第15讲 导数研究函数的极值与最值（8个核心题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数研究函数的极值与最值核心考点，按概念梳理、题型归纳、应用拓展逻辑架构知识体系，通过教材知识梳理夯实基础，8大核心题型（含图像与极值关系、参数求解等）分层突破，配合经典例题与巩固练习，构建“知识-方法-应用”三阶复习路径。 讲义突出数学思维与模型意识培养，如极值点判定强调“导函数变号”本质，参数问题设计“求导-解方程-检验符号”流程，训练学生逻辑推理能力。课后检测覆盖选择、填空、解答题，分层设置基础与提升题，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解决函数综合问题的应考能力。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第15讲 导数研究函数的极值与最值 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 【教材知识梳理】 1．函数的极值的相关概念 条件 f'（x0）＝0 在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值 在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值 图象 极值点 x0为__极大值点_______ x0为____极小值点____________ 极值 f（x0）为___极大值______ f（x0）为___极小值______ 极大值点与极小值点统称为__极值点_______，极大值与极小值统称为___极值______ 2．常用结论 （1）对于可导函数，“”是“函数在处有极值”的___必要不充分______条件. （2）若函数在区间内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的__最值点_______ 3．求可导函数的极值的步骤 （1）求导函数． （2）求方程的根． （3）列表，检验在方程的根左右两侧的函数值的符号，如果__左正右负______，那么函数在这个根处取得极大值；如果__左负右正______，那么函数在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． （4）得极值，由表得极大值与极小值． 4．函数的最大（小）值 （1）函数在区间上有最值的条件：如果在区间上,函数的图象是一条___连续不断_______的曲线，那么它必有最大值和最小值． （2）求在区间上的最大（小）值的步骤： ①求函数在区间上的_极值_____； ②将函数的各个极值与______端点处的函数值，_______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 5．利用导数求解实际问题中的优化问题 （1）在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为___最优化_____问题． （2）应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条件下的最大（小）值问题．此过程用框图表示如下： 说明：常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为，而将另一个与有关的变量设为，然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分析可得出函数的最值． （3）实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值． 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】函数图像与极值极值点的关系 核心知识 1.极值点定义 函数在处连续在两侧导函数符号发生改变才是极值点 2.必要条件 若是极值点且在可导则 不能推出为极值点（如） 3.图像特征 极大值点：左侧递增右侧递减 极小值点：左侧递减右侧递增 极值点只和局部函数大小有关不代表整个定义域最大最小 方法技巧 1.看图判极值点：重点观察导函数穿过x轴的零点导函数与x轴相切的零点不是极值点 2.区分极值点横坐标（）与极值（函数值） 3.易错区分：导函数零点≠极值点必须满足左右导数异号 【经典例题1】（25-26高二下·云南德宏·期中）（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A．是的极值点 B．是的极大值点 C．的单调递减区间是 D． 【答案】AD 【分析】根据导函数的图象，求出原函数的单调区间，结合极值点的意义判断. 【详解】由导函数图象可知， 当或时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为，选项C正确； 是的极大值点，选项B正确； 在的左右两边导数符号不变， 所以不是的极值点，选项A错误； 在上单调递增，所以，选项D错误. 【经典例题2】（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．时，取得最大值 B．时，取得极大值 C． D． 【答案】BC 【分析】通过导函数图象，确定函数的单调区间，再结合选项逐个判断即可. 【详解】由导函数图象可知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 选项A：因为 在上单调递增，且，因此在 处取不到最大值，A错误， 选项B：左侧 ， 单调递增；右侧 ， 单调递减， 且，因此 时 取得极大值，B正确， 选项C：由 ，且 在 单调递增，可得 ，C正确， 选项D：在单调递增，因此 ，故不成立，D错误. 【巩固练习1】（24-25高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 【答案】ACD 【分析】根据的图象，先分析出的正负性，即可得的单调性，从而可判断A，B，C，再由和时，，而不一定等于0，可判断D. 【详解】当时，， 函数单调递增， 同理可得：当时，，函数单调递减， 所以为函数的极大值， 当时，，函数单调递减， 当时，函数单调递减， 所以函数在上单调递减， 从而在处取最大值，且没有极小值点，故A,C正确，B错误； 又和时，， ，而在时等于0，所以不一定等于0， 当时，是导函数的极大值点， 当时，不是导函数的极大值点，所以D正确. 故选：ACD. 【巩固练习2】（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【答案】C 【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果． 【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 【巩固练习3】（2026·江西南昌·模拟预测）（多选）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数解析式的特征，结合函数的图象，判断导数的正负得出函数单调性，即可确定函数的极值点的情况. 【详解】由函数的图象知， 当时，，当时，，     当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项B正确； 是的极大值点，2为函数的极小值点，1不是函数的极值点，选项A错误； 当时，，在上单调递减，，选项C正确； 当时，，在上单调递减，，选项D错误． 【题型2】 求已知函数的极值，极值点 核心知识 1.极值判定第一充分条件 设在连续 ；为极大值点 ；为极小值点 2.极值判定第二充分条件 极大值点 极小值点 方法技巧 1.标准解题步骤 ①确定函数定义域 ②求导 ③解方程得到驻点 ④判断驻点左右两侧符号 ⑤判定极值点类型求出对应极值 2.第二充分条件适合多项式函数二阶导为0时失效必须改用第一充分条件 3.定义域间断点不能作为极值点 【经典例题1】（25-26高二下·宁夏固原·阶段检测）已知函数，求的极值． 【答案】极大值为1；极小值为 【分析】求导，利用导数分析函数单调性，进而求出函数极值． 【详解】由题意得的定义域为R，则， 令，解得，， 则变化情况如下表： 极大值 极小值 的极大值为；极小值为． 【经典例题2】（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）设函数， (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间和极值点． 【答案】(1) (2)和上单调递增； 在上单调递减，极大值点为；极小值点为． 【分析】（1）求导，求出切点处的函数值及导数值，再利用导数的几何意义得出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数单调性，进而得出单调区间和极值点． 【详解】（1）函数求导得，由已知切点， 由， 故切线方程为：，即． （2）由（1）可知， 若，即时，； 若，即时，． 在和上单调递增；在上单调递减； 的极大值点为；极小值点为． 【巩固练习1】（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数，则的极小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，定义域为，， 令得，即，解得， 当时，，当时，， 故是极小值点．极小值为. 【巩固练习2】（25-26高二下·广东阳江·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)递减区间为，递增区间为和，极大值为，极小值为 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求得，得到函数单调区间，结合极值的定义，即可求解； （2）由（1）得到的单调性，结合极值和区间端点的函数值，进而求得的最值. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，得；令，得或； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和， 则的极大值为， 极小值为． （2）解：由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 且，， 又由，可得，所以， 所以在区间上的最小值为，最大值为． 【巩固练习3】（25-26高二下·安徽合肥·期末）（多选）设函数，则（     ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，A选项正确； 当，，且函数单调递增，所以，B选项错误； 当时，，所以，即，C选项正确； 当时，， ， 因为，所以，所以，即，D选项正确. 【题型3】 由函数的极值求参数的值或范围 核心知识 是极值点的两个条件 ① ②在两侧符号发生改变 方法技巧 1.通用流程 先利用列出方程解出参数 再回代检验驻点左右导数符号是否变化 2.高频陷阱 只代入求出参数省略检验步骤容易出现增根 3.若给出多个极值点逐个建立方程联立求解 【经典例题1】（2025·湖南张家界·模拟预测）若函数的极大值为4，则________. 【答案】 / 【分析】由题可得，然后由的符号与单调性及正负性可得答案. 【详解】，由题易得. 当时，，， 则此时在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，注意到，则不能取到正的极大值. 综上可得，. 【经典例题2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 【答案】A 【分析】根据题意求出函数的导函数，结合函数在处取得极小值可得，进而得到的值；最后将的值代入导函数，并结合函数的单调性和极值定义即可判断. 【详解】依题意， 所以， 所以，解得，或， 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上，的值为1. 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用函数在处有极值10，求出的值，再代入验证，即可求解. 【详解】函数定义域为R，. 因为函数在处有极值10， 所以，解得：或. 当时，. 令，得或；令，得. 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以函数在处有极值，符合题意. 当时，恒成立. 所以在R上单增，所以函数在处无极值，不符合题意. 综上所述：. 【巩固练习2】（2026·广西·模拟预测）已知，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件得到函数解析式，将不等式构造函数，利用导数分析函数单调性，即可得出结果； （2）求导，将分子构造函数，根据原函数有极大值可得新构造函数先正、再负、再正，且两根不相等，分类讨论两根关系，根据单调性进行取舍即可. 【详解】（1）若，则， 所以， 要求， 只需求，令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 故不等式的解集为. （2）由， 则， 记， 令，则得两根为， 若满足在上存在极大值， 则在定义域内先正、再负、再正，且两根不相等， 若，即，只有零点， 所以时，， 当时，， 此时函数只有极小值，无极大值，舍去. 若，即， 则， 此时函数单调递增，无极值，舍去. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时，是极大值点，满足题意. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时是极大值点，满足题意. 综上，的取值范围为. 【巩固练习3】（25-26高二下·四川达州·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数存在极小值且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1)当时，单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）对函数求导，应用分类讨论研究导函数的区间符号，进而可得对应的单调区间； （2）由（1）及已知得，再构造相关函数并应用导数研究不等式恒成立，即可得参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为，则， 当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时， 若，则，在上单调递减， 若，则，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上所述： 当时，单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由（1）知，当时，函数才存在极小值，且极小值点为， 极小值为， 由题意知，即， 因为，， 构造函数，其中， 求导得恒成立，所以在上单调递增， 因为，所以要使，必须满足， 综上所述，的取值范围为. 【题型4】 由函数的极值点个数求参数或参数的范围 核心知识 极值点个数=方程在定义域内左右导函数异号的根的个数 等价转化：令极值点数量等价于穿过x轴的零点数量 方法技巧 1.转化思路 方程在定义域内有几个满足“左右变号”的实根就有几个极值点 2.常用手段 分离参数转化为两个函数图像交点个数问题 或者研究单调性、极值数形结合判定零点数量 3.边界检验 相切时的零点左右导数符号不变此时不算极值点 【经典例题1】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值； (2)若函数存在两个极值点，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程求解； （2）函数存在两个极值点等价于导函数对应的二次方程有两个不同的正实根，结合二次方程根的分布条件求解的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 因为函数在处的切线垂直于轴， 所以， 解得. （2）令，因为， 所以，即， 因为函数存在两个极值点， 所以，解得或， 又，所以 所以实数的取值范围为， 经检验，当时满足题意，故实数的取值范围为. 【经典例题2】（2026高三下·全国·专题练习）已知函数（k是常数，e是自然对数的底数）在区间内存在两个极值点，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先因式分解导函数，发现一个固定零点，只需保证另一零点落在区间且不等于 1，就能得到两个相异极值点. 【详解】由，得， 由在存在两个极值点，得在内有两个不等根， 由，解得 或， 因此且，解得且， 则实数k的取值范围是. 【巩固练习1】（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数图象有两个不同的交点，通过导函数研究即可. 【详解】因为有两个不同的极值点， 所以有两个变号零点， 显然不符合题意，则函数图象有两个不同的交点， 因为，所以当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，有唯一零点，所以其图象如图： 则，则，故实数的取值范围是. 【巩固练习2】（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知函数，. (1)若，求的单调性； (2)若存在两个极值点，求实数的范围. 【答案】(1) 在上单调递增； (2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性； （2）将存在两个极值点，转化成有两个变号零点，求得实数的范围. 【详解】（1）若，则函数，定义域为. 恒成立， 所以在上单调递增. （2）函数的定义域为. . 若存在两个极值点，有两个变号零点， 因为，所以方程有两个不等的正实数根，记为. 所以，解得. 故实数的范围是. 【巩固练习3】（25-26高二下·广西来宾·期末）若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数导数与单调性，结合函数极值点唯一性，对参数进行分类讨论即可. 【详解】因为，所以， 若函数有唯一极值点，等价于有唯一的变号零点， 当时，，函数在上单调递增， 此时函数无极值点，不满足题意， 当时，由，又因为，所以， 令，问题转化为函数与函数图象只有一个交点， 由， 令，解得：或， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 所以函数的极小值为，极大值为， 且当时，，当时，， 即函数的大致图象为：    当时，与有三个交点，不满足题意； 当时，与有两个交点， 一个点的横坐标为，此点为直线与函数的切点， 且在此处不变号；另一个点的横坐标，在此处变号，满足题意； 当时，与只有一个交点，满足题意. 综上所述，的取值范围为：. 【题型5】 由极值/极值点的约束条件求参数范围 核心知识 极值点存在前提：驻点落在定义域内且驻点两侧导函数异号 可结合不等式约束极值点位置、极值大小建立不等关系 方法技巧 1.常见约束分类 ①极值点落在某区间内 ②极大值大于/小于某个常数极小值大于/小于某个常数 2.解题思路 先用参数表示出极值点横坐标与极值再根据约束列出不等式组 3.多重条件叠加时取不等式解集交集 【经典例题1】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）函数 有两个极值点，满足，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的极值点得到，令，则，进而得到；构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】求导得. 由题意知，即，即，两式相除得. 设，则，因为，所以. 所以，即，两边取对数得，则， 所以，. 令，，则. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递增，则， 即时，，所以在上单调递增，则， 即时，，所以在上单调递增. 当时，；当时，， 所以当时，，即的取值范围为. 【经典例题2】（2026·湖北武汉·三模）函数的两个极值点，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数极值点的定义可得出，则有，令，则，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】函数定义域为， ，令得， 因为函数有两个极值点，则，得， 设，则且，代入，得， 所以， 设，， 设，， 在上恒成立，在单调递增，， 从而，在单调递增，， 故的最大值为. 【巩固练习1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数有两个极值点，，则实数的取值范围为___________；若，则的最大值为_____________. 【答案】 【分析】由有两个极值点，得有两个变号零点，构造函数，利用导数研究函数的性质，得函数的草图，利用草图列式可求出的取值范围；设，将化为，再构造函数，利用导数可求出其最大值. 【详解】由题意得的定义域为，， 由已知得是的两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，， 当时，，，， 如图，作出符合题意的图形， 由图可知，只需即可，所以， 即实数a的取值范围是； 若，又，则令， 由已知，则， 则，则，， 所以， 令，则， 令，则， 所以函数在上递增，又因为， 所以当时，，即， 所以函数在上递增，所以， 所以的最大值为． 【巩固练习2】（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知函数有两个极值点，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得有两个不等正根，即，设，则，求出的范围，求出，构造函数， 利用导数法得到的最大值，从而得到的范围，构造函数，利用导数法求出单调性从而得到，求出，由的最大值得到，通过求交集得到取值范围. 【详解】因为有两个极值点，且， 所以有两个不等正根， 即， 则，即， 设，则， 因为，所以， 则转化为，解得， 因为，所以， 因为，所以， 则， 令， ， 设， ， 当时，，在 单调递减， 则， 则，在单调递减， 当时（临界），取最大值为， 当，由洛必达法则可知， 综上可得， 令，， 当时，，在单调递增， 因为，所以 因为，所以， 因为在处取得最大值， 方程有两个正根的充要条件是， 因为， 所以. 则取值范围为，故选项B正确. 【巩固练习3】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数有两个极值点，且，，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】将函数的极值点问题转化为方程有两个不同实根的问题，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求出值域即可. 【详解】. 因为函数有两个极值点，，所以，是方程的两个不同实数根， 即函数与的图象有两个交点， 所以，，，且，. 两式相除得，即. 令 ，则，所以，解得 . 令 ，则， 令 ，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，又，所以. 又 ，所以. 由，得，则 . 令 ，则在上恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以， 故实数a的取值范围为. 【题型6】 求已知函数的最值 核心知识 1.闭区间上连续函数最值规律 最值只能出现在区间端点、区间内部极值点处 2.开区间内函数：若仅有唯一极值点则极值即为最值；存在多个极值时需要比较 方法技巧 1.闭区间标准步骤 ①求定义域内驻点 ②计算驻点函数值、区间端点函数值 ③全部数值比较最大为最大值最小为最小值 2.开区间题型 先判断函数趋势若当区间边界时函数趋向或则无对应最值 3.书写区分：极值是局部概念最值是全局概念 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）函数在上最大值为_______________． 【答案】11 【分析】求导，确定单调性即可求解. 【详解】， 因为， 由可得：，由可得：，或 故，在单调递减，在和单调递增， 当时，，当时，， 故函数在上最大值为11. 【经典例题2】（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）函数的最小值为____________ 【答案】 【分析】先确定函数定义域，求导后因式分解判断导数符号，确定单调性找到最小值点，代入计算即得结果． 【详解】函数定义域为，. 令，得 故（负根舍去）， 当时，即在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 所以在处取得最小值 【巩固练习1】（25-26高二下·福建厦门·期末）函数的最小值为______． 【答案】 【分析】构造函数，求导并分析函数单调性，求出最小值，进而化简函数，求导并分析函数单调性，找出最小值点并求解． 【详解】令，求导得，令，解得， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 故在处取得最小值，故 ，求导得，令，解得， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 故在处取得最小值： ． 【巩固练习2】（25-26高二下·广东东莞·期末）设函数，，若存在，，使得，则的最大值为________． 【答案】0 【分析】由已知条件得出，分析可知函数在上单调递增，可得出，于是得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得出的最大值. 【详解】由题意，即，所以， 由，所以在上单调递增，则，可得， 所以， 令，函数定义域为，则， 令，有在上恒成立， 所以在上单调递减，即在上单调递减， 由，则时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为0. 【巩固练习3】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）函数f（x）＝的最大值为_______． 【答案】 【分析】先确定函数的定义域为，对求导后根据导数的符号变化判断的单调性，进而找到函数的最大值点，代入原函数计算即可得到最大值. 【详解】∵，， ∴． 设，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 当时，取得极大值，也是最大值，即对，， ∴在上恒成立． ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减． ∴当时，函数取得极大值，也是最大值， ∴函数的最大值为. 【题型7】 由函数的最值求参数或参数范围 核心知识 最值由区间端点函数值、区间内极值共同决定 已知最值等价于建立不等式：最大值≥所有函数值最小值≤所有函数值 方法技巧 1.解题思路 求出所有候选最值点（端点、极值点）函数表达式 根据已知最值建立等式或不等式 2.区间含参题型 分类讨论极值点落在区间内、区间外两种情况 3.求出参数后回代验证确认最值条件成立 【经典例题1】（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数的最大值为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出1为函数极大值点，结合极值点的性质得出，进而解方程求出． 【详解】由题意知， 所以1为函数极大值点，所以， 而，由，则 ，解得 【经典例题2】（25-26高二下·广东广州·期末）若函数的最大值为，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】求得，令，求得，得到在上单调递减，进而得到存在，使得，即，得出的单调性与最大值，进而求得的值. 【详解】由函数的定义域为，且， 令，可得， 所以在上单调递减， 当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，即， 函数在上单调递增，且，所以， 所以，解得． 【巩固练习1】（25-26高二下·福建厦门·期末）已知函数的最大值为0，则_______. 【答案】1 【分析】先进行函数求导，然后对a的值讨论，找到最大值点进行求解. 【详解】，. （i）当时，，在上单调递增，无最大值，不合题意； （ii）当时，令，得， 当时，，单调递增；时，，单调递减. 由此即知， 由，解得. 综上，. 【巩固练习2】（25-26高一下·上海·期末）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先求函数导数判断单调性与极值点，结合开区间存在最大值的约束条件列不等式组，求解得到的取值范围。 【详解】因为，所以，令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取到极大值4. 要使函数在区间存在最大值，则，解得， 所以满足条件的. 【巩固练习3】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 【题型8】 导数求最值在其他模块的应用 核心知识 几何、不等式、恒成立、存在性问题最终常转化为函数最值求解 恒成立： 存在性： 方法技巧 1.常见应用场景 ①几何模块：距离最值、面积最值、体积最值 ②不等式恒成立/能成立问题 ③解析几何中斜率、弦长、面积最值 2.通用流程 建立目标函数→确定自变量范围→导数求最值→回到原题作答 3.建模关键：找准自变量写出目标函数表达式 【经典例题1】（26-27高三·全国·一轮复习）某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元. 【答案】1000 【分析】依题意求得利润，借助导数和基本不等式可求得最大值. 【详解】由题意得，销售收入为万元， 当产量不足50万件时，利润； 当产量不小于50万件时，利润. 所以利润 因为当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，，当且仅当时取等号. 又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元. 【经典例题2】（25-26高二下·河北承德·期末）某生物实验室做真菌培育试验，每次试验投放6个真菌，假设每个真菌存活率均为． (1)记单次试验中恰好存活3个真菌的概率为，若当时，取得最大值，求的值； (2)以（1）中的作为的值，连续独立做5次培育试验，记这5次培育试验中菌种存活数大于等于4的试验次数为，求的期望和方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由独立重复试验概率公式求得，然后利用导数求得最大值； （2）确定，再由二项分布的均值和方差公式计算. 【详解】（1）， ， 时，，时，， 所以在单调递增，在单调递减， 故当时，取得最大值，所以； （2）当时，设单次培育试验中菌种存活数大于等于4的概率为q， 则． 由题意知， 所以，． 【巩固练习1】（25-26高二下·内蒙古通辽·期末）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用局胜制，积分规则如下：若以或获胜，则胜者积分，负者积分；若以获胜，则胜者积分，负者积分.假设每局比赛结果相互独立. (1)当时，记一场比赛中甲的积分为，求的数学期望； (2)记甲以获胜的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定甲积分的所有可能取值，结合独立重复试验概率公式计算各取值对应概率，再代入数学期望公式求解； （2）先根据获胜的事件特征写出的表达式，再利用导数判断单调性求得最大值. 【详解】（1）由积分规则可知，的可能取值为， 对应甲以或获胜，概率为： ， 对应甲以获胜，概率为： ， 对应甲以失利，概率为： ， 对应甲以或失利，概率为： ， 因此的数学期望： . （2）由（1）可知，，其中，则， 令，解得（舍去）， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以的最大值是. 【巩固练习2】（25-26高二下·河南郑州·期末）小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“点”的格子中，每次向右移动格或移动格，其中每次向右移动格的概率为，向右移动格的概率为，要求参与者一共移动次，每次移动之间互不影响，奖品放在“点”的格子中，次移动结束后参与者正好停在“点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能地拿到奖品，则的值为（    ） （小明） （奖品） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过解方程组可得次移动中需要次走格、次走格，再由独立重复试验的概率公式可得获得奖品的概率，再通过函数的导数判断概率的最大值可得. 【详解】设次移动中，有次移动格，次移动格， 根据题意可得方程组：，解得，，即需要次走格、次走格. 根据独立重复试验的概率公式，获得奖品的概率为， 令， 则 ， 令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以函数在处取得极大值也是最大值，此时小明拿到奖品的概率最大. 【巩固练习3】（26-27高三·全国·一轮复习）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为θ的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器体积的最大值为______，此时______. 【答案】 【分析】首先将体积写成关于的函数，再利用导数判断函数的单调性和最值，再根据扇形的计算求解的值. 【详解】设圆锥形容器的底面半径为r，高为h，体积为V，则， 因此 ， 则，令，解得， 令，解得， 因此函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因此当时圆锥形容器体积取到最大值且为， 把代入，得，由，得， 即圆心角时圆锥形容器体积最大. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知一个圆柱的外接球半径为R，则该圆柱的侧面积最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出圆柱的底面半径，表示出圆柱底面半径与球的半径之间的关系，求出圆柱的侧面积，通过求导，利用单调性求最大值. 【详解】设圆柱的半径为x，则圆柱的高为，圆柱的侧面积为，，， 令，解得， 令，解得， 因此函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故函数的最大值为. 2．（25-26高二下·河北张家口·期末）已知函数的最大值为1，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】求导，设时，有最大值，进而可得，然后解得或，结合题意可得，再检验即可． 【详解】， 设时，有最大值， 所以， 整理得：， 所以或， 所以或， 当时，，不符合题意； 所以，则，， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故是的最大值，符合题意， 综上，． 3．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意由推得，代入函数解析式消元后，求出导数，根据的取值分类讨论验证，即得参数的范围. 【详解】由求导得， 因是函数的极大值点，则，即， 所以， 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取极大值，符合题意； 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则在处取极小值，不符合题意； 若，则，在上单调递增，无极值，不符合题意； 则的取值范围是. 4．（26-27高三·全国·一轮复习）若是函数的极值点，则的极大值为（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】B 【详解】 函数的定义域为. ， 由，解得， 则，定义域为， ，令，解得， x -1 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知函数的极大值点为-1，极大值为. 5．（25-26高二下·北京延庆·期末）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，. 所以. 由 ，由 . 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数唯一的极小值点为. 由且为函数定义域的子集 . 6．（25-26高二下·山东临沂·阶段检测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把已知函数有两个极值点问题转化为导数有两个不同零点问题，构造函数，求导并分析单调性、极值，作出大致图像，利用图像求实数的取值范围． 【详解】函数有两个极值点等价于有两个不同的变号零点， 令，即， 设，求导得， 当时，，单调递增，值域为； 当时： 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 在处取得极大值，，即为最大值，故值域为； 作出的大致图像如下： 由图像可知，当时，与有两个交点， 故实数的取值范围为． 7．（25-26高二下·江苏·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数和有两个交点，然后利用导数求的单调性，进而确定图象，最后根据图象确定实数a的取值范围即可. 【详解】因为 ，所以， 由已知函数f(x)有两个极值点可得有两个解， 即和有两个交点，且， 而当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，而时， ， 当时，；其大致图象如下： 若和有两个交点，只需，故A正确. 二、多选题 8．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．函数的图象在的切线的斜率为0 B．函数在上单调递增 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值 【答案】BD 【分析】根据导函数的图象与原函数的关系，利用导数的几何意义判断切线斜率，利用导数的正负判断函数的单调性，利用导数零点及左右符号变化判断极值点，逐个判断即可. 【详解】选项A：由图可知，即函数的图象在的切线的斜率大于0，故A错误； 选项B：由图可知时，， 所以函数在上单调递增，故B正确； 选项C：由图可知时，， 所以函数在上单调递增， 左右两侧导数符号相同，不是函数的极值点，故C错误； 选项D：由C选项可知函数在上单调递增， 由图可知时，，所以函数在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确． 三、填空题 9．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数在区间上有最大值23，最小值3，则a=_______，b=________． 【答案】 1 7 【详解】因为，所以， 令，则或. 由于，，当时，；当时，. 故在处，取得最小值3. 所以或者， 所以，或者，. 若，，则， 而，不合题意，舍去； 若，，则， 而， 故，. 10．（25-26高二下·山东威海·期末）若是函数的极值点，则__________． 【答案】1 【分析】由求解后再检验即可. 【详解】因为， 所以， 由题意可得， 解得， 当时，， ， 令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 是函数的极值点，符合题意， 所以. 11．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数在处取得极值0，则________． 【答案】512 【分析】利用极值与导数关系求出的值即可求解. 【详解】在处有极值，且，， 即，解得：，或． 当时，， 函数在R上为增函数，无极值，舍去； 当时，， 当时，,函数在上单调递减， 当时，,函数在上单调递增，故函数在处取得极小值， 所以，，． 12．（25-26高二下·江西宜春·期末）已知函数的最小值为，则______. 【答案】 【分析】利用导数求出函数的单调性进行求解． 【详解】的定义域为，求导得， 因为在单调递减，则在单调递增， 所以在单调递增，又当时，，当时，， 所以存在唯一使得，即①， 则， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，则， 代入①得，解得. 13．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）若函数没有极值点，则ab的最大值为________． 【答案】/ 【分析】根据函数无极值点可知导函数恒为非负数或者非正数，根据导函数的解析式分析可得导函数恒为非负数，构造新函数，利用新函数的最小值与0的关系，讨论参数的范围，即可计算结果． 【详解】因为， 则或恒成立， 因为当时，，故只能是恒成立； 令，则，则， 当时，，单调递增，此时无最小值； 当时，由解得； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取最小值，故， 则，因为，故， 令，则求的最大值即可； ， 令，解得； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故的最大值为，故，ab的最大值为． 14．（25-26高二下·天津和平·期末）若函数（，且）既有极大值又有极小值，则下列说法正确的是________． ①    ②    ③    ④    ⑤ 【答案】①③ 【分析】先求出函数的导数，再根据导数有两个不同的变号零点的条件，分析之间的关系. 【详解】，定义域为， ， 函数既有极大值又有极小值，所以在定义域上有两个不同的变号零点， 即方程在上有两个不同正根， 所以 由且，可得，， 所以，又，所以，①正确； ，所以，②错误； ，③正确； ，所以，④错误； 由，，可得， 若，，若，，⑤错误. 15．（25-26高二下·山东淄博·期末）已知函数有两个极值点、，若，则实数__________． 【答案】 【分析】对函数求导，利用极值点的性质得出的表达式，结合极值点的表达式构造方程求出，进而求出的值． 【详解】函数求导得，极值点满足，故， 已知，则 ， 故，解得， 故． 16．（25-26高二下·山东济宁·期末）已知函数的两个零点为，，且满足.若的最大值不小于64，则实数的最大值为_________. 【答案】/ 【分析】利用换元法将转换为一元函数，然后利用导数讨论函数最值，最终利用函数单调性可得参数的最大值. 【详解】由题可得，,则. 设，则由，要求的最大值，可知此时，则. 所以，又因为，所以，所以 所以. 设， 考虑，，. 当时，恒成立，所以在单调增. 又因为，由零点存在定理可知,使得.所以在单调减，在单调增.又因为.又,故时，单调递增，且时，，所以在 的最大值为，故，即. 【点睛】利用换元法将转换为一元函数最值问题进行求解是解题的关键. 四、解答题 17．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的最大值． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； (2)1 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，可求得的单调性； （2）利用（1）可得的最小值为，利用导数可求得的最大值． 【详解】（1）由，得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知当时，在上单调递增，所以在上无最小值； 当时，在处取得最小值，， 所以， 求导得， 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减， 所以. 18．（26-27高三·全国·一轮复习）已知． (1)若，求的单调区间和极值； (2)若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围. 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为，极小值1，无极大值． (2) 【分析】（1）代入参数后求导，通过分析导函数的符号变化确定函数的单调区间，进而判断极值情况； （2）先对参数分类讨论导函数零点的存在性及位置，再结合函数在区间端点处的取值和趋近无穷时的行为，利用极值点与零点的关系建立参数满足的条件． 【详解】（1）当时，，函数定义域为， ，令， 则当时，当时，且， 所以的单调减区间为，单调增区间为， 在处取到极小值，无极大值． （2）因为，所以， ①若，则，此时在上单调递增，不存在极小值点，与题设矛盾，故舍去； ②若，令（舍去）， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为在上存在极小值点，所以，解得， 又因为在上存在零点，且，当，， 所以，即，解得， 综上，参数的取值范围为． 19．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在、上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）求导后分类讨论求函数的单调区间； （2）根据函数的单调性讨论函数的极小值，建立不等式求解即可. 【详解】（1）定义域为，， 当时，或，，单调增区间为，，单调减区间为； 当时，，在上是增函数； 当时，或；， ∴的单调增区间为，，单调减区间为. 综上，时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知时，的极小值为,令， 即，解得； 当时，无极值，不符合题意； 当时，的极小值为，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为. 20．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知，函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在定义域内不存在极值点，求的取值范围； (3)若函数的极小值不小于3，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，代入直线方程的点斜式即可解决； （2）函数在定义域内不存在极值点，说明其在定义域内恒单调，即其导数在定义域内恒非负或恒非正，结合含参二次函数的图象即可解决； （3）由（2）可知，的极小值就是，于是有，得到与的关系，运用“隐零点问题”的常规解法即可解决. 【详解】（1）当时，， ，所以，即切线的斜率为， 因为，所以切点为，代入点斜式得，， 所以曲线在处的切线方程为. （2）因为函数的定义域为， ， 因为函数在定义域内不存在极值点，且函数图象是连续的， 所以函数在定义域内是单调的． （i）当时，在时恒成立，即， 所以函数在定义域内单调递减，符合题意； （ii）当时，设， 因为，且的图象开口向上， 所以存在，使得，于是， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，不符合题意， 综上，的取值范围是. （3）由（2）知，当时，存在极小值点， 因为，所以． 因为的极小值不小于3，所以恒成立， 所以，即. 设函数， 所以，即函数在上单调递减， 因为，所以的解为，即， 因为，所以，设， 则，所以， 所以的最小值为2. 【点睛】本题的第（3）小问是一道典型的“隐零点问题”，原题虽然求的是的最小值（范围），但却需要先消去，保留，得到关于的不等式，求出的范围，再将视作关于的函数去求的最小值（范围）. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第15讲 导数研究函数的极值与最值 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 【教材知识梳理】 1．函数的极值的相关概念 条件 f'（x0）＝0 在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值 在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值 图象 极值点 x0为__极大值点_______ x0为____极小值点____________ 极值 f（x0）为___极大值______ f（x0）为___极小值______ 极大值点与极小值点统称为__极值点_______，极大值与极小值统称为___极值______ 2．常用结论 （1）对于可导函数，“”是“函数在处有极值”的___必要不充分______条件. （2）若函数在区间内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的__最值点_______ 3．求可导函数的极值的步骤 （1）求导函数． （2）求方程的根． （3）列表，检验在方程的根左右两侧的函数值的符号，如果__左正右负______，那么函数在这个根处取得极大值；如果__左负右正______，那么函数在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． （4）得极值，由表得极大值与极小值． 4．函数的最大（小）值 （1）函数在区间上有最值的条件：如果在区间上,函数的图象是一条___连续不断_______的曲线，那么它必有最大值和最小值． （2）求在区间上的最大（小）值的步骤： ①求函数在区间上的_极值_____； ②将函数的各个极值与______端点处的函数值，_______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 5．利用导数求解实际问题中的优化问题 （1）在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为___最优化_____问题． （2）应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条件下的最大（小）值问题．此过程用框图表示如下： 说明：常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为，而将另一个与有关的变量设为，然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分析可得出函数的最值． （3）实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值． 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】函数图像与极值极值点的关系 核心知识 1.极值点定义 函数在处连续在两侧导函数符号发生改变才是极值点 2.必要条件 若是极值点且在可导则 不能推出为极值点（如） 3.图像特征 极大值点：左侧递增右侧递减 极小值点：左侧递减右侧递增 极值点只和局部函数大小有关不代表整个定义域最大最小 方法技巧 1.看图判极值点：重点观察导函数穿过x轴的零点导函数与x轴相切的零点不是极值点 2.区分极值点横坐标（）与极值（函数值） 3.易错区分：导函数零点≠极值点必须满足左右导数异号 【经典例题1】（25-26高二下·云南德宏·期中）（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A．是的极值点 B．是的极大值点 C．的单调递减区间是 D． 【经典例题2】（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．时，取得最大值 B．时，取得极大值 C． D． 【巩固练习1】（24-25高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 【巩固练习2】（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【巩固练习3】（2026·江西南昌·模拟预测）（多选）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 【题型2】 求已知函数的极值，极值点 核心知识 1.极值判定第一充分条件 设在连续 ；为极大值点 ；为极小值点 2.极值判定第二充分条件 极大值点 极小值点 方法技巧 1.标准解题步骤 ①确定函数定义域 ②求导 ③解方程得到驻点 ④判断驻点左右两侧符号 ⑤判定极值点类型求出对应极值 2.第二充分条件适合多项式函数二阶导为0时失效必须改用第一充分条件 3.定义域间断点不能作为极值点 【经典例题1】（25-26高二下·宁夏固原·阶段检测）已知函数，求的极值． 【经典例题2】（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）设函数， (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间和极值点． 【巩固练习1】（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数，则的极小值为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二下·广东阳江·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)求函数在区间上的最值． 【巩固练习3】（25-26高二下·安徽合肥·期末）（多选）设函数，则（     ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【题型3】 由函数的极值求参数的值或范围 核心知识 是极值点的两个条件 ① ②在两侧符号发生改变 方法技巧 1.通用流程 先利用列出方程解出参数 再回代检验驻点左右导数符号是否变化 2.高频陷阱 只代入求出参数省略检验步骤容易出现增根 3.若给出多个极值点逐个建立方程联立求解 【经典例题1】（2025·湖南张家界·模拟预测）若函数的极大值为4，则________. 【经典例题2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习2】（2026·广西·模拟预测）已知，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高二下·四川达州·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数存在极小值且极小值小于0，求的取值范围. 【题型4】 由函数的极值点个数求参数或参数的范围 核心知识 极值点个数=方程在定义域内左右导函数异号的根的个数 等价转化：令极值点数量等价于穿过x轴的零点数量 方法技巧 1.转化思路 方程在定义域内有几个满足“左右变号”的实根就有几个极值点 2.常用手段 分离参数转化为两个函数图像交点个数问题 或者研究单调性、极值数形结合判定零点数量 3.边界检验 相切时的零点左右导数符号不变此时不算极值点 【经典例题1】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值； (2)若函数存在两个极值点，，求实数的取值范围． 【经典例题2】（2026高三下·全国·专题练习）已知函数（k是常数，e是自然对数的底数）在区间内存在两个极值点，则实数k的取值范围是______． 【巩固练习1】（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知函数，. (1)若，求的单调性； (2)若存在两个极值点，求实数的范围. 【巩固练习3】（25-26高二下·广西来宾·期末）若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型5】 由极值/极值点的约束条件求参数范围 核心知识 极值点存在前提：驻点落在定义域内且驻点两侧导函数异号 可结合不等式约束极值点位置、极值大小建立不等关系 方法技巧 1.常见约束分类 ①极值点落在某区间内 ②极大值大于/小于某个常数极小值大于/小于某个常数 2.解题思路 先用参数表示出极值点横坐标与极值再根据约束列出不等式组 3.多重条件叠加时取不等式解集交集 【经典例题1】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）函数 有两个极值点，满足，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·湖北武汉·三模）函数的两个极值点，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数有两个极值点，，则实数的取值范围为___________；若，则的最大值为_____________. 【巩固练习2】（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知函数有两个极值点，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数有两个极值点，且，，则实数a的取值范围为______. 【题型6】 求已知函数的最值 核心知识 1.闭区间上连续函数最值规律 最值只能出现在区间端点、区间内部极值点处 2.开区间内函数：若仅有唯一极值点则极值即为最值；存在多个极值时需要比较 方法技巧 1.闭区间标准步骤 ①求定义域内驻点 ②计算驻点函数值、区间端点函数值 ③全部数值比较最大为最大值最小为最小值 2.开区间题型 先判断函数趋势若当区间边界时函数趋向或则无对应最值 3.书写区分：极值是局部概念最值是全局概念 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）函数在上最大值为_______________． 【经典例题2】（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）函数的最小值为____________ 【巩固练习1】（25-26高二下·福建厦门·期末）函数的最小值为______． 【巩固练习2】（25-26高二下·广东东莞·期末）设函数，，若存在，，使得，则的最大值为________． 【巩固练习3】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）函数f（x）＝的最大值为_______． 【题型7】 由函数的最值求参数或参数范围 核心知识 最值由区间端点函数值、区间内极值共同决定 已知最值等价于建立不等式：最大值≥所有函数值最小值≤所有函数值 方法技巧 1.解题思路 求出所有候选最值点（端点、极值点）函数表达式 根据已知最值建立等式或不等式 2.区间含参题型 分类讨论极值点落在区间内、区间外两种情况 3.求出参数后回代验证确认最值条件成立 【经典例题1】（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数的最大值为1，则（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高二下·广东广州·期末）若函数的最大值为，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【巩固练习1】（25-26高二下·福建厦门·期末）已知函数的最大值为0，则_______. 【巩固练习2】（25-26高一下·上海·期末）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为__________. 【巩固练习3】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【题型8】 导数求最值在其他模块的应用 核心知识 几何、不等式、恒成立、存在性问题最终常转化为函数最值求解 恒成立： 存在性： 方法技巧 1.常见应用场景 ①几何模块：距离最值、面积最值、体积最值 ②不等式恒成立/能成立问题 ③解析几何中斜率、弦长、面积最值 2.通用流程 建立目标函数→确定自变量范围→导数求最值→回到原题作答 3.建模关键：找准自变量写出目标函数表达式 【经典例题1】（26-27高三·全国·一轮复习）某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元. 【经典例题2】（25-26高二下·河北承德·期末）某生物实验室做真菌培育试验，每次试验投放6个真菌，假设每个真菌存活率均为． (1)记单次试验中恰好存活3个真菌的概率为，若当时，取得最大值，求的值； (2)以（1）中的作为的值，连续独立做5次培育试验，记这5次培育试验中菌种存活数大于等于4的试验次数为，求的期望和方差． 【巩固练习1】（25-26高二下·内蒙古通辽·期末）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用局胜制，积分规则如下：若以或获胜，则胜者积分，负者积分；若以获胜，则胜者积分，负者积分.假设每局比赛结果相互独立. (1)当时，记一场比赛中甲的积分为，求的数学期望； (2)记甲以获胜的概率为，求的最大值. 【巩固练习2】（25-26高二下·河南郑州·期末）小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“点”的格子中，每次向右移动格或移动格，其中每次向右移动格的概率为，向右移动格的概率为，要求参与者一共移动次，每次移动之间互不影响，奖品放在“点”的格子中，次移动结束后参与者正好停在“点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能地拿到奖品，则的值为（    ） （小明） （奖品） A． B． C． D． 【巩固练习3】（26-27高三·全国·一轮复习）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为θ的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器体积的最大值为______，此时______. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知一个圆柱的外接球半径为R，则该圆柱的侧面积最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北张家口·期末）已知函数的最大值为1，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 3．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三·全国·一轮复习）若是函数的极值点，则的极大值为（    ） A．-1 B． C． D．0 5．（25-26高二下·北京延庆·期末）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·山东临沂·阶段检测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．函数的图象在的切线的斜率为0 B．函数在上单调递增 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值 三、填空题 9．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数在区间上有最大值23，最小值3，则a=_______，b=________． 10．（25-26高二下·山东威海·期末）若是函数的极值点，则__________． 11．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数在处取得极值0，则________． 12．（25-26高二下·江西宜春·期末）已知函数的最小值为，则______. 13．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）若函数没有极值点，则ab的最大值为________． 14．（25-26高二下·天津和平·期末）若函数（，且）既有极大值又有极小值，则下列说法正确的是________． ①    ②    ③    ④    ⑤ 15．（25-26高二下·山东淄博·期末）已知函数有两个极值点、，若，则实数__________． 16．（25-26高二下·山东济宁·期末）已知函数的两个零点为，，且满足.若的最大值不小于64，则实数的最大值为_________. 四、解答题 17．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的最大值． 18．（26-27高三·全国·一轮复习）已知． (1)若，求的单调区间和极值； (2)若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围. 19．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 20．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知，函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在定义域内不存在极值点，求的取值范围； (3)若函数的极小值不小于3，求的最小值． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $