第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算 讲义-2027届高三数学一轮复习

第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算 内 容 导 航 知识点1 导函数的概念 知识点2 导数的几何意义 知识点3 基本初等函数的导数公式及运算法则 知识点4 复合函数的求导法则 知识点5 导数的概念 知识点6 导数的和、差、积、商的导数 知识点7 在点P处的切线 知识点8 过点P处的切线 知识点9 公切线问题 知识点10 利用导数的几何意义求距离最值 题型1 极限及其运算 题型2 变化率的极限与导数的概念 题型3 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 题型4 导数与切线的斜率 题型5 导数与切线的斜率 题型6 基本初等函数的导数 题型7 导数的加法与减法法则 题型8 导数的乘法与除法法则 题型9 简单复合函数的导数 题型10 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 题型11 由函数的切线方程求解函数或参数 题型12 导数与曲线在某点上的法线 知 识 点 通 关 知识点1 导函数的概念 1.导函数的概念 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即 2.导函数求法 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量；（2）求平均变化率； （3）取极限，得导数． 知识点2 导数的几何意义 函数在处的导数,就是切线的斜率,即. 知识点3 基本初等函数的导数公式及运算法则 1.基本初等函数的导函数 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的四则运算 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则 知识点4 复合函数的求导法则 1.复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 2.掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 知识点5 导数的概念 方法技巧 导数定义的应用 （1）在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有： （2）用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限 知识点6 导数的和、差、积、商的导数 方法技巧 利用导数运算法则的解题策略 （1）先分析待求导式子的结构，判断适用的求导法则，明确各部分对应的基本初等函数，选用正确的求导公式。 （2）若函数表达式较为复杂，可先化简变形再求导，比如将乘积展开、分式转化、三角恒等变换后再计算。 （3）求导时优先把式子转化为和差形式，尽量使用和差求导法则，减少使用积、商求导法则，降低计算出错概率。 知识点7 在点P处的切线 方法技巧 求曲线“在”点处的切线方程 （1）计算切点的纵坐标；（2）计算切线斜率； （3）计算切线方程.切线过切点，切线斜率； （4）根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 知识点8 过点P处的切线 方法技巧 求曲线“过”点处的切线方程 （1）设切点为；（2）求出函数在点处的导数； （3）利用Q在曲线上和，解出及； （4）根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 知识点9 公切线问题 方法技巧 公切线问题的处理策略 解决公切线问题时，要抓住两个核心条件：一是两个函数在各自切点处的导数值相等，即切线斜率相同；二是两个切点既在对应函数图象上，又在同一条切线上。我们需要分别设出两个函数的切点横坐标，依据斜率相等、坐标满足曲线与直线方程列出方程组，再通过解方程组求出切点横坐标及公切线方程。 知识点10 利用导数的几何意义求距离最值 方法技巧 利用导数的几何意义求解最值问题 借助数形结合的思想，将代数最值转化为图像上的直观位置关系来分析。这类问题最常用的方法是平移切线法：通过平行移动函数的切线，观察切线与曲线的位置变化，找到临界状态下的切线位置，从而确定对应的最值。 考 点 演 练 题型1 极限及其运算 【典例1】若函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）则的值为（　　） A．f′（x0） B．2f′（x0） C．﹣2f′（x0） D．0 【答案】B 【解答】解：． 故选：B． 【变式1】下列四个命题中正确的是（　　） A．若an2＝A2，则an＝A B．若an＞0，an＝A，则A＞0 C．若an＝A，则an2＝A2 D．若（an﹣bn）＝0，则anbn 【答案】C 【解答】解：取an＝（﹣1）n，排除A； 取an，排除B； 取an＝bn＝n，排除D． 故选：C． 题型2 变化率的极限与导数的概念 【典例1】已知函数，则（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：函数， 则f'（x）， 故． 故选：A． 【变式1】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为16，底面边长为x，体积为V，则当x＝2时，V关于x的瞬时变化率为　 　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：设正四棱柱的高为h， 因为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为x， 所以正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为4xh+2x2＝16，所以， 所以体积为， 所以，则x＝2时，V关于x的瞬时变化率为． 故答案为：﹣2． 题型3 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 【典例1】已知函数f（x）＝x2+ex，则（　　） A．2e B．3e C．﹣2﹣e D．2+e 【答案】D 【解答】解：函数f（x）＝x2+ex，可得f′（x）＝2x+ex， 故f′（1）＝2+e． 故选：D． 【变式1】若，则（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4 【答案】C 【解答】解：， 所以， 则． 故选：C． 题型4 纯导数与切线的斜率 【典例1】若函数y＝f（x）在x＝2处的切线斜率为2，则（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解答】解：由函数y＝f（x）在x＝2处的切线斜率为2，可得f′（2）＝2， 则22f（2）＝4． 故选：D． 【变式1】设曲线y＝e2x+b在点（0，eb）处的切线与直线ex+2y+6＝0垂直，则b＝　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：因为y＝e2x+b， 所以y′＝2e2x+b， 所以， 因为曲线y＝e2x+b在点（0，eb）处的切线与直线ex+2y+6＝0垂直， 所以， 解得b＝﹣1． 故答案为：﹣1． 题型5 导数与切线的斜率 【典例1】已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由图可知y＝f′（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增， A，则y＝f（x）的切线斜率在（﹣1，0）上递减，在（0，1）上递增，符合题意； B，y＝f（x）的切线斜率在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，不符合题意； C，y＝f（x）的切线斜率在（﹣1，1）上递减，不符合题意； D，y＝f（x）的切线斜率在（﹣1，1）上递增，不符合题意． 故选：A． 【变式1】函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（　　） A．a＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．d＜0 【答案】B 【解答】解：函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d， 由图象可知，f（0）＝d＞0， 求导得f′（x）＝3ax2+2bx+c， 由函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象可知，方程f′（x）＝0有两个不等正根， 即方程3ax2+2bx+c＝0有两个不等正根，设为x1，x2（x1＜x2）， 因为f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，所以f′（x）≥0在（﹣∞，x1）上恒成立， 所以a＞0， 由韦达定理可得，， 所以b＜0，c＞0． 故选：B． 题型6 基本初等函数的导数 【典例1】已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）＝axg（x），，在有穷数列（n＝1，2，…，10）中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：令， 则， 故h（x）＝ax单调递减，所以0＜a＜1， 又， 解得，则， 其前n项和， 由得n＞6， 故所求概率． 故选：B． 【变式1】已知函数f（x）＝x（2x﹣1）3﹣f′（1）（2﹣x）2，则f′（0）的值为（　　） A．29 B．﹣29 C．5 D．﹣5 【答案】B 【解答】解：f（x）＝x（2x﹣1）3﹣f′（1）（2﹣x）2， 则f'（x）＝（2x﹣1）3+6x（2x﹣1）2+2f'（1）（2﹣x）， 故f'（1）＝1+6+2f'（1），解得f'（1）＝﹣7， 故f'（x）＝（2x﹣1）3+6x（2x﹣1）2﹣14（2﹣x）， 所以f'（0）＝﹣1+0﹣28＝﹣29． 故选：B． 题型7 导数的加法与减法法则 【典例1】已知函数f（x）＝sinx+lnx，则f′（1）的值为（　　） A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos1 【答案】B 【解答】解：因为f′（x）＝cosx，则f′（1）＝cos1+1． 故选：B． 【变式1】若曲线y＝ax+eax在x＝0处的切线的倾斜角为，则a＝（　　） A． B．2 C． D．﹣2 【答案】C 【解答】解：因为曲线y＝ax+eax，所以y′＝a+aeax， ， 曲线y＝ax+eax在x＝0处的切线的倾斜角为， 则则． 故选：C． 题型8 导数的乘法与除法法则 【典例1】已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为， 所以， 则． 故选：D． 【变式1】下列命题正确的有（　　） A．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则 B．若，则 C．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则 D． 【答案】ABC 【解答】解：对于A，，故A正确； 对于B，因为， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为f（x）＝ln（2x+1）， 所以， 令，解得，故C正确； 对于D，因为，故D错误． 故选：ABC． 题型9 简单复合函数的导数 【典例1】已知函数f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），则f′（0）＝（　　） A．0 B．6 C．12 D．24 【答案】D 【解答】解：由f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）， 得f′（x）＝（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+x[（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）]′， 则f′（0）＝1×2×3×4＝24． 故选：D． 【变式1】下列结论正确的是（　　） A． B． C．若，则 D．若f（x）＝f′（1）x2﹣x，则f′（1）＝1 【答案】D 【解答】解：对于选项A，，故选项A错误； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，若，则y′＝0，故选项C错误； 对于选项D，因为f（x）＝f′（1）x2﹣x，则f′（x）＝2f′（1）x﹣1， 令x＝1得，所以f′（1）＝2f′（1）﹣1， 解得f′（1）＝1，故选项D正确． 故选：D． 题型10 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 【典例1】若不等式ex﹣2≥ax+b≥lnx恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．[1，2] D．[1，e] 【答案】D 【解答】解：设f（x）＝ex﹣2，g（x）＝lnx， 则， 设f（x）与g（x）的公切线的切点分别为， 则切线方程为，即， ，即， 所以①，②， 由①式可得，代入②式可得， 即，解得x1＝0或x1＝1， 当x1＝0时，公切线斜率为1，当x1＝1时，公切线的斜率为e，其大致图象如图所示： 由图可得a∈[1，e]． 故选：D． 【变式1】已知直线y＝ax+b与函数的图象相切，若，则实数b的最小值为（　　） A． B． C． D．2ln2 【答案】D 【解答】解：因为的导数为y′， 设切点， 所以切线方程为：， 所以， 因为，所以，解得x0≥4 显然，在[4，+∞）单调递增， 所以x0＝4时，bmin＝2ln2． 故选：D． 题型11 由函数的切线方程求解函数或参数 【典例1】已知正切函数y＝tanx与函数y＝sinωx（ω＞0）对称中心完全相同，则ω＝（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解答】解：正切函数y＝tanx的对称中心为，k∈Z． 正弦函数y＝sinωx的对称中心为，k∈Z． 因为正切函数y＝tanx与函数y＝sinωx（ω＞0）对称中心完全相同， 则， 所以ω＝2． 故选：B． 【变式1】曲线在点（0，0）处的切线方程为（　　） A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝x D．y＝2x 【答案】C 【解答】解：由， 可得， 则f′（0）＝1，即切线的斜率为k＝1，又切点为（0，0）， 所以切线方程为y﹣0＝1×（x﹣0），即y＝x． 故选：C． 题型12 导数与曲线在某点上的法线 【典例1】曲线的法线是指垂直于曲线上一点的切线的直线，则曲线f（x）＝e3xsin2x+x2+3在点（0，f（0））处的法线方程为 　 　 ． 【答案】y． 【解答】解：由f（x）＝e3xsin2x+x2+3，得f′（x）＝3e3xsin2x+2e3xcos2x， ∴f′（0）＝3e0sin0+2e0cos0＝2，又f（0）＝e0sin0+02+3＝3， 则曲线f（x）＝e3xsin2x+x2+3在点（0，f（0））处的法线方程为y． 故答案为：y． 【变式1】设函数f（x）＝2（x﹣2）ex﹣ax2+2ax+3﹣b （Ⅰ）若f（x）在x＝0处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为x+2y+4＝0，求实数a，b的值； （Ⅱ）若x＝1是f（x）的极小值点，求实数a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝2（x﹣1）ex﹣2ax+2a；…（2分）； 由题意可知：f'（0）＝2；…（3分）；f'（0）＝﹣2+2a＝2⇒a＝2；…（4分）； 易得切点坐标为（0，﹣2），则有f（0）＝﹣2⇒b＝1；…（5分）； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：f'（x）＝2（x﹣1）ex﹣2ax+2a＝2（x﹣1）（ex﹣a）；…（6分）； （1）当a≤0时，ex﹣a＞0⇒f'（x）＝0⇒x＝1，x∈（﹣∞，1）⇒f'（x）＜0； x∈（1，+∞）⇒f'（x）＞0；x＝1是f（x）的极小值点， ∴a≤0适合题意；…（7分）； （2）当0＜a＜e时，f'（x）＝0⇒x1＝1或x2＝lna，且lna＜1； x∈（﹣∞，lna）⇒f'（x）＞0；x∈（lna，1）⇒f'（x）＜0； x∈（1，+∞）⇒f'（x）＞0；x＝1是f（x）的极小值点， ∴0＜a＜e适合题意；…（9分）； （2）当a≥e时，f'（x）＝0⇒x1＝1或x2＝lna，且lna≥1； x∈（﹣∞，1）⇒f'（x）＞0；x∈（1，lna）⇒f'（x）＜0； x∈（lna，+∞）⇒f'（x）＞0；x＝1是f（x）的极大值点， ∴a≥e不适合题意；…（11分） 综上，实数a的取值范围为a＜e；…（12分）； 过 关 验 收 1．若已知极限，则的值为（　　） A．﹣3 B． C．﹣1 D． 【答案】D 【解答】解：∵； ∴． 故选：D． 2．将横坐标与纵坐标均为整数的点称为格点．已知n∈N，将约束条件表示的平面区域内格点的个数记作Sn，若，则　 　 ． 【答案】 【解答】解：作出的可行域，如右图所示， 当n＝1时，S1＝11， 当n＝2时，S2＝33＝12×2﹣2+S1， 当n＝3时，S3＝67＝12×3﹣2+S2， …… Sn＝12×n﹣2+Sn﹣1， 所以Sn＝11+12×2﹣2+12×3﹣2+…+12×n﹣2＝116n2+4n+1， 又∵， ∴a＝6，b＝4，即， 故答案为：． 3．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：（i）四则运算法则：如果A，，则[f（x）±g（x）]f（x）±g（x）＝A±B，[f（x）•g（x）]f（x）•g（x）＝AB，若B≠0，则；（ii）洛必达法则1：若函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），且f（x）g（x）＝0，g′（x）≠0则；②设a＞0，k是大于1的正整数，若函数f（x）满足：对∀x∈（0，a），均有成立，则称函数f（x）为区间（0，a）上的k阶无穷递降函数．结合以上两个信息，回答下列问题： （1）计算：①； ②； （2）试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，f（x）＞1． 【答案】（1）①1；②e2； （2）是，证明见解析． 【解答】解：（1）①根据洛必达法则1，． ②设，则， 设，， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴，则f（x）＞0，， ∴ ， ∴，均有， ∴f（x）是区间上的2阶无穷递降函数． 方法一： 由以上同理可得， 由①，得 ， ∴，f（x）＞1． 方法二： ， 设φ（x）＝3xcos2x﹣3sinxcosx+xsin2x，，则φ′（x）＝4sinx（sinx﹣xcosx）， 设m（x）＝sinx﹣xcosx.，则m′（x）＝xsinx＞0， ∴m（x）在上单调递增，又m（0）＝0， ∴m（x）＞0在上恒成立，∴φ′（x）＞0 ∴φ（x）在上单调递增，∵φ（0）＝0， ∴φ（x）＞0在上恒成立，∴f′（x）＞0， ∴f（x）在上单调递增， 又， ∴，f（x）＞1． 4．已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则　　 　　 ． 【答案】11． 【解答】解：因为f（x）＝x3﹣x+1，所以f′（x）＝3x2﹣1， 所以 ＝f′（2）＝3×22﹣1＝11． 故答案为：11． 5．已知f（x）＝xlnx+x+ln4，则　 　 ． 【答案】ln2+2． 【解答】解：因为f（x）＝xlnx+x+ln4， 所以f′（x）＝lnx+1+1＝lnx+2， 所以f′（2）＝ln2+2． 故答案为：ln2+2． 6．如图，已知直角三角形AOB的两直角边AO和BO的长分别为5和12，直角三角形的斜边AB所在的直线与以O1、O2、…、On、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆O1与边AO所在的直线相切，半圆圆心都在边OB上，半径分别为r1、r2、…、rn、…，前n个半圆面积的总和Pn，则　 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图 设以O1，O2，O3为圆心的圆与AB相切于点A1，A2，A3， 连接O1A1，O2A2，O3A3，易得△BA1O1与△BOA相似， 则有， 又OA＝5，OB＝12，所以， 代入可得，解得， 同理可得，即， 解得，，，…．因， 所以{rn} 是以为首项，以为公比的等比数列， 可得是以为首项，以为公比的等比数列， 则前n个半圆面积的总和为：， ， 故答案为：． 7．若函数y＝f（x）在x＝x0处的切线方程为y＝2x﹣1，则　 　 ． 【答案】2． 【解答】解：根据导数的几何意义得：f′（x0）＝2， 然后根据导数的定义得：原式＝2． 故答案为：2． 8．曲线y＝5x+8lnx在点（1，5）处的切线方程为（　　） A．y＝3x+2 B．y＝5x C．y＝8x﹣3 D．y＝13x﹣8 【答案】D 【解答】解：y′＝5， 所以x＝1时，y′＝5+8＝13， 所以切线方程斜率为13， 设切线方程为y＝13x+b，则5＝13+b， 所以b＝﹣8， 所以切线方程为y＝13x﹣8． 故选：D． 9．“曲线在x＝1处的切线的倾斜角为”是“a＝2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：， 由曲线在x＝1处的切线的倾斜角为，可得，解得a＝2或a＝﹣1， 故“曲线在x＝1处的切线的倾斜角为”是“a＝2”的必要不充分条件． 故选：B． 10．已知函数f（x）＝x2+2ax﹣1与g（x）＝ex+b的图象在x＝0处的切线重合，则a+b＝（　　） A．e﹣1 B．e+1 C． D． 【答案】D 【解答】解：由f（x）＝x2+2ax﹣1与g（x）＝ex+b， 可得f′（x）＝2x+2a，g′（x）＝ex． 由题意知，即，解得． 所以． 故选：D． 11．已知函数y＝f（x）的定义域为R，f（1+x）＝f（3﹣x），当x＜2时，f（x）＝lnx，则曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线的斜率为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：f（1+x）＝f（3﹣x）， 则f（x）＝f（4﹣x）， 故f'（x）＝﹣f'（4﹣x）， 当x＜2时，f（x）＝lnx，则f'（x）， 故f'（1）＝﹣f'（3）＝1，解得f'（3）＝﹣1， 故曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线的斜率为﹣1． 故选：C． 12．设，则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．1 D．4 【答案】A 【解答】解：由题意可知，f′（2）， 所以曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为﹣1． 故选：A． 13．函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由f′（x）图象知，当x＜a或b＜x＜c时，f′（x）＞0，函数为增函数， 当a＜x＜b或x＞c时，f′（x）＜0，函数为减函数， 对应图象为A， 故选：A． 14．已知函数f（x）的部分图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列结论正确的是（　　） A．f′（3）＜0 B．f′（﹣1）＞0 C．f（﹣1）﹣f′（﹣1）＞0 D．f（3）﹣3f′（3）＞0 【答案】AC 【解答】解：A选项．由f（x）的图象在点B处的切线斜率小于0，即f′（3）＜0，故A选项正确； B选项．f′（﹣1）表示f（x）的图象在点A处的切线斜率，故f′（﹣1）＜0，故B选项错误； C选项．由图可知f（﹣1）＞0，f′（﹣1）＜0，故f（﹣1）﹣f′（﹣1）＞0，故C选项正确； D选项．直线OB的斜率小于f（x）的图象在点B处的切线斜率， 即，所以f（3）﹣3f′（3）＜0，故D选项错误． 故选：AC． 15．已知函数f（x）＝﹣ex+f′（1）•x2，则f（1）＝（　　） A．0 B．1 C．e D．﹣e 【答案】A 【解答】解：由题意函数f（x）＝﹣ex+f′（1）•x2， 对函数求导可得f′（x）＝﹣ex+2f′（1）•x， 令x＝1，得f′（1）＝﹣e1+2f′（1）•1＝﹣e+2f′（1）， 解得：f′（1）＝e， 因此f（x）＝﹣ex+e•x2， 令x＝1，得f（1）＝﹣e1+e•12＝﹣e+e＝0． 故选：A． 16．如图为函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x•f′（x）＜0的解集为（　　） A．（﹣∞，） B．（0，） C．（，+∞） D．（﹣∞，）∪（0，） 【答案】D 【解答】解：由图可知： ±是函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的两个极值点，且a＞0 即±是导函数f′（x）的两个零点， 导函数的图象如图， 当x∈时，f'（x）＞0，则x＜0，故是解集的一部分；同理也是解集的一部分． 故选：D． 17．已知函数，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角为α，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为函数， 所以， 所以， 解得f′（1）＝2， 所以，则， 所以tanα＝2， 所以cos2α＝cos2α﹣sin2α． 故选：B． 18．已知函数f（x）＝x3f′（1）﹣4lnx+2，则f（2）＝　　 　 ． 【答案】18﹣4ln2． 【解答】解：由题意知，令x＝1， 得f′（1）＝3f′（1）﹣4，解得f′（1）＝2， 所以f（x）＝2x3﹣4lnx+2， 所以f（2）＝2×23﹣4ln2+2＝18﹣4ln2． 故答案为：18﹣4ln2． 19．已知f（x）＝x2•ex，则f′（﹣1）＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为f（x）＝x2•ex， 所以f′（x）＝2xex+x2•ex， 则f′（﹣1）． 故答案为：． 20．已知函数y＝x+lnx． （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）函数y＝x+lnx．可得 ； （2）切点坐标为（1，1）．切线斜率k＝y′|x＝1＝2， 所求切线方程：y﹣1＝2（x﹣1）， 即：2x﹣y﹣1＝0． 21．已知函数f（x）＝xsinx+cosx，g（x）． （1）判断函数f（x）在区间（0，3π）上零点的个数； （2）设函数g（x）在区间（0，3π）上的极值点从小到大分别为x1，x2，…，xn，证明g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＜0成立． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）f′（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx， 当x时，f′（x）＞0，函数单调递增，f（x）＞f（0）＝1，f（x）无零点； 当x时，f′（x）＜0，函数单调递减， f（）＞0，f（）0，故f（x）有唯一零点； 当时，f′（x）＞0，函数单调递增， 又f（）0，0，f（x）有唯一零点； 当时，f′（x）＜0，函数单调递减， 又，f（3π）＝﹣1，f（x）有唯一零点； 综上所述f（x）在（0，3π）有3个零点； （2）（i）， 由（1）知g（x）在（0，）无极值点；在（）有极小值点，即为x1， 在（）有极大值点即为x2，在（）有极小值点x3， 又f（）＝1＞0，f（π）＝﹣1＜0，f（）0，f（2π）＝1＞0，，f（3π）＝﹣1， 所以，，， 由xnsinxn+cosxn＝0可得﹣sinxn，即tanxn， 因为0＜x1＜x2，所以，tan（x1+π）＝tanx1＜tanx2， 而，，故有x1+π＜x2， 所以g（x1）+g（x2）sinx1﹣sinx2＝sin（x1+π）﹣sinx2， 因为y＝sinx在（）是增函数，sin（x1+π）﹣sinx2＜0， 即证明g（x1）+g（x2）＜0， 因为x3，所以g（x3）＝﹣sinx3＜0， 所以g（x1）+g（x2）+…+g（x3）＜0． 22．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且，则f′（1）＝（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：， ∴f′（1）＝2f′（1）﹣1，解得f′（1）＝1． 故选：A． 23．已知函数f（x）＝x（e3x+3），则（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：函数f（x）＝x（e3x+3）， 所以f′（x）＝e3x+3+3xe3x， 又因为f（0）＝0， 所以f′（0）＝1+3+0＝4． 故选：D． 24．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，若f′（2）＝8，函数f（2x+1）和f′（x+2）均为偶函数，则的值为（　　） A．8 B．1 C．0 D．﹣8 【答案】C 【解答】解：f（2x+1）为偶函数，则f（2x+1）＝f（﹣2x+1），左右两边同时求导得， 2f′（2x+1）＝﹣2f′（﹣2x+1），将2x+1看作整体得f′（x）＝﹣f′（2﹣x）①， 将y＝f′（x+2）图象向右平移2个单位得到y＝f′（x）， 因为y＝f′（x+2）为偶函数，则y＝f′（x）图象关于x＝2对称，即f′（x）＝f′（4﹣x）②， ①②两式联立得﹣f′（2﹣x）＝f′（4﹣x），即﹣f′（x）＝f′（x+2）， 用x+2代替x得﹣f′（x+2）＝f′（x+4），故f′（x）＝f′（x+4）， 即y＝f′（x）的周期为4， 因f′（2）＝8，则①式中令x＝1有f′（1）＝0，令x＝0有f′（0）＝﹣f′（2）＝﹣8， ②式中令x＝4有f′（4）＝f′（0）＝﹣8，令x＝3有f′（3）＝f′（1）＝0， 则． 故选：C． 25．已知定义在R上的偶函数f（x）可导，f（x）的导数为f′（x），f（x+2）是奇函数，则（　　） A．f（2）＝2 B．f（x）的一个周期为8 C．f′（0）＝0 D．f′（x）的图象关于x＝2对称 【答案】BCD 【解答】解：由f（x+2）是奇函数，得f（﹣x+2）＝﹣f（x+2）， 取x＝0，得f（2）＝﹣f（2），解得f（2）＝0，故A错误； 由f（x）是偶函数，得f（﹣x）＝f（x），又f（﹣x+2）＝﹣f（x+2）， 以x+2代替x，得f（﹣（x+2）+2）＝﹣f（x+2+2），即f（﹣x）＝﹣f（x+4）， 所以f（x+4）＝﹣f（﹣x）＝﹣f（x），从而有f（x+8）＝f（x）， 所以f（x）的一个周期为8，故B正确； 因为f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），两边求导得﹣f′（﹣x）＝f′（x）， 所以f′（x）是奇函数，所以f′（0）＝0，故C正确； 由f（﹣x+2）＝﹣f（x+2），两边同时对x求导，得﹣f′（﹣x+2）＝﹣f′（x+2）， 即f′（﹣x+2）＝f′（x+2），所以函数f′（x）的图象关于直线x＝2对称，故D正确． 故选：BCD． 26．曲线y＝x2+lnx﹣1在其与x轴的交点处的切线方程为（　　） A．y＝3x﹣3 B．y＝﹣3x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝﹣2x+2 【答案】A 【解答】解：因为y＝x2+lnx﹣1，x＞0，所以y′＝2x0， 所以y＝x2+lnx﹣1在（0，+∞）上单调递增，又当x＝1，时y＝0， 所以曲线y＝x2+lnx﹣1在其与x轴的交点为（1，0）， 所以当x＝1时，y′＝3， 所以所求切线方程为y＝3（x﹣1）＝3x﹣3． 故选：A． 27．若直线y＝kx+1（k∈R）是曲线y＝lnx+2与曲线y＝ex+b（b∈R）的公切线，则b＝（　　） A．0 B．1 C．e D． 【答案】A 【解答】解：因为y＝f（x）＝lnx+2，y＝g（x）＝ex+b， 所以f′（x），g′（x）＝ex， 设公切线与f（x）＝lnx+2的切点为（a，lna+2），则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即f（x）与g（x）的公切线为y＝x+1， 设公切线与g（x）的切点为（c，ec+b），则切线斜率为ec， 则切线方程为y﹣（ec+b）＝ec（x﹣c），即y＝ecx+b+ec（1﹣c）， 由题意得y＝x+1＝ecx+b+ec（1﹣c），即，解得， 故选：A． 28．若函数f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k﹣b的最小值为　 　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：函数f（x）＝ex﹣x的导数f′（x）＝ex﹣1， 可得切线的斜率为k＝f（x0）＝ex0﹣1， 则切线方程为y＝（ex0﹣1）（x﹣x0）+ex0﹣x0， 即y＝（ex0﹣1）x﹣ex0x0+ex0， 因为切线方程为y＝kx+b， 所以k＝ex0﹣1，b＝﹣ex0•x0+ex0，所以k﹣b＝ex0x0﹣1， 对于函数y＝xex﹣1，y′＝ex（x+1）， 当x＜﹣1时，y′＜0，y＝xex﹣1递减；当x＞﹣1时，y′＞0，y＝xex﹣1递增． 故函数y＝xex﹣1在x＝﹣1处取得极小值，即为最小值， 所以k﹣b的最小值是﹣1． 故答案为：﹣1． 29．已知曲线在点（0，f（0））处的切线方程为，则ωφ＝　 ． 【答案】． 【解答】解：f′（x）＝ωcos（ωx+φ）， 依题意，， 又， 则， 可得，解得ω＝1， 则． 故答案为：． 30．与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，则曲线y＝x3的法线的纵截距的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：曲线y＝x3， 则y′＝3x2，则， 若曲线y＝x3的纵截距存在，则t≠0， 所以曲线y＝x3在点P处的法线方程为，即， 所以曲线y＝x3在点P处的法线的纵截距为， 令，其中x≠0， 则，令f′（x）＞0，即27x4﹣3＞0，解得或x， 故当时，f′（x）＞0，此时，函数f（x）单调递增， ，时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， ，， ，，， 故． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算 内 容 导 航 知识点1 导函数的概念 知识点2 导数的几何意义 知识点3 基本初等函数的导数公式及运算法则 知识点4 复合函数的求导法则 知识点5 导数的概念 知识点6 导数的和、差、积、商的导数 知识点7 在点P处的切线 知识点8 过点P处的切线 知识点9 公切线问题 知识点10 利用导数的几何意义求距离最值 题型1 极限及其运算 题型2 变化率的极限与导数的概念 题型3 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 题型4 导数与切线的斜率 题型5 导数与切线的斜率 题型6 基本初等函数的导数 题型7 导数的加法与减法法则 题型8 导数的乘法与除法法则 题型9 简单复合函数的导数 题型10 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 题型11 由函数的切线方程求解函数或参数 题型12 导数与曲线在某点上的法线 知 识 点 通 关 知识点1 导函数的概念 1.导函数的概念 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即 2.导函数求法 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量；（2）求平均变化率； （3）取极限，得导数． 知识点2 导数的几何意义 函数在处的导数,就是切线的斜率,即. 知识点3 基本初等函数的导数公式及运算法则 1.基本初等函数的导函数 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的四则运算 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则 知识点4 复合函数的求导法则 1.复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 2.掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 知识点5 导数的概念 方法技巧 导数定义的应用 （1）在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有： （2）用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限 知识点6 导数的和、差、积、商的导数 方法技巧 利用导数运算法则的解题策略 （1）先分析待求导式子的结构，判断适用的求导法则，明确各部分对应的基本初等函数，选用正确的求导公式。 （2）若函数表达式较为复杂，可先化简变形再求导，比如将乘积展开、分式转化、三角恒等变换后再计算。 （3）求导时优先把式子转化为和差形式，尽量使用和差求导法则，减少使用积、商求导法则，降低计算出错概率。 知识点7 在点P处的切线 方法技巧 求曲线“在”点处的切线方程 （1）计算切点的纵坐标；（2）计算切线斜率； （3）计算切线方程.切线过切点，切线斜率； （4）根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 知识点8 过点P处的切线 方法技巧 求曲线“过”点处的切线方程 （1）设切点为；（2）求出函数在点处的导数； （3）利用Q在曲线上和，解出及； （4）根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 知识点9 公切线问题 方法技巧 公切线问题的处理策略 解决公切线问题时，要抓住两个核心条件：一是两个函数在各自切点处的导数值相等，即切线斜率相同；二是两个切点既在对应函数图象上，又在同一条切线上。我们需要分别设出两个函数的切点横坐标，依据斜率相等、坐标满足曲线与直线方程列出方程组，再通过解方程组求出切点横坐标及公切线方程。 知识点10 利用导数的几何意义求距离最值 方法技巧 利用导数的几何意义求解最值问题 借助数形结合的思想，将代数最值转化为图像上的直观位置关系来分析。这类问题最常用的方法是平移切线法：通过平行移动函数的切线，观察切线与曲线的位置变化，找到临界状态下的切线位置，从而确定对应的最值。 考 点 演 练 题型1 极限及其运算 【典例1】若函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）则的值为（　　） A．f′（x0） B．2f′（x0） C．﹣2f′（x0） D．0 【变式1】下列四个命题中正确的是（　　） A．若an2＝A2，则an＝A B．若an＞0，an＝A，则A＞0 C．若an＝A，则an2＝A2 D．若（an﹣bn）＝0，则anbn 题型2 变化率的极限与导数的概念 【典例1】已知函数，则（　　） A． B． C．1 D．2 【变式1】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为16，底面边长为x，体积为V，则当x＝2时，V关于x的瞬时变化率为　 　 ． 题型3 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 【典例1】已知函数f（x）＝x2+ex，则（　　） A．2e B．3e C．﹣2﹣e D．2+e 【变式1】若，则（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4 题型4 纯导数与切线的斜率 【典例1】若函数y＝f（x）在x＝2处的切线斜率为2，则（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．4 【变式1】设曲线y＝e2x+b在点（0，eb）处的切线与直线ex+2y+6＝0垂直，则b＝　 ． 题型5 导数与切线的斜率 【典例1】已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式1】函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（　　） A．a＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．d＜0 题型6 基本初等函数的导数 【典例1】已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）＝axg（x），，在有穷数列（n＝1，2，…，10）中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知函数f（x）＝x（2x﹣1）3﹣f′（1）（2﹣x）2，则f′（0）的值为（　　） A．29 B．﹣29 C．5 D．﹣5 题型7 导数的加法与减法法则 【典例1】已知函数f（x）＝sinx+lnx，则f′（1）的值为（　　） A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos1 【变式1】若曲线y＝ax+eax在x＝0处的切线的倾斜角为，则a＝（　　） A． B．2 C． D．﹣2 题型8 导数的乘法与除法法则 【典例1】已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列命题正确的有（　　） A．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则 B．若，则 C．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则 D． 题型9 简单复合函数的导数 【典例1】已知函数f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），则f′（0）＝（　　） A．0 B．6 C．12 D．24 【变式1】下列结论正确的是（　　） A． B． C．若，则 D．若f（x）＝f′（1）x2﹣x，则f′（1）＝1 题型10 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 【典例1】若不等式ex﹣2≥ax+b≥lnx恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．[1，2] D．[1，e] 【变式1】已知直线y＝ax+b与函数的图象相切，若，则实数b的最小值为（　　） A． B． C． D．2ln2 题型11 由函数的切线方程求解函数或参数 【典例1】已知正切函数y＝tanx与函数y＝sinωx（ω＞0）对称中心完全相同，则ω＝（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式1】曲线在点（0，0）处的切线方程为（　　） A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝x D．y＝2x 题型12 导数与曲线在某点上的法线 【典例1】曲线的法线是指垂直于曲线上一点的切线的直线，则曲线f（x）＝e3xsin2x+x2+3在点（0，f（0））处的法线方程为 　 　 ． 【变式1】设函数f（x）＝2（x﹣2）ex﹣ax2+2ax+3﹣b （Ⅰ）若f（x）在x＝0处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为x+2y+4＝0，求实数a，b的值； （Ⅱ）若x＝1是f（x）的极小值点，求实数a的取值范围． 过 关 验 收 1．若已知极限，则的值为（　　） A．﹣3 B． C．﹣1 D． 2．将横坐标与纵坐标均为整数的点称为格点．已知n∈N，将约束条件表示的平面区域内格点的个数记作Sn，若，则　 　 ． 3．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：（i）四则运算法则：如果A，，则[f（x）±g（x）]f（x）±g（x）＝A±B，[f（x）•g（x）]f（x）•g（x）＝AB，若B≠0，则；（ii）洛必达法则1：若函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），且f（x）g（x）＝0，g′（x）≠0则；②设a＞0，k是大于1的正整数，若函数f（x）满足：对∀x∈（0，a），均有成立，则称函数f（x）为区间（0，a）上的k阶无穷递降函数．结合以上两个信息，回答下列问题： （1）计算：①； ②； （2）试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，f（x）＞1． 4．已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则　　 　　 ． 5．已知f（x）＝xlnx+x+ln4，则　 　 ． 6．如图，已知直角三角形AOB的两直角边AO和BO的长分别为5和12，直角三角形的斜边AB所在的直线与以O1、O2、…、On、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆O1与边AO所在的直线相切，半圆圆心都在边OB上，半径分别为r1、r2、…、rn、…，前n个半圆面积的总和Pn，则　 　　 ． 7．若函数y＝f（x）在x＝x0处的切线方程为y＝2x﹣1，则　 　 ． 8．曲线y＝5x+8lnx在点（1，5）处的切线方程为（　　） A．y＝3x+2 B．y＝5x C．y＝8x﹣3 D．y＝13x﹣8 9．“曲线在x＝1处的切线的倾斜角为”是“a＝2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知函数f（x）＝x2+2ax﹣1与g（x）＝ex+b的图象在x＝0处的切线重合，则a+b＝（　　） A．e﹣1 B．e+1 C． D． 11．已知函数y＝f（x）的定义域为R，f（1+x）＝f（3﹣x），当x＜2时，f（x）＝lnx，则曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线的斜率为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 12．设，则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．1 D．4 13．函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 14．已知函数f（x）的部分图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列结论正确的是（　　） A．f′（3）＜0 B．f′（﹣1）＞0 C．f（﹣1）﹣f′（﹣1）＞0 D．f（3）﹣3f′（3）＞0 15．已知函数f（x）＝﹣ex+f′（1）•x2，则f（1）＝（　　） A．0 B．1 C．e D．﹣e 16．如图为函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x•f′（x）＜0的解集为（　　） A．（﹣∞，） B．（0，） C．（，+∞） D．（﹣∞，）∪（0，） 17．已知函数，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角为α，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 18．已知函数f（x）＝x3f′（1）﹣4lnx+2，则f（2）＝　　 　 ． 19．已知f（x）＝x2•ex，则f′（﹣1）＝　　 ． 20．已知函数y＝x+lnx． （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程． 21．已知函数f（x）＝xsinx+cosx，g（x）． （1）判断函数f（x）在区间（0，3π）上零点的个数； （2）设函数g（x）在区间（0，3π）上的极值点从小到大分别为x1，x2，…，xn，证明g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＜0成立． 22．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且，则f′（1）＝（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 23．已知函数f（x）＝x（e3x+3），则（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 24．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，若f′（2）＝8，函数f（2x+1）和f′（x+2）均为偶函数，则的值为（　　） A．8 B．1 C．0 D．﹣8 25．已知定义在R上的偶函数f（x）可导，f（x）的导数为f′（x），f（x+2）是奇函数，则（　　） A．f（2）＝2 B．f（x）的一个周期为8 C．f′（0）＝0 D．f′（x）的图象关于x＝2对称 26．曲线y＝x2+lnx﹣1在其与x轴的交点处的切线方程为（　　） A．y＝3x﹣3 B．y＝﹣3x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝﹣2x+2 27．若直线y＝kx+1（k∈R）是曲线y＝lnx+2与曲线y＝ex+b（b∈R）的公切线，则b＝（　　） A．0 B．1 C．e D． 28．若函数f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k﹣b的最小值为　 　 ． 29．已知曲线在点（0，f（0））处的切线方程为，则ωφ＝　 ． 30．与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，则曲线y＝x3的法线的纵截距的取值范围为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $