第16讲 导数与函数的极值、最值 讲义-2027届高三数学一轮复习

第16讲 导数与函数的极值、最值 内 容 导 航 知识点1 极值点与极值 知识点2 函数的最大(小)值 知识点3 函数极值与最值的关系 知识点4 （导）函数图象与极值 知识点5 求函数的极值（点） 知识点6 已知函数的极值（点）求参数 知识点7 已知极值（点）个数求参数 知识点8 利用极值、最值解决函数的零点问题 知识点9 恒成立问题 题型1 函数在某点取得极值的条件 题型2 利用导数求解函数的极值 题型3 由函数的极值求解函数或参数 题型4 利用导数求解函数的最值 题型5 由函数的最值求解函数或参数（导数法） 知 识 点 通 关 知识点1 极值点与极值 1．极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，且,而且在点附近的左侧,右侧,就把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值． （2）极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，且,而且在点附近的左侧,右侧，就把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值． （3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值． 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值． 2．函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是极大值; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标． ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点． 3．导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;反之若,则不一定是函数的极值点．函数在点处取得极值的充要条件是且在左、右两侧的符号不同． 知识点2 函数的最大(小)值 1．最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值． 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者． ②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得． 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间可以是无穷区间 2．求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 知识点3 函数极值与最值的关系 1．研究范围不同：极值是局部概念，只看某一点附近的函数值大小；最值是整体概念，针对整个定义区间来比较。 2．数量不同：在一个区间内，极大值、极小值可能有多个，也可能不存在；而最大值、最小值最多只有一个，也可能不存在。 3．位置不同：极值点不能出现在区间端点；最值点可以是区间端点。 4．取值位置：可导函数的最大值、最小值，一定出现在极值点或区间端点处。 知识点4 （导）函数图象与极值 方法技巧 导函数图象与原函数图象的关系 导函数图像由正变负，原函数在该点取得极大值；导函数图像由负变正，原函数在该点取得极小值。只有导函数图像穿过x轴的交点才是极值点，仅相切不穿过的点不是极值点。 知识点5 求函数的极值（点） 方法技巧 求函数的极值（点）的方法 先确定函数定义域，求导并令，找出所有驻点与不可导点。逐一判断每个点左右两侧导数符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值，严格区分极值点与极值。 知识点6 已知函数的极值（点）求参数 方法技巧 已知极值（点）求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． 知识点7 已知极值（点）个数求参数 方法技巧 已知极值（点）个数求参数的通用解题步骤 （1）求定义域：优先写出函数定义域，注意分母、对数、根号等限制。 （2）求导并整理：通分、因式分解，转化为整式型导数（方便判断零点）。 （3）转化问题：极值点n个在定义域内有n个不同变号零点。 （4）构造函数+数形结合：分离参数或直接研究导函数图像，利用单调性、零点存在定理求参数范围。 知识点8 利用极值、最值解决函数的零点问题 方法技巧 利用导数画图解决零点问题 （1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． （2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值． 知识点9 恒成立问题 方法技巧 恒成立问题的处理方式 将或恒成立转化为函数在区间上的最值问题。求导确定最值，建立最值不等式求解参数范围，注意分类讨论与端点取值。 考 点 演 练 题型1 函数在某点取得极值的条件 【典例1】若函数y＝f（x）是定义在R上的可导函数，则f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】设函数f（x）＝（x+a）（x﹣1）2，则“a＝﹣1”是“f（x）没有极值点”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 利用导数求解函数的极值 【典例1】已知等比数列{an}的各项均为正数，a1013，a1014是函数的两个极值点，则（　　） A．2026 B．2025 C．1014 D．1013 【变式1】若函数有极值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0）∪（e，+∞） B．（﹣∞，﹣e）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣e） D．（e，+∞） 题型3 由函数的极值求解函数或参数 【典例1】已知函数f（x）＝（x﹣a）2（x﹣4）（a＞0），x＝1是f（x）的一个极值点，则（　　） A．a＝2 B．f（x）的图像在点（2，f（2））处的切线方程为3x+y﹣4＝0 C．若方程f（x）＝m有一个解，则m∈（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） D．f（x+4）＞f（x） 【变式1】设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+1，其中a＞0，则下列说法正确的是（　　） A．当a＝1时，若函数f（x）的对称中心为，则 B．当b＝0时，函数f（x）的图象关于点（0，1）中心对称 C．当a＝1时，若f（x）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2），且x2＝2x1，则27c＝8b2 D．当b＝1时，若f（x）有三个相异且成等差数列的零点，则实数a的取值范围为 题型4 利用导数求解函数的最值 【典例1】设函数． （1）当a＝1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． （2）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，若恒成立，求a的最大值． 【变式1】已知函数f（x）＝（4x+2）lnx+a． （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线方程； （2）若函数g（x）＝（x+2）2﹣f（x）有且仅有一个零点，求a的值． 题型5 由函数的最值求解函数或参数（导数法） 【典例1】若函数在区间（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（　　） A．（0，1） B． C． D． 【变式1】已知函数，若f（x1）＝f（x2），x1＜x2且x1+2x2的最大值为﹣1，则a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2ln2 C．ln2﹣1 D．e 过 关 验 收 1．已知f（x）＝x3﹣ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＜0，b＞0，c＜0，d＜0 C．a＞0，b＜0，c＜0，d＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0，d＜0 3．已知函数f（x）和g（x）的导函数f′（x），g′（x）图象分别如图所示，则关于函数y＝g（x）﹣f（x）的判断正确的是（　　） A．有3个极大值点 B．有3个极小值点 C．有1个极大值点和2个极小值点 D．有2个极大值点和1个极小值点 4．已知f（x）是R上连续可导函数，若函数y＝（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）有三个极值点 B．f（x）在（﹣2，2）单调递减 C．f（1）＞f（2） D．f（﹣1）＞f（﹣2） 5．已知函数f（x）＝ax3+x2﹣ax（a∈R，且a≠0）．如果存在实数a∈（﹣∞，﹣1]，使函数g（x）＝f（x）+f′（x），x∈[﹣1，b]（b＞﹣1）在x＝﹣1处取得最小值，则实数b的最大值为　 　 ． 6．已知定义在（0，+∞）上的函数． （1）求证f（x）＜1； （2）函数f（x）所有的极值点按从小到大的顺序组成数列{an}（n≥1，n∈N）． ①若a2025∈（nπ，nπ+π），求n的值； ②求证：． 7．已知函数f（x）＝lnx+ax﹣a2x2（a≥0）． （1）若x＝1是函数y＝f（x）的极值点，求a的值； （2）求函数y＝f（x）的单调区间． 8．已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2，其中a＞b，3为f（x）的极大值点．若f（x）在（b+1，a）内有最小值，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．已知函数，，则下列关于函数f（x）的极值点的叙述，正确的是（　　） A．既没有极大值点也没有极小值点 B．既有极大值点也有极小值点 C．有且只有一个极小值点 D．有且只有一个极大值点 10．已知函数f（x）＝x3+2ax2+a2x在x＝1处取得极小值，则a的值为（　　） A．﹣1或﹣3 B．﹣1 C．或1 D．﹣3 11．函数f（x）＝（x2﹣x﹣1）ex的极小值点是（　　） A．x＝﹣2 B．（﹣2，5e﹣2） C．x＝1 D．（1，﹣e） 12．已知函数f（x）＝x（x﹣a）2在x＝1处取得极大值，则实数a的值是　 　 ． 13．若函数的两个极值点都为正数，则实数a的取值范围是　 　 ． 14．已知函数f（x）＝x3+3mx2﹣nx+m2在x＝﹣1时有极值0，则mn＝　 　 ． 15．已知函数，其中a，b∈R （1）若函数f（x）在x＝﹣3处有极值﹣12，求a，b的值； （2）当x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]时，设M＝|f′（x）|max，求M的最小值． 16．已知函数f（x）＝2x2+lnx﹣2ax在上有最大值，则a的取值范围是（　　） A．（﹣5，﹣2） B．（2，5） C． D． 17．若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为（　　） A．2 B．e C．3 D．e2 18．函数f（x）＝sin2xcos4x的最大值为（　　） A． B． C． D． 19．已知函数f（x）的最大值为1，则a＝（　　） A． B．1 C． D．2 20．若函数f（x）＝（2x+a）ex的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（﹣4，0） C．（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞） D．（﹣8，0） 21．已知函数，若当x≥0时，f（x）≥0，则a的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 22．若函数在区间（a﹣4，a）内存在最小值，则实数a可以取（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 23．已知函数，若f（x）在区间（m，m2）上有最大值，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．（2，3） D． 24．已知函数f（x）＝ex+3x2﹣x﹣a2． （1）求函数f（x）的最小值； （2）若恒成立，求实数a的取值范围． 25．设函数f（x）＝ax﹣2lnx+1，a∈R． （1）若f（x）在x＝1处切线为y＝b，求实数a+b的值； （2）是否存在实数a，使得当x∈（0，2]时，函数f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 导数与函数的极值、最值 内 容 导 航 知识点1 极值点与极值 知识点2 函数的最大(小)值 知识点3 函数极值与最值的关系 知识点4 （导）函数图象与极值 知识点5 求函数的极值（点） 知识点6 已知函数的极值（点）求参数 知识点7 已知极值（点）个数求参数 知识点8 利用极值、最值解决函数的零点问题 知识点9 恒成立问题 题型1 函数在某点取得极值的条件 题型2 利用导数求解函数的极值 题型3 由函数的极值求解函数或参数 题型4 利用导数求解函数的最值 题型5 由函数的最值求解函数或参数（导数法） 知 识 点 通 关 知识点1 极值点与极值 1．极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，且,而且在点附近的左侧,右侧,就把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值． （2）极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，且,而且在点附近的左侧,右侧，就把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值． （3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值． 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值． 2．函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是极大值; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标． ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点． 3．导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;反之若,则不一定是函数的极值点．函数在点处取得极值的充要条件是且在左、右两侧的符号不同． 知识点2 函数的最大(小)值 1．最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值． 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者． ②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得． 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间可以是无穷区间 2．求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 知识点3 函数极值与最值的关系 1．研究范围不同：极值是局部概念，只看某一点附近的函数值大小；最值是整体概念，针对整个定义区间来比较。 2．数量不同：在一个区间内，极大值、极小值可能有多个，也可能不存在；而最大值、最小值最多只有一个，也可能不存在。 3．位置不同：极值点不能出现在区间端点；最值点可以是区间端点。 4．取值位置：可导函数的最大值、最小值，一定出现在极值点或区间端点处。 知识点4 （导）函数图象与极值 方法技巧 导函数图象与原函数图象的关系 导函数图像由正变负，原函数在该点取得极大值；导函数图像由负变正，原函数在该点取得极小值。只有导函数图像穿过x轴的交点才是极值点，仅相切不穿过的点不是极值点。 知识点5 求函数的极值（点） 方法技巧 求函数的极值（点）的方法 先确定函数定义域，求导并令，找出所有驻点与不可导点。逐一判断每个点左右两侧导数符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值，严格区分极值点与极值。 知识点6 已知函数的极值（点）求参数 方法技巧 已知极值（点）求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． 知识点7 已知极值（点）个数求参数 方法技巧 已知极值（点）个数求参数的通用解题步骤 （1）求定义域：优先写出函数定义域，注意分母、对数、根号等限制。 （2）求导并整理：通分、因式分解，转化为整式型导数（方便判断零点）。 （3）转化问题：极值点n个在定义域内有n个不同变号零点。 （4）构造函数+数形结合：分离参数或直接研究导函数图像，利用单调性、零点存在定理求参数范围。 知识点8 利用极值、最值解决函数的零点问题 方法技巧 利用导数画图解决零点问题 （1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． （2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值． 知识点9 恒成立问题 方法技巧 恒成立问题的处理方式 将或恒成立转化为函数在区间上的最值问题。求导确定最值，建立最值不等式求解参数范围，注意分类讨论与端点取值。 考 点 演 练 题型1 函数在某点取得极值的条件 【典例1】若函数y＝f（x）是定义在R上的可导函数，则f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数的极值点． 若函数在x0取得极值，由定义可知f′（x0）＝0 所以f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的必要不充分条件 故选：B． 【变式1】设函数f（x）＝（x+a）（x﹣1）2，则“a＝﹣1”是“f（x）没有极值点”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：当a＝﹣1时，f（x）＝（x﹣1）3，f′（x）＝3（x﹣1）2≥0恒成立， 所以函数f（x）单调递增，没有极值点； 若f（x）没有极值点，则f′（x）＝（x﹣1）2+2（x+a）（x﹣1）＝3（x﹣1）（x）≥0恒成立， 由二次函数的性质可得1，解得a＝﹣1， 所以“a＝﹣1”是“f（x）没有极值点”的充分必要条件． 故选：C． 题型2 利用导数求解函数的极值 【典例1】已知等比数列{an}的各项均为正数，a1013，a1014是函数的两个极值点，则（　　） A．2026 B．2025 C．1014 D．1013 【答案】D 【解答】解：由，对其求导，可得f'（x）＝x2﹣5x+e， 因为a1013，a1014是f（x）的两个极值点， 所以a1013，a1014是方程f'（x）＝0，即x2﹣5x+e＝0的两个根， 由韦达定理，可得a1013a1014＝e， 由等比数列的性质，可得a1a2026＝a2a2025＝…＝a1013a1014＝e， 则， 所以． 故选：D． 【变式1】若函数有极值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0）∪（e，+∞） B．（﹣∞，﹣e）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣e） D．（e，+∞） 【答案】A 【解答】解：令，因此x＝at，a≠0，函数化为g（t）＝eatln（t+1），依题意，函数g（t）有极值， 求导得， 令，t∈（﹣1，+∞），求导得， 而a≠0，令φ′（t）＝0，得， 当a＜0时，，因此φ′（t）＜0，得函数φ（t）在（﹣1，+∞）上单调递减， 又t→﹣1+时，φ（t）→+∞；t→+∞时，φ（t）→﹣∞， 因此存在t0∈（﹣1，+∞），使得φ（t0）＝0，即函数g（t），亦即函数f（x）存在极值； 当a＞0时，，由φ′（t）＜0，得；由φ′（t）＞0，得， 函数φ（t）在上递减，在上递增，因此， 设h（a）＝a﹣alna，a＞0，求导得h′（a）＝﹣lna，当0＜a＜1时，h′（a）＞0；当a＞1时，h′（a）＜0， 函数h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又h（e）＝0，且0＜a＜1时，φ（t）min＞0， 因此0＜a≤e时，φ（t）min≥0，此时函数g（t），即f（x）无极值； 当a＞e时，φ（t）min＜0，且t→﹣1+时，φ（t）→+∞；t→+∞时，φ（t）→+∞， 此时函数g（t），即函数存在极值，因此a∈（﹣∞，0）∪（e，+∞）． 故选：A． 题型3 由函数的极值求解函数或参数 【典例1】已知函数f（x）＝（x﹣a）2（x﹣4）（a＞0），x＝1是f（x）的一个极值点，则（　　） A．a＝2 B．f（x）的图像在点（2，f（2））处的切线方程为3x+y﹣4＝0 C．若方程f（x）＝m有一个解，则m∈（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） D．f（x+4）＞f（x） 【答案】BCD 【解答】解：对于A，因为f（x）＝（x﹣a）2（x﹣4）（a＞0）， 所以求导得f′（x）＝2（x﹣a）（x﹣4）+（x﹣a）2＝（x﹣a）（3x﹣a﹣8）， 因为x＝1是f（x）的一个极值点，所以f′（1）＝（1﹣a）（﹣a﹣5）＝0，解得a＝1或a＝﹣5， 由a＞0，得a＝1，故A错误； 对于B，因为a＝1，所以f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），f（2）＝﹣2， 求导得f′（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝3（x﹣1）（x﹣3）， 所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为k＝f′（2）＝﹣3， 所以切线方程为y+2＝﹣3（x﹣2），即3x+y﹣4＝0，故B正确； 对于C，令f′（x）＝0，得x＝1或x＝3， 当x＞3时，f′（x）＞0，所以函数f（x）递增； 当1＜x＜3时，f′（x）＜0，所以函数f（x）递减； 当x＜1时，f′（x）＞0，所以函数f（x）单调递增； 所以f（x）的极大值为f（1）＝（1﹣1）2（1﹣4）＝0•（﹣3）＝0， f（x）的极小值为f（3）＝（3﹣1）2（3﹣4）＝4•（﹣1）＝﹣4． 因为f（x）为三次函数，要使f（x）＝m只有一个解，则需f（x）的极小值＞m或m＞f（x）的极大值， 所以m＜﹣4或m＞0，故C正确； 对于D，因为f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），所以f（x+4）＝x（x+3）2， 则f（x+4）﹣f（x）＝x（x+3）2﹣（x﹣1）2（x﹣4）＝12x2+4＞0， 即f（x+4）＞f（x）恒成立，故D正确． 故选：BCD． 【变式1】设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+1，其中a＞0，则下列说法正确的是（　　） A．当a＝1时，若函数f（x）的对称中心为，则 B．当b＝0时，函数f（x）的图象关于点（0，1）中心对称 C．当a＝1时，若f（x）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2），且x2＝2x1，则27c＝8b2 D．当b＝1时，若f（x）有三个相异且成等差数列的零点，则实数a的取值范围为 【答案】BCD 【解答】解：选项A，当a＝1时，f（x）＝x3+bx2+cx+1， 若函数f（x）的对称中心为，则， 所以， 整理得， 则，解得， 所以， 所以，故选项A错误； 选项B，当b＝0时，f（x）＝ax3+cx+1， 所以f（x）+f（﹣x）＝ax3+cx+1+a•（﹣x）3+c•（﹣x）+1＝2， 所以函数f（x）的图象关于点（0，1）中心对称，故选项B正确； 选项C，当a＝1时，f（x）＝x3+bx2+cx+1， 令f′（x）＝3x2+2bx+c＝0， 则Δ＝4b2﹣12c＞0，，， 因为x2＝2x1，且x1＜x2， 所以0＜x1＜x2， 所以x1+x20，x1x20， 所以b＜0，c＞0，且，， 即， 所以27c＝8b2，故选项C正确； 选项D，当b＝1时，f（x）＝ax3+x2+cx+1， 设三个相异零点分别为m﹣t、m、m+t， 则ax3+x2+cx+1＝a（x﹣m+t）（x﹣m）（x﹣m﹣t）， 即ax3+x2+cx+1＝ax3﹣3max2+（3m2﹣t2）ax﹣ma（m2﹣t2）， 所以， 由1＝﹣3ma，得， 由1＝﹣ma（m2﹣t2），得， 所以， 又a＞0， 所以实数a的取值范围为，故选项D正确． 故选：BCD． 题型4 利用导数求解函数的最值 【典例1】设函数． （1）当a＝1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． （2）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，若恒成立，求a的最大值． 【答案】（1）x﹣y﹣1＝0； （2）1． 【解答】解：（1）已知函数f（x）＝ax﹣lnx， 因此由a＝1，知， 则，得f′（1）＝1， 故函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣y﹣1＝0； （2）由恒成立，可得， 即在（0，+∞）恒成立， 设，x∈（0，+∞），则， 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增， 当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）单调递减， 所以g（x）≥g（1）＝1，即g（x）的最小值为1， 所以a≤1，即a的最大值为1． 【变式1】已知函数f（x）＝（4x+2）lnx+a． （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线方程； （2）若函数g（x）＝（x+2）2﹣f（x）有且仅有一个零点，求a的值． 【答案】（1）6x﹣y﹣5＝0； （2）9． 【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝（4x+2）lnx+1，， 得f′（1）＝6， 所以曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝6（x﹣1）， 即6x﹣y﹣5＝0． （2）方法一：g（x）＝（x+2）2﹣（4x+2）lnx﹣a，x∈（0，+∞）， ， 令，x∈（0，+∞），得， 故q（x）在（0，+∞）内单调递增，又q（1）＝0， 则当x∈（0，1），q（x）＜0，得g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当x∈（1，+∞），q（x）＞0，得g′（x）＞0，g（x）单调递增， 从而g（x）在x＝1处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为g（1）＝9﹣a． 又当x＞0且x→0时，g（x）→+∞，当x→+∞时，g（x）→+∞， 由函数g（x）有且仅有一个零点，可得g（1）＝9﹣a＝0， 则a的值为9． 方法二：g（x）＝（x+2）2﹣（4x+2）lnx﹣a，x∈（0，+∞）， 令g（x）＝0得a＝（x+2）2﹣（4x+2）lnx， 令h（x）＝（x+2）2﹣（4x+2）lnx，x∈（0，+∞）， 则， 令，x∈（0，+∞），得， 故q（x）在（0，+∞）内单调递增，又q（1）＝0， 则当x∈（0，1），q（x）＜0，得h′（x）＜0，h（x）单调递减， 当x∈（1，+∞），q（x）＞0，得h′（x）＞0，h（x）单调递增， 从而h（x）在x＝1处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为h（1）＝9． 又当x＞0且x→0时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞， 由函数g（x）有且仅有一个零点，可得a＝h（1）＝9， 则a的值为9． 题型5 由函数的最值求解函数或参数（导数法） 【典例1】若函数在区间（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（　　） A．（0，1） B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由，若函数f（x）在区间（1，2）内有最小值．此时函数f（x）必定存在极值点， 由Δ＝a2+4＞0，设x1，x2为一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0的两根，有， 故只需要1＜x2＜2即可， 令g（x）＝x2﹣ax﹣1，有，解得． 故选：C． 【变式1】已知函数，若f（x1）＝f（x2），x1＜x2且x1+2x2的最大值为﹣1，则a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2ln2 C．ln2﹣1 D．e 【答案】B 【解答】解：函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增， 由f（x1）＝f（x2），x1＜x2，得x1＜0≤x2，则，， 因此，令函数g（t）＝a+1﹣et+2t，t≥0， 求导得g′（t）＝﹣et+2，当0≤t＜ln2时，g′（t）＞0；当t＞ln2时，g′（t）＜0， 函数g（t）在[0，ln2）上单调递增，在（ln2，+∞）上单调递减， 则g（t）max＝g（ln2）＝a﹣1+2ln2，而x1+2x2的最大值为﹣1， 于是a﹣1+2ln2＝﹣1，解得a＝﹣2ln2，此时a﹣0＝﹣2ln2＜0＝f（0），符合题意， 所以a的值为﹣2ln2． 故选：B． 过 关 验 收 1．已知f（x）＝x3﹣ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，f′（x）＝3x2﹣2ax+4 ∵f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值， ∴f′（x）＝0的两个根中：x1∈（0，1），x2＞1 ∴f′（0）＝4＞0，f′（1）＝7﹣2a＜0， 解得 故选：A． 2．三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＜0，b＞0，c＜0，d＜0 C．a＞0，b＜0，c＜0，d＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0，d＜0 【答案】D 【解答】解：由f（x）＝ax3+bx2+cx+d，结合图象可知，f（0）＝d＜0，故A错误； f′（x）＝3ax2+2bx+c，由图可知，函数f（x）有异号两个极值点x1，x2，且x1＜﹣2＜0＜x2＜2， 函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减， 由﹣2∈（x1，x2），2∈（x2，+∞），得，得b＞0，故C错误； 由不等式3ax2+2bx+c＞0的解集为（﹣∞，x1）∪（x2，+∞），得3a＞0，即a＞0，故B错误； 又x1，x2是方程3ax2+2bx+c＝0的二根，，则c＜0， 综上可知D正确． 故选：D． 3．已知函数f（x）和g（x）的导函数f′（x），g′（x）图象分别如图所示，则关于函数y＝g（x）﹣f（x）的判断正确的是（　　） A．有3个极大值点 B．有3个极小值点 C．有1个极大值点和2个极小值点 D．有2个极大值点和1个极小值点 【答案】D 【解答】解：结合函数图象可知，当x＜a时，f′（x）＜g′（x），此时y′＝g′（x）﹣f′（x）＞0，函数单调递增， 当a＜x＜0时，f′（x）＞g′（x），此时y′＝g′（x）﹣f′（x）＜0，函数单调递减， 当0＜x＜b时，f′（x）＜g′（x），此时y′＝g′（x）﹣f′（x）＞0，函数单调递增， 当x＞b时，f′（x）＞g′（x），此时y′＝g′（x）﹣f′（x）＜0，函数单调递减， 故函数在x＝a，x＝b处取得极大值，在x＝0处取得极小值． 故选：D． 4．已知f（x）是R上连续可导函数，若函数y＝（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）有三个极值点 B．f（x）在（﹣2，2）单调递减 C．f（1）＞f（2） D．f（﹣1）＞f（﹣2） 【答案】BC 【解答】解：由y＝（x﹣1）f′（x）的图象知， 当x＜﹣2时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减， 当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞2时，f′（x）＞0，函数单调递增， 所以f（x）在（﹣2，2）上单调递减，选项B正确； ﹣2是f（x）的极大值点，2为函数f（x）的极小值点，1不是函数f（x）的极值点，选项A错误； 当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上单调递减，f（1）＞f（2），选项C正确； 当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上单调递减，f（﹣1）＜f（﹣2），选项D错误． 故选：BC． 5．已知函数f（x）＝ax3+x2﹣ax（a∈R，且a≠0）．如果存在实数a∈（﹣∞，﹣1]，使函数g（x）＝f（x）+f′（x），x∈[﹣1，b]（b＞﹣1）在x＝﹣1处取得最小值，则实数b的最大值为　 　 ． 【答案】 【解答】解：由题意，g（x）＝ax3+（3a+1）x2+（2﹣a）x﹣a， 据题知，g（x）≥g（﹣1）在区间[﹣1，b]上恒成立， 即：（x+1）[ax2+（2a+1）x+（1﹣3a）]≥0…① 当x＝﹣1时，不等式①成立； 当﹣1＜x≤b时，不等式①可化为ax2+（2a+1）x+（1﹣3a）≥0…② 令φ（x）＝ax2+（2a+1）x+（1﹣3a），由a∈（﹣∞，﹣1]知其图象是开口向下的抛物线， 故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得． 又φ（﹣1）＝﹣4a＞0，故不等式②成立的充要条件是φ（b）≥0， 整理得：在a∈（﹣∞，﹣1]上有解， ∴1， ∴﹣1＜b， ∴实数b的最大值为， 故答案为：． 6．已知定义在（0，+∞）上的函数． （1）求证f（x）＜1； （2）函数f（x）所有的极值点按从小到大的顺序组成数列{an}（n≥1，n∈N）． ①若a2025∈（nπ，nπ+π），求n的值； ②求证：． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）①n＝2025； ②证明过程见解析． 【解答】（1）证明：f（x）＜1，即1， 当x∈（0，+∞）时，1化为sinx＜x， 设H（x）＝sinx﹣x，x∈（0，+∞），H′（x）＝cosx﹣1＜0， 则H（x）在（0，+∞）上单调递减， 又∵H（0）＝0，则H（x）＜0，则sinx＜x，即f（x）＜1； （2）①解：f（x），f′（x）， 设φ（x）＝xcosx﹣sinx，x∈（0，π）， 则φ′（x）＝﹣xsinx，x∈（0，π）， x∈（2nπ，2nπ+π）时，n≥1，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减， x∈（2nπ+π，2nπ+2π）时，n≥1，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增， φ（2nπ）＝2nπ＞0，φ（2nπ+π）＝﹣2nπ＜0，φ（2nπ+2π）＝2nπ+2π＞0， 可知φ（x）在每一个x∈（nπ，nπ+π），n≥1区间内都有一个零点， 则可判断an∈（nπ，nπ+π）， 于是a2025∈（2025π，2026π），即n＝2025； ②证明：由①知an∈（nπ，nπ+π）， ∴（n≥2，n∈Z）， 当n＝1或n＝2时，成立； 当n≥3时，． 综上，． 7．已知函数f（x）＝lnx+ax﹣a2x2（a≥0）． （1）若x＝1是函数y＝f（x）的极值点，求a的值； （2）求函数y＝f（x）的单调区间． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）函数定义域为（0，+∞）， 因为x＝1是函数y＝f（x）的极值点，所以f′（1）＝1+a﹣2a2＝0，解得或a＝1， 因为a＞0，所以a＝1； （2）若a＝0，0， ∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）； 若a≠0，则a＞0，， 由f′（x）＞0，结合函数的定义域，可得0＜x； 由f′（x）＜0，结合函数的定义域，可得x； ∴函数的单调增区间为（0，）；单调减区间为（，+∞）． 8．已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2，其中a＞b，3为f（x）的极大值点．若f（x）在（b+1，a）内有最小值，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2， 所以，由于a＞b，则， 所以由f′（x）＞0⇒x＜b或；由f′（x）＜0⇒． 所以函数f（x）在（﹣∞，b）和上单调递增，在上单调递减． 故x＝b是f（x）的极大值点，故b＝3， 是f（x）的极小值点． 若f（x）在（b+1，a）内有最小值， 只需即可，解得． 故选：D． 9．已知函数，，则下列关于函数f（x）的极值点的叙述，正确的是（　　） A．既没有极大值点也没有极小值点 B．既有极大值点也有极小值点 C．有且只有一个极小值点 D．有且只有一个极大值点 【答案】D 【解答】解：因为，x∈（，π），所以f′（x）＝sinx+xcosx， 设t（x）＝sinx+xcosx，t′（x）＝﹣xsinx+2cosx， 当，t′（x）＜0，t（x）在上单调递减， ， 所以存在唯一， 当，f（x）在上单调递增， 当x∈（x0，π），t（x）＝f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，所以x0是函数f（x）的极大值点， 所以函数f（x）有且只有一个极大值点． 故选：D． 10．已知函数f（x）＝x3+2ax2+a2x在x＝1处取得极小值，则a的值为（　　） A．﹣1或﹣3 B．﹣1 C．或1 D．﹣3 【答案】B 【解答】解：根据导函数f′（x）＝3x2+4ax+a2，又因为f（x）＝x3+2ax2+a2x在x＝1处取得极小值， 那么f′（1）＝3+4a+a2＝0，解得a＝﹣1或a＝﹣3， 当a＝﹣1时，导函数f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），令导函数f′（x）＝0，那么或x＝1， 当时，导函数f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减， 当x∈（1，+∞）时，导函数f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（1，+∞）上单调递增， 那么在x＝1处取得极小值，故a＝﹣1符合； 当a＝﹣3时，导函数f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣3）（x﹣1），令f′（x）＝0，则x＝3或x＝1， 当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（1，3）上单调递减， 当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）在x∈（﹣∞，1）上单调递增， 则在x＝1处取得极大值，故a＝﹣3不符合，所以a＝﹣1． 故选：B． 11．函数f（x）＝（x2﹣x﹣1）ex的极小值点是（　　） A．x＝﹣2 B．（﹣2，5e﹣2） C．x＝1 D．（1，﹣e） 【答案】C 【解答】解：根据题意可得f′（x）＝（2x﹣1）ex+（x2﹣x﹣1）ex＝（x2+x﹣2）ex＝（x+2）（x﹣1）ex， 令f′（x）＝0，则x＝1或x＝﹣2， 所以在（﹣∞，﹣2）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 在（﹣2，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以函数的极小值点是x＝1． 故选：C． 12．已知函数f（x）＝x（x﹣a）2在x＝1处取得极大值，则实数a的值是　 　 ． 【答案】3． 【解答】解：由题意可得f′（x）＝（x﹣a）2+2x（x﹣a）＝（x﹣a）（3x﹣a）， 因为函数f（x）在x＝1处取得极大值， 所以f′（1）＝0，即（1﹣a）（3﹣a）＝0，解得a＝1或a＝3； ①若a＝1，则f′（x）＝（x﹣1）（3x﹣1）， 当时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增； 当时，f′（x）＜0，则f（x）单调递增； 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增； 此时函数y＝f（x）在x＝1处取得极小值，不符合题意； ②若a＝3，则f′（x）＝（x﹣3）（3x﹣3）， 当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增； 当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递增； 当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增； 此时函数y＝f（x）在x＝1处取得极大值，符合题意． 故答案为：3． 13．若函数的两个极值点都为正数，则实数a的取值范围是　 　 ． 【答案】． 【解答】解：已知，进而f′（x）＝x2﹣2ax+（3a﹣2）． 令f′（x）＝0，设其两个根为x1，x2，由题意x1＞0，x2＞0． 二次方程有两个不等正根，则， 解得或a＞2，则实数a的取值范围． 故答案为：． 14．已知函数f（x）＝x3+3mx2﹣nx+m2在x＝﹣1时有极值0，则mn＝　 　 ． 【答案】﹣18． 【解答】解：∵f（x）＝x3+3mx2﹣nx+m2， ∴f′（x）＝3x2+6mx﹣n， 依题意可得，可得， 解得或， 当m＝1，n＝﹣3时函数f（x）＝x3+3x2+3x+1，f′（x）＝3x2+6x+3＝3（x+1）2≥0，函数在R上单调递增，函数无极值，舍去； 当m＝2，n＝﹣9时，经检验符合题意． 故答案为：﹣18． 15．已知函数，其中a，b∈R （1）若函数f（x）在x＝﹣3处有极值﹣12，求a，b的值； （2）当x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]时，设M＝|f′（x）|max，求M的最小值． 【答案】（1）a＝1，b＝15或a＝﹣1，b＝3； （2）． 【解答】解：（1）因为，可得f′（x）＝﹣x2+2ax+b， 又函数f（x）在x＝﹣3处有极值﹣12， 则f′（﹣3）＝﹣9﹣6a+b＝0，且f（﹣3）＝9+9a﹣3b+ab＝﹣12， 解得或； 当a＝1，b＝15时，f′（x）＝﹣x2+2x+15＝（﹣x+5）（x+3）， 故当x∈（5，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（﹣3，5）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（﹣∞，﹣3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 故f（x）在x＝﹣3时取得极小值，且f（﹣3）＝﹣12，满足题意； 当a＝﹣1，b＝3时，f′（x）＝﹣x2﹣2x+3＝（﹣x+1）（x+3）， 故当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（﹣3，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（﹣∞，﹣3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 故f（x）在x＝﹣3时取得极小值，且f（﹣3）＝﹣12，满足题意； 综上所述：a＝1，b＝15或a＝﹣1，b＝3； （2）由题意当x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]时，函数， f′（x）＝﹣x2+2ax+b， 可得g（x）＝|f′（x）|＝|﹣x2+2ax+b|＝|﹣（x﹣a）2+b+a2|，﹣1≤x≤1， 则二次函数f′（x）对称轴方程为x＝a． 若﹣1＜a＜0，M＝max{g（a），g（1）}， 所以2M≥g（a）+g（1）＝|a2+b|+|﹣1+2a+b|≥|a2﹣2a+1|＝（a﹣1）2＞1，从而； 若a＝0，g（1）＝g（﹣1）＝|﹣1+b|， 此时M＝max{g（a），g（1），g（﹣1）}＝{|b|，|﹣1+b|}， 所以2M≥g（a）+g（﹣1）＝|b|+|﹣1+b|≥|b﹣（﹣1+b）|＝1，则， 当且仅当时取得等号； 若0＜a＜1，M＝max{g（a），g（﹣1）}， 所以2M≥g（a）+g（﹣1）＝|a2+b|+|﹣1﹣2a+b|≥|a2+2a+1|＝（a+1）2＞1，从而； 综上所述：M的最小值为． 16．已知函数f（x）＝2x2+lnx﹣2ax在上有最大值，则a的取值范围是（　　） A．（﹣5，﹣2） B．（2，5） C． D． 【答案】D 【解答】解：已知函数f（x）＝2x2+lnx﹣2ax在上有最大值， ，x＞0， 设g（x）＝4x2﹣2ax+1，其开口向上，对称轴为， 因为函数f（x）＝2x2+lnx﹣2ax在上有最大值， 所以方程g（x）＝0一定有两个不相等的实数根，设为x1，x2且x1＜x2， 根据韦达定理可得，即两根同号， 则有Δ＝4a2﹣16＞0，解得a＞2或a＜﹣2， 当a＞2时，对称轴，则要使函数f（x）在上有最大值， 则，所以，解得， 此时f（x）在上单调递增，在上单调递减， 则函数f（x）＝2x2+lnx﹣2ax在上有最大值，故符合， 当a＜﹣2时，对称轴，此时方程g（x）＝0的两根x1，x2均为负根， 则g（x）＞0在上恒成立，即函数f（x）单调递增，没有最大值， 则a的取值范围是（2，）． 故选：D． 17．若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为（　　） A．2 B．e C．3 D．e2 【答案】B 【解答】解：由，得ex+x≥mx+lnmx，得ex+lnex≥mx+lnmx， 令f（x）＝x+lnx，因为，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 则不等式转化为f（ex）≥f（mx），所以ex≥mx，即在（0，+∞）上恒成立． 令，则， 当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增， 所以当x＝1时，g（x）有最小值，即g（x）min＝g（1）＝e，则m的最大值为e． 故选：B． 18．函数f（x）＝sin2xcos4x的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：令t＝cos2x，则sin2x＝1﹣t，且t∈[0，1]， 所以g（t）＝（1﹣t）t2，t∈[0，1]， 因为g′（t）＝﹣3t2+2t＝t（2﹣3t）， 令g′（t）＞0，得，令g′（t）＜0，得， 故函数g（t）＝（1﹣t）t2的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以其最大值g（）． 故选：C． 19．已知函数f（x）的最大值为1，则a＝（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解答】解：f′（x）， 令x＝x0时，f（x）有最大值1， 所以， 整理得：x0+2＝（x0+2）， 所以x0+2＝0或1， 所以x0＝﹣2或x0＝0， 当x0＝﹣2时，f（﹣2）＝0，不符合题意； 所以x0＝0， 所以a＝1， 所以f′（x）， 因为（ex+1）2＞0，令g（x）＝1﹣（x+1）ex， 所以g′（x）＝﹣ex﹣（x+1）ex＝﹣（x+2）ex， 因为ex＞0， 所以当x＞﹣2时，g（x）单调递减，x＜﹣2时，g（x）单调递增， 因为x＜﹣1时g（x）＞0恒成立， 所以当x＞0时，g（x）＜0，当x＜0时，g（x）＞0，故x＝0是f（x）的最大值，符合题意， 综上，a＝1． 故选：B． 20．若函数f（x）＝（2x+a）ex的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（﹣4，0） C．（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞） D．（﹣8，0） 【答案】D 【解答】解：f（x）＝（2x+a）ex，求导得f′（x）＝（2x+a+2）ex， 那么f（x）的图象在x＝x0处的切线为， 根据原点（0，0）不在该切线上，得关于切点横坐标x0的方程无解， 所以无解，则Δ＝a2+8a＜0，解得a∈（﹣8，0）， 因此a的取值范围为（﹣8，0）． 故选：D． 21．已知函数，若当x≥0时，f（x）≥0，则a的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：由题意，x需满足且x≥0，解得x∈[0，1）， ，因为x∈[0，1）， 所以f′（x）的符号由分子决定，记分子为g（x）＝2x4+（a﹣2）x2+（2﹣a）， 令t＝x2，则t∈[0，1），所以g（x）＝h（t）＝2t2+（a﹣2）t+（2﹣a）， 这是关于t的二次函数，开口向上， 若a＞2，则h（0）＝2﹣a＜0，又h（1）＝2＞0，由零点存在定理，存在t0∈（0，1）使得h（t0）＝0， 对应，此时g（x0）＝0，且在x∈（0，x0）时g（x）＜0，即f′（x）＜0， 故f（x）在（0，x0）单调递减，f（x）＜f（0）＝0，与题设矛盾； 当a＝2时，g（x）＝2x4≥0，故，f（x）在[0，1）单调递增， f（x）≥f（0）＝0，满足条件； 综上所述，a的最大值为2． 故选：B． 22．若函数在区间（a﹣4，a）内存在最小值，则实数a可以取（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解答】解：由题意，得f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝﹣2， 当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减． 因为，f（0）＝0，再令f（x）＝0，解得x＝﹣3或者0，所以f（x）大致图像如图所示， 结合图像，要使函数f（x）在区间（a﹣4，a）内存在最小值， 所以，解得1≤a＜4，所以a可取2． 故选：B． 23．已知函数，若f（x）在区间（m，m2）上有最大值，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．（2，3） D． 【答案】D 【解答】解：当x＞1时，， ， 当1＜x＜3时，f'（x）＞0f（x）单调递增， 当x＞3时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝3处取得极大值， 若f（x）在区间（m，m2）上有最大值，只需即可，解得， 当﹣1＜x＜1时，， ， 显然此时f'（x）＜0，f（x）单调递减，不存在有最大值的开区间； 当x＜﹣1时，， ， 当﹣3＜x＜﹣1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 当x＜﹣3时，f（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝﹣3处取得极小值， 此时也不存在最大值的开区间． 故选：D． 24．已知函数f（x）＝ex+3x2﹣x﹣a2． （1）求函数f（x）的最小值； （2）若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）1﹣a2；（2）a∈[1，4]． 【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ex+3x2﹣x﹣a2， 所以f′（x）＝ex+6x﹣1， 因为函数f′（x）在R上单调递增，且f′（0）＝e0﹣1＝0． 由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得x＜0． 则f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增， 所以； （2）由， 得ex+3x2﹣x﹣a2≥﹣（x+1）ln（x+1）+x+5﹣5a． 令g（x）＝﹣（x+1）ln（x+1）+x+5﹣5a，则g′（x）＝﹣ln（x+1）， 由g′（x）＞0，即﹣ln（x+1）＞0＝ln1，解得﹣1＜x＜0， 由g′（x）＜0，即﹣ln（x+1）＜0＝ln1，解得x＞0， 则g（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，在区间（0，+∞）上单调递减， 从而g（x）max＝g（0）＝5﹣5a， 由（1）知f（x）＝ex+3x2﹣x﹣a2的最小值1﹣a2， 所以要使恒成立，只需1﹣a2≥5﹣5a， 即a2﹣5a+4＜0， 解得1≤a≤4， 即a∈[1，4]． 25．设函数f（x）＝ax﹣2lnx+1，a∈R． （1）若f（x）在x＝1处切线为y＝b，求实数a+b的值； （2）是否存在实数a，使得当x∈（0，2]时，函数f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）5； （2）存在实数a＝2，当x∈（0，2]时，函数f（x）的最小值是3． 【解答】解：（1）函数f（x）＝ax﹣lnx+1的定义域为（0，+∞）， ，f′（1）＝a﹣2＝0，a＝2f（1）＝a+1＝3＝b， ∴a+b＝5； （2）由函数f（x）＝ax﹣2lnx+1，求导得， 由x∈（0，2]，得， 当a≤1时，f（x）≤0，函数f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min＝f（2）＝2a﹣2ln2+1＝3，解得a＝1+ln2＞1，不成立； 当a＞1时，由f'（x）＜0，得； 由f′（x）＞0，得， 函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，，解得a＝2，符合题意， 所以存在实数a＝2，当x∈（0，2]时，函数f（x）的最小值是3． 学科网（北京）股份有限公司 $