函数与导数第10讲极值与最值讲义提高讲义-2027届高三数学一轮复习

极值与最值 极值的判定、闭区间最值与含参最值 一、极值与最值 极值的判定与应用 一、导数为零只是必要条件。适用条件是题目给出「某点是极值点」。结论是可以由此列方程解出参数，但解完必须回代，检查导数在该点两侧是否变号。由来是可导函数的极值点一定是驻点，驻点却可能只是曲线走平的地方，两侧不变号的点不是极值点。这一步是整个题最容易丢分的地方。 二、判断极值的第二个办法是对导数再求一次导。适用条件是导数在候选点处为零，且再求一次导之后的式子容易定号。结论是再求导的结果为正时是极小值、为负时是极大值，等于零时这个方法失效，仍要回到两侧变号去看。 三、含参的「恰有一个极值点」有两类来源。适用条件是导数化成含参的因式。结论是要么导数本来就只有一个零点，要么它有多个零点但多余的落在定义域外。两类都要数到，漏掉一类就会少算一部分参数范围。 四、三次函数的极值个数由导数的判别式决定。适用条件是函数为三次多项式。结论是导数是二次式，判别式大于零时有两个极值点，小于等于零时没有极值点。这是判断「有几个极值点」最快的一步。 五、极值与最值的关系。适用条件是求闭区间上的最值。结论是最值只可能在端点或极值点处取到，所以比较的对象是有限的几个值。由来是连续函数在闭区间上一定取到最值，而除了端点以外，函数值由增转减或由减转增的转折处正是极值点。 例1（解答·★★★★☆） 已知函数．求函数的极值． 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知函数.当时，求函数的极值． 例2（解答·★★★★☆） 已知函数在及处取得极值．（1）求a，b的值；（2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知函数在处有极大值．求实数的值． 例3（解答·★★★★☆） 已知函数在处取得极小值.求的值． 变式3-1（填空·★★★★☆） 若函数恰有1个极值点，则的取值范围是___________. 例4（解答·★★★★☆） 已知函数.当时，求的极值． 变式4-1（解答·★★★★★） 已知函数.若在上存在极大值，求的取值范围． 变式4-2（解答·★★★★★） 已知函数，．若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点． 变式4-3（解答·★★★★★） 已知函数 .求函数的极值． 最值的求法与应用 一、含参的闭区间最值要讨论位置关系。适用条件是极值点含参数、而区间是给定的。结论是按极值点落在区间左侧、内部、右侧分三类，每类的最值取法不同。由来是极值点跑到区间外时，函数在区间上就变成单调的，最值自然在端点取到。 二、由最值反求参数有两条路。适用条件是题目给出最值的具体数值。结论是可以直接代入取到最值的那个点列方程，也可以先写出最值的表达式再解方程。前一条快，但要先判断最值在哪里取到。 三、开区间上存在最小值的条件。适用条件是定义域是开区间或半开半闭。结论是函数在区间内部必须有一个极小值，且它不比两端的走向更差。若函数一路递减下去，就不会有最小值，判断这一点要看端点附近的走向。 四、含绝对值或分段的函数先拆再比。适用条件是解析式里带绝对值。结论是按绝对值的零点分段，每段上分别求最值，最后把各段的结果放在一起比大小。分段点处要单独算函数值，它是两边都可能取到的位置，最容易被漏掉。 五、几何问题转成函数最值。适用条件是题目问两点距离、图形面积的最值。结论是先把要研究的量写成某个变量的函数，再按求最值的标准动作处理。这个转化是这类题真正的难点，求导之后的步骤反而是固定的。 例5（解答·★★★★★） 已知函数．当时，求在上的最大值． 变式5-1（填空·★★★★☆） 已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， = ________，最小值为________． 例6（解答·★★★★★） 已知函数，．记函数，求函数的最大值． 变式6-1（解答·★★★★★） 已知函数．当时，求的最小值． 变式6-2（解答·★★★★★） 已知函数，其中．当时，设函数，当时，求的最小值． 例7（解答·★★★★☆） 已知函数，在时最大值为2，最小值为1．求实数，的值． 变式7-1（解答·★★★★★） 已知，函数.当时，求函数的极小值． 例8（解答·★★★★☆） 已知函数的最小值为，求的值． 变式8-1（解答·★★★★★） 已知函数（），为坐标原点．当时，若点是函数图象上一点，求的最小值． 变式8-2（解答·★★★★★） 已知函数（且），其中.当时，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 极值与最值 极值的判定、闭区间最值与含参最值 一、极值与最值 极值的判定与应用 一、导数为零只是必要条件。适用条件是题目给出「某点是极值点」。结论是可以由此列方程解出参数，但解完必须回代，检查导数在该点两侧是否变号。由来是可导函数的极值点一定是驻点，驻点却可能只是曲线走平的地方，两侧不变号的点不是极值点。这一步是整个题最容易丢分的地方。 二、判断极值的第二个办法是对导数再求一次导。适用条件是导数在候选点处为零，且再求一次导之后的式子容易定号。结论是再求导的结果为正时是极小值、为负时是极大值，等于零时这个方法失效，仍要回到两侧变号去看。 三、含参的「恰有一个极值点」有两类来源。适用条件是导数化成含参的因式。结论是要么导数本来就只有一个零点，要么它有多个零点但多余的落在定义域外。两类都要数到，漏掉一类就会少算一部分参数范围。 四、三次函数的极值个数由导数的判别式决定。适用条件是函数为三次多项式。结论是导数是二次式，判别式大于零时有两个极值点，小于等于零时没有极值点。这是判断「有几个极值点」最快的一步。 五、极值与最值的关系。适用条件是求闭区间上的最值。结论是最值只可能在端点或极值点处取到，所以比较的对象是有限的几个值。由来是连续函数在闭区间上一定取到最值，而除了端点以外，函数值由增转减或由减转增的转折处正是极值点。 例1（解答·★★★★☆） 已知函数．求函数的极值． 【切入点】函数含 ，定义域是 。求极值的固定动作：先求导并通分，再把分子、分母的零点与定义域对照，最后看零点两侧导数的符号。 【关键】求导： 的导数是 ， 的导数是 ， 的导数是 。合起来并通分：。分母 ，所以符号看分子。分子是开口向上的二次式，两个零点为 与 ，但 落在定义域外，舍去。 【关键】当 时，分子为负，，函数递减；当 时，分子为正，，函数递增。所以 处左减右增，是极小值点。把 代入解析式：。所以 的极小值为 ，无极大值。 【易错】分子的零点 落在定义域外，必须舍去，否则会多报一个极值点。另外 中 ，代入时别把这一项落下。 【答案】 的极小值为 ，无极大值。 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知函数.当时，求函数的极值． 【切入点】分母里含 ，定义域除了 ，还要避开使分母为零的点。本题 ，分母 在 处为零，所以定义域是 且 。 【关键】求导，用商法则：。 【关键】分母是平方，恒为正，所以符号完全由分子 决定。 即 （去掉 ）时函数递减； 即 时函数递增。所以 处左减右增，是极小值点。把 代入：。函数没有极大值。所以 的极小值为 ，无极大值。 【易错】定义域要把 挖掉，写单调区间时也别把它并进去。另外商的导数的分子是 ，化简后只剩 ，这一步算错就会把符号判反。 【答案】 的极小值为 ，无极大值。 例2（解答·★★★★☆） 已知函数在及处取得极值．（1）求a，b的值；（2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【切入点】三次函数的导数是二次式，两个极值点恰好是它的两个零点，所以用韦达定理就能把 、 一起定下来。第二问「方程有三个不同实根」等价于两个极值异号，接着算极值即可。 【关键】求导得 。由题意， 与 是它的两个零点。由韦达定理：两根之和 ，解得 ；两根之积 ，解得 。把 、 代回，得 。 【关键】两个极值分别是：；。其中 是极大值点、 是极小值点。方程有三个不同实根，等价于极小值小于零且极大值大于零，即 且 。所以 ，； 的取值范围是 。 【易错】极值点的顺序别记反： 处是极大值、 处是极小值。「三个不同实根」要求极小值小于零且极大值大于零，两个不等式缺一不可，只写一个会把 的范围算宽。 【答案】，； 的取值范围是 。 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知函数在处有极大值．求实数的值． 【切入点】题目说 处有极大值，先用「极值点处导数为零」求出参数的所有可能值，再逐个检验，不能直接留下一个。 【关键】先把解析式展开：。求导得 。由 是极值点得 ，即 ，所以 或 。 【关键】两个值都要检验，不能直接留下一个。当 时，，零点为 与 。 时导数大于零， 时导数小于零 —— 处左增右减，是极大值点，符合题意。当 时，，零点为 与 。 时导数小于零、 时导数大于零 —— 处左减右增，是极小值点，不符合题意，舍去。所以 。 【易错】 只是必要条件，解出的两个值都要代回检验，只有一个能让 处左增右减。舍去 时要写清理由，别只说「不符合题意」。 【答案】。 例3（解答·★★★★☆） 已知函数在处取得极小值.求的值． 【切入点】题目同时给了极值点的位置和极值的大小，两个条件正好定两个参数。含 的函数求导用商法则，分母恒正，只需看分子。 【关键】求导，用商法则。分母 的导数还是 ，注意分子求导时 的导数是 ：。第一个条件： 是极值点，所以 。把 代入分子：，即 ，所以 。 【关键】第二个条件：极小值为 ，即 。代入解析式：，所以 ，即 。两式联立：把 代入 ，得 ，即 ，所以 ，再由 得 。（可顺手核一下确实是极小值：、 时， 处左正右负，是极小值点，与题设一致。）所以 ，。 【易错】用商法则时分子的导数别漏项： 的导数是 而不是 。另外算完参数最好回代核一下 两侧的导数确实由负变正，确认它真是极小值点。 【答案】，。 变式3-1（填空·★★★★☆） 若函数恰有1个极值点，则的取值范围是___________. 【切入点】「恰有 个极值点」是含参的极值点个数问题：把导数因式分解，数一数有几个变号的零点。 【关键】求导：。 已经是一个零点，而且它是一次因式，两侧必然变号，所以它一定是一个极值点。要总共只有 个极值点，括号里那个二次式就不能再有变号的零点。先看判别式。令 ，即 。方程 的两根是 与 ，所以 时二次式非负，只有 一个变号零点，符合要求。 【关键】再看判别式大于零的特例：二次式若有两个零点，其中一个是 （即它变成 的公因式），那么 就成了二重零点，不再变号。把 代入二次式得 ，即 。此时 ， 处变号是极值点， 处不变号不是极值点，恰好只有 个极值点，也符合要求。综上， 的取值范围是 。 【易错】括号里的二次式非负（判别式不大于零）只是其中一种情形；漏掉 这个「二次式含因子 、 变成二重零点」的特例，答案就少了一半。 【答案】 的取值范围是 。 例4（解答·★★★★☆） 已知函数.当时，求的极值． 【切入点】函数含 ，定义域是 。本题 取定值 ，函数变成 ，求极值仍是「求导、通分、判号」三步。 【关键】求导： 的导数是 ， 的导数是 。通分得 。分母 ，符号由分子 决定。分子是开口向上的二次式，两个零点为 ，负的那个落在定义域外。当 时分子为负，函数递减；当 时分子为正，函数递增。所以 处左减右增，是极小值点。 【关键】把 代入：。函数没有极大值。所以 的极小值为 ，无极大值。 【易错】 的零点是 ，负的那个落在定义域外要舍去。另外 ，去负号时别把符号丢了。 【答案】 的极小值为 ，无极大值。 变式4-1（解答·★★★★★） 已知函数.若在上存在极大值，求的取值范围． 【切入点】「存在极大值」意味着导数有零点、且在该点由正变负。分子是开口向上的二次式，所以两个零点里较小的那个才可能是极大值点。定义域是 。 【关键】求导得 ，通分并分解因式：。分母 ，导数的零点由两个一次因式给出： 与 。分子是开口向上的二次式，两个零点之间导数为负，两侧为正，所以较小的那个零点一定是极大值点 ——它在左边递增、右边递减。先看两个零点不相等的情形，即 。 【关键】当 （即 ）时，较小的零点是 。它要落在定义域内且为正，所以 ，即 。这一段给出 。当 （即 ）时，较小的零点是 ，它本身就是正数，落在定义域内，所以 都符合要求。再看 的情形：此时两个零点重合于 ，，导数不变号，函数在整个定义域上递增，没有极值点，舍去。所以 的取值范围是 。 【易错】导数的两个零点 与 谁大谁小要分情况；不论哪种情况，极大值点都必须落在定义域 内，这一步最容易漏。另外 时两个零点重合，导数不变号，没有极值点，不能算进答案。 【答案】 的取值范围是 。 变式4-2（解答·★★★★★） 已知函数，．若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点． 【切入点】函数含 ，定义域是 。先用「极值点处导数为零」定出 ，再用导数在 两侧的符号判断它是极大还是极小。 【关键】求导： 的导数是 ， 的导数是 ， 的导数是 。合起来：。由 是极值点得 ，即 。所以 ，解得 。接下来判断它是极大值点还是极小值点，要把导数在 两侧的符号看清楚。把 代回去并通分： 【关键】。在定义域内分母 ，所以符号由 决定。当 时它为正，导数大于零，函数递增；当 时它为负，导数小于零，函数递减。 处左增右减，所以 是 的极大值点。（ 的部分不在本题讨论范围内。）所以 ，且 是 的极大值点。 【易错】判断极大还是极小必须看两侧的符号，不能只看 。通分时 要合成 ，分子相减漏掉一项就会把零点算错。 【答案】； 是 的极大值点。 变式4-3（解答·★★★★★） 已知函数 .求函数的极值． 【切入点】函数含 ，定义域是 。 是商的形式，求导后用商法则，分母为正，只需看分子 的符号。 【关键】求导，用商法则：。分母 恒正，符号由分子 决定。 即 时导数为正，函数递增； 即 时导数为负，函数递减。 【关键】所以 处左增右减，是极大值点。把 代入：。函数没有极小值。 的极大值为 ，无极小值。 【易错】商法则的分子是 ，其中 要先约成 ，漏掉这一步会把分子写成 。另外本题只有极大值，不要顺手写一个极小值。 【答案】 的极大值为 ，无极小值。 最值的求法与应用 一、含参的闭区间最值要讨论位置关系。适用条件是极值点含参数、而区间是给定的。结论是按极值点落在区间左侧、内部、右侧分三类，每类的最值取法不同。由来是极值点跑到区间外时，函数在区间上就变成单调的，最值自然在端点取到。 二、由最值反求参数有两条路。适用条件是题目给出最值的具体数值。结论是可以直接代入取到最值的那个点列方程，也可以先写出最值的表达式再解方程。前一条快，但要先判断最值在哪里取到。 三、开区间上存在最小值的条件。适用条件是定义域是开区间或半开半闭。结论是函数在区间内部必须有一个极小值，且它不比两端的走向更差。若函数一路递减下去，就不会有最小值，判断这一点要看端点附近的走向。 四、含绝对值或分段的函数先拆再比。适用条件是解析式里带绝对值。结论是按绝对值的零点分段，每段上分别求最值，最后把各段的结果放在一起比大小。分段点处要单独算函数值，它是两边都可能取到的位置，最容易被漏掉。 五、几何问题转成函数最值。适用条件是题目问两点距离、图形面积的最值。结论是先把要研究的量写成某个变量的函数，再按求最值的标准动作处理。这个转化是这类题真正的难点，求导之后的步骤反而是固定的。 例5（解答·★★★★★） 已知函数．当时，求在上的最大值． 【切入点】本题 、，函数化成 。分母上的常数 不影响单调性，可以先研究去掉常数后的 ，最后再乘回去。 【关键】分母上的 是常数，不影响单调性，所以先研究 ，最后把结果乘 即可。对 求导，用商法则。分子的导数是 ：。 【关键】分母恒正，分子是 ，所以 恒成立（只在 处取零）。这说明 在 上单调递减。所以最大值在左端点 处取到：，从而 。所以 在 上的最大值为 。 【易错】求导后分子是 ，一次项正好抵消，化简的结果别漏了负号。另外函数在 上单调递减，最大值取在左端点 处，不是取在 。 【答案】 在 上的最大值为 。 变式5-1（填空·★★★★☆） 已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， = ________，最小值为________． 【切入点】把 中的 与 互换再整理，正好得到 —— 两个图象关于直线 成轴对称；而直线 与 垂直。所以线段 被直线 平分， 等于点 到直线 距离的两倍，问题转化为求点到直线的距离最小值。 【关键】直线 的斜率为 ，而 的斜率为 ，两者互相垂直，它们关于对称轴的交点是对称中心。于是线段 被直线 平分， 等于点 到直线 距离的两倍。设 在 上，坐标为 。它到直线 的距离是，。（绝对值里的式子恒为正，可以去掉绝对值符号。） 【关键】记 ，求导得 。所以 时 递减、 时 递增，最小值在 处取到。，所以 ，从而 。再求 。此时 的坐标是 ，它落在直线 上，所以 ，得 。所以 ， 的最小值为 。 【易错】点 到直线 的距离公式里分母是 ，最后 要乘 而不是除以 。另外 要用 的坐标代回直线方程求，不能直接用极小值点的横坐标。 【答案】； 的最小值为 。 例6（解答·★★★★★） 已知函数，．记函数，求函数的最大值． 【切入点】本题要研究 的最大值，定义域是 。导数 一项递减、一项递增，直接判号看不出来，先代特殊值试探零点。 【关键】求导得 。这个式子里一项递减、一项递增，直接看符号看不出来，先代一个特殊值试探：。验证 是唯一的零点。对 再求一次导：。两项都是负的，所以 在 上单调递减。 【关键】单调递减的函数至多有一个零点，而 ，所以零点就是 。于是 时 ， 递增； 时 ， 递减。所以 处左增右减， 在此取到最大值：。所以 的最大值为 。 【易错】 的零点不好直接解，要靠 说明 单调递减，再由 断定零点就是 ，这一步不能省。 【答案】 的最大值为 。 变式6-1（解答·★★★★★） 已知函数．当时，求的最小值． 【切入点】本题 ，函数化成 ，定义域是 。求最小值就是求导、通分、判号。 【关键】求导： 的导数是 ， 的导数为零， 的导数是 。通分得 。 【关键】分母 恒正，所以符号由分子 决定： 时导数为负、函数递减； 时导数为正、函数递增。所以最小值在 处取到：，即 的最小值为 。 【易错】求导时 的导数是 ，负号别丢；通分后分子是 而不是 ，符号反了最小值点会算成 ，跑到定义域外去。 【答案】 的最小值为 。 变式6-2（解答·★★★★★） 已知函数，其中．当时，设函数，当时，求的最小值． 【切入点】本题 ，函数是 ，于是 。绝对值里的一次式在 处变号，所以要按 与 的大小分段讨论。 【关键】绝对值里面的式子 在 处变号，所以要按 与 的大小分段。题目只问 ，分两段讨论。当 时，绝对值里面为负，去掉后变号：。前两项用基本不等式，，等号在 ，即 、 时成立，而 ，确实落在这一段内。 【关键】所以这一段的最小值是 。当 时，绝对值里面非负，直接去掉：。它的导数 ，所以在这一段上递增，最小值在 处取到，为 。两段比较： 约等于 ，小于 ，所以 的最小值是 。 【易错】去绝对值时分母是 ，所以只需判断 的符号，别把 的符号也算进去。两段各自求最小值后必须比大小，第一段的 小于第二段的 ，取小的那个。用基本不等式还要核等号能否取到： 确实落在 内。 【答案】 的最小值是 。 例7（解答·★★★★☆） 已知函数，在时最大值为2，最小值为1．求实数，的值． 【切入点】题目给的是一段闭区间上的最值，所以先把二次函数的对称轴找出来，看它在区间哪一侧，再判断单调性。 【关键】把 配方：。对称轴是 ，正好是区间 的左端点。 【关键】又因为 ，抛物线开口向上，所以 在 上单调递增：最小值在左端点取到，最大值在右端点取到。由最小值为 得 ；由最大值为 得 。所以 ，。 【易错】配方后对称轴 正好落在区间左端点，且 开口向上，才能断定最大值在右端点、最小值在左端点；若对称轴落在区间内部，最值就要在顶点处取，不能照搬。 【答案】，。 变式7-1（解答·★★★★★） 已知，函数.当时，求函数的极小值． 【切入点】本题 ，函数是 ，定义域是 。求导后通分，分子能分解成两个一次因式，判断符号就方便了。 【关键】求导得 ，通分并分解因式：。 【关键】分母 ，分子是开口向上的二次式，两个零点为 与 。所以 时导数为正、函数递增； 时导数为负、函数递减； 时导数为正、函数递增。极小值出现在 处（左减右增）。代入计算：，即 的极小值为 。 【易错】通分后分子是 ，按 的降幂写是 ，分解成 ；因式的顺序写乱会把两个零点的大小关系弄错。极小值出现在 处（左减右增），不是 。 【答案】 的极小值为 。 例8（解答·★★★★☆） 已知函数的最小值为，求的值． 【切入点】底数 大于 ，所以 是增函数，整个函数的最小值在指数部分取到最小值时取得。把指数配方即可。 【关键】把指数配方：。因为二次项系数为正，所以指数部分的最小值是 ，在 处取到。 【关键】 是增函数，所以整个函数的最小值是 。由题意这个值等于 ，即 ，所以 ，解得 。由题设 ，所以 。 【易错】指数配方后是 ，常数项 才是指数的最小值，别把它和顶点的横坐标弄混。最后由 得 ，要用 舍去负值。 【答案】。 变式8-1（解答·★★★★★） 已知函数（），为坐标原点．当时，若点是函数图象上一点，求的最小值． 【切入点】本题 ，。设图象上一点 ，则 。根号是增函数，所以只要让根号里面的 最小。 【关键】设点 的横坐标为 ，则 ，它到原点的距离是 。根号是增函数，所以要使 最小，只要让根号里面的 最小。求导得 。 【关键】判断 的符号。 是增函数、 也是增函数，两者之和 也是增函数（差一个正的常数倍）。代一个值试探：。增函数至多一个零点，所以就是 。于是 时 、 递减； 时 、 递增。最小值 ，所以 的最小值为 。 【易错】 的符号不好直接判断，要么说明它是增函数、再由 定出唯一零点，要么求 说明单调。只代一个特殊值就下结论是不够的，必须交代零点的唯一性。 【答案】 的最小值为 。 变式8-2（解答·★★★★★） 已知函数（且），其中.当时，求的最小值． 【切入点】本题 ，函数是 。 与 互为倒数，乘积为定值 ，正好用基本不等式求和的最小值。 【关键】注意 对一切实数成立，所以可以把它看作正数。两个正数的乘积 是定值，由基本不等式，和的最小值在两数相等时取到：。 【关键】等号成立的条件是 ，即 ，解得 ——这个 是存在的，所以下界确实能取到。所以当 时， 的最小值为 。 【易错】用基本不等式要先交代 （由 保证），否则不能套用。等号成立要 ，即 ，这个 确实存在，下界才真正取得到——只写不等式不交代取等，结论是不完整的。 【答案】当 时， 的最小值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $