第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦导数概念、几何意义及运算等核心考点，按“命题透视-知识梳理-题型破译-真题溯源-分层训练”逻辑架构，通过知识点解构、7类切线问题方法指导及近5年天津真题训练，帮助学生系统突破切线方程求解等高频难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义以思维建模搭建知识框架，题型分类归纳切线问题解题策略，如区分“在点”与“过点”切线时，引导学生设切点联立方程培养数学思维与模型意识。分层训练结合基础与创新题型，确保高效突破，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 导数的概念和几何性质 知识点2 导数的运算 知识点3 切线问题及其解题策略 题型破译 题型1 导数的定义及其应用 【方法技巧】导数的定义及其应用 题型2 求曲线切线的斜率（倾斜角） 【方法技巧】求曲线切线的斜率（倾斜角） 题型3 求曲线的切线方程 【方法技巧】求曲线的切线方程 题型4 与切线有关的参数问题 【方法技巧】与切线有关的参数问题 题型5 切线的条数问题 【方法技巧】切线的条数问题 题型6 两条切线平行、垂直、公切线问题 【方法技巧】两条切线平行、垂直、公切线问题 题型7 与切线有关的最值问题 【方法技巧】与切线有关的最值问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 导数的概念与瞬时变化率 天津卷 T4（5 分） 导数的几何意义（曲线切线方程） 天津卷 T20（4 分） 天津卷 T20（4 分） 天津卷 T20（4 分） 导数的运算（基本求导公式、四则运算、复合函数求导） 天津卷 T20（4 分） 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T20（4 分） 天津卷 T20（4 分） 考情分析 导数的概念及其意义、导数的运算为天津高考必考基础考点，以解答题第一问为主，偶尔搭配选择/填空题，单题分值4-5分，整体难度低，属于基础送分题。高频考查方向为：①导数的几何意义（曲线切线方程求解）；②基本初等函数求导与四则运算；③导数定义的理解辨析。本模块是导数应用的核心基础，常与函数、不等式等内容结合考查，极少单独考查单一知识点，是后续导数综合题的必备前提。 复习目标 1. 理解导数的概念与瞬时变化率的本质，掌握导数的定义式，能辨析导数的基础概念； 2. 理解导数的几何意义，能熟练求解曲线在某点处的切线方程，掌握切点的核心性质； 3. 熟练掌握基本初等函数的求导公式、导数四则运算法则，能准确求解简单函数与复合函数的导数，为后续导数综合应用筑牢基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 导数的概念和几何性质 1.概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或． ① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ② 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2.几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3.物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 必记结论 导数本质是函数在某点的瞬时变化率，由平均变化率取极限推导，解决匀速公式无法描述的变速、曲线变化问题，是研究函数单调性、极值最值的核心工具。几何意义为函数图像在该切点处切线斜率，是数形结合关键结论。 解题核心技巧：求导前先化简解析式，减少求导运算量；区分切线过点与切点在曲线上两种题型，联立斜率与函数方程求解；利用导数正负直接判断增减，导数零点对应极值可疑点。 必要性结论：初等函数复杂增减、最值、曲线切线、瞬时速率问题，初等代数无法定量求解，只有导数能精准刻画局部变化快慢，也是微积分、物理运动、经济变化分析的基础工具。 自主检测若一质点的位移 (单位: 米) 关于时间 (单位: 秒) 的函数关系式为 ， 则该质点在 时的瞬时速度为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】由题意得， 则该质点在 时的瞬时速度为． 知识点2 导数的运算 1.求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3.复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ： 必记结论 导数四则运算法则、复合函数求导是求复杂函数导数的基础，单纯定义求极限计算繁琐，运算公式能大幅简化步骤，是研究函数性质的必备工具。核心技巧：先化简再求导，分式、根式统一改写幂函数；复合函数分层求导，由外到内逐层相乘；熟记初等函数求导公式，避免反复推导极限。必要性结论：多项式、分式、复合、指数对数函数无法单用定义快速求导，熟练运算公式才能高效分析切线、单调区间与极值，是导数应用类题型的计算核心。 自主检测下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 知识点3 切线问题及其解题策略 1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 3．与切线有关的参数问题的解题策略： (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法. 4．公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 必记结论 导数几何意义是切线斜率，是解决曲线切线唯一简便方法，普通直线方程难以精准刻画切点局部直线。核心技巧：分清点在曲线上、点在曲线外两类题型；切点未知常设坐标，联立导数斜率与两点斜率列方程；切线与曲线多重交点不代表是切点。必要性结论：无导数无法快速求曲线切线，切线题型常结合单调、最值综合考查，熟练区分两种切线情形、用好导数斜率是拿分关键，也是导数数形结合最常考基础题型。 自主检测若函数在点处的切线方程为，则实数的值为______. 【答案】/ 【分析】求导，根据题意可得，，列方程求解即可. 【详解】因为的定义域为，且， 由题意可得：，， 由可得，即， 把代入可得， 且，可得，解得， 所以. 题●型●破●译 题型1 导数的定义及其应用 例1-1（2026·天津西青·二模）函数的图象如图所示，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义并结合图象判断求解即可. 【详解】导数的几何意义是函数在处切线的斜率； ，表示点和连线的斜率. 由图可知，单调递增，且增长越来越平缓，说明是递减的（切线斜率随增大逐渐变小）， 所有斜率都为正，因此. 例1-2（2026·天津南开·阶段检测）是定义在上的可导函数，若，则______． 【答案】 【详解】根据导数的定义，函数 在点 处的导数为： . 方法技巧 导数的定义及其应用 导数定义是增量趋于 0 时平均变化率的极限，几何意义为切线斜率，天津卷必考切线问题，区分 “在点切线” 与 “过点切线”。解题先化简函数再求导，复合函数逐层求导。利用导函数符号判断单调性，解方程找驻点分析极值最值；含参题型优先分离参数或分类讨论。压轴常考零点、不等式证明，多用构造函数、隐零点、放缩法，务必先标注定义域，避免忽略定义域导致失分。 【变式训练1-1】已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，作出函数图象，数形结合求解参数范围即可. 【详解】当时，曲线可以看作曲线向上平移个单位得到， 当时，，则， 因为当，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ， 作出函数图象如下图， 令，则过定点， 由图易知，当时，图象与图象有4个交点， 时，，当图象与图象相切时，设切点为， 此时，将代入解得，即此时， 则的取值范围为，故C正确． 【变式训练1-2】已知函数，则__________. 【答案】 【详解】因为函数，则， 所以. 【变式训练1-3】已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 【答案】3 【详解】由导数的定义，可得函数在处的导数满足： ， 则 解得. 题型2 求曲线切线的斜率（倾斜角） 例2-1曲线以点为切点的切线的倾斜角为______． 【答案】 【分析】先求得曲线在点处的切线斜率为，再根据斜率与倾斜角的关系即可求得答案. 【详解】对函数求导得， 所以，即曲线在点处的切线斜率为， 设切线的倾斜角为（），则，解得， 所以曲线以点为切点的切线的倾斜角为. 例2-2已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数并求出相应的极大和极小值点． 【答案】(1) (2)当时，函数无极值点；当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为；当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为；当时，函数有1个极值点，该极值点为极小值点，为，无极大值点. 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求出切线方程； （2）求导，分，，，四种情况分类讨论，根据导数研究函数的单调性，进而求出极值点. 【详解】（1）,, , 所以函数在处的切线方程为，即； （2）， 当时，恒成立，函数在上单调递增， 所以函数无极值点； 当时，令，解得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增； 所以函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，令，解得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增； 所以函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，恒成立，令，解得， 当时， ，单调递减，当时，，单调递增； 所以函数有1个极值点，该极值点为极小值点，为，无极大值点. 综上，当时，函数无极值点； 当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，函数有1个极值点，该极值点为极小值点，为，无极大值点. 方法技巧 求曲线切线的斜率（倾斜角） 求切线斜率、倾斜角核心技巧：先求导，切点横坐标代入导函数得斜率 k，k=tanθ 求倾斜角，分清 “在点” 与 “过点” 两类题型。已知切点直接代值；定点非切点需设切点联立方程。复合函数求导勿忘链式法则，牢记斜率不存在时倾斜角为 90°。注意定义域限制，平行垂直利用斜率关系列式，计算后检验切点在曲线上，规避失分。 【变式训练2-1】已知曲线C：上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线的倾斜角. 【详解】因为，所以，则， 所以曲线C在点P处的切线的斜率为，则倾斜角为. 故选：B 【变式训练2-2】若直线是曲线的一条切线，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义，可得切点坐标，然后求出的值. 【详解】由，得， 设切点为，则由导数的几何意义得， 又切线方程为，所以， 即，解得，. 故选：D. 【变式训练2-3·变考法】（2026·天津南开·阶段检测）已知函数，则下列说法中不正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域内为增函数 C．曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值 D．曲线的切线的斜率的最大值为2 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义，和增函数的定义，即可判断AB，利用斜率公式，结合函数解析式，即可判断C，根据导数的几何意义，即可判断D. 【详解】A.函数的定义域是， ，所以函数是奇函数，故A正确； B.设，且， ， ， 因为，所以， 因为，，所以，则，即， 即， 所以，即， 所以函数在定义域内是增函数，故B正确； C.设函数上任一点，， ，故C正确； D.，，根据导数的几何意义可知，曲线的切线的斜率的范围是，故D错误. 故选：D 题型3 求曲线的切线方程 例3-1已知函数，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调区间． 【答案】(1) (2)①当时，增区间为，减区间为；②当时，增区间为和，减区间为；③当时，增区间为，无减区间；④当时，增区间为和，减区间为. 【分析】（1）求导，确定切线斜率，即可求解； （2）求导，通过，，，讨论导数的符号，即可求解. 【详解】（1）当时，， 计算得，即切点为， 求导得：，切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理得； （2）对函数求导得： ， 因，故，的符号由分子的符号决定， ①时，恒成立， 当时，，即，当时，，即， 故的增区间为，减区间为； ②时， 当或时，，即， 当时，，即， 故的增区间为和，减区间为； ③时，在上恒成立，即在上恒成立， 故的增区间为，无减区间； ④时， 当或时，，即， 当时，，即， 故的增区间为和，减区间为. 综上：①当时，增区间为，减区间为； ②当时，增区间为和，减区间为； ③当时，增区间为，无减区间； ④当时，增区间为和，减区间为. 例3-2曲线在点处的切线在轴上的截距为________． 【答案】 【详解】，则当时，， 故在点处的切线方程为， 即，令得， 故在点处的切线在轴上的截距为. 例3-3若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 【答案】/ 【分析】对函数求导数，然后根据切线与已知直线垂直建立方程求解即可. 【详解】因为直线的斜率为：， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线的斜率为：， 由，则， 所以，解得：. 方法技巧 求曲线的切线方程 1.在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2.过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 【变式训练3-1】已知曲线为，则它在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【变式训练3-2】已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】， ， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则， ， 将点代入切线方程得，即， ． 题型4 与切线有关的参数问题 例4-1若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处切线方程，再设出切点坐标，利用导数几何意义用表示并建立函数关系，利用导数求出最大值. 【详解】函数，求导得，则，而， 曲线在处的切线方程为，即， 设曲线在处的切线与曲线相切的切点为， 而，则且，于是， 解得，，即． 因此，令函数， 求导得，由，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以的最大值为. 例4-2已知函数，且曲线在处的切线与直线平行． (1)求的值． (2)若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义确定切线斜率，再由两直线平行时斜率相等即可求解； （2）由 在 上恒成立，通过分离参数求最值即可求解. 【详解】（1）由 ， 得 ， 故 . 直线 的斜率为 ， 由两直线平行得： ，解得 . （2）由（1）得，. 因为 在 上单调递减， 所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立. 令 ，， 则 ， 的最大值为 . 故 ， 即的取值范围是. 方法技巧 与切线有关的参数问题 切线类参数问题解题流程固定：先设切点坐标，对曲线求导得到切线斜率表达式，结合切点在曲线、切线上两个条件联立方程。分清已知切线过定点、切线已知斜率、切线与已知直线平行垂直三类题型。含参函数求导仔细处理复合项，多解情况逐一核验切点有效性；多切线问题转化为方程根的个数问题，结合判别式、函数零点分析参数范围。留意斜率不存在的特殊切线，避免漏解丢分。 【变式训练4-1】已知曲线在坐标原点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）直接根据切点在曲线上及导数的几何意义可得； （2）直接对函数求导，并求函数的极值，并列表判断可得. 【详解】（1）因为切点为原点，则 ，得. 又 ，斜率 ，得 . 因此 ，. （2）由（1）得 ，，令 得 或 ． 计算得 ，，，，比较得最大值为 ，最小值为 . 因此函数在上的最大值为，最小值为 . 【变式训练4-2】已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求函数的单调区间； (2)设，若函数在上单调递增．求的取值范围． 【答案】(1)函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为； (2) 【分析】（1）由题可知在点处的切线的斜率为2，根据切线的几何意义即可求解的值，然后利用导数研究函数的单调性即可; （2）函数在上单调递增．等价于在上恒成立，分离参数即可求解. 【详解】（1）,曲线在点处的切线与直线平行, , 当或时，,当时，, 函数的单调递增区间为,单调递减区间为. （2）由题可得：， 函数在上单调递增．等价于在上恒成立， 由于， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 所以， 所以在上单调递增， 故， 所以， 解得： 【变式训练4-3】（2026·天津河东·二模）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； (2)若直线为函数的一条切线，求的值； (3)函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分类讨论，当时不合题意，当时，由导数求得极小值，列出不等式求解即可； （2）设切点为，由已知切线方程列出方程组，由导数求解即可； （3）由切线放缩，构造函数，结合导数分类讨论的范围即可求解． 【详解】（1）， ①当时，，则单调递增，最多有一个零点，不合题意，舍去； ②当时，令，设， 在上，，在单调递减， 在上，，在单调递增， 所以的极小值为， 由已知，时，时，只须， 所以，即， 解得． （2），设切点为，由已知切线方程可知， 由代入下式得， 所以， 令，，由得， 因为， 所以在为单调递增函数，为方程的唯一解． 所以，． （3）， 设， ，令，得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即， 所以， 令，，令，， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， ，解得， 显然当时，恒成立， 当时，，存在，不符合条件， 综上所述． 题型5 切线的条数问题 例5-1已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】设切点为，利用导数几何意义写出过的切线方程，进而有有三个不同值，即与有三个不同交点，导数研究的极值，即可求参数范围. 【详解】由，设切点为，则切线斜率为， 所以，过的切线方程为， 综上，，即， 所以有三个不同值使方程成立， 即与有三个不同交点，而， 故、上，递减，上，递增； 所以极小值为，极大值为，故时两函数有三个交点， 综上，的取值范围是. 故答案为： 例5-2已知函数. (1)求在区间上的最值； (2)若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值，最小值； (2). 【分析】（1）求导得到函数的单调性，根据单调性求得函数的极值和端点值，比较可得函数的最值； （2）设切点，进而得方程有3个根，然后构造函数利用单调性、极值求解即得． 【详解】（1）∵， ， 由解得或， 由解得， 又， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， ∴的最大值是，最小值是； （2）设切点，则， 则切线为， ∴ 整理得， 由题意知此方程应有3个解， 令， 则， 由解得或，由解得， ∴ 函数在，上单调递增，在上单调递减， ∴ 当时，有极大值，且极大值为， 当时，有极小值，且极小值为； 要使得方程有3个根， 则， 解得， ∴ 实数的取值范围为． 方法技巧 切线的条数问题 切线条数问题常规解法：先设切点，求导写出切线方程，代入定点整理为单变量方程。切线条数等价于该方程实根个数，借助导数研究对应函数单调性、极值，结合极值与横轴位置判断根的数量。含参情形分类讨论参数取值，注意区分切点在曲线上、切线过定点两个约束。还要核查垂直 x 轴的特殊切线，避免漏解，最后依据极值正负确定不同参数下切线条数。 【变式训练5-1】已知函数． （1）求在区间上的最大值； （2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1） ， 令 ，得 ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ，单调递减， 所以，当时，有最大值. （2）设切点为，切线斜率， 从而切线方程为， 又过点，所以 整理得， 所以,由题意知：此方程有3个不同的根， 令，则此函数有3个不同的零点， 由得：或 当变化时，与的变化如下表： 0 2 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 于是 ，所以. 【变式训练5-2】已知函数． (1)求在区间上的最值； (2)若过点存在条直线与曲线相切，求实数的取值范围． 【答案】(1)最大值是，最小值是 (2) 【分析】（1）利用导数先判断出在上的单调性，然后可计算出最值； （2）设出切点坐标，表示出切线方程并代入点坐标，将切线条数问题转化为方程解的个数问题，构造新函数结合函数图象结果可求. 【详解】（1）函数，，， 当或时，，当时，， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以函数在区间上的最大值是，最小值是． （2）设过点的直线与曲线相切的切点为， 由（1）得切线斜率，切线方程为， 由切线过点，得，整理得， 令，求导得， 当或时，，当时，， 函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值为，在处取得极大值为， 由过点存在条直线与曲线相切，得方程有个互不相同的解， 即直线与函数的图象有个交点， 观察图象得当时，直线与函数的图象有个交点， 所以实数的取值范围是． 【变式训练5-3】已知函数． (1)求的极值； (2)若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为0 (2) 【详解】（1）因为，所以． 令，得或， 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，且，当时，取得极小值，且， 所以的极大值为，极小值为0． （2）设过点的直线与的图象切于点，切线斜率， 则该切线的方程为， 把代入方程并整理得， 由过点可作3条直线与的图象相切， 则关于的方程有3个不同实根， 设， 则， 令，得或， 所以， 所以或且， 所以的取值范围是． 题型6 两条切线平行、垂直、公切线问题 例6-1若函数的图象在点处的切线恰好与函数的图象切于点，则________________． 【答案】3 【分析】先求出导函数进而得出切线方程，再利用切线相同列式计算求解. 【详解】，则过点的切线方程为， 整理得①， ，则过点的切线方程为， 整理得②， 因为①②都是直线的方程，且①在轴上的截距为，②在轴上的截距为， 所以，即. 例6-2已知函数，，若存在直线l既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分别设切点建立切线方程，联立得到参数关系后分类讨论，利用构造函数法，结合导数分析单调性确定参数范围. 【详解】设直线与切于点， 则切线斜率，切线方程为 设直线与切于点，， 则切线斜率，切线方程为， 两切线为同一直线，故， 因为，所以， 若，由得， 此时，与矛盾，所以， 由两式相除得，即. 由两边取对数得， 即， 设，则， 即方程有解， 构造函数， 则， ①若，则， 令，得， 故在单调递增，在单调递减， 最大值为， 当即时，有解； 当，即时，无解. ②若，，则， 令，得， 故在单调递减，在单调递增， 最小值为，有解. 综上，的取值范围是. 方法技巧 两条切线平行、垂直、公切线问题 两条切线平行、垂直、公切线题型解题技巧：先分别对两条曲线求导，得到各自切线斜率表达式。平行则斜率相等，垂直则斜率乘积为\(-1\)；公切线需设两个切点，分别写出两条切线方程，由两切线重合得斜率、截距均对应相等，联立方程组求解。含参问题结合方程根的情况分析参数范围，注意斜率不存在的特殊情况。计算后核验切点与切线有效性，结合函数极值判断解的个数，减少疏漏失分。 【变式训练6-1】若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 【答案】2 【分析】根据题意先求出曲线在处的切线方程，设与曲线的切点，利用导数的几何意义推得关于的方程组，求解即得. 【详解】由求导得，则曲线在处的切线方程为，即， 设曲线的切线的切点为，由求导得， 依题意可得，解得. 【变式训练6-2】若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 【答案】 【分析】设切线与的切点为和，利用导数的几何意义，分别求得切线方程和，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数和，可得和， 设公切线与的切点为， 可得，所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得， 所以与的公切线的方程， 设公切线与的切点为，可得， 所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得. 【变式训练6-3】已知直线是曲线与曲线的公切线，则实数的最大值是__________. 【答案】e 【分析】紧抓切点既在曲线上，也在切线上，建立等量关系，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的最大值即可. 【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. 令，则，所以，所以， 令，则，所以，解得， 所以，消去后得. 令，则， 令，则在上恒成立，所以单调递减， 又，所以当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， 所以，即实数的最大值是e． 故答案为：e. 题型7 与切线有关的最值问题 例7-1已知直线是曲线的一条切线，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】由导数的几何意义得到，接着结合切点在切线上又在曲线上得到，再构造函数，利用导数工具求出其最大值即可得解. 【详解】设切点坐标为，则即， 又且，所以， 所以， 设，则， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为，则的最大值为． 故答案为： 例7-2若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】设直线与相切于求出切线方程，直线与相切于求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得.令，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】设直线与相切于， 则直线：， 直线与相切于， 则直线：， 因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同， 故， 则. 令，， 则在单调递增，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，于是有， 即. 故选：D. 方法技巧 与切线有关的最值问题 切线相关最值问题，先依托导数写出切线斜率与切线方程，根据题意列出目标函数。常见题型含切线斜率最值、切线上定点到曲线距离最值、切线截距最值。先确定自变量范围，借助导数研究目标函数单调性与极值，对比端点、极值点得到最值。含参问题合理分离参数简化运算，留意斜率不存在的特殊切线情形，最后结合定义域校验取值，排除不符合切线约束的解 【变式训练7-1】已知函数的图像在处的切线斜率为，且 时， 有极值.则在上的最大值和最小值之和为____． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，由导数求出函数的单调区间，进而求最值. 【详解】因为，依题意有：， 解得，所以，故， 令，即，得或， 令，即，得， 所以在上为增函数，在上为减函数， 又， 所以. 故答案为：. 【变式训练7-2】若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______ 【答案】 【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值. 【详解】由题意得，，． 设公切线与的图象切于点， 与的图象切于点， ∴， ∴，∴， ∴，∴． 设，则， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴实数的最大值为， 故答案为：. 【变式训练7-3】已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数的最大值是_______. 【答案】 【解析】由已知求得， ，得函数，求导，分析导函数的正负，得出函数在上单调性和最值，由恒等式的思想建立不等式组，解之可求得的最大值. 【详解】∵，∴，∴，又点在直线上，∴， ∴，，设，则， 当时，，∴在上单调递增，∴， ∴在上单调递增，，解得或，∴的最大值为. 故答案为：. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 【答案】(1) (2)方法一：令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以， 则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， 方法二：若证明当时，，即证当时，， 设，，则， 当时，切线不等式，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以在上恒成立， 当时，设，则， 可知在上单调递增， 则， 因为，则，可得， 且，则， 可知在上单调递增，则，即在恒成立， 可知在上单调递减，则，即在成立； 综上所述：在上恒成立，所以在上恒成立. 方法三：因为，即，可得， 令，，则， 设，， 当时，则， 当时，则， 因为，则，可得，即， 可知在内单调递减，且， 当时，，即；当时，，即； 综上所述：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以在内恒成立， 且，即在内恒成立， 所以在上恒成立. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可； （2）方法一：令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论； 解法二：切线不等式放缩. 构建，，利用切线不等式可证在上恒成立，再利用导数证明在成立即可. 解法三：比值构造法 构建，，求导，分和两种情况讨论，利用导数分析的单调性和最值，即可证明不等式. （3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立. 【详解】（1）由于， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为：， 即； （2）略 （3）①当时，设 构造函数， 则， 令， 所以， 由于在上单调递增， 所以，则在上单调递减， 故，则在上单调递减， 则在上恒成立，即在上恒成立； 令，所以， 所以在上单调递增，则，当且仅当时取等， 即在上恒成立. 故， 令，则， 对于，令，则， 变形得， 裂项求和得， 对题设不等式左边取对数放缩： ， 对题设不等式右边取对数放缩：： 当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件； ②当时，若,恒成立， 此时原不等式右侧，只需证明：， 由（2）问结论可得： 对于二项式展开， 两边取对数，， 又 因此， 所以原不等式成立，则的最大值为 2．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得； （2）（i）令，分离参数得，作出函数图象，数形结合可得范围；（ii）由（2）结合图象，可得范围，整体换元，转化为，结合由可得，两式作差，利用对数平均不等式可得，再由得，结合减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式. 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 3．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)2 (3) 先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）略 4．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 【答案】(1) (2) 要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. (3) 设，， 则， 由（2）知：，则， 所以，故在上递减，故； 下证， 令且，则， 当时，递增，当时，递减， 所以，故在上恒成立， 则， 所以，，…，， 累加得：，而， 因为，所以， 则， 所以，故； 综上，，即. 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论； （3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论. 【详解】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； 5．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出可求切线方程； （2）（i）当时，曲线和有公共点即为在上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求. （ii）曲线和有公共点即，利用点到直线的距离得到，利用导数可证，从而可得不等式成立. 【详解】（1），故，而， 曲线在点处的切线方程为即. （2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解， 设，故在上有零点， 而， 若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点， 故， 设，则， 故在上为增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 且时，；时，； 故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即， 设，则， 故在上为增函数， 而，故. （ii）因为曲线和有公共点， 所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， 故，所以， 下证：对任意，总有， 证明：当时，有，故成立. 当时，即证， 设，则（不恒为零）， 故在上为减函数，故即成立. 综上，成立. 下证：当时，恒成立， ，则， 故在上为增函数，故即恒成立. 下证：在上恒成立，即证：， 即证：，即证：， 而，故成立. 故，即成立. 6．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III） 【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程； （II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）略 （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 7．（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；的极小值为，无极大值； （Ⅱ）证明：由，得. 对任意的，且，令，则 .        ① 令. 当x>1时，， 由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，， 所以 .        ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即， 故         ③ 由①②③可得. 所以，当时，任意的，且，有. 【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得， 整理可得：， 令，解得. 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. （Ⅱ）略 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知函数． (1)当x从1变为2时，函数值y改变了多少？此时该函数的平均变化率是多少？ (2)当x从-1变为1时，函数值y改变了多少？此时该函数的平均变化率是多少？ (3)该函数变化的快慢有何特点？求该函数在，处的瞬时变化率． 【答案】(1), (2), (3)函数变化均匀，变化率为定值，， 【分析】根据函数的平均变化率计算即可解决（1）（2），由瞬时变化率的定义求（3）. 【详解】（1），， 故函数值y改变了，此时该函数的平均变化率是. （2），， 函数值y改变了，此时该函数的平均变化率是. （3）这个函数的变化是均匀，变化率为定值. ， 故函数的瞬时变化率为定值， 该函数在，处的瞬时变化率都为 2．求函数在处的切线的斜率及切线的方程． 【答案】斜率，切线方程为 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程. 【详解】函数，则，， 所以，所以函数在处的切线的斜率， 切线的方程为，即. 3．已知球的体积V与半径r的函数关系为，用定义求V在处的导数，并对的意义进行解释． 【答案】，的意义为时，球的表面积. 【分析】利用导数定义进行求解，并利用导数的意义解释的意义. 【详解】由导数定义可得 . 故V在处的导数为， 的意义为时球的表面积. 4．一辆正在加速的汽车在5s内速度从0提高到了90．下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了，时间单位为s． 时间t/s 0 1 2 3 4 5 速度v/（m/s） 0 9 15 21 23 25 (1)分别计算当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义； (2)根据上面的数据，可以得到速度v关于时间t的函数近似表示式为，求，并解释它的实际意义． 【答案】(1)平均变化率分别为，，它们分别表示在相应的时间内，时间每经过1s，速度增加9和2，也就是加速度分别为 (2)，它的意义是在t＝1s这一时刻，每过1s，汽车的速度增加8，也就是这一时刻汽车的加速度为 【分析】（1）根据平均变化率的公式及意义求解； （2）根据导数公式及导数的实际意义求解. 【详解】（1）当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率分别为，， 它们分别表示在相应的时间内，时间每经过1s，速度增加9和2，也就是加速度分别为. （2）∵，∴， 它的意义是在s这一时刻，每过1s，汽车的速度增加8，也就是这一时刻汽车的加速度为. 5．求曲线的一条与直线平行的切线的方程． 【答案】 【分析】设出切点，求导，得到方程，求出切点，写出切线方程. 【详解】，令切点为，故， 令，解得， 故切点为，所以切线方程为， 整理得. 故切线方程为. 6．求曲线在点处切线的斜率． 【答案】 【分析】根据导数的概念结合导数的几何意义推算即可得答案. 【详解】如图，在曲线上另取一点．    因为， 在所求得的斜率表达式中， 当时，． 因此，所求切线的斜率． 7．求函数的图象上点处切线的斜率． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义以及导数的定义，即可求解. 【详解】根据点在抛物线上，所以， 由导数的定义可知， ， 所以函数的图象上点处切线的斜率为. 8．（1）求曲线在处的切线方程； （2）利用切线的斜率求的近似值． 【答案】（1）；（2）0.01745 【分析】（1）利用导数求切线方程； （2）根据切线可知，进而可得. 【详解】解  （1）. 当时，切线的斜率． 又当时，， 故所求切线方程为，如图    （2）记． 当时，． 这说明：当很小时，有近似公式． 因此，． 9．在初速度为零的匀加速直线运动中，路程s和时间t的关系为． (1)求s关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义； (2)求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】瞬时变化率即导数，根据导数的定义计算求解导数，再说明物理意义即可. 【详解】（1）s关于t的瞬时变化率就是函数的导数． 按定义计算： ． ，因此． 从物理学上看，s关于t的瞬时变化率at就是运动物体的瞬时速度． （2）运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，实际上就是函数的导数，记作． 按定义计算： ． ，所以． 从物理学上看，运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率就是运动物体的瞬时加速度． 10．求曲线在点处的切线的方程． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，即可得解. 【详解】由， ， ， 又切点为，故切线方程为：. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考导数必考导数几何意义，切线问题常设为大题第一问。核心考查导数运算、利用导数分析单调区间、极值最值，含参分类讨论是难点。压轴综合零点、恒成立、不等式证明，常结合指数对数函数，侧重构造函数、隐零点、放缩等方法，注重数形结合与逻辑推导。 1．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 2．已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，得， 在处，，， 所以切线方程为， 即． 该切线经过点，故， 解得． 3．已知，则________． 【答案】 【分析】对求导，再将代入计算即可. 【详解】， 所以， ， 所以为. 4．曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即. 该切线经过点，则得. 解得. 5．已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 【答案】 【分析】先求出函数的导数，再根据导数的几何意义以及切点同时在函数和切线上这两个条件，列出关于的方程，进而求解的值，最后计算. 【详解】根据题意，，则， 又函数在处的切线方程为， 所以切线斜率为，即，解得， 又切点在切线上，所以当时，，即切点坐标为， 又切点在函数上，所以，解得， 所以. 6．曲线在点处的切线方程为________ 【答案】 【详解】， 时，，又切点为， 切线方程为， 即． 7．已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】对求导得，代入，求解即可. 【详解】， 故， 所以． 8．已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 【答案】 【分析】根据偶函数的定义求得，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题得，解得， 可得的定义域为. 又因为为偶函数，其定义域关于原点对称， 所以，则， 此时，满足为偶函数. 当时，，则， 所以， 则在处的切线方程为. 9．若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 【答案】 【详解】，当时，切点坐标为， 求导得，则， 切线方程为：，即， 代入点得，，解得． 10．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 【答案】 【详解】由，则， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为． 重难·创新演练 设题创新:天津高考导数考题创新多体现在情境载体上，结合实际变化率建模；切线题型创新为多切线、公切线、切线条数探究。设问上强化含参多情形分类，不等式证明多用隐零点、分段构造；常融合指对函数与数形结合，还会结合零点、最值综合设问，侧重逻辑推理与灵活变形，跳出固定套路。 1．曲线在点处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式可得， 所求切线的斜率为．由于切点坐标为， 故切线方程为，即为． 2．已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知曲线在点处的切线方程为，则， ，则， ，则， 故切线斜率为0，过点，切线方程为． 3．已知函数在定义域内满足任意两点，（），总有．在下列四组点中，三个点全部在图象上的可能是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由，得到随着的增大，相邻两点连线斜率越来越大,依次判断选项即可. 【详解】因为函数在定义域内满足任意两点，（），总有，所以随着的增大，相邻两点连线斜率越来越大, 对于A，，，相邻两点连线的斜率相等，不满足； 对于B，，，相邻两点连线的斜率逐渐变小，不满足； 对于C，，，相邻两点连线的斜率逐渐变小，不满足； 对于D，，，相邻两点连线的斜率逐渐变大，满足；故D正确， 所以三个点全部在图象上的可能是，，, 4．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导数的几何意义可得，可求出的值，可求出的值，即可得出切点的坐标，再利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】因为，则， 因为函数在点处的切线与直线平行， 由导数的几何意义可得，解得， 所以，则，即切点为， 故所求切线的方程为，即. 5．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，设数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义可得，利用裂项相消法可得，，即可得结果. 【详解】因为，则，可得， 由题意可知：在点处的切线斜率为，即， 则，可得， 则数列的前项和， 所以． 6．若函数在上的平均变化率与它在处的瞬时变化率相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义和求导公式计算即可. 【详解】因为在上的平均变化率为， 所以，解得. 7．已知函数．设是曲线在点处的切线，过点的直线与垂直，，与轴分别交于点，，则__________． 【答案】/0.5 【分析】先求曲线在A点的导数得到切线的斜率，由垂直关系得的斜率，分别求出两条直线与轴的交点M、N坐标，再利用两点间距离公式计算线段长度的比值 【详解】由得，故. 对求导得，则，即的斜率为， 则的方程为，整理为. 依题意，可得，则； 因与垂直，故的斜率，又过， 则的方程为，整理为. 依题意，可得，则. 故. 8．已知偶函数，若曲线的一条切线斜率为2，则切点的横坐标为________. 【答案】 【分析】先根据偶函数的性质求出的值，进而得到函数的表达式，再对求导，最后根据导数的几何意义求出切点的横坐标即可. 【详解】为偶函数 ， 则，， ， 恒成立，， ， 设切点横坐标，则：， 令：则，即， ， ， ∴，即， 即切点横坐标为. 9．已知曲线在点处的切线与二次函数的图象只有一个公共点，则实数的值为_____________． 【答案】1 【详解】可知，当时，， 所以曲线在点处的切线为，即， 则有且仅有一个解，消去得， 化简得，所以，解得. 10．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________. 【答案】0或1 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，分析可知方程有且仅有一个解，分析讨论即可. 【详解】令，， 则，可得，， 则在点处的切线方程为， 令，则， 由题意可知方程有且仅有一个解， 若，则有且仅有一个解，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：或1. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 导数的概念和几何性质 知识点2 导数的运算 知识点3 切线问题及其解题策略 题型破译 题型1 导数的定义及其应用 【方法技巧】导数的定义及其应用 题型2 求曲线切线的斜率（倾斜角） 【方法技巧】求曲线切线的斜率（倾斜角） 题型3 求曲线的切线方程 【方法技巧】求曲线的切线方程 题型4 与切线有关的参数问题 【方法技巧】与切线有关的参数问题 题型5 切线的条数问题 【方法技巧】切线的条数问题 题型6 两条切线平行、垂直、公切线问题 【方法技巧】两条切线平行、垂直、公切线问题 题型7 与切线有关的最值问题 【方法技巧】与切线有关的最值问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 导数的概念与瞬时变化率 天津卷 T4（5 分） 导数的几何意义（曲线切线方程） 天津卷 T20（4 分） 天津卷 T20（4 分） 天津卷 T20（4 分） 导数的运算（基本求导公式、四则运算、复合函数求导） 天津卷 T20（4 分） 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T20（4 分） 天津卷 T20（4 分） 考情分析 导数的概念及其意义、导数的运算为天津高考必考基础考点，以解答题第一问为主，偶尔搭配选择/填空题，单题分值4-5分，整体难度低，属于基础送分题。高频考查方向为：①导数的几何意义（曲线切线方程求解）；②基本初等函数求导与四则运算；③导数定义的理解辨析。本模块是导数应用的核心基础，常与函数、不等式等内容结合考查，极少单独考查单一知识点，是后续导数综合题的必备前提。 复习目标 1. 理解导数的概念与瞬时变化率的本质，掌握导数的定义式，能辨析导数的基础概念； 2. 理解导数的几何意义，能熟练求解曲线在某点处的切线方程，掌握切点的核心性质； 3. 熟练掌握基本初等函数的求导公式、导数四则运算法则，能准确求解简单函数与复合函数的导数，为后续导数综合应用筑牢基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 导数的概念和几何性质 1.概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或． ① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ② 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即__________．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2.几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3.物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 必记结论 导数本质是函数在某点的瞬时变化率，由平均变化率取极限推导，解决匀速公式无法描述的变速、曲线变化问题，是研究函数单调性、极值最值的核心工具。几何意义为函数图像在该切点处切线斜率，是数形结合关键结论。 解题核心技巧：求导前先化简解析式，减少求导运算量；区分切线过点与切点在曲线上两种题型，联立斜率与函数方程求解；利用导数正负直接判断增减，导数零点对应极值可疑点。 必要性结论：初等函数复杂增减、最值、曲线切线、瞬时速率问题，初等代数无法定量求解，只有导数能精准刻画局部变化快慢，也是微积分、物理运动、经济变化分析的基础工具。 自主检测若一质点的位移 (单位: 米) 关于时间 (单位: 秒) 的函数关系式为 ， 则该质点在 时的瞬时速度为（    ） A． B．2 C． D．1 知识点2 导数的运算 1.求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数__________的求导法则：，则． 3.复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ： 必记结论 导数四则运算法则、复合函数求导是求复杂函数导数的基础，单纯定义求极限计算繁琐，运算公式能大幅简化步骤，是研究函数性质的必备工具。核心技巧：先化简再求导，分式、根式统一改写幂函数；复合函数分层求导，由外到内逐层相乘；熟记初等函数求导公式，避免反复推导极限。必要性结论：多项式、分式、复合、指数对数函数无法单用定义快速求导，熟练运算公式才能高效分析切线、单调区间与极值，是导数应用类题型的计算核心。 自主检测下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点3 切线问题及其解题策略 1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 3．与切线有关的参数问题的解题策略： (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数： ①切点处的导数是切线的__________； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法. 4．公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用__________. 必记结论 导数几何意义是切线斜率，是解决曲线切线唯一简便方法，普通直线方程难以精准刻画切点局部直线。核心技巧：分清点在曲线上、点在曲线外两类题型；切点未知常设坐标，联立导数斜率与两点斜率列方程；切线与曲线多重交点不代表是切点。必要性结论：无导数无法快速求曲线切线，切线题型常结合单调、最值综合考查，熟练区分两种切线情形、用好导数斜率是拿分关键，也是导数数形结合最常考基础题型。 自主检测若函数在点处的切线方程为，则实数的值为______. 题●型●破●译 题型1 导数的定义及其应用 例1-1（2026·天津西青·二模）函数的图象如图所示，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 例1-2（2026·天津南开·阶段检测）是定义在上的可导函数，若，则______． 方法技巧 导数的定义及其应用 导数定义是增量趋于 0 时平均变化率的极限，几何意义为切线斜率，天津卷必考切线问题，区分 “在点切线” 与 “过点切线”。解题先化简函数再求导，复合函数逐层求导。利用导函数符号判断单调性，解方程找驻点分析极值最值；含参题型优先分离参数或分类讨论。压轴常考零点、不等式证明，多用构造函数、隐零点、放缩法，务必先标注定义域，避免忽略定义域导致失分。 【变式训练1-1】已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知函数，则__________. 【变式训练1-3】已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 题型2 求曲线切线的斜率（倾斜角） 例2-1曲线以点为切点的切线的倾斜角为______． 例2-2已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数并求出相应的极大和极小值点． 方法技巧 求曲线切线的斜率（倾斜角） 求切线斜率、倾斜角核心技巧：先求导，切点横坐标代入导函数得斜率 k，k=tanθ 求倾斜角，分清 “在点” 与 “过点” 两类题型。已知切点直接代值；定点非切点需设切点联立方程。复合函数求导勿忘链式法则，牢记斜率不存在时倾斜角为 90°。注意定义域限制，平行垂直利用斜率关系列式，计算后检验切点在曲线上，规避失分。 【变式训练2-1】已知曲线C：上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】若直线是曲线的一条切线，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式训练2-3·变考法】（2026·天津南开·阶段检测）已知函数，则下列说法中不正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域内为增函数 C．曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值 D．曲线的切线的斜率的最大值为2 题型3 求曲线的切线方程 例3-1已知函数，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调区间． 例3-2曲线在点处的切线在轴上的截距为________． 例3-3若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 方法技巧 求曲线的切线方程 1.在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2.过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 【变式训练3-1】已知曲线为，则它在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 题型4 与切线有关的参数问题 例4-1若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例4-2已知函数，且曲线在处的切线与直线平行． (1)求的值． (2)若在区间上单调递减，求的取值范围． 方法技巧 与切线有关的参数问题 切线类参数问题解题流程固定：先设切点坐标，对曲线求导得到切线斜率表达式，结合切点在曲线、切线上两个条件联立方程。分清已知切线过定点、切线已知斜率、切线与已知直线平行垂直三类题型。含参函数求导仔细处理复合项，多解情况逐一核验切点有效性；多切线问题转化为方程根的个数问题，结合判别式、函数零点分析参数范围。留意斜率不存在的特殊切线，避免漏解丢分。 【变式训练4-1】已知曲线在坐标原点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)求在上的最值. 【变式训练4-2】已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求函数的单调区间； (2)设，若函数在上单调递增．求的取值范围． 【变式训练4-3】（2026·天津河东·二模）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； (2)若直线为函数的一条切线，求的值； (3)函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． 题型5 切线的条数问题 例5-1已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________. 例5-2已知函数. (1)求在区间上的最值； (2)若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围. 方法技巧 切线的条数问题 切线条数问题常规解法：先设切点，求导写出切线方程，代入定点整理为单变量方程。切线条数等价于该方程实根个数，借助导数研究对应函数单调性、极值，结合极值与横轴位置判断根的数量。含参情形分类讨论参数取值，注意区分切点在曲线上、切线过定点两个约束。还要核查垂直 x 轴的特殊切线，避免漏解，最后依据极值正负确定不同参数下切线条数。 【变式训练5-1】已知函数． （1）求在区间上的最大值； （2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围． 【变式训练5-2】已知函数． (1)求在区间上的最值； (2)若过点存在条直线与曲线相切，求实数的取值范围． 【变式训练5-3】已知函数． (1)求的极值； (2)若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 题型6 两条切线平行、垂直、公切线问题 例6-1若函数的图象在点处的切线恰好与函数的图象切于点，则________________． 例6-2已知函数，，若存在直线l既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 两条切线平行、垂直、公切线问题 两条切线平行、垂直、公切线题型解题技巧：先分别对两条曲线求导，得到各自切线斜率表达式。平行则斜率相等，垂直则斜率乘积为\(-1\)；公切线需设两个切点，分别写出两条切线方程，由两切线重合得斜率、截距均对应相等，联立方程组求解。含参问题结合方程根的情况分析参数范围，注意斜率不存在的特殊情况。计算后核验切点与切线有效性，结合函数极值判断解的个数，减少疏漏失分。 【变式训练6-1】若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 【变式训练6-2】若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 【变式训练6-3】已知直线是曲线与曲线的公切线，则实数的最大值是__________. 题型7 与切线有关的最值问题 例7-1已知直线是曲线的一条切线，则的最大值为___________． 例7-2若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 方法技巧 与切线有关的最值问题 切线相关最值问题，先依托导数写出切线斜率与切线方程，根据题意列出目标函数。常见题型含切线斜率最值、切线上定点到曲线距离最值、切线截距最值。先确定自变量范围，借助导数研究目标函数单调性与极值，对比端点、极值点得到最值。含参问题合理分离参数简化运算，留意斜率不存在的特殊切线情形，最后结合定义域校验取值，排除不符合切线约束的解 【变式训练7-1】已知函数的图像在处的切线斜率为，且 时， 有极值.则在上的最大值和最小值之和为____． 【变式训练7-2】若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______ 【变式训练7-3】已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数的最大值是_______. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 2．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 3．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 4．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 5．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 6．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 7．（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 单调递减 极小值 单调递增 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知函数． (1)当x从1变为2时，函数值y改变了多少？此时该函数的平均变化率是多少？ (2)当x从-1变为1时，函数值y改变了多少？此时该函数的平均变化率是多少？ (3)该函数变化的快慢有何特点？求该函数在，处的瞬时变化率． 2．求函数在处的切线的斜率及切线的方程． 3．已知球的体积V与半径r的函数关系为，用定义求V在处的导数，并对的意义进行解释． 4．一辆正在加速的汽车在5s内速度从0提高到了90．下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了，时间单位为s． 时间t/s 0 1 2 3 4 5 速度v/（m/s） 0 9 15 21 23 25 (1)分别计算当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义； (2)根据上面的数据，可以得到速度v关于时间t的函数近似表示式为，求，并解释它的实际意义． 5．求曲线的一条与直线平行的切线的方程． 6．求曲线在点处切线的斜率． 7．求函数的图象上点处切线的斜率． 8．（1）求曲线在处的切线方程； （2）利用切线的斜率求的近似值． 9．在初速度为零的匀加速直线运动中，路程s和时间t的关系为． (1)求s关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义； (2)求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义． 10．求曲线在点处的切线的方程． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考导数必考导数几何意义，切线问题常设为大题第一问。核心考查导数运算、利用导数分析单调区间、极值最值，含参分类讨论是难点。压轴综合零点、恒成立、不等式证明，常结合指数对数函数，侧重构造函数、隐零点、放缩等方法，注重数形结合与逻辑推导。 1．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，则________． 4．曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 6．曲线在点处的切线方程为________ 7．已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D．5 8．已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 9．若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 10．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 重难·创新演练 设题创新:天津高考导数考题创新多体现在情境载体上，结合实际变化率建模；切线题型创新为多切线、公切线、切线条数探究。设问上强化含参多情形分类，不等式证明多用隐零点、分段构造；常融合指对函数与数形结合，还会结合零点、最值综合设问，侧重逻辑推理与灵活变形，跳出固定套路。 1．曲线在点处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 2．已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 3．已知函数在定义域内满足任意两点，（），总有．在下列四组点中，三个点全部在图象上的可能是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，设数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若函数在上的平均变化率与它在处的瞬时变化率相等，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数．设是曲线在点处的切线，过点的直线与垂直，，与轴分别交于点，，则__________． 8．已知偶函数，若曲线的一条切线斜率为2，则切点的横坐标为________. 9．已知曲线在点处的切线与二次函数的图象只有一个公共点，则实数的值为_____________． 10．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $