定义域为，故不能表示同一函数； 对于④，的定义域为，的定义域为，故不能表示同一函数； 对于⑤，和的定义域均为，且对应关系一样，故能表示同一函数. 故答案为：②⑤. 题型2 函数的定义域的求解 例2-1函数的定义域为________． 【答案】 【详解】要使函数有意义 所以解得 函数的定义域为． 例2-2求函数的定义域________. 【答案】， 【详解】由题意，，所以，解不等式可得，， 所以函数的定义域为，. 方法技巧 具体与抽象函数的定义域的求解 1.对求函数定义域问题的思路是： （1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组 （2）解不等式组 （3）将解集写成集合或区间的形式。 2.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 3．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集. 【变式训练2-1】函数的定义域为___________． 【答案】 【详解】函数有意义，等价于， 解得 即函数的定义域为. 故答案为：. 【变式训练2-2】已知函数，则函数的定义域为________. 【答案】 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式训练2-3·变考法】已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以的定义域为， 故选：B 题型3 函数值域的求解 例3-1（1）求，的值域； （2）求函数的最大值 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）对于. 因为，结合复合函数的单调性知，在其定义域上单调递增， 当时，函数y取得最小值，当时，函数y取得最大值，故函数的值域为. （2）由题意可知，所以可得，即函数定义域为， 令，可得；则， 当时，，故函数的最大值. 例3-2（2026·天津和平·模拟预测）已知函数，． (1)求的值域； (2)解不等式． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）， 当时，是增函数， 在的范围的取值范围为 ， 当时，是减函数， 在的范围的取值范围为， 综上可知，的范围的取值范围为； （2）， ，或， 或，不等式的解集为. 例3-3对于任意的，表示不超过x的最大整数．18世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．给出下列四个结论： ①函数为奇函数； ②函数的值域为； ③对于任意的，不等式恒成立； ④不等式的解集为． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③④ 【详解】对于①，当时，，当，， 所以不是奇函数，所以①错误， 对于②，因为表示不超过的最大整数，所以当时，， 且可取遍任意整数，所以函数的值域为，所以②正确， 对于③，当时，设，，， ，，，则，， 则，则， 由，故，则恒成立，所以③正确， 对于④，由，得， 因为表示不超过的最大整数，所以，所以④正确. 故答案为：②③④. 方法技巧 函数值域的求解 函数值域的求法主要有以下几种： (1)观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域 （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域 （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型 （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等 （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数 （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析 （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R） (8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法 （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法 (10)导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域． 【变式训练3-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 则. 故选：B 【变式训练3-2】函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D．3 【答案】B 【详解】原函数可得. 由， 令，， 可得. 因为，所以， 即， 所以函数的最小值为. 故选：B. 题型4 已知函数定义域、值域求参数 例4-1已知函数，. (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为对任意，不等式恒成立， 所以即对任意恒成立， 则，解得， 故的取值范围为； （2）设函数在区间的值域为A，在区间上的值域为B， 因为对任意，存在，使得，所以， 当时，，即函数在区间的值域为， 函数的对称轴为， ，则在上单调递增，故， 而不是的子集，不符合； 当时，则在上单调递减，故， 要使，则，解得， 综上，的取值范围是. 例4-2已知定义在上的函数满足，若函数（）在上的值域与函数的值域相同，则=（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 又①， ②， 由①②得，， ， 故函数的值域为，函数的值域也是， 因为即，函数（）在上单调递减， 所以，即，所以. 故选：B. 方法技巧 已知函数定义域、值域求参数 1.已知定义域、值域求解参数，核心依托函数单调性与区间最值解题。先判断函数在给定定义域内的增减性，闭区间上最值一定出现在区间端点，开区间则无法取到端点值。 2.普通函数结合解析式列式计算即可；若是分段函数，需逐段分析，整体值域为各分段值域的并集，要保证每一段取值范围符合要求。 3.若已知定义域反推值域求参，根据单调性算出对应最值，建立等式或不等式求解；若已知值域反求定义域相关参数，结合值域边界锁定自变量范围。 4.解题后务必检验参数结果，确认区间划分、取值范围合理，避免因忽略分段端点、区间开闭产生错误。遇到含参二次函数，还要结合对称轴位置综合分析。 【变式训练4-1】已知二次函数过坐标原点，有，且在上的值域为． (1)求函数的解析式； (2)求解关于的不等式，其中为实数． 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【详解】（1）因为， 所以二次函数的图象为对称轴为的抛物线， 因为在上的值域为， 所以二次函数的图象为开口向下的抛物线，且顶点纵坐标为， 所以可设其解析式为，且， 因为二次函数的图象过坐标原点， 所以， 所以， 所以， （2）不等式， 可化为，即， 当时，或， 当时，， 当时，或， 所以当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. 【变式训练4-2】已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)当且时，求的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的值域是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)存在，. 【详解】（1）由，，令，令， 所以，故的递减区间为，递增区间为. （2）由（1）知：在上，在上， 所以有，即， 故，且，所以， 令，则， 所以，又，则， 所以. （3）若，则上最小值为0，即，与前提矛盾； 所以，若存在实数使在上值域是，情况如下， 当时，此时递减，则，与前提矛盾； 当时，此时递增，则； 故存在使函数在上的值域是. 【变式训练4-3】若函数的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是________． 【答案】[3，＋∞) 【详解】因为函数的值域为[0，＋∞)， 所以函数f(x)＝ax2＋2ax＋3的最小值要小于等于0显然a不为0，所以，解得a≥3. 故答案为：[3，＋∞)． 题型5 已知函数类型求解析式 例5-1二次函数满足，且 (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)求在上的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3)1. 【详解】（1）设二次函数解析式为且，因为，所以， 因为，所以， 整理得，所以，解得， 所以； （2）由，其图象开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，故最小值为， 而，则在上的值域为； （3）当时，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减，所以； 当，即时，在上单调递减，上单调递增，所以， 综上所述， 当时，， 当时，， 当时，. 例5-2以下命题中正确的是__________（填序号）. ①函数（且）过定点； ②已知函数是一次函数，且在上单调递增，并满足，则； ③函数的值域为； ④函数单调减区间为. 【答案】②③ 【详解】对于①：令，解得，，故过定点，故①错误； 对于②：设，， . 故有，解得，则，故②正确； 对于③：令，则， 因此，该函数为开口向下的二次函数， 当时，取到最大值，故该函数的值域为，故③正确； 对于④：由解得定义域为，故④错误； 故答案为：②③. 方法技巧 已知函数类型求解析式 当已知函数的类型时，可用待定系数法求解 【变式训练5-1】已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 【答案】B 【详解】设，则，解得， 所以，. 故选：B. 【变式训练5-2】已知函数是定义在上的函数，且． (1)求出的值并写出函数的解析式； (2)用定义法证明在上是减函数； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，，(2)证明见解析(3) 【详解】（1）因函数 是定义在上的函数， 由于，故，即. 又因为，所以，即.   故函数的解析式为，. （2）对，且， . 其中，，.                      因此，，即对且，有. 所以函数在上单调递减. （3）因，有意义，所以，，解得； 因为，函数在上单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 【变式训练5-3】已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得， 因此，解得，所以． 故选：A 题型6 已知f(g(x))求解析式 例6-1已知函数，则__________. 【答案】 【详解】令，则，， 所以，. 所以函数解析式为：. 故答案为：. 例6-2函数，则__________. 【答案】 【详解】令 ，则 ，所以 ，所以. 故答案为： 方法技巧 已知f(g(x))求解析式 （1）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法.若易换元后求出，用换元法 （2）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法 （3）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求 （4）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解 （5）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出。 【变式训练6-1】已知，则__________. 【答案】 【详解】令，则， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式训练6-2】已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数满足， 所以. 故选：D. 题型7 分段函数及其应用 例7-1已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增. 当时，，则， 易知在上单调递增， 而函数在处连续，故在上单调递增， 由，得，解得， 故实数的取值范围是. 例7-2已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】， 函数恰有2个零点等价于函数和有恰两个交点， 作出函数的图象 由得，设直线与图象的切点为， 则，所以， 由得， 与在原点相切时，， 由得， 与在原点相切时，， 所以直线与曲线相切， 由直线与曲线的位置关系可得：当时有两个交点，即函数恰有两个零点. 方法技巧 分段函数及其应用 1.分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2.函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内。 【变式训练7-1】函数，若恰有四个不同零点，则实数a的取值范围为______________． 【答案】 【详解】当时，令，则，所以， 此时零点为正奇数：. 当时，， 此时在上单调递增，最多有一个零点. 因为恰有四个不同零点，所以在上至少有三个零点， 故，此时，在上有且仅有一个零点， 所以时，与轴有3个交点，需满足， 所以实数a的取值范围为. 【变式训练7-2】设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数， . 【变式训练7-3】已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】函数在上单调递增，，在上单调递增，， 当，即时，，且， 当，即，，且， 当，即时，，且， 因此， 在坐标系内作出函数和的图像，如图所示 关于的方程恰有三个不相等的实数根，则. 所以实数的取值范围是. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是，故答案为. 2．（2019·天津·高考真题）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方， 或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求． 即，即， 或者，得，，即，得， 所以的取值范围是． 故选D． 3．（2016·天津·高考真题）已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是___________. 【答案】 【详解】试题分析：由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是. 4．（2011·天津·高考真题）对实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得=， 因为函数的图象与轴恰有两个公共点， 所以的图象有两个交点，如图：    由图可知，当时，函数的图象有两个公共点， 所以的取值范围是， 故选：B． 5．（2010·天津·高考真题）设函数，则的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当,即时,或, , 其最小值为，无最大值, 因此这个区间的值域为； 当时,,， 其最小值为，其最大值为， 因此这区间的值域为， 综合得函数值域为 ， 故选D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知 (1)求和； (2)求函数的值域． 【答案】(1)，，.(2) 【详解】（1）解：由函数， 可得，，. （2）解法1：因为，可得恒成立，可得，所以， 即函数的值域为. 解法2：假设是所求值域中的元素，则关于的方程应该有解，即应该有解， 从而，即，解得，所以函数的值域为． 2．研究函数的图象和性质，其中． 【答案】答案见解析 【详解】函数可以看作二次函数的倒数函数，可以先画出二次函数的图象， 再画出其倒数的图象，在此基础上研究函数的性质，一个函数的倒数图象与原函数的关系如下： （1）在函数值为零时，对应的倒数函数在该点处无定义，过该点且垂直于轴的直线是该倒数函数图象的渐近线； （2）在函数值为正时，它的单调递增区间为对应的倒数函数的单调递减区间，它的单调递减区间为对应倒数函数的单调递增区间； （3）在函数值为负时，它的单调递增区间为对应的倒数函数的单调递减区间，它的单调递减区间为对应倒数函数的单调递增区间； 例如函数，其对应的二次函数为，且图象如下所示：    则函数的定义域为，值域为，在上单调递增，在上单调递减， 且当或时函数值为零，当或时函数值为正，当时函数值为负； 由此可得函数的定义域为， 在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 函数的值域为，函数图象如下所示：    例如函数，其对应的二次函数为，且图象如下所示：    则的图象如下所示：    其性质可以类似的分析； 例如函数，其对应的二次函数为，且图象如下所示：    则函数的图象如下所示：    其性质可以类似的分析； 同理可分析的情形. 3．函数是周期为2的周期函数，且，． (1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值； (2)求的值； (3)求在区间上的解析式，其中． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)，. 【详解】（1）由的周期性及上解析式，得区间上的图象如下：    由上图知：增区间为，减区间为； 零点为共3个；最大值为1，最小值为0. （2）由题设. （3）令且，则， 又，则，即， 综上，在区间上，. 4．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：因为， 所以，解得， 所以的定义域为； （2）因为， 所以，解得， 所以的定义域为； （3）因为， 所以，解得， 所以的定义域为； 5．设，求满足的x值． 【答案】3 【详解】当时，可知，解得，显然不合题意； 当时，可得，解得，符合题意； 综上可得满足的x值为3. 6．已知函数在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】要想满足在R上是减函数， 则二次函数的对称轴，且， 解得， 所以实数a的取值范围是. 7．设，求证： (1)； (2)（，且）． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1），， ，． （2），（，且）， ，（，且）． 8．设函数，，求函数的定义域． 【答案】 【详解】函数定义域为R， 函数有意义，则，解得， 得的定义域为， 所以函数的定义域为. 9．求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3) 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，． 的值域为 10．求下列函数的函数值： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，，求． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. （3）因为，所以， 因为，所以， 所以. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考基础演练侧重考查函数三要素判定、定义域求解与解析式书写。高频考点为判断两函数是否为同一函数，求解常规函数与抽象函数定义域，牢记分式、根式、对数等限制条件。同时常考函数求值、分段函数嵌套计算，要求严格按区间选取对应解析式。题型以选择、填空为主，兼顾简单求值域、函数图像识别。整体侧重基础概念理解与常规方法运用，着重检验答题细心度，区间分界、端点取值、增根检验是高频易错点。 1．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误； CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误； A选项，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当或时，；当或时，. A选项正确. 2．已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 3．若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 【答案】 1 【详解】设， 则在上恒成立， 则需要与在上始终保持符号相同，所以， 设，则对称轴，得， 且，即，得， 综上，实数a的取值范围为． 4．若函数（且）在上为减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足，且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 5．已知函数是上的单调递减函数，那么实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】函数是上的单调递减函数， 所以，解得, 所以实数的取值范围是 故答案为： 6．已知函数若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 因为函数在单调递增，且函数是减函数， 所以在单调递减； 当时，， 因为函数在是单调递增，且函数是减函数， 所以在单调递减； 又，所以在单调递减， 若，则，即， 解得或，所以实数的取值范围为， 故选：A. 7．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】的定义域为，的定义域为， 和不是同一函数，故A错误； 的定义域为，的定义域为， 和的定义域与对应法则相同，故表示同一函数，故B正确； 的定义域为，的定义域为， 和定义域不同，不是同一个函数，故C错误； 和的对应法则不同，不是同一个函数，故D错误． 故选：B． 8．已知函数（为常数） (1)若函数的定义域为，求实数的取值集合： (2)当时，是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，的最大值为. 【详解】（1）由题意函数的定义域为， 则对于恒成立， 当时，，不恒成立； 当时，，无解； 综上所述，实数的取值范围为. （2）存在；的最大值为，理由如下： 当时，，则， 则不等式可化为， 则，即在区间上有解， 令，，则， 因为，， 可得：在区间上单调递增. 所以， 又因为为正整数，所以的最大值为. 9．已知函数，则________． 【答案】 【详解】由已知可得：. 故答案为： 10．已知函数为常数），其图象过点和. (1)求和的值，确定的解析式； (2)证明：函数是奇函数； (3)若，求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)，(2)证明见解析(3)最大值为，最小值为 【详解】（1）图象过点和 . . . （2）定义域是R，关于原点对称. 是奇函数. （3） 在上单调递增，在上也单调递增. . 在上最大值为，最小值为. 重难·创新演练 设题创新:天津高考创新点集中在题型融合与情境变式。常将分段函数与嵌套求值、零点、不等式综合命题，结合含参问题考查分类讨论能力。打破单一考法，把抽象函数定义域、值域与参数求解结合，增设多区间复合结构。同时融入数形结合思路，依托函数图像交点、分段端点设计难题。部分题目结合实际背景出题，条件设置更隐蔽，不再直接给出区间，侧重考查逻辑分析与知识迁移，端点验证、区间取舍、多情况讨论是主要难点。 1．已知函数，若方程有且仅有3个根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】方程即， 显然为方程的一个根， 由题意方程有2个非零根，则函数与有两个交点， 画出函数的图象，如图所示： 由图可知，故实数的取值范围为. 故答案为： 2．函数的最小值为________ 【答案】5 【详解】由题意得函数， 因为，所以. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，且当时，函数取得最小值，最小值为. 故答案为：. 3．已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是_________________. 【答案】 【详解】函数的图象如图所示： 设 ， 结合图像可得：，且，， 而 ，故， 故， 设，而在上为增函数，， 故． 故答案为： 4．已知函数，满足对任意，都有 成立，则a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，对任意，若，则，所以，即. 所以函数是减函数. 所以，解得. 所以a的取值范围是 . 故选：C. 5．函数，满足对任意不相等的成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可判断函数在上严格单调递增，然后根据一次函数和指数函数的单调性列出不等式，求出解集即可. 【详解】因为函数对任意不相等的，都有， 所以函数在上严格单调递增. 因为，则有. 解得. 故选：B. 6．函数，且对于任意的，，有，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题意可知在上单调递减，则有，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 7．已知函数，则____________；若存在实数满足，且，则的取值范围是________. 【答案】 0 【详解】由题，所以； 如图作出函数的函数图像如图所示： 若存在实数满足，且， 则由图可知， 且，即， 所以， 因为，在上单调递增， 所以. 故答案为：0； 8．给出下列命题，其中正确命题的个数是（   ） ①两个函数，表示的是同一函数； ②函数的单调递减区间是； ③函数的图象与直线的交点最多有1个； ④函数的定义域为，则函数的定义域为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①：对于函数，令，解得，即的定义域为； 对于，令，解得或，所以的定义域为， 两函数定义域不同,故两函数不是同一函数，故①错误； 对于②：函数的单调递减区间是和，故②错误； 对于③：若在的定义域内，则函数的图象与直线有且仅有一个交点， 若不在的定义域内，则函数的图象与直线没有交点， 综上可得函数的图象与直线的交点最多有1个，故③正确； 对于④：因为函数的定义域为， 令，解得， 所以函数的定义域为，故④正确； 故选：B 9．若为定义在上的偶函数，在上单调，且满足对任意，都有则的值为__________. 【答案】7或10 【详解】设，因为，所以， 由于为定义在上的偶函数，在上单调，故至多有2个实数解. 即关于的方程至多有两个实数值. ，则（①）且（②）， 在①中令,则，解得或. 同理当时，解得或. 故或， 故或， 故答案为：7或10 10．定义在上的函数f（x）满足且有且则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，即， 因为， 所以，可转化为， 即，即. 因为满足且，有， 所以在区间上单调递增， 即，解得， 即不等式的解集为. 故选:C. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $