第7讲 函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性【16个核心题型归纳】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性、奇偶性、对称性、周期性四大核心考点，将16个题型按“定义理解-性质应用-综合拓展”逻辑层次系统整合，通过核心知识梳理、方法技巧提炼、真题例题精讲、分层巩固练习四个环节，帮助学生构建完整知识网络，突破函数性质综合应用难点。 讲义以“题型靶向突破”为特色，如复合函数单调性强调“同增异减”规律与定义域优先原则结合，奇偶性判断通过定义法与特殊值法双路径训练，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用三级练习体系，配合即时反馈机制，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第7讲 函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 【题型1】 求函数的单调区间，判断已知函数的单调性 2 【题型2】 复合函数的单调性 4 【题型3】 由函数的单调性比较大小 5 【题型4】 由函数的单调性求参数范围（复合函数型） 6 【题型5】 由函数的单调性求参数范围（分段函数型） 8 【题型6】 判断函数的奇偶性 9 【题型7】 由函数的奇偶性求参数 11 【题型8】 由函数的奇偶性求解析式 13 【题型9】 局部奇函数求值问题 15 【题型10】 由函数的奇偶性单调性确定函数的图像 16 【题型11】 由函数的奇偶性单调性解抽象不等式 18 【题型12】 由函数的对称性单调性比较大小 19 【题型13】 由函数的对称性参数 20 【题型14】 由函数的对称性，周期性求值 22 【题型15】 抽象函数的周期性，对称性，奇偶性综合求值 24 【题型16】 抽象函数的奇偶性对称性单调性周期性综合 26 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 求函数的单调区间，判断已知函数的单调性 核心知识 单调性定义：设函数定义域为，区间，若对任意，时，都有，则在上单调递增；若，则单调递减 单调性的核心性质： 1.若同为增/减函数，则单调性与原函数一致 2.若增，减，则为增函数；为减函数 3.增函数的相反数为减函数，减函数的相反数为增函数 4.若恒正/恒负，则与单调性相反 5.复合函数“同增异减”：内外层单调性相同则复合后增，相反则减 常见函数单调性：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性规律 方法技巧 1.定义法判断/证明：取值（）→作差（）→变形（因式分解、配方、通分）→判断符号→下结论 2.图像法：根据函数图像的升降趋势判断单调性，上升为增，下降为减 3.导数法：在定义域内，若，则单调递增；若，则单调递减（适用于可导函数） 4.基本函数性质法：利用常见函数的单调性，结合四则运算性质判断复杂函数单调性 【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高二上·贵州安顺·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； 【巩固练习2】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)解不等式. 【题型2】 复合函数的单调性 核心知识 复合函数定义：形如的函数，其中为内层函数，为外层函数 核心规律：“同增异减” 若内外层单调性相同，则复合函数为增函数 若内外层单调性相反，则复合函数为减函数 定义域优先：复合函数的定义域需同时满足内层函数和外层函数的定义域要求 方法技巧 1.分解复合函数：将分解为外层和内层 2.求定义域：先确定的取值范围，再确定的值域（即外层函数的定义域） 3.分别判断单调性：判断外层函数在的取值范围内的单调性，内层函数在的定义域内的单调性 4.应用“同增异减”：结合内外层单调性，确定复合函数的单调区间，注意区间端点的取舍 【经典例题1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025·青海·模拟预测）（多选）在下列区间中，函数单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】 由函数的单调性比较大小 核心知识 利用单调性的定义：增函数中，自变量越大，函数值越大；减函数中，自变量越大，函数值越小 核心逻辑：将待比较的函数值转化为同一单调区间内的自变量对应的函数值，再利用单调性判断大小 方法技巧 1.转化自变量：将待比较的中的转化到函数的同一单调区间内 2.利用奇偶性辅助：若函数为奇函数/偶函数，可通过对称性将自变量转化到已知单调区间内 3.结合单调性判断：增函数中，自变量大则函数值大；减函数中，自变量大则函数值小 4.特殊值法：若为选择题，可代入特殊值验证大小关系 【经典例题1】（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·江西南昌·月考）已知函数单调递增，记，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型4】 由函数的单调性求参数范围（复合函数型） 核心知识 已知复合函数的单调性，反求解析式中参数的取值范围 本质：结合复合函数“同增异减”规律，分析内外层函数的单调性与参数的关系 方法技巧 1.分解复合函数：明确内外层函数，写出其单调性与参数的关系 2.应用“同增异减”：根据复合函数的单调性，列出内外层单调性需满足的条件 3.结合定义域：内层函数的值域需包含在外层函数的定义域内，列出不等式限制参数 4.解不等式组：综合所有条件，解出参数的取值范围，注意端点验证 【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5】 由函数的单调性求参数范围（分段函数型） 核心知识 已知分段函数在定义域内单调，反求参数的取值范围 核心条件： 1.各分段函数在对应区间内满足单调性 2.分段点处的函数值需满足单调性的衔接条件（如左段最大值≤右段最小值，若为增函数） 方法技巧 1.分段分析单调性：分别分析每一段函数的单调性，列出参数需满足的条件 2.衔接点验证：在分段点处，需满足左段函数的单调性与右段函数的单调性衔接，如增函数需满足左段在处的函数值≤右段在处的函数值 3.解不等式组：综合各分段的单调性条件和衔接条件，解出参数范围 4.易错点：不可忽略分段点处的衔接条件，否则易出现参数范围扩大的错误 【经典例题1】（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一上·山东济宁·期末）已知，且，若是上的单调函数，则实数的取值范围是__________. 【巩固练习2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6】 判断函数的奇偶性 核心知识 奇偶性定义： 偶函数：定义域关于原点对称，且对任意定义域，都有，图像关于轴对称 奇函数：定义域关于原点对称，且对任意定义域，都有，图像关于原点对称 非奇非偶：定义域不关于原点对称，或不满足、 常见奇偶性性质： 1.奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇 2.奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反 3.若奇函数在处有定义，则 方法技巧 1.定义域优先：先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数非奇非偶 2.计算：写出的表达式，与、比较，判断是否相等 3.特殊值验证：若，且函数在处有定义，则函数不是奇函数；若，则不是偶函数（仅适用于排除法） 4.四则运算判断：利用常见函数的奇偶性，通过四则运算性质判断复杂函数的奇偶性 补充：常见组合型的奇函数、偶函数 常见奇函数 1.单奇型： 2.分式组合型： 3.对数组合型： 4.根式组合型：（需注意定义域） 常见偶函数 1.单偶型：（常数函数，）， 2.分式组合型：（注：此为奇函数，此处修正，偶函数为） 3.绝对值组合型：（若为奇函数，则为偶函数）， 4.平方组合型：（若为任意函数，则为偶函数） 【经典例题1】（2026·河北·三模）下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·湖北·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 【巩固练习2】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【题型7】 由函数的奇偶性求参数 核心知识 已知函数的奇偶性，反求解析式中参数的取值 核心逻辑：利用奇偶性的定义，对定义域内任意恒成立，列方程求解参数 方法技巧 1.定义法列方程：写出的表达式，根据（偶函数）或（奇函数），令对应项系数相等，解参数 2.特殊值法：利用（奇函数在处有定义时）、（偶函数）、（奇函数）等特殊值列方程，快速求解参数 3.恒成立条件：若对任意恒成立，则对应项的系数必须相等，可通过比较系数求解 4.易错点：特殊值法求出的参数需代入原函数验证，确保对所有都满足奇偶性 【经典例题1】（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【巩固练习2】（2026·安徽·三模）已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【题型8】 由函数的奇偶性求解析式 核心知识 已知函数在某一区间上的解析式和奇偶性，求其在对称区间上的解析式 核心逻辑：利用奇偶性的定义，将对称区间上的自变量转化为已知区间上的自变量，再代入解析式求解 方法技巧 1.设对称区间内的自变量：设为待求区间内的自变量，则在已知区间内 2.代入已知解析式：写出的表达式 3.利用奇偶性转化： 偶函数：，直接得到的表达式 奇函数：，整理得到的表达式 4.注明定义域：写出函数在对称区间上的解析式时，需注明对应的定义域 【经典例题1】（2026·河南许昌·三模）已知函数的定义域为，若函数是偶函数，函数是奇函数，则在上的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 【巩固练习1】（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________. 【巩固练习2】（2026·江西萍乡·一模）设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型9】 局部奇函数求值问题 核心知识 函数在定义域的局部区间内满足奇函数的性质（如，即关于点对称），利用对称性求函数值 核心逻辑：利用局部对称性，将待求函数值转化为已知的对称点的函数值 方法技巧 1.识别局部对称：根据题目条件，确定函数的对称中心 2.转化自变量：若函数关于对称，则，即 3.代入求值：将待求的转化为的形式，结合已知条件求解 4.特殊值验证：利用对称中心的性质，如（若对称中心在函数图像上），快速求解 【经典例题1】（2024·黑龙江·三模）已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【巩固练习1】（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数，且，则______． 【巩固练习2】已知，若，则________． 【题型10】 由函数的奇偶性单调性确定函数的图像 核心知识 结合函数的奇偶性（对称性）和单调性，判断函数图像的大致形状 核心逻辑：奇偶性决定图像的对称性，单调性决定图像的升降趋势，结合两者可快速定位图像 方法技巧 1.利用奇偶性定对称：偶函数图像关于轴对称，奇函数图像关于原点对称，先画出一侧的图像，再对称得到另一侧 2.利用单调性定升降：根据函数的单调性，判断图像在各区间内的上升或下降趋势 3.特殊点验证：代入特殊点（如）的函数值，排除不符合的选项 4.极限趋势判断：分析时函数的趋势，辅助判断图像 【经典例题1】（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·天津南开·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·天津·一模）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型11】 由函数的奇偶性单调性解抽象不等式 核心知识 已知抽象函数的奇偶性和单调性，解形如的不等式 核心逻辑：利用奇偶性将不等式转化为同一单调区间内的函数值比较，再利用单调性脱去“”符号，转化为自变量的不等式 方法技巧 1.统一单调区间：利用奇偶性将不等式两边的自变量转化到函数的同一单调区间内 2.利用单调性脱“”：若函数为增函数，则；若为减函数，则 3.结合定义域：解不等式时，需保证自变量在函数的定义域内，列出定义域限制条件 4.解不等式组：综合脱“”后的不等式和定义域条件，解出的取值范围 【经典例题1】（23-24高一上·山西·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一上·上海·月考）已知是定义域为的偶函数，且在上严格递增函数，若成立，则实数的范围是__________ 【巩固练习2】（24-25高二下·浙江温州·期末）已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型12】 由函数的对称性单调性比较大小 核心知识 已知函数的对称性（轴对称/中心对称）和单调性，比较不同自变量对应的函数值大小 核心逻辑：利用对称性将自变量转化到同一单调区间内，再利用单调性比较函数值大小 方法技巧 1.利用对称性转化自变量： 轴对称：若函数关于对称，则，即 中心对称：若函数关于对称，则，即 2.统一到同一单调区间：将待比较的自变量转化到函数的同一单调区间内 3.利用单调性比较：根据函数在该区间内的单调性，比较自变量的大小，进而得到函数值的大小关系 【经典例题1】（2026·陕西咸阳·一模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高三上·江苏南通·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型13】 由函数的对称性参数 核心知识 已知函数的对称性（轴对称/中心对称），反求解析式中参数的取值范围 核心逻辑：利用对称性的定义列方程，求解参数 方法技巧 1.轴对称函数：若函数关于对称，则对任意恒成立，令对应项系数相等，解参数；常见二次函数的对称轴为，可直接利用对称轴公式求参数 2.中心对称函数：若函数关于点对称，则对任意恒成立，令对应项系数相等，解参数 3.特殊值法：代入对称点的函数值列方程，快速求解参数，再验证恒成立条件 【经典例题1】（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则_______________． 【巩固练习1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高三上·福建·期中）已知函数的图象关于直线对称，则______. 【题型14】 由函数的对称性，周期性求值 核心知识 函数的周期性：若存在非零常数，使得对任意定义域，都有，则为函数的周期，最小的正周期为最小正周期 对称性与周期性的关系： 1.若函数关于和对称，则周期 2.若函数关于和对称，则周期 3.若函数关于和对称，则周期 方法技巧 1.推导周期：根据对称性的条件，推导出函数的周期 2.化简自变量：利用周期性，将待求的中的转化为一个周期内的自变量 3.结合对称性求值：利用对称性，将转化后的自变量对应的函数值求出 4.常见周期函数：三角函数、周期数列、分段周期函数，利用周期性简化计算 【经典例题1】（2026·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【巩固练习2】（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． 【题型15】 抽象函数的周期性，对称性，奇偶性综合求值 核心知识 抽象函数同时具有周期性、对称性、奇偶性，利用三者的综合性质求函数值 核心逻辑：利用奇偶性转化正负自变量，利用对称性转化对称点的函数值，利用周期性化简自变量，三者结合求解 方法技巧 1.利用奇偶性转化：将负自变量转化为正自变量，如（奇函数）、（偶函数） 2.利用对称性转化：将对称点的函数值转化为已知点的函数值，如 3.利用周期性化简：将大的自变量转化为一个周期内的自变量，如 4.多步转化：结合三者性质，逐步化简自变量，最终转化为已知函数值的点，求出结果 【经典例题1】（2026·四川眉山·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【巩固练习1】（2026·山西大同·三模）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 【巩固练习2】（2026·广东中山·三模）（多选）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 【题型16】 抽象函数的奇偶性对称性单调性周期性综合 核心知识 抽象函数同时涉及奇偶性、对称性、单调性、周期性，求解不等式、参数范围、函数值等问题 核心逻辑：综合运用四种性质，将复杂问题转化为简单的函数值比较、自变量范围求解等问题 方法技巧 1.性质优先级：先利用奇偶性和对称性转化自变量，再利用周期性化简，最后利用单调性脱“”符号 2.画示意图：根据函数的对称性、周期性和单调性，画出函数的大致图像，直观分析问题 3.定义域优先：所有转化过程中，需保证自变量在函数的定义域内 4.特殊值验证：代入特殊值验证转化过程是否正确，避免符号错误或转化失误 【经典例题1】（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 【巩固练习1】（24-25高一上·广东广州·期中）（多选）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 【巩固练习2】（2026·湖南衡阳·二模）（多选）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·湖南·一模）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．7 2．（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 4．（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 5．（2026·湖南邵阳·三模）已知是定义域为的奇函数，且当时，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西渭南·三模）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津·二模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河北石家庄·一模）已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·陕西商洛·期末）设函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·湖北武汉·模拟预测）若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 14．（2026·贵州毕节·三模）已知定义在R上的可导函数满足：①是奇函数，②.设函数，则（    ） A．的周期为6 B．在至多有两个零点 C．曲线的一条对称轴为 D．若，则曲线在处的切线方程为 15．（2026·安徽·模拟预测）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（2026·重庆·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．当时， D．的极大值为 17．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 18．（2026·四川成都·三模）若定义在上的函数满足是偶函数，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D． 三、填空题 19．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 20．（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第7讲 函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 【题型1】 求函数的单调区间，判断已知函数的单调性 2 【题型2】 复合函数的单调性 4 【题型3】 由函数的单调性比较大小 5 【题型4】 由函数的单调性求参数范围（复合函数型） 6 【题型5】 由函数的单调性求参数范围（分段函数型） 8 【题型6】 判断函数的奇偶性 9 【题型7】 由函数的奇偶性求参数 11 【题型8】 由函数的奇偶性求解析式 13 【题型9】 局部奇函数求值问题 15 【题型10】 由函数的奇偶性单调性确定函数的图像 16 【题型11】 由函数的奇偶性单调性解抽象不等式 18 【题型12】 由函数的对称性单调性比较大小 19 【题型13】 由函数的对称性参数 20 【题型14】 由函数的对称性，周期性求值 22 【题型15】 抽象函数的周期性，对称性，奇偶性综合求值 24 【题型16】 抽象函数的奇偶性对称性单调性周期性综合 26 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 求函数的单调区间，判断已知函数的单调性 核心知识 单调性定义：设函数定义域为，区间，若对任意，时，都有，则在上单调递增；若，则单调递减 单调性的核心性质： 1.若同为增/减函数，则单调性与原函数一致 2.若增，减，则为增函数；为减函数 3.增函数的相反数为减函数，减函数的相反数为增函数 4.若恒正/恒负，则与单调性相反 5.复合函数“同增异减”：内外层单调性相同则复合后增，相反则减 常见函数单调性：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性规律 方法技巧 1.定义法判断/证明：取值（）→作差（）→变形（因式分解、配方、通分）→判断符号→下结论 2.图像法：根据函数图像的升降趋势判断单调性，上升为增，下降为减 3.导数法：在定义域内，若，则单调递增；若，则单调递减（适用于可导函数） 4.基本函数性质法：利用常见函数的单调性，结合四则运算性质判断复杂函数单调性 【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，，定义域为，不满足奇函数定义域关于原点对称的要求，即：函数不是奇函数，所以A选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称，且，所以是奇函数， 当，设，则， 因为，所以，，所以，即：，所以在上为减函数，所以B选项正确； C选项，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，而不是奇函数，所以C选项错误； D选项，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，而不是奇函数，所以D选项错误. 【巩固练习1】（25-26高二上·贵州安顺·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算判断并证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域， 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． 【巩固练习2】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)解不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用作差法证明函数在 上单调递增； （2）由偶函数性质将不等式转化为绝对值不等式，平方后可解得解集. 【详解】（1）任取，设， ， 又，，所以， 故，即， 函数在上是增函数. （2）因为，所以为偶函数， 则由，可得， 即，即，解得. 【题型2】 复合函数的单调性 核心知识 复合函数定义：形如的函数，其中为内层函数，为外层函数 核心规律：“同增异减” 若内外层单调性相同，则复合函数为增函数 若内外层单调性相反，则复合函数为减函数 定义域优先：复合函数的定义域需同时满足内层函数和外层函数的定义域要求 方法技巧 1.分解复合函数：将分解为外层和内层 2.求定义域：先确定的取值范围，再确定的值域（即外层函数的定义域） 3.分别判断单调性：判断外层函数在的取值范围内的单调性，内层函数在的定义域内的单调性 4.应用“同增异减”：结合内外层单调性，确定复合函数的单调区间，注意区间端点的取舍 【经典例题1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义域、单调性以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】函数有意义，则，解得. 令，开口向下，对称轴为. 则函数在上单调递增，在上单调递减. 函数关于是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层 的减区间， 即. 【巩固练习1】（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 【巩固练习2】（2025·青海·模拟预测）（多选）在下列区间中，函数单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据反比例函数、正弦函数单调性，结合复合函数单调性的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】令，则在，上单调递减； 对于A，在上单调递增，在上单调递减，A错误； 对于B，在上单调递减，在上单调递增，B正确； 对于C，在上单调递减，在上单调递增，C正确； 对于D，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：BC. 【题型3】 由函数的单调性比较大小 核心知识 利用单调性的定义：增函数中，自变量越大，函数值越大；减函数中，自变量越大，函数值越小 核心逻辑：将待比较的函数值转化为同一单调区间内的自变量对应的函数值，再利用单调性判断大小 方法技巧 1.转化自变量：将待比较的中的转化到函数的同一单调区间内 2.利用奇偶性辅助：若函数为奇函数/偶函数，可通过对称性将自变量转化到已知单调区间内 3.结合单调性判断：增函数中，自变量大则函数值大；减函数中，自变量大则函数值小 4.特殊值法：若为选择题，可代入特殊值验证大小关系 【经典例题1】（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 【巩固练习1】（2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因函数在上单调递减，在上单调递增. 故. 设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以，即． 【巩固练习2】（25-26高一下·江西南昌·月考）已知函数单调递增，记，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于 ，由 ，则 ，即 ， 对于 ，由 ，则 ，即 ， 对于 ，由 ，得 ， 对于 ，由 ，则 ，即 ， 所以 ， 又因为函数 在区间 上单调递增，所以 . 【题型4】 由函数的单调性求参数范围（复合函数型） 核心知识 已知复合函数的单调性，反求解析式中参数的取值范围 本质：结合复合函数“同增异减”规律，分析内外层函数的单调性与参数的关系 方法技巧 1.分解复合函数：明确内外层函数，写出其单调性与参数的关系 2.应用“同增异减”：根据复合函数的单调性，列出内外层单调性需满足的条件 3.结合定义域：内层函数的值域需包含在外层函数的定义域内，列出不等式限制参数 4.解不等式组：综合所有条件，解出参数的取值范围，注意端点验证 【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 【巩固练习1】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域来求得 a 的取值范围. 【详解】函数是开口向上的二次函数，其对称轴为； 因为函数在区间上单调递增， 所以内层函数在区间上单调递增且在区间上恒成立 即，即实数的取值范围是. 故选：B. 【巩固练习2】（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的单调性，进而得的单调性，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是， 故选：D. 【题型5】 由函数的单调性求参数范围（分段函数型） 核心知识 已知分段函数在定义域内单调，反求参数的取值范围 核心条件： 1.各分段函数在对应区间内满足单调性 2.分段点处的函数值需满足单调性的衔接条件（如左段最大值≤右段最小值，若为增函数） 方法技巧 1.分段分析单调性：分别分析每一段函数的单调性，列出参数需满足的条件 2.衔接点验证：在分段点处，需满足左段函数的单调性与右段函数的单调性衔接，如增函数需满足左段在处的函数值≤右段在处的函数值 3.解不等式组：综合各分段的单调性条件和衔接条件，解出参数范围 4.易错点：不可忽略分段点处的衔接条件，否则易出现参数范围扩大的错误 【经典例题1】（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论及的的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到的取值范围． 【详解】当时，若为单调递增函数，则； 当时，为单调递增函数， 若是上的增函数，需有，解得． 故选：B． 【巩固练习1】（25-26高一上·山东济宁·期末）已知，且，若是上的单调函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先保证各段单调，再保证衔接点处函数值满足单调. 【详解】当时，， 因为，所以在上单调递增， 又是上的单调函数，当时，， 所以在上单调递增，且. 由在上单调递增可知 （1）因为函数的图象开口向上， 所以需要在上单调递增，且， 即，解得； （2）需要在定义域上单调递增，所以. 由上知，. 由得， 结合得，解得. 综上，，即实数的取值范围是. 【巩固练习2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究单调性，结合在上单调递减，得，解出即可. 【详解】由题意有：当时，，所以， 所以，当时，，所以，所以， 又在上单调递减，所以，解得，所以， 故选：C. 【题型6】 判断函数的奇偶性 核心知识 奇偶性定义： 偶函数：定义域关于原点对称，且对任意定义域，都有，图像关于轴对称 奇函数：定义域关于原点对称，且对任意定义域，都有，图像关于原点对称 非奇非偶：定义域不关于原点对称，或不满足、 常见奇偶性性质： 1.奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇 2.奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反 3.若奇函数在处有定义，则 方法技巧 1.定义域优先：先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数非奇非偶 2.计算：写出的表达式，与、比较，判断是否相等 3.特殊值验证：若，且函数在处有定义，则函数不是奇函数；若，则不是偶函数（仅适用于排除法） 4.四则运算判断：利用常见函数的奇偶性，通过四则运算性质判断复杂函数的奇偶性 补充：常见组合型的奇函数、偶函数 常见奇函数 1.单奇型： 2.分式组合型： 3.对数组合型： 4.根式组合型：（需注意定义域） 常见偶函数 1.单偶型：（常数函数，）， 2.分式组合型：（注：此为奇函数，此处修正，偶函数为） 3.绝对值组合型：（若为奇函数，则为偶函数）， 4.平方组合型：（若为任意函数，则为偶函数） 【经典例题1】（2026·河北·三模）下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A：因为为奇函数，故A不满足条件； 对B：为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，故B不满足条件； 对C：为偶函数，在上单调递增，故C满足条件； 对D：，根据B选项可知，D不满足条件. 【巩固练习1】（2026·湖北·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析其在区间上的单调性. 【详解】化简可得： ， 定义域满足且，即，关于原点对称， 又, 因此是偶函数，排除A、C选项， 当时，单调递增，也单调递增， 因此单调递增，所以在中， 两项均随增大而减小，因此在上单调递减. 【巩固练习2】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】先得出定义域，再应用偶函数定义判断偶函数，再结合对数复合函数单调性即可求解. 【详解】的定义域为， 因为，所以，即为偶函数， 当时，则， 由复合函数的单调性质得：在上单调递增，单调递增， 所以在上单调递增. 【题型7】 由函数的奇偶性求参数 核心知识 已知函数的奇偶性，反求解析式中参数的取值 核心逻辑：利用奇偶性的定义，对定义域内任意恒成立，列方程求解参数 方法技巧 1.定义法列方程：写出的表达式，根据（偶函数）或（奇函数），令对应项系数相等，解参数 2.特殊值法：利用（奇函数在处有定义时）、（偶函数）、（奇函数）等特殊值列方程，快速求解参数 3.恒成立条件：若对任意恒成立，则对应项的系数必须相等，可通过比较系数求解 4.易错点：特殊值法求出的参数需代入原函数验证，确保对所有都满足奇偶性 【经典例题1】（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解. 【详解】的定义域为，由于为偶函数，故， 即， 整理可得，故，则， 所以. 【巩固练习1】（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数性质建立关于方程求解. 【详解】由可得， ， 若为奇函数，则有， 即，整理得， 则，解得， 当时，，令，解得或， 此时定义域为关于原点对称， 符合为奇函数，故符合题意． 【巩固练习2】（2026·安徽·三模）已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为是偶函数，， 所以，即①，因为 是奇函数，所以， 所以，即②， ①+②，并整理得． 【题型8】 由函数的奇偶性求解析式 核心知识 已知函数在某一区间上的解析式和奇偶性，求其在对称区间上的解析式 核心逻辑：利用奇偶性的定义，将对称区间上的自变量转化为已知区间上的自变量，再代入解析式求解 方法技巧 1.设对称区间内的自变量：设为待求区间内的自变量，则在已知区间内 2.代入已知解析式：写出的表达式 3.利用奇偶性转化： 偶函数：，直接得到的表达式 奇函数：，整理得到的表达式 4.注明定义域：写出函数在对称区间上的解析式时，需注明对应的定义域 【经典例题1】（2026·河南许昌·三模）已知函数的定义域为，若函数是偶函数，函数是奇函数，则在上的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】先利用偶函数性质列出，再由奇函数性质列出，联立两式消去化简求得，换元令得，转化为对勾函数，由其在单调递增，代入算出最小值为. 【详解】已知是偶函数，所以① 已知是奇函数，所以，即② 由①得， 代入②：. 整理得，. 令，，则，. 对勾函数在递增，区间在递增区间内. 最小值在处：. 【巩固练习1】（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【详解】若，则，则， 因为是定义在上的奇函数，所以， 对其求导得，则，又因， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【巩固练习2】（2026·江西萍乡·一模）设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用奇偶函数的性质，结合已知条件求出和的表达式，再代入不等式化简求解. 【详解】因为是偶函数，是奇函数，且对任意，有：， 所以，即， 解得：， 代入不等式：. 化简可得，即，即， 解得：. 所以不等式的解集为. 故选：D 【题型9】 局部奇函数求值问题 核心知识 函数在定义域的局部区间内满足奇函数的性质（如，即关于点对称），利用对称性求函数值 核心逻辑：利用局部对称性，将待求函数值转化为已知的对称点的函数值 方法技巧 1.识别局部对称：根据题目条件，确定函数的对称中心 2.转化自变量：若函数关于对称，则，即 3.代入求值：将待求的转化为的形式，结合已知条件求解 4.特殊值验证：利用对称中心的性质，如（若对称中心在函数图像上），快速求解 【经典例题1】（2024·黑龙江·三模）已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】构造函数，证明为奇函数，从而得到，即可求出的值. 【详解】令，定义域为， 因为在上的最大值和最小值分别为，， 所以在上的最大值和最小值分别为，， 因为， 所以为奇函数，的图象关于原点对称， 所以的最大值和最小值互为相反数，即， 所以， 故选：A. 【巩固练习1】（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数，且，则______． 【答案】 【分析】依题意可得，令，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质代入计算可得. 【详解】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得， 又，因此． 故答案为： 【巩固练习2】已知，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意可得，即可得到结论. 【详解】因为， 故，则． 故答案为：. 【点睛】本题考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法，属于基础题． 【题型10】 由函数的奇偶性单调性确定函数的图像 核心知识 结合函数的奇偶性（对称性）和单调性，判断函数图像的大致形状 核心逻辑：奇偶性决定图像的对称性，单调性决定图像的升降趋势，结合两者可快速定位图像 方法技巧 1.利用奇偶性定对称：偶函数图像关于轴对称，奇函数图像关于原点对称，先画出一侧的图像，再对称得到另一侧 2.利用单调性定升降：根据函数的单调性，判断图像在各区间内的上升或下降趋势 3.特殊点验证：代入特殊点（如）的函数值，排除不符合的选项 4.极限趋势判断：分析时函数的趋势，辅助判断图像 【经典例题1】（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，函数的定义域为，关于原点对称， 由，所以为奇函数，排除A； 又，排除C和D. 【巩固练习1】（2026·天津南开·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及，逐一验证选项，即可求解. 【详解】由图可知：的图象关于坐标原点对称，故为奇函数，且， 对于A， ，故为偶函数，不合题意， 对于C， ，故为偶函数，不合题意， 对于B， ，故为奇函数，但，不合题意， 对于D， ，故为奇函数，，符合题意. 【巩固练习2】（2026·天津·一模）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 由知是偶函数，图象关于轴对称，排除B、D； 当时，恒成立，A项不合题意,而C项均符合. 【题型11】 由函数的奇偶性单调性解抽象不等式 核心知识 已知抽象函数的奇偶性和单调性，解形如的不等式 核心逻辑：利用奇偶性将不等式转化为同一单调区间内的函数值比较，再利用单调性脱去“”符号，转化为自变量的不等式 方法技巧 1.统一单调区间：利用奇偶性将不等式两边的自变量转化到函数的同一单调区间内 2.利用单调性脱“”：若函数为增函数，则；若为减函数，则 3.结合定义域：解不等式时，需保证自变量在函数的定义域内，列出定义域限制条件 4.解不等式组：综合脱“”后的不等式和定义域条件，解出的取值范围 【经典例题1】（23-24高一上·山西·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集. 【详解】在上是奇函数，故， 故， 当时，单调递增， 令，解得，故， 结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示.    由得或， 由图象得或， 所以或， 即不等式的解集是. 故选：B 【巩固练习1】（25-26高一上·上海·月考）已知是定义域为的偶函数，且在上严格递增函数，若成立，则实数的范围是__________ 【答案】 【分析】根据偶函数的性质和单调性知识解不等式即可. 【详解】由是定义域为的偶函数，且在上严格递增函数， 可知关于轴对称，且在上单调递减， 即在轴处取得最小值，离对称轴越近函数值越小， 由，可得，平方得，即，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 【巩固练习2】（24-25高二下·浙江温州·期末）已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数定义域，再利用函数奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】由题可知函数，所以为偶函数， 当时，，又与在上单调递减， 所以在也单调递减， ，即， 所以解得或， 所以的取值范围为. 故选：D. 【题型12】 由函数的对称性单调性比较大小 核心知识 已知函数的对称性（轴对称/中心对称）和单调性，比较不同自变量对应的函数值大小 核心逻辑：利用对称性将自变量转化到同一单调区间内，再利用单调性比较函数值大小 方法技巧 1.利用对称性转化自变量： 轴对称：若函数关于对称，则，即 中心对称：若函数关于对称，则，即 2.统一到同一单调区间：将待比较的自变量转化到函数的同一单调区间内 3.利用单调性比较：根据函数在该区间内的单调性，比较自变量的大小，进而得到函数值的大小关系 【经典例题1】（2026·陕西咸阳·一模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得的值，再结合对称性可得的值，进而可得结果. 【详解】当时，，得. 再由，，所以. 故选：C. 【巩固练习1】（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 所以函数在为增函数， 又为增函数，所以函数在为增函数， 由于，所以， 故. 故选：B. 【巩固练习2】（24-25高三上·江苏南通·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到的图象的对称轴是，周期是8，进一步有，结合单调性即可得解. 【详解】定义在上的奇函数满足， 则的图象的对称轴是， 所以， 则， 则，所以的周期是8， 所以， 因为在上单调递增， 所以. 故选：D. 【题型13】 由函数的对称性参数 核心知识 已知函数的对称性（轴对称/中心对称），反求解析式中参数的取值范围 核心逻辑：利用对称性的定义列方程，求解参数 方法技巧 1.轴对称函数：若函数关于对称，则对任意恒成立，令对应项系数相等，解参数；常见二次函数的对称轴为，可直接利用对称轴公式求参数 2.中心对称函数：若函数关于点对称，则对任意恒成立，令对应项系数相等，解参数 3.特殊值法：代入对称点的函数值列方程，快速求解参数，再验证恒成立条件 【经典例题1】（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则_______________． 【答案】2 【详解】，关于点对称， 由题意可知函数关于点对称，所以解得. 【巩固练习1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的定义域，结合对称性特点求出，再验证得解. 【详解】函数有意义，则，由的图象关于点对称， 得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内， 则，即，此时，， ， 因此函数的图象关于点对称，符合题意， 所以. 故选：A 【巩固练习2】（24-25高三上·福建·期中）已知函数的图象关于直线对称，则______. 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用对称性的特征可得，再利用求解即可. 【详解】函数的定义域满足，即， 由函数的图象关于直线对称，得的定义域关于对称， 则的解集只能为，故. 则，即， 故，则，解得. 故 故答案为： 【题型14】 由函数的对称性，周期性求值 核心知识 函数的周期性：若存在非零常数，使得对任意定义域，都有，则为函数的周期，最小的正周期为最小正周期 对称性与周期性的关系： 1.若函数关于和对称，则周期 2.若函数关于和对称，则周期 3.若函数关于和对称，则周期 方法技巧 1.推导周期：根据对称性的条件，推导出函数的周期 2.化简自变量：利用周期性，将待求的中的转化为一个周期内的自变量 3.结合对称性求值：利用对称性，将转化后的自变量对应的函数值求出 4.常见周期函数：三角函数、周期数列、分段周期函数，利用周期性简化计算 【经典例题1】（2026·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合，代入计算，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，且当时，， 可得. 【巩固练习1】（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数的周期性和奇偶性即可求解. 【详解】已知是定义在上且周期为的奇函数，所以有， 令，得， 由于是奇函数，有，所以，即，解得， 当时，，由于，所以， 因此，故B正确. 【巩固练习2】（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． 【答案】 【详解】由的周期为2，可得， 由是奇函数，可得， 再由的周期为2，可得， 因为当时，，所以， 即. 【题型15】 抽象函数的周期性，对称性，奇偶性综合求值 核心知识 抽象函数同时具有周期性、对称性、奇偶性，利用三者的综合性质求函数值 核心逻辑：利用奇偶性转化正负自变量，利用对称性转化对称点的函数值，利用周期性化简自变量，三者结合求解 方法技巧 1.利用奇偶性转化：将负自变量转化为正自变量，如（奇函数）、（偶函数） 2.利用对称性转化：将对称点的函数值转化为已知点的函数值，如 3.利用周期性化简：将大的自变量转化为一个周期内的自变量，如 4.多步转化：结合三者性质，逐步化简自变量，最终转化为已知函数值的点，求出结果 【经典例题1】（2026·四川眉山·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】先根据是偶函数得出的一个等式关系，再对其求导得到的一个等式关系，然后结合推出的周期，最后根据周期求出的值. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即. 两边求导，可得：，可得. 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替可得. 将代入中，可得 ①. 用代替可得 ②. 由②①可得：. 所以是周期为的周期函数. 所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得， 所以，即. 【巩固练习1】（2026·山西大同·三模）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】先根据的对称性得出，结合奇偶性得出4是的一个周期，再结合周期性可得，即可得结果. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 则，即， 当时，则， 且，可知对任意恒成立， 又因为是定义在上的奇函数，则，， 可得，即， 则，得，可知4是的一个周期， ，， 所以， 所以， 又因为，即，可得， 所以． 【巩固练习2】（2026·广东中山·三模）（多选）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 【题型16】 抽象函数的奇偶性对称性单调性周期性综合 核心知识 抽象函数同时涉及奇偶性、对称性、单调性、周期性，求解不等式、参数范围、函数值等问题 核心逻辑：综合运用四种性质，将复杂问题转化为简单的函数值比较、自变量范围求解等问题 方法技巧 1.性质优先级：先利用奇偶性和对称性转化自变量，再利用周期性化简，最后利用单调性脱“”符号 2.画示意图：根据函数的对称性、周期性和单调性，画出函数的大致图像，直观分析问题 3.定义域优先：所有转化过程中，需保证自变量在函数的定义域内 4.特殊值验证：代入特殊值验证转化过程是否正确，避免符号错误或转化失误 【经典例题1】（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 【答案】ABD 【分析】由题意可得，，进而求解判断AB；利用对称性和单调性可判断C；利用函数奇偶性的定义可判断D. 【详解】由知是定义在上的奇函数，则，且， 又的图象关于对称，则， 令，则，故A正确； 由，得， 则，故B正确； 由为奇函数，且时，单调递减，则其在单调递减， 又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相反， 即在区间上单调递增，故C错误； 因为，即， 所以，故， 因此函数为偶函数，故D正确. 故选：ABD. 【巩固练习1】（24-25高一上·广东广州·期中）（多选）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，对于A，取可得；对于C，取，再由条件当时，推理可得；对于B，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导即可. 【详解】对于A，由， 取，得，故A正确； 对于C，由， 取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故C正确； 对于B，由， 取，可得，，整理得，， 因为，，当且仅当时取等号， 由选项C可知的符号可正可负，故不一定有， 即不一定成立，故B错误； 对于D，任取，则， 依题意，，而， 则，即， 即在上是增函数， 于是对于， 任取，因为，则，即， 即函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D的解决关键在于，熟练掌握单调函数的定义，利用构造函数法分析抽象函数的单调性，从而得解. 【巩固练习2】（2026·湖南衡阳·二模）（多选）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【详解】对于A：因为为偶函数，当时，， 所以，故A正确； 对于B：因为函数为偶函数，所以， 所以函数的图象关于直线对称，故B错误； 对于C：因为和均为偶函数，所以， 在中，将替换为，得，故， 所以的一个周期为2，故C正确； 对于D：当时，， 故， 故当时，，所以函数在上单调递增，故D正确． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·湖南·一模）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【详解】因为是定义在上且周期为2的奇函数， 所以，， 所以， 因为当时，，所以，所以. 2．（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】判断出两函数的图象都关于点中心对称，根据复合函数的性质判断出函数的定义域为上单调递增，作出两函数的图象，可得交点个数，根据函数的对称性求解即可. 【详解】因为， 且， 所以的图象关于点中心对称； 又因为， 由，可得， 即函数的定义域为， 且， 易知函数在上单调递增， 又， 所以的图象关于点中心对称； 所以两函数的交点也关于点中心对称； 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数图象共有3个交点，其中一个交点为， 设另外两个交点分别为， 则， 所以. 3．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图象关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 4．（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，推得是以为周期的周期函数，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 5．（2026·湖南邵阳·三模）已知是定义域为的奇函数，且当时，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质，可知，再代入解析式求解. 【详解】当时，， 由，可知，，且由奇函数可知，， 所以，得. 6．（2026·陕西渭南·三模）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，排除C、D选项，再由，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 所以函数是上的奇函数，其图象关于原点对称，可排除C、D项； 当时，令，即，即， 可得，解得， 即时，，所以B选项符合题意. 7．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 8．（2026·天津·二模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊值结合单调性的性质判断选项ABC；根据奇偶性的定义以及利用导数证明单调性即可判断D选项． 【详解】，定义域为， 又，所以为奇函数， 易知，则不单调，故A不符合题意； 因为， ，则为偶函数，故B不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， 又在单调递减， 则在单调递减，故C不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， ，所以在上单调递增，故D符合题意． 9．（2026·河北石家庄·一模）已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数性质可得函数的周期为4，再根据周期性和对称性及单调性即可判断大小. 【详解】因为是R上的偶函数，故； 由，令得，故的周期； 当时，，是增函数，故在上单调递增. 又因为，即. ，即, 由，得， 所以 ， 且，即. 即,且在上单调递增，所以,即. 10．（25-26高三上·陕西商洛·期末）设函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，根据单调性和定义域求解不等式即可. 【详解】令，则. 因为是减函数，是增函数，所以函数在上单调递减； 因为是减函数，所以在上单调递减. 因为，，所以函数在上单调递减。 因为，所以，所以，解得． 故选：A. 11．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得. 【详解】当时，， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 12．（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由条件判断在上单调递减，结合偶函数的性质可得在上单调递增，从而，利用函数单调性得，求解该不等式即得. 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 13．（2026·湖北武汉·模拟预测）若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及，化简得到，取，分类讨论，取绝对值号，即可求解的值. 【详解】由函数的定义域，可得其定义域关于原点对称， 又由， 因为函数是奇函数，可得，即， 即恒成立，即恒成立， 因为存在正实数使得函数定义在上的奇函数，可取， 当时，可得， 所以，所以； 当时，可得， 所以，所以， 综上可得，实数的值为. 二、多选题 14．（2026·贵州毕节·三模）已知定义在R上的可导函数满足：①是奇函数，②.设函数，则（    ） A．的周期为6 B．在至多有两个零点 C．曲线的一条对称轴为 D．若，则曲线在处的切线方程为 【答案】AD 【分析】利用已知的递推关系推导周期；由于，将的零点转化为求的零点；利用对称轴的定义，验证是否成立；利用导数求斜率，结合切点坐标表示切线方程. 【详解】选项 A：由，可得，因此的周期为，故A正确； 选项 B：，由于恒成立，故的零点等价于的零点. 由是奇函数得，即； 令代入得，即， 令得 ，即， 因此在上至少有个零点，故B错误； 选项 C：由题意知， 令，则 ， 故 ，即 关于点 中心对称，故C错误； 选项 D：对 求导得， 代入 得 ，， 故切线方程为，故D正确. 15．（2026·安徽·模拟预测）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为偶函数，得. 对作变量代换，得，因此，. 将代入上式，得， 结合，得， 进而，，即的最小正周期为； 由，可得的最小正周期也为. 对于选项A：由，令，得，故A错误. 对于选项B：由，令，得，故B正确. 对于选项C：由，令，得，故C正确. 对于选项D：由周期为，得，故D正确. 16．（2026·重庆·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．当时， D．的极大值为 【答案】ACD 【详解】函数是定义在上的奇函数，则，故B错误； 当时，，则，根据奇函数的性质，故A正确； 当时，，则有，又函数为奇函数，，故C正确； 当时，，令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 是在上的极小值点，， 当时，，令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 是在上的极大值点，，故D正确. 17．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】AC 【分析】A根据奇函数以及令可得；B根据奇函数以及反证法结合单调性可判断；C结合A选项以及单调性即可求出；D结合函数的单调性和对称性判断. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，得，得，故A正确； 令，则，即， 若，则恒成立，与在R上单调递增矛盾，故B错误； 因为，所以的图象关于点中心对称， 又，在R上单调递增，所以时，时， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数的导函数为，则，得，其中为常数， 令，得，得，故， 故的图象关于直线对称，故C正确； 由的对称性可知，， 因为，以及的单调性可知，，故D错误. 18．（2026·四川成都·三模）若定义在上的函数满足是偶函数，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABD 【分析】结合题意利用赋值法判断A，利用函数对称性和奇偶性的性质判断B，合理选取反例，进而发现矛盾判断C，求解出周期性，结合赋值法求和判断D即可. 【详解】对于A，∵，∴，故A正确， 对于B，∵是偶函数，∴， ∴函数关于直线对称，∴， ∵，∴，∴是奇函数，故B正确， 对于C，若的图象关于直线对称，则， 但是，，即， 这与假设条件矛盾，故错误； 对于D，∵，∴， ∴,∴的周期为， 将代入，得， 将，代入，得， 同理可知， 又∵的周期为，∴正奇数项的周期为， ∴ ，故正确. 三、填空题 19．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 20．（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 【答案】（任意满足条件的即可） 【分析】利用函数的函数方程、奇偶性、单调性三个条件，找出满足条件的具体函数. 【详解】，则在上满足指数函数性质， 又时，，则在上是增函数，可取， 因为是偶函数，所以可取．（任意满足条件的即可） 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $