第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（6题型）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学讲义聚焦导数的概念、运算及几何意义等高考核心考点，按“变化率-导数定义-几何意义-求导公式与法则-复合函数导数”逻辑构建知识框架，通过命题透视、知识精讲、题型破译、真题溯源及分层训练环节，系统帮助学生突破导数求导、切线方程、参数范围等难点。 资料以“数学思维”培养为核心，创新设计题型方法指导，如公切线问题通过设双切点、列斜率与方程关系建立模型，结合分层练习（基础到能力进阶）和真题演练，提升学生逻辑推理与解题效率，为教师提供精准复习节奏把控方案，助力学生高效备战高考。

第01讲导数的概念及其意义、导数的运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 平均变化率，瞬时变化率 知识点2 导数的定义 知识点3 导数的几何意义 知识点4 常用基本初等函数的求导公式 知识点5 导数的运算法则 知识点6 复合函数的导数 题型破译 (含超链接） 题型1导数的基本概念 【方法技巧】求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤 题型2导数的运算 【方法技巧】函数求导应遵循的原则 题型3 求切线方程 【方法技巧】求切线方程 题型4 切线平行、垂直问题 题型5 求参数的值（范围） 【方法技巧】利用导数的几何意义求参数的基本方法 题型6 公切线问题 【方法技巧】公切线问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 考情·分析解读 课标要求 1. 了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2. 通过函数图象，理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数. 考题统计 核心考点 考情预览 2022 2023 2024 2025 2026 导数的几何意义及应用 全国一卷T15 全国二卷T14 全国甲卷T8 全国甲卷T6全国一卷T15全国二卷T2 全国一卷T12 全国一卷T4 考情解读 全国卷中，导数的概念、运算及几何意义多在解答题中考查，难度中等。核心考查：导数的求导运算、导数的几何意义（切线方程，含斜率与切点分析）。易错点：导数求导错误，复合函数求导分层错误，切线方程漏切点或斜率计算失误。 备考策略 1理解导数概念的实际背景，理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，了解导数的本质与思想,了解极限思想 2能通过函数图象直观理解导数的几何意义 3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数并.熟练使用导数公式表 4能理解导数的几何意义并会求切线方程 知识・归纳梳理 知识点1 平均变化率，瞬时变化率 1.对于函数，设自变量x从变化到，相应地，函数值y从变为 ，这时，x的变化量为，y的变化量为．我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率． 2.设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于0时，若平均变化率无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的瞬时变化率． 记作：当时，．上述过程，通常也记作． 【自主检测】已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（   ） A．1 B． C．2 D． 知识点2 导数的定义 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0. f′(x0)＝ ＝. 2.函数y＝f(x)的导函数 f′(x)＝. 【自主检测】已知函数满足，则（ ） A． B． C．2 D．4 知识点3 导数的几何意义 导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 【自主检测】已知曲线为，则它在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 知识点4 常用基本初等函数的求导公式 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln__a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 【自主检测】以下求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 知识点5 导数的运算法则 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x). 【自主检测】下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 知识点6 复合函数的导数 复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 【自主检测】若函数，则（    ） A． B． C． D． 重难・核心突破 题型1导数的基本概念 【例1】（2026·甘肃武威一模）已知函数，则（   ） A． B．2 C．3 D．6 方法技巧 求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）求平均变化率＝； （2）求瞬时变化率，即取极限，得到f'（x0）. 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象上一点(1,1)及邻近一点，则等于（   ） A．4 B． C． D．4x 【变式2】（2026·北京顺义二模）若物体在上抛运动过程中的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系，则下列说法错误的是（    ） A．在时间段内的平均速度为5m/s B．时的瞬时速度为5m/s C．经过了2s物体的位移最大 D．物体初速度为10m/s 【变式3】（2026·广东广州·期中）已知函数，则（     ） A． B． C． D． 题型2 　导数的运算 【例2】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 函数求导应遵循的原则 （1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； （2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混； （3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导. 【变式1】（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）下列求导数的运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）下列求导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江苏徐州·开学考试）已知函数，则__________. 题型3 求切线方程 【例3】（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键. 【变式1】（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型4 切线平行、垂直问题 【例4】（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·西藏拉萨·二模）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（   ） A．－1 B． C．1 D． 【变式2】已知的图象在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式3】函数在处的切线与轴平行，则实数（     ） A． B． C．0 D．1 题型5 求参数的值（范围） 【例5】（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 方法技巧 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围. 【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2026·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3】（25-26高三下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 题型6 公切线问题 【例6】（25-26高二下·江苏南通·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 方法技巧解决公切线问题时，要抓住两个核心条件：一是两个函数在各自切点处的导数值相等，即切线斜率相同；二是两个切点既在对应函数图象上，又在同一条切线上。我们需要分别设出两个函数的切点横坐标，依据斜率相等、坐标满足曲线与直线方程列出方程组，再通过解方程组求出切点横坐标及公切线方程。 【变式1】已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【变式2】（2026·河北保定·期中）已知直线与曲线和都相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（   ） A．18 B．17 C．12 D．8 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（    ） A．-6 B．6 C．3 D．-3 2．（25-26高二下·四川南充·期中）下列求导正确的是（   ） A． B．（且） C． D． 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东云浮·期中）如图，已知函数的图象在点处的切线，则（   ） A． B． C． D．2 5．（23-24高二下·广东中山·阶段检测）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（25-26高二下·广西南宁·期中）曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南·模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·重庆·模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 10．（2026高三·全国·专题练习）在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度（单位：m）是，则运动员的速度______m/s，加速度______． 11．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，直线与曲线相切，则实数a=______． 能力进阶 1．（25-26高二下·陕西榆林·期中）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知曲线的一条切线过点，且与直线平行，则（   ） A．6 B．23 C．6或38 D．23或38 4.（25-26高二下·河北承德·期中）已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 5．（25-26高二下·湖北武汉·期中）曲线上的点到直线的最短距离是（  ） A． B． C． D．0 6．（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 7．（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知弹簧上挂着的小球在做简谐运动，它在时间t处相对平衡位置的高度 ．若小球在和时均距离平衡位置最远，则下面说法正确的是（   ） A．该简谐运动的振幅为2 B． C．当时，小球经过平衡位置 D．当时，小球的瞬时速度大小为 8．（多选）（25-26高二下·广东江门·期中）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．已知函数，若，则 C．若，则 D．曲线的一条切线的倾斜角的取值范围是 9．（25-26高二下·安徽安庆·期中）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为__________. 10．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）若曲线存在斜率为0的切线，则实数a的取值范围是_______ 11．（25-26高二下·浙江·阶段检测）曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2026全国一卷T4）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 2.（2024·全国甲卷T6）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 3.（2023·全国甲卷T8）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2021·新高考全国Ⅰ卷T15）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 5.（2025·新课标Ⅰ卷T12）若直线是曲线的切线，则 . 6.（2022·新高考全国Ⅱ卷T14）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 7.（2024·全国一卷T15）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 8．（2022·新高考全国Ⅰ卷T15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列函数在给定点的导数： （1）在处的导数； （2）在处的导数． 2．已知函数，且，求． 3．已知函数满足，求在的导数． 4．已知函数. (1)求这个函数的导数； (2)求曲线在点处的切线方程. 5．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲导数的概念及其意义、导数的运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 平均变化率，瞬时变化率 知识点2 导数的定义 知识点3 导数的几何意义 知识点4 常用基本初等函数的求导公式 知识点5 导数的运算法则 知识点6 复合函数的导数 题型破译 (含超链接） 题型1导数的基本概念 【方法技巧】求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤 题型2导数的运算 【方法技巧】函数求导应遵循的原则 题型3 求切线方程 【方法技巧】求切线方程 题型4 切线平行、垂直问题 题型5 求参数的值（范围） 【方法技巧】利用导数的几何意义求参数的基本方法 题型6 公切线问题 【方法技巧】公切线问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 考情·分析解读 课标要求 1. 了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2. 通过函数图象，理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数. 考题统计 核心考点 考情预览 2022 2023 2024 2025 2026 导数的几何意义及应用 全国一卷T15 全国二卷T14 全国甲卷T8 全国甲卷T6全国一卷T15全国二卷T2 全国一卷T12 全国一卷T4 考情解读 全国卷中，导数的概念、运算及几何意义多在解答题中考查，难度中等。核心考查：导数的求导运算、导数的几何意义（切线方程，含斜率与切点分析）。易错点：导数求导错误，复合函数求导分层错误，切线方程漏切点或斜率计算失误。 备考策略 1理解导数概念的实际背景，理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，了解导数的本质与思想,了解极限思想 2能通过函数图象直观理解导数的几何意义 3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数并.熟练使用导数公式表 4能理解导数的几何意义并会求切线方程 知识・归纳梳理 知识点1 平均变化率，瞬时变化率 1.对于函数，设自变量x从变化到，相应地，函数值y从变为 ，这时，x的变化量为，y的变化量为．我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率． 2.设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于0时，若平均变化率无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的瞬时变化率． 记作：当时，．上述过程，通常也记作． 【自主检测】已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】. 知识点2 导数的定义 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0. f′(x0)＝ ＝. 2.函数y＝f(x)的导函数 f′(x)＝. 【自主检测】已知函数满足，则（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】. 知识点3 导数的几何意义 导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 【自主检测】已知曲线为，则它在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 知识点4 常用基本初等函数的求导公式 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln__a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 【自主检测】以下求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A，，故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，，故选项C正确；     选项D，，故选项D正确. 知识点5 导数的运算法则 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x). 【自主检测】下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以A运算正确，不符合题意； ，所以B运算错误，符合题意； ，所以C运算正确，不符合题意； ，所以D运算正确，不符合题意． 知识点6 复合函数的导数 复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 【自主检测】若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数 可得. 重难・核心突破 题型1导数的基本概念 【例1】（2026·甘肃武威一模）已知函数，则（   ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【解析】， 由可得． 方法技巧 求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）求平均变化率＝； （2）求瞬时变化率，即取极限，得到f'（x0）. 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象上一点(1,1)及邻近一点，则等于（   ） A．4 B． C． D．4x 【答案】B 【解析】，. 【变式2】（2026·北京顺义二模）若物体在上抛运动过程中的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系，则下列说法错误的是（    ） A．在时间段内的平均速度为5m/s B．时的瞬时速度为5m/s C．经过了2s物体的位移最大 D．物体初速度为10m/s 【答案】C 【解析】对于选项A，平均速度计算公式为，当时，；当时，，因此，A说法正确，不符合题意. 对于选项B，瞬时速度为位移函数对时间的导数，可得，代入得，B说法正确，不符合题意. 对于选项C，位移函数的图象是开口向下的抛物线，其顶点横坐标为，即时位移最大，时，，位移为0，故C说法错误，符合题意. 对于选项D，初速度为时的瞬时速度，代入导数公式得，D说法正确，不符合题意. 【变式3】（2026·广东广州·期中）已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，则. 题型2 　导数的运算 【例2】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对函数求导得，令得，解得. 方法技巧 函数求导应遵循的原则 （1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； （2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混； （3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导. 【变式1】（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）下列求导数的运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 【变式2】（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）下列求导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A，，故A错误； 选项B，，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误. 【变式3】（2026·江苏徐州·开学考试）已知函数，则__________. 【答案】 【解析】因为，则， 令得，解得， 则， 所以. 题型3 求切线方程 【例3】（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，，所以，，， 曲线在点处的切线方程为： ，，化简得，. 方法技巧 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键. 【变式1】（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 ， 又，，则所求切线方程为. 【变式2】（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】曲线的导数，则在的切线斜率为， 由点斜式求得切线方程为，化成一般式为. 【变式3】（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则， ，所以切线方程为，化简可得， 即函数的图象在点处的切线方程为. 题型4 切线平行、垂直问题 【例4】（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为，即． 【变式1】（2026·西藏拉萨·二模）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（   ） A．－1 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由题意知直线的斜率为 又，则 因为函数的图象在点处的切线与直线平行，所以解得. 【变式2】已知的图象在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 由题意知在点处的切线斜率为，所以，解得． 【变式3】函数在处的切线与轴平行，则实数（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】函数的定义域为，. 由题意知，，即，解得. 题型5 求参数的值（范围） 【例5】（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】设，则． 设直线与曲线相切于横坐标为的点． 因为直线的斜率为，所以，即． 因此，解得． 切点同时在直线和曲线上，所以当时，两者的函数值相等，即． 整理得，解得． 方法技巧 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围. 【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即.该切线经过点，则得，解得. 【变式2】（2026·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以由题意得， 所以切点，所以，故选：C 【变式3】（25-26高三下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以，且，根据图象得． 题型6 公切线问题 【例6】（25-26高二下·江苏南通·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】设公切线与的切点为， 因为，所以， 因为，所以， 则，得. 方法技巧解决公切线问题时，要抓住两个核心条件：一是两个函数在各自切点处的导数值相等，即切线斜率相同；二是两个切点既在对应函数图象上，又在同一条切线上。我们需要分别设出两个函数的切点横坐标，依据斜率相等、坐标满足曲线与直线方程列出方程组，再通过解方程组求出切点横坐标及公切线方程。 【变式1】已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【解析】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 【变式2】（2026·河北保定·期中）已知直线与曲线和都相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令直线与曲线的切点为， 由，则， 而，故，所以， 令直线与曲线的切点为， 由，则，故， 而，故，所以. 【变式3】已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（   ） A．18 B．17 C．12 D．8 【答案】B 【解析】，所以， 所以切线方程为，即， 又因为与抛物线相切， 所以有一个根，所以，所以. 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（    ） A．-6 B．6 C．3 D．-3 【答案】B 【解析】因为当无限趋近于0时，无限趋近于常数6， 所以该质点在时的瞬时速度为6. 2．（25-26高二下·四川南充·期中）下列求导正确的是（   ） A． B．（且） C． D． 【答案】B 【解析】，A选项错误.，B选项正确. ，C选项错误.，D选项错误. 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据导数的定义：函数在处的导数为， 所以． 4．（25-26高二下·广东云浮·期中）如图，已知函数的图象在点处的切线，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】由图可知，切线过点，故切线斜率为， 所以切线的方程为，所以当时，，即. 5．（23-24高二下·广东中山·阶段检测）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】∵，， 当时，，解得. 6．（25-26高二下·广西南宁·期中）曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 所以曲线在处的切线的斜率为，所以其倾斜角为. 7．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，设切线斜率为，则， 又因为切线与直线垂直，所以，即，解得. 8．（2026·湖南·模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，得， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为，其中， 即切线方程为. 整理可得， 又因为直线与曲线相切， 所以，. 设，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数在时取极小值， 且当时，. 综上所述，函数的值域为，所以实数的取值范围. 9．（2026·重庆·模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 【答案】 【解析】根据题意，，则， 又函数在处的切线方程为， 所以切线斜率为，即，解得， 又切点在切线上，所以当时，，即切点坐标为， 又切点在函数上，所以，解得，所以. 10．（2026高三·全国·专题练习）在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度（单位：m）是，则运动员的速度______m/s，加速度______． 【答案】 【解析】函数在处的瞬时速度，速度. 已知，   . . . 加速度， . ， . 11．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，直线与曲线相切，则实数a=______． 【答案】 【解析】函数的定义域为，对其求导可得：， 设直线与曲线的切点横坐标为：， 根据导数的几何意义，切线斜率等于切点处的导数值，因此有：，即， 又切点同时在曲线和切线上，因此函数值满足：， 结合两式得，解得， ，解得. 能力进阶 1．（25-26高二下·陕西榆林·期中）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以曲线在点处的切线方程斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即得； 2．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得.解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知曲线的一条切线过点，且与直线平行，则（   ） A．6 B．23 C．6或38 D．23或38 【答案】C 【解析】因为切线与直线平行， 所以切线斜率， 对求导得：， 设切点横坐标为，则切线斜率满足： ， 解得或， 切线方程为 ， 因为切线过点 ，将 代入得： ， 当时： ， 当时： ，因此或. 4.（25-26高二下·河北承德·期中）已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】设切点坐标为 ， 因为 ，所以，所以切点处的切线斜率 ， 由点斜式得切线方程为： 令，代入切线方程可得纵截距： ， 设函数 ，则， 令，由于恒成立，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因此为的最大值点， 最大值为 ，即的最大值为. 5．（25-26高二下·湖北武汉·期中）曲线上的点到直线的最短距离是（  ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】直线的斜率为， 所以，令得， 将代入可得，则在点的切线斜率为， 所以切点到直线的距离为：. 6．（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【解析】由，得 由，得. 直线的斜率为. 令，得， 将代入，得， 所以直线与函数的图象的切点为，所以，. 设直线与函数的图象的切点为， 则，得. 因为函数单调递增，且， 所以，. 所以. 7．（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知弹簧上挂着的小球在做简谐运动，它在时间t处相对平衡位置的高度 ．若小球在和时均距离平衡位置最远，则下面说法正确的是（   ） A．该简谐运动的振幅为2 B． C．当时，小球经过平衡位置 D．当时，小球的瞬时速度大小为 【答案】AC 【解析】函数的最小正周期，由小球在和时均距离平衡位置最远， 得，则，由，得，而， 因此或，当时，，，当，不符合题意， 当时，，，当和时，函数分别取得最大值和最小值， 符合题意，则， 对于A，该简谐运动的振幅为2，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，即当时，小球经过平衡位置，C正确； 对于D，求导得，， 小球的瞬时速度大小为，D错误. 8．（多选）（25-26高二下·广东江门·期中）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．已知函数，若，则 C．若，则 D．曲线的一条切线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【解析】选项A：是常数，常函数的导数为0，故A错误。 选项B：由复合函数求导法则得，令，即，故B正确。 选项C：对求导得，故C正确。 选项D：求导得，即切线斜率，结合倾斜角， 得，故D错误。 9．（25-26高二下·安徽安庆·期中）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为__________. 【答案】 【解析】由题意可得， 所以， ，所以切线方程为， 令，则，令，则，则三角形的面积为. 10．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）若曲线存在斜率为0的切线，则实数a的取值范围是_______ 【答案】 【解析】由题意可得， 即，使得，解得，因为，因此. 11．（25-26高二下·浙江·阶段检测）曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 【答案】 【解析】对函数求导得，故曲线在处的切线斜率为， 所求切线方程为，即， 设直线与曲线切于点， 对函数求导得，所以曲线在点处的切线斜率为， 且点在直线上，所以有，解得. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2026全国一卷T4）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 2.（2024·全国甲卷T6）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积，故选A. 3.（2023·全国甲卷T8）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为，所以， 所以所以 所以曲线在点处的切线方程为，故选C 4．（2021·新高考全国Ⅰ卷T15）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点，故选D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知，故选D.    5.（2025·新课标Ⅰ卷T12）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 6.（2022·新高考全国Ⅱ卷T14）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【解析】 因为，当时，设切点为，由， 所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即 7.（2024·全国一卷T15）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 8．（2022·新高考全国Ⅰ卷T15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列函数在给定点的导数： （1）在处的导数； （2）在处的导数． 【解】（1）因为可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，； （2）因为可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，. 2．已知函数，且，求． 【解】因为，所以，因为，所以，解得 3．已知函数满足，求在的导数． 【解】因为，所以， 所以，解得 4．已知函数. (1)求这个函数的导数； (2)求曲线在点处的切线方程. 【解】（1）； （2）由（1），，又， 则切线方程满足. 5．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值． 【解】，， 所以在点（0,1）处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直，，. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $