第02讲 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值等核心考点，按知识解构（8大知识点）与题型破译（12类题型）构建系统框架，通过命题透视、思维建模、知识精讲、真题溯源及分层训练，帮助学生梳理内在联系，突破综合应用难点。 资料以“性质融合”为特色，创新采用“定义-运算-综合”三阶教学法，如在周期性与对称性综合题型中，通过推导周期公式培养逻辑推理能力，结合分层练习（基础15题+重难10题）和真题溯源，确保复习高效。助力学生提升数学抽象与数形结合素养，为教师提供精准复习节奏把控工具。

第02讲 函数及其性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的单调性与单调区间 知识点2 函数的最值 知识点3 单调性的常见运算 知识点4 函数的奇偶性 知识点5 函数的周期性 知识点6 函数的对称性 知识点7 周期性对称性综合问题 知识点8 奇偶性对称性综合问题 题型破译 (含超链接） 题型1 根据函数解析式判断函数单调性【含方法技巧】 题型2 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值【含方法技巧】 题型3 根据函数单调性解不等式【含方法技巧】 题型4 根据函数单调性比较函数值大小关系【含方法技巧】 题型5 根据函数的奇偶性求参数值【含方法技巧】 题型6 抽象函数奇偶性的综合应用【含方法技巧】 题型7 函数周期性的综合应用【含方法技巧】 题型8 函数对称性的综合应用【含方法技巧】 题型9 周期性对称性的综合应用【含方法技巧】 题型10 周期性奇偶性的综合应用【含方法技巧】 题型11 奇偶性对称性的综合应用【含方法技巧】 题型12 函数性质的全部综合应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数的单调性 T5（4分）、T20(2)（5分） T15（5分） T9（4分） 函数的奇偶性 T5（4分） T15（5分） — 函数的周期性 — — T6（4分） 函数的对称性 T15（5分） — — 函数的最值与值域 T15（5分） T7（4分） — 函数性质的综合应用 T15（5分）、T20(3)（5分） T15（5分） T6（4分）、T10（4分） 考情分析 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值与值域是高考必考内容，北京卷近年考查频率较高，题型覆盖选择、填空、解答，分值约13~18分，难度中等至偏难。近三年考情显示，函数性质常以综合形式呈现，将单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值融合于同一题目中，与分段函数、导数、方程、不等式等板块深度结合，考查学生的逻辑推理与数形结合能力。复习时需注重五个性质的内在联系（如奇偶性与对称性、周期性与对称性的关系，单调性与最值的关系），强化综合应用能力。 复习目标 1.理解函数单调性的定义，掌握用定义法、导数法判断或证明单调性，会求函数的单调区间。 2.理解函数奇偶性的定义，掌握判断奇偶性的方法，能利用奇偶性解决求值、求解析式及图象对称问题。 3.理解函数周期性的定义，掌握常见函数的周期，能利用周期性进行求值与图象变换。 4.理解函数对称性的含义（轴对称、中心对称），掌握对称性与奇偶性、周期性的内在联系。 5.掌握函数最值与值域的常见求法（单调性法、图象法、导数法），能解决含参函数在给定区间上的最值问题。 6.能综合运用单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值分析函数图象特征，解决方程、不等式及零点等综合问题，提升数学抽象与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 （区间I称为函数的 ，也可分别称为 和 ） 自主检测设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 知识点2 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 自主检测1已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 自主检测2已知函数的定义域为，则是有最小值2的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点3 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 自主检测1下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 自主检测2已知函数，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 知识点4 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 对称 自主检测已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点5 函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的 ，那么这个最小 就叫做的 ． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 自主检测函数是周期为2的周期函数，当时，则的值为（     ） A．1 B． C．0 D．2026 知识点6 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 自主检测已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 知识点7 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 自主检测1设是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，，则（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 自主检测2已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点8 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 自主检测1已知函数为偶函数，，且，若，则以下结论错误的是（ ）. A． B． C． D． 自主检测2已知函数，则下列选项中错误的是（    ） A．为的周期 B．的图象关于对称 C．的图象关于点对称 D．是奇函数 题●型●破●译 题型1 根据函数解析式判断函数单调性 例1-1（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 例1-2（2026·北京·三模）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 定义法：在定义域内任取 ，计算 并判断符号。若 ，则为增函数；若 ，则为减函数。关键是对差式进行因式分解、通分、有理化等变形。 1. 导数法：若函数可导，则 在区间上恒成立时 单调递增； 恒成立时 单调递减。注意等号仅出现在个别点时不影响单调性。 1. 图象法：画出函数图象，从左到右看图象的升降趋势，直观判断单调区间。 1. 复合函数法：对于 ，遵循“同增异减”原则——内外层函数单调性相同则复合函数单调递增，相异则单调递减。 1. 常见函数单调性结论：一次函数 （ 增， 减）；二次函数 （ 在对称轴左侧减、右侧增）；反比例函数 （ 在 和 上分别递减）；指数函数 （ 增， 减）；对数函数 （ 增， 减）。 【变式训练1-1】（2026·北京·模拟预测）下列函数中，在上单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·北京昌平·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 题型2 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值 例1-1（2026·北京·三模）定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-2已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 分段函数单调递增：需满足三个条件： 各段在对应区间上均单调递增； 在分段点 处，左侧函数在 处的值 右侧函数在 处的值（即左 右）。 1. 分段函数单调递减：需满足三个条件： 各段在对应区间上均单调递减； 在分段点 处，左侧函数在 处的值 右侧函数在 处的值（即左 右）。 1. 含参函数的单调性：先求导（或利用定义），根据 或 在区间上恒成立，转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求出参数范围。 1. 检验：求出参数范围后，务必代入验证分段点处的大小关系是否满足，端点处是否可取等号需仔细判断。 【变式训练1-1】“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-2】已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3 根据函数单调性解不等式 例1-1（25-26高三上·北京·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，且满足当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 例1-2（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知定义在实数集上的偶函数，在上单调递增，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 转化原理：若 在定义域上单调递增，则 ；若 单调递减，则 。 1. 定义域限制：转化时务必注意函数的定义域，确保 、 均在定义域内。特别对于对数函数、根式函数等，需同时满足真数大于 、被开方数非负等条件。 1. 分段函数不等式：需对自变量 可能所在的不同区间进行分类讨论，分别解出不等式后与对应区间取交集，最后合并各段解集。 1. 抽象函数不等式：利用单调性将函数符号 去掉，转化为自变量之间的不等关系，再结合定义域列出不等式组求解。 【变式训练1-1】已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型4 根据函数单调性比较函数值大小关系 例1-1已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 例1-2已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 同函数、不同自变量：若已知自变量 与 的大小关系，结合函数的单调性，直接判断 与 的大小：增函数则函数值大小与自变量一致，减函数则相反。 1. 同自变量、不同函数：若需比较 与 的大小，可构造新函数 ，通过判断 的单调性及符号来确定大小关系。 1. 中间量法：当自变量无法直接比较时，引入中间变量（如 、 或已知函数值的点），将要比较的函数值分别与中间量比较，从而得出结论。 1. 利用奇偶性转化：若函数为奇函数或偶函数，先将负自变量的函数值转化为正自变量处的函数值（如 或 ），再结合单调性进行比较。 【变式训练1-1】已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知偶函数在上单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型5 根据函数的奇偶性求参数值 例1-1（2026·北京石景山·二模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 例1-2（2026·北京·三模）能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 方法技巧 1. 定义法：利用 （偶函数）或 （奇函数）在定义域上恒成立，代入解析式后比较系数，建立方程求参数。 1. 特殊值法：取定义域内的特殊值（如 、 等）代入，利用 或 建立方程求参数。求出后需代回验证是否对所有 都成立。 1. 奇函数在 处有定义：若奇函数 在 处有定义，则必有 。这一结论是求奇函数参数的快捷条件。 1. 分段函数奇偶性：分段函数判断奇偶性时，需分别验证各段是否满足对称关系，一般先求定义域判断是否关于原点对称，再分段代入 进行验证。 1. 检验：求出参数后，务必代回原函数验证 与 的关系是否恒成立，防止增根。 【变式训练1-1】（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 【变式训练1-3】已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型6 抽象函数奇偶性的综合应用 例1-1（2026·北京顺义·三模）已知函数的定义域为，则“函数为奇函数”是“存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-2（2026·北京丰台·二模）已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 1. 赋值法：抽象函数没有解析式，需通过给变量赋特殊值（如 、、 等）来推导函数性质。例如，令 可求 ；令 可探索 与 的关系。 1. 构造对称式：若要证明 为奇函数，需证明 ，可通过赋值构造出 与 的关系式。若要证明偶函数，需证明 。 1. 利用奇偶性化简：奇偶性可将 转化为 ，从而将负自变量问题转化为正自变量问题，简化求值或解不等式。 1. 奇偶性与单调性结合：奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。利用这一关系，可将一个区间上的问题转化到另一个区间上求解。 【变式训练1-1】（2026·北京·三模）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数．关于有下列四个结论： ①的图象关于对称； ②是周期函数； ③若，则； ④若时，，则函数的零点个数为10． 其中所有正确结论的序号是________． 【变式训练1-3】（25-26高三上·北京石景山·期末）关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 题型7 函数周期性的综合应用 例1-1已知函数的定义域为R，且，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例1-2已知定义在上的奇函数满足，则下列说法正确的是（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．的一个周期为4 D．为奇函数 方法技巧 1. 周期定义：若存在非零常数 ，使得 对定义域内任意 恒成立，则 为函数的一个周期。最小正周期若存在，称为函数的周期。 1. 常见周期结论： 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 （），则 。 1. 利用周期性求值：周期性可将大自变量转化为小自变量（如 ），结合已知函数值求解。 1. 周期函数的性质：周期函数若有定义域，则定义域必为无界集；周期函数若在某区间上的表达式已知，可通过周期性将其延拓到整个定义域。 【变式训练1-1】已知定义域为的函数满足，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式训练1-2】已知函数的定义域为，对，与均恒成立，则（    ） A． B．0 C． D．1 【变式训练1-3】已知定义在上的函数满足，且当时，．则的值为（） A．-1 B．0 C．1 D．3 题型8 函数对称性的综合应用 例1-1函数的对称中心是（    ） A． B． C． D． 例1-2（2026·北京东城·二模）已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 例1-3已知函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 例1-4已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ） A．8 B． C．12 D． 方法技巧 1. 轴对称：若 ，则函数图象关于直线 对称。特别地， 关于 轴对称（偶函数）。 1. 中心对称：若 ，则函数图象关于点 对称。特别地， 关于原点对称（奇函数）。 1. 对称性与函数值：若函数关于 对称，则 ；若关于点 对称，则 。 1. 多对称轴（或对称中心）推出周期： 若函数有两条对称轴 和 ，则 ； 若函数有两个对称中心 和 ，则 ； 若函数有一条对称轴 和一个对称中心 ，则 。 【变式训练1-1】已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【变式训练1-2】已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练14】已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型9 周期性对称性的综合应用 例1-1已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 例1-2已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 方法技巧 1. 对称性 周期性：若函数关于 和 都对称，则函数为周期函数，周期 。推导关键：由 和 联立可得 ，令 ，则 。 1. 周期性 对称性：若函数有周期 且关于 对称，则函数也关于 对称。 1. 求函数值：同时利用周期性和对称性，将自变量化到已知区间或已知点附近，再代入求解。 1. 作图象：根据对称性画出部分图象，再利用周期性进行延拓，可得到整个定义域上的图象。 【变式训练1-1】已知是函数图象的一条对称轴，且的周期为4，当时，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式训练1-2】已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【变式训练1-3】已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型10 周期性奇偶性的综合应用 例1-1已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 例1-2已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（   ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 方法技巧 1. 奇函数 + 周期函数：若奇函数 的周期为 ，则 ，且由周期性 ，联立可得 ，进而可得 （）。 1. 偶函数 + 周期函数：偶函数与周期函数结合时，可利用周期性将函数值转化到同一个周期内，再结合偶函数的对称性进行化简。 1. 周期为 的奇函数：若 为奇函数且周期 ，则 （由周期），又 （由奇函数），故 。因此 与 均为零点。 1. 利用性质求解析式：若已知函数在一个周期内的表达式及奇偶性，可通过周期延拓和对称变换求出整个定义域上的解析式。 【变式训练1-1】已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练1-3】已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A．3 B． C． D．0 题型11 奇偶性对称性的综合应用 例1-1已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 例1-2已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 方法技巧 1. 奇函数 + 对称轴：若奇函数 关于直线 对称，则 也是周期函数，且 （当 时）。 推导：由 和 ，可得 ，从而 ，故 。 1. 偶函数 + 对称中心：若偶函数 关于点 对称，则 是周期函数，且 （当 时）。 1. 奇偶性与对称性的互推： 奇函数 关于原点 对称； 偶函数 关于 轴（）对称。 1. 求零点或交点：利用奇偶性（对称性）可将零点或交点的个数减半求解。例如，奇函数在 上有 个零点，则在 上也有 个零点，且 处可能也为零点。 【变式训练1-1】已知函数，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（    ） A．8088 B．4044 C．2022 D．1011 题型12 函数性质的全部综合应用 例1-1（25-26高三上·北京昌平·期末）已知函数的定义域为，且满足，为奇函数.给出下列四个结论： ①；②；③为周期函数；④为偶函数. 其中正确结论的序号是_______. 例1-2（25-26高三上·北京·阶段检测）关于定义域为的函数，下列说法中正确的个数为（    ）. ①存在两个单调递减函数与 ②存在奇函数与偶函数 ③存在单调递增函数与偶函数 ④存在单调递增函数与减函数 A．0 B．1 C．2 D．3 方法技巧 1. 性质识别与转化：遇到综合问题时，首先识别题目中涉及哪些性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性），将文字语言转化为数学符号语言： 单调性：增/减、； 奇偶性：、图象关于原点/ 轴对称； 周期性：； 对称性： 或 。 1. 建立联系：利用以下关系将不同性质串联： 奇函数 + 对称轴 周期函数； 偶函数 + 对称中心 周期函数； 两条对称轴 周期函数； 两个对称中心 周期函数； 对称轴 + 对称中心 周期函数。 1. 赋值与递推：对于抽象函数综合题，通过赋值法（令 、 取特殊值）推导新的函数关系，再结合已有性质进行化简。 1. 求值与解不等式：利用周期性将自变量化到已知区间，利用奇偶性将负号化掉，利用单调性去掉函数符号 ，转化为普通不等式求解。 1. 作示意图：综合题中，可先根据已知性质画出函数的大致图象（至少一个周期内），利用图象直观判断零点个数、交点个数、值域等问题。 1. 检验与总结：多性质综合题的参数求解，需验证参数是否同时满足所有性质条件，确保答案的完整性和准确性。 【变式训练1-1】定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式训练1-2】已知函数，的定义域均为，且 ， ．若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知函数与的定义域均为R，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不正确的有（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．的周期 D． 【变式训练1-4】已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（   ） A．2026 B．1013 C．1 D．-1 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 5．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．(1)从偶函数的定义出发,证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称; (2)从奇函数的定义出发,证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称. 2．已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整. 3．设函数的定义域为I，区间，记.证明： （1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有； （2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有. 4．已知函数是定义域为的奇函数，当时，. （1）求出函数在上的解析式 （2）画出函数的图象，并指出函数的单调区间. 5．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)请写出一个图象关于点（-1，0）成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．下列函数中满足定义域为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．定义域为的函数，，“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D． 5．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．7 7．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．若函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 9．若奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 11．若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 13．已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 14．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（    ） A．116 B．115 C．114 D．113 重难·创新演练 16．已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 17．已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 18．定义在上的函数与满足：，若是奇函数，则（　　） A．0 B．2025 C．4050 D．6075 19．已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（   ） A． B．2 C． D．1 20．已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A． B．2025 C．1 D． 21．关于定义域为的函数，下列说法中正确的个数为（    ）. ①存在两个单调递减函数与 ②存在奇函数与偶函数 ③存在单调递增函数与偶函数 ④存在单调递增函数与减函数 A．0 B．1 C．2 D．3 22．定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上严格递增，在区间上严格递减，为正整数． ①若，且存在最小值，则存在最小值； ②若，且存在最大值，则存在最大值． 则针对以上两个命题下列判断正确的是（     ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 23．设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 下列选项中正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 24．已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论： ①若函数，则的最大值为； ②若函数和都是减函数，则也是减函数. 则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 25．设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 函数及其性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的单调性与单调区间 知识点2 函数的最值 知识点3 单调性的常见运算 知识点4 函数的奇偶性 知识点5 函数的周期性 知识点6 函数的对称性 知识点7 周期性对称性综合问题 知识点8 奇偶性对称性综合问题 题型破译 (含超链接） 题型1 根据函数解析式判断函数单调性【含方法技巧】 题型2 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值【含方法技巧】 题型3 根据函数单调性解不等式【含方法技巧】 题型4 根据函数单调性比较函数值大小关系【含方法技巧】 题型5 根据函数的奇偶性求参数值【含方法技巧】 题型6 抽象函数奇偶性的综合应用【含方法技巧】 题型7 函数周期性的综合应用【含方法技巧】 题型8 函数对称性的综合应用【含方法技巧】 题型9 周期性对称性的综合应用【含方法技巧】 题型10 周期性奇偶性的综合应用【含方法技巧】 题型11 奇偶性对称性的综合应用【含方法技巧】 题型12 函数性质的全部综合应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数的单调性 T5（4分）、T20(2)（5分） T15（5分） T9（4分） 函数的奇偶性 T5（4分） T15（5分） — 函数的周期性 — — T6（4分） 函数的对称性 T15（5分） — — 函数的最值与值域 T15（5分） T7（4分） — 函数性质的综合应用 T15（5分）、T20(3)（5分） T15（5分） T6（4分）、T10（4分） 考情分析 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值与值域是高考必考内容，北京卷近年考查频率较高，题型覆盖选择、填空、解答，分值约13~18分，难度中等至偏难。近三年考情显示，函数性质常以综合形式呈现，将单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值融合于同一题目中，与分段函数、导数、方程、不等式等板块深度结合，考查学生的逻辑推理与数形结合能力。复习时需注重五个性质的内在联系（如奇偶性与对称性、周期性与对称性的关系，单调性与最值的关系），强化综合应用能力。 复习目标 1.理解函数单调性的定义，掌握用定义法、导数法判断或证明单调性，会求函数的单调区间。 2.理解函数奇偶性的定义，掌握判断奇偶性的方法，能利用奇偶性解决求值、求解析式及图象对称问题。 3.理解函数周期性的定义，掌握常见函数的周期，能利用周期性进行求值与图象变换。 4.理解函数对称性的含义（轴对称、中心对称），掌握对称性与奇偶性、周期性的内在联系。 5.掌握函数最值与值域的常见求法（单调性法、图象法、导数法），能解决含参函数在给定区间上的最值问题。 6.能综合运用单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值分析函数图象特征，解决方程、不等式及零点等综合问题，提升数学抽象与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 增函数 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 减函数 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 单调性 （区间I称为函数的 单调区间 ，也可分别称为 单调递增区间 和 单调递减区间 ） 自主检测设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 知识点2 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 自主检测1已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 自主检测2已知函数的定义域为，则是有最小值2的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据基本不等式、对钩函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以，当且仅当时， 函数有最小值2，所以充分性成立； 令，得，要使，则且，所以必要性不成立. 综上，是函数有最小值2的充分不必要条件. 故选：A 知识点3 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 自主检测1下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，为偶函数，且在上单调递减，A符合题意； 对于B，的定义域为，， 所以为偶函数， 当时，，故在上单调递增，B不符合题意； 对于C，的定义域为，， 所以为奇函数，在上单调递增，C不符合题意； 对于D，的定义域为，， 所以为偶函数，因为，所以在上不是单调函数，D不符合题意． 自主检测2已知函数，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数， 又， 因为在上是增函数且，所以在上是增函数， 所以在上是减函数，所以在上是减函数 知识点4 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 轴 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 原点 对称 自主检测已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据“”与“为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件． 【详解】当时，，定义域为且关于原点对称， 所以， 所以为奇函数； 当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以， 所以， 所以， 由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件， 故选：C． 知识点5 函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 非零常数 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 非零常数 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的 正数 ，那么这个最小 正数 就叫做的 最小正周期 ． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 自主检测函数是周期为2的周期函数，当时，则的值为（     ） A．1 B． C．0 D．2026 【答案】C 【详解】. 知识点6 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 自主检测已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得的值，再结合对称性可得的值，进而可得结果. 【详解】当时，，得. 再由，，所以. 故选：C. 知识点7 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 自主检测1设是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，，则（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为是定义在R上且周期为3的奇函数， 所以. 自主检测2已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知条件及为偶函数，结合周期函数的定义，可得函数是周期为4的周期函数，利用周期性及求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以，则， 又因为，所以，则， 所以函数是周期为4的周期函数， 由中，令，得到， 所以，， 故. 知识点8 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 自主检测1已知函数为偶函数，，且，若，则以下结论错误的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由抽象函数判断函数的对称性，并根据条件，采用赋值法，判断AB选项，再利用赋值，判断函数的周期性，再由对称性和周期性判断CD. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，所以， 在中，令，得， 又，所以，故A正确； 令，得，即，得， 而，故B错误； 由已知得，则，得， 那么，所以函数是周期为的周期函数， 故，故C正确； 因为函数的图象关于直线对称，所以， 因为函数的周期为，所以，所以，故D正确. 自主检测2已知函数，则下列选项中错误的是（    ） A．为的周期 B．的图象关于对称 C．的图象关于点对称 D．是奇函数 【答案】B 【详解】对于A，因，即为的周期，故A正确； 对于B，因，即， 故的图象不关于对称，即B错误； 对于C，，故的图象关于点对称； 对于D，，令， 则，即是奇函数，故D正确. 题●型●破●译 题型1 根据函数解析式判断函数单调性 例1-1（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，定义域为， 因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数，在单调递增，在单调递减， 所以在上不能满足单调递增，所以A错误； 选项B：，定义域为，，是奇函数，所以B错误； 选项C：，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误； 选项D：，定义域为，，是偶函数； 又， 且当时，，所以， 所以在上单调递增，所以D正确. 例1-2（2026·北京·三模）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，根据幂函数性质知在上单调递增，故A正确； 对B，，则在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C，，根据指数函数性质知其在上单调递减，故C错误； 对D，因为可化为，函数在上单调递减，则在上单调递减. 方法技巧 1. 定义法：在定义域内任取 ，计算 并判断符号。若 ，则为增函数；若 ，则为减函数。关键是对差式进行因式分解、通分、有理化等变形。 1. 导数法：若函数可导，则 在区间上恒成立时 单调递增； 恒成立时 单调递减。注意等号仅出现在个别点时不影响单调性。 1. 图象法：画出函数图象，从左到右看图象的升降趋势，直观判断单调区间。 1. 复合函数法：对于 ，遵循“同增异减”原则——内外层函数单调性相同则复合函数单调递增，相异则单调递减。 1. 常见函数单调性结论：一次函数 （ 增， 减）；二次函数 （ 在对称轴左侧减、右侧增）；反比例函数 （ 在 和 上分别递减）；指数函数 （ 增， 减）；对数函数 （ 增， 减）。 【变式训练1-1】（2026·北京·模拟预测）下列函数中，在上单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式直接判断奇偶性，单调性即可求解. 【详解】对于A，为指数函数， 是非奇非偶函数且在定义域内单调递减，故A选项错误； 对于B，，故为偶函数， 当时，， 由对数函数性质可知在内单调递增，故B选项正确； 对于C，为正切函数，是奇函数， 由正切函数性质可知在区间上单调递增，但在定义域内不具有单调性， 如，，但，故C选项错误； 对于D选项，，， 因为，所以为奇函数， 根据幂函数的相关性质得在定义域内单调递增，故D选项错误. 【变式训练1-2】（2026·北京昌平·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，直接根据反比例函数性质判断；对于B，根据二次函数性质判断；对于C，根据复合函数单调性法则判断；对于D，转化为分段函数，再结合指数函数性质判断. 【详解】对于A，由反比例函数性质知在上单调递增，故错误； 对于B，， 由二次函数性质在上单调递减，在上单调递增，故错误； 对于C，函数在上单调递增，在单调递减， 故由复合函数单调性法则（同增异减）得在上单调递减，故正确； 对于D，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，故错误； 【变式训练1-3】（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】先根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的性质判断函数的单调性即可. 【详解】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以, 所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减, 因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减， 综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 题型2 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值 例1-1（2026·北京·三模）定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对于函数，取， 当时，，所以， 满足； 当时，， 满足； 当时，，满足； 综上，存在，使得对于任意的都有， 但在上不是减函数； 所以“存在，使得对于任意的都有”推不出“为上的减函数”； 反之，因为在上是减函数，且时，有，则有， 即“在上是减函数”能推出“存在，使得对于任意的都有”， 所以“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的必要不充分条件. 例1-2已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 方法技巧 1. 分段函数单调递增：需满足三个条件： 各段在对应区间上均单调递增； 在分段点 处，左侧函数在 处的值 右侧函数在 处的值（即左 右）。 1. 分段函数单调递减：需满足三个条件： 各段在对应区间上均单调递减； 在分段点 处，左侧函数在 处的值 右侧函数在 处的值（即左 右）。 1. 含参函数的单调性：先求导（或利用定义），根据 或 在区间上恒成立，转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求出参数范围。 1. 检验：求出参数范围后，务必代入验证分段点处的大小关系是否满足，端点处是否可取等号需仔细判断。 【变式训练1-1】“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增. 所以“”可以得到“函数在区间上为减函数”， 但“函数在区间上为减函数”可得 “”. 故“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 【变式训练1-2】已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，在上是增函数， 所以在上单调递增，则①， 又时，， 时，，故②， 联立①②，解得． 【变式训练1-3】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域来求得 a 的取值范围. 【详解】函数是开口向上的二次函数，其对称轴为； 因为函数在区间上单调递增， 所以内层函数在区间上单调递增且在区间上恒成立 即，即实数的取值范围是. 故选：B. 题型3 根据函数单调性解不等式 例1-1（25-26高三上·北京·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，且满足当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得函数在上为递增函数，且，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则满足，且， 当时，，因为都是增函数， 可得在上为单调递增函数，所以在上也是单调递增函数， 所以函数在上为单调递增函数，且，， 在不等式，即， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 例1-2（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知定义在实数集上的偶函数，在上单调递增，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数性质得，所求不等式即为，利用函数性质在上单调递增，进而由化为，利用单调性得，求解即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以，不等式等价于， ，构造函数， 因为函数和在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以，则化为，所以，所以或， 故不等式的解集为. 故选：A 方法技巧 1. 转化原理：若 在定义域上单调递增，则 ；若 单调递减，则 。 1. 定义域限制：转化时务必注意函数的定义域，确保 、 均在定义域内。特别对于对数函数、根式函数等，需同时满足真数大于 、被开方数非负等条件。 1. 分段函数不等式：需对自变量 可能所在的不同区间进行分类讨论，分别解出不等式后与对应区间取交集，最后合并各段解集。 1. 抽象函数不等式：利用单调性将函数符号 去掉，转化为自变量之间的不等关系，再结合定义域列出不等式组求解。 【变式训练1-1】已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数关于对称，且在上单调递增， 所以函数关于对称，且在上单调递增， 若，则，得. 【变式训练1-2】已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 【变式训练1-3】定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 题型4 根据函数单调性比较函数值大小关系 例1-1已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过指数函数性质判断函数单调递增得出，结合，，由此即可求解. 【详解】因为，单调递增，单调递减， 单调递增，则单调递增， 故，且，，所以. 例1-2已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 方法技巧 1. 同函数、不同自变量：若已知自变量 与 的大小关系，结合函数的单调性，直接判断 与 的大小：增函数则函数值大小与自变量一致，减函数则相反。 1. 同自变量、不同函数：若需比较 与 的大小，可构造新函数 ，通过判断 的单调性及符号来确定大小关系。 1. 中间量法：当自变量无法直接比较时，引入中间变量（如 、 或已知函数值的点），将要比较的函数值分别与中间量比较，从而得出结论。 1. 利用奇偶性转化：若函数为奇函数或偶函数，先将负自变量的函数值转化为正自变量处的函数值（如 或 ），再结合单调性进行比较。 【变式训练1-1】已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图所示： 由时，则与矛盾，故A错误； 选项B，如图所示： 由时，则与矛盾，故B错误； 对于C，如图所示： 由时，，但是此时，故C错误； 对于D，由函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 若时，有，则，无法确定， 如图所示： 由，则，即， 由，所以，故D正确. 【变式训练1-2】已知偶函数在上单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合单调性和偶函数的性质求解即可. 【详解】 因为，所以，故， 又易知，即，所以. 因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减， 故. 【变式训练1-3】已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数性质可得函数的周期为4，再根据周期性和对称性及单调性即可判断大小. 【详解】因为是R上的偶函数，故； 由，令得，故的周期； 当时，，是增函数，故在上单调递增. 又因为，即. ，即, 由，得， 所以 ， 且，即. 即,且在上单调递增，所以,即. 题型5 根据函数的奇偶性求参数值 例1-1（2026·北京石景山·二模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据偶函数定义求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以，解得. 例1-2（2026·北京·三模）能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 【答案】 1 0 1 【分析】根据奇函数的定义得出即可求解． 【详解】因为是上奇函数，所以， 当时，，， 则， 由得， 所以满足的即为奇函数， 所以可取． 方法技巧 1. 定义法：利用 （偶函数）或 （奇函数）在定义域上恒成立，代入解析式后比较系数，建立方程求参数。 1. 特殊值法：取定义域内的特殊值（如 、 等）代入，利用 或 建立方程求参数。求出后需代回验证是否对所有 都成立。 1. 奇函数在 处有定义：若奇函数 在 处有定义，则必有 。这一结论是求奇函数参数的快捷条件。 1. 分段函数奇偶性：分段函数判断奇偶性时，需分别验证各段是否满足对称关系，一般先求定义域判断是否关于原点对称，再分段代入 进行验证。 1. 检验：求出参数后，务必代回原函数验证 与 的关系是否恒成立，防止增根。 【变式训练1-1】（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义可得出关于的等式，求出实数的值，再结合奇函数的定义域验证即可. 【详解】因为函数是奇函数，则， 即，所以，即， 所以，解得， 当时，，由可得，该函数的定义域为， 此时函数的定义域不关于原点对称，该函数不是奇函数，不符合题意； 当时，，由可得或， 即函数的定义域为或，定义域关于原点对称，符合题意. 综上所述，. 【变式训练1-2】已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质求出的值，进而求解即可． 【详解】由， 则， 又函数为上的奇函数，则， 即对任意成立， 整理得 所以，即，结合，解得， 所以，即． 【变式训练1-3】已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 题型6 抽象函数奇偶性的综合应用 例1-1（2026·北京顺义·三模）已知函数的定义域为，则“函数为奇函数”是“存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数为奇函数，则，都有，故充分性成立； 若，，则有， 但不为奇函数，故必要性不成立， 故“函数为奇函数”是“存在，使得”的充分不必要条件. 例1-2（2026·北京丰台·二模）已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举反例说明充分性不成立，根据奇函数的定义和性质判断必要性成立. 【详解】若在上单调递增，例如， 满足，在区间上单调递增，但， 所以函数不是奇函数，所以充分性不成立； 若函数是奇函数，则， 且在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以在上单调递增，所以必要性成立； 综上所述：“在上单调递增”是“是奇函数”的必要不充分条件. 方法技巧 1. 赋值法：抽象函数没有解析式，需通过给变量赋特殊值（如 、、 等）来推导函数性质。例如，令 可求 ；令 可探索 与 的关系。 1. 构造对称式：若要证明 为奇函数，需证明 ，可通过赋值构造出 与 的关系式。若要证明偶函数，需证明 。 1. 利用奇偶性化简：奇偶性可将 转化为 ，从而将负自变量问题转化为正自变量问题，简化求值或解不等式。 1. 奇偶性与单调性结合：奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。利用这一关系，可将一个区间上的问题转化到另一个区间上求解。 【变式训练1-1】（2026·北京·三模）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数，那么，，通过代换计算出函数的周期及特殊点的函数值即可求解. 【详解】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数， 那么，， 又函数的定义域为， 所以，令，得 ， 即， 令，得 即，所以，， 又，所以，， 令，得，所以， 令，得 ，即 由可得 ，故函数周期为4, ，故选项D正确， 对于选项A，构造函数,，周期为4，但， 选项A不一定成立，故A错误； 对于选项B，同样构造函数，， 选项B不一定成立，故B错误； 对于选项C，，结合选项A可知，不一定成立，故C错误 【变式训练1-2】（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数．关于有下列四个结论： ①的图象关于对称； ②是周期函数； ③若，则； ④若时，，则函数的零点个数为10． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【分析】由函数是偶函数，是奇函数可得函数关于对称以及是以4为周期的周期函数，由此求解即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即，所以关于直线对称，故①错误； 又因为是奇函数，所以，又因为，可得， 进而，所以是以4为周期的周期函数，故②正确； 因为，因为是以4为周期的周期函数，所以，所以，所以，故③正确； 因为时，，因为函数关于对称，所以时，，因为函数的周期为4，可得时，， 时，，当时，交点横坐标为，，且在区间，，，内各有一个交点， 当，交点在区间，，，内各有一个交点，共9个交点，故④错误. 【变式训练1-3】（25-26高三上·北京石景山·期末）关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【分析】利用已知条件以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项. 【详解】对于①，因为为偶函数，所以， 由，可得，则， ，所以函数的图象关于直线对称，故①正确； 对于②，因为，所以， 又，可得， 所以函数的图象关于点对称，故②正确； 对于③，由，且，所以， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故③错误； 对于④，因为，且，所以， 由，所以，又， 所以，所以， 所以，因此，函数是周期为4的周期函数，故④正确. 故答案为：①②④. 题型7 函数周期性的综合应用 例1-1已知函数的定义域为R，且，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件求出周期，再利用周期可得答案. 【详解】， ， 即， 即， 所以4是函数的一个周期， ， ． 例1-2已知定义在上的奇函数满足，则下列说法正确的是（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．的一个周期为4 D．为奇函数 【答案】C 【分析】根据函数对称性、奇偶性、周期性的定义逐项判断即可. 【详解】为奇函数，，所以. ，，即. ，是周期为的函数.所以C正确. 为奇函数，， 所以，所以关于对称，所以A错误. ， 关于对称.所以B错误. 函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到， 关于轴对称，即为偶函数.所以D错误. 故选：C. 方法技巧 1. 周期定义：若存在非零常数 ，使得 对定义域内任意 恒成立，则 为函数的一个周期。最小正周期若存在，称为函数的周期。 1. 常见周期结论： 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 （），则 。 1. 利用周期性求值：周期性可将大自变量转化为小自变量（如 ），结合已知函数值求解。 1. 周期函数的性质：周期函数若有定义域，则定义域必为无界集；周期函数若在某区间上的表达式已知，可通过周期性将其延拓到整个定义域。 【变式训练1-1】已知定义域为的函数满足，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据周期性得出，再根据解析式及对数运算求解. 【详解】因为函数满足，所以， 当时，，则. 【变式训练1-2】已知函数的定义域为，对，与均恒成立，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】先根据题意求出函数的周期，并求出，再根据周期求得的值. 【详解】由，， 令得，， 所以，故，即是周期为4的周期函数. 所以. 故选：B. 【变式训练1-3】已知定义在上的函数满足，且当时，．则的值为（） A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】由可知函数周期为4，先把对周期取余，转化到已知解析式的区间内，再代入计算. 【详解】因为，所以函数的周期. 所以. 当时，，代入： 因此. 故选：B 题型8 函数对称性的综合应用 例1-1函数的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算的值，结合函数对称性的定义可得出结果. 【详解】对任意的，，即函数的定义域为， 又因为 ， 所以，故函数的对称中心为. 故选：D. 例1-2（2026·北京东城·二模）已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】A 【详解】函数图象上任意一点关于轴对称的点为， 代入中得，即，得. 例1-3已知函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】D 【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确. 【详解】由，得，解得， 所以的定义域为，故A，C不正确； 又， 所以为奇函数，图像关于原点对称， 则的图象关于对称，故B不正确，D正确 故选：D. 例1-4已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ） A．8 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】判断出函数与的对称中心，根据两函数图象交点的对称性计算即可. 【详解】由可得，，所以函数关于点对称. 函数的定义域为. 因为， 所以函数关于点对称. 因此函数与函数的图象的交点也关于点对称. 若是两函数图象的交点，则一定是两函数图象的交点， 那么，. 所以. 方法技巧 1. 轴对称：若 ，则函数图象关于直线 对称。特别地， 关于 轴对称（偶函数）。 1. 中心对称：若 ，则函数图象关于点 对称。特别地， 关于原点对称（奇函数）。 1. 对称性与函数值：若函数关于 对称，则 ；若关于点 对称，则 。 1. 多对称轴（或对称中心）推出周期： 若函数有两条对称轴 和 ，则 ； 若函数有两个对称中心 和 ，则 ； 若函数有一条对称轴 和一个对称中心 ，则 。 【变式训练1-1】已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C 【变式训练1-2】已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 【变式训练1-3】若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数过点，求出点关于直线对称点，进而求得，设函数图象上的点关于点的对称点为，点在函数的图象上，代入求解即可. 【详解】函数过点， 而点关于直线对称的点为， 因为函数的图象关于直线对称， 所以点在函数的图象上， 则，即，则， 设函数图象上的点关于点的对称点为， 所以，所以， 因为点在函数的图象上， 所以，所以. 故选：B 【变式训练14】已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据给定函数，探求其对称性及单调性，由此求出目标值. 【详解】函数，则 ，因此函数的图象关于点对称， 函数在上都单调递增，因此函数在上单调递增， 则，而，所以. 故选：B 题型9 周期性对称性的综合应用 例1-1已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 例1-2已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，可求得函数关于轴对称，关于中心对称，周期为4，再根据函数的对称性和周期性，即可求解. 【详解】因为为偶函数，为奇函数， 所以，， 所以函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 所以，令，则，即， 所以，令，则，所以的周期为4， 又，，所以，所以， 又函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 又的周期为4，所以，，， 所以函数一个周期内的函数值为，，，， 所以， 所以 . 方法技巧 1. 对称性 周期性：若函数关于 和 都对称，则函数为周期函数，周期 。推导关键：由 和 联立可得 ，令 ，则 。 1. 周期性 对称性：若函数有周期 且关于 对称，则函数也关于 对称。 1. 求函数值：同时利用周期性和对称性，将自变量化到已知区间或已知点附近，再代入求解。 1. 作图象：根据对称性画出部分图象，再利用周期性进行延拓，可得到整个定义域上的图象。 【变式训练1-1】已知是函数图象的一条对称轴，且的周期为4，当时，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据的周期性，以及对称性，可得，再结合的解析式，即可求得结果. 【详解】因为的周期为，故； 又是的一条对称轴，则，故； 又当，，则，故. 故选：C. 【变式训练1-2】已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由奇函数定义可得，由对称性性质可得，再证明函数为周期为的周期函数，结合周期性性质和奇函数性质求结论. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 因为的图象关于对称， ， 令可得，， 所以，故函数的一个周期为4， 所以． 【变式训练1-3】已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性定义分析函数的对称性和周期性，根据函数性质逐项分析判断. 【详解】由为偶函数，得，即关于对称. 由为奇函数，得，令可得. 所以，， 联立得，，周期为. 选项A：仅知关于对称，无任何条件可推出，值不确定，A错误. 选项B：由为奇函数得，由对称性，未知，故不一定成立，B错误. 选项C：由，令，得，即恒成立，C正确. 选项D：在中，令，得，由， 所以，故，不一定等于，D错误. 题型10 周期性奇偶性的综合应用 例1-1已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，推得是以为周期的周期函数，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 例1-2已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（   ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【分析】利用题干条件得到和是周期为4的周期函数，再利用是奇函数，得到为偶函数，最后求出函数和在一个周期内的函数值，进而利用周期求出和的值. 【详解】因为，所以， 又，则有，因为是奇函数，所以， 可得，即，所以， 所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数， 因为是奇函数，所以， 将替换为可得，又， 所以，所以为偶函数，故A错误； 由是奇函数，则，所以，又， 所以，所以C选项错误； 由，得，所以B选项错误； 因为，， 所以， 所以，所以D选项正确． 方法技巧 1. 奇函数 + 周期函数：若奇函数 的周期为 ，则 ，且由周期性 ，联立可得 ，进而可得 （）。 1. 偶函数 + 周期函数：偶函数与周期函数结合时，可利用周期性将函数值转化到同一个周期内，再结合偶函数的对称性进行化简。 1. 周期为 的奇函数：若 为奇函数且周期 ，则 （由周期），又 （由奇函数），故 。因此 与 均为零点。 1. 利用性质求解析式：若已知函数在一个周期内的表达式及奇偶性，可通过周期延拓和对称变换求出整个定义域上的解析式。 【变式训练1-1】已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性推出是以为周期的周期函数，根据周期性计算可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，又为偶函数， 所以，，且， 则，即， 所以，即是以为周期的周期函数， 由，，， 所以，，， 所以． 【变式训练1-2】已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义及周期函数的定义确定函数的周期，进而求出指定函数值. 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，则， 由是奇函数，得，因此， 则，因此， 函数是一个周期为4的函数，且， 所以. 【变式训练1-3】已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据奇偶性求出周期，然后利用周期即可求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，， 所以有， 由为偶函数可得， 故有，， 即，，故， 所以周期，所以， 故． 题型11 奇偶性对称性的综合应用 例1-1已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 例1-2已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性、对称性以及单调性分析即可. 【详解】由，则， 所以， 所以函数关于直线对称， 由， 即， 因为是上的奇函数， 所以， 所以， 所以函数最小正周期为8， 由在上单调递增，根据函数对称性知在上单调递减， 由，，， 所以当时，函数与函数大致图象为：        所以与函数交点个数为2个. 方法技巧 1. 奇函数 + 对称轴：若奇函数 关于直线 对称，则 也是周期函数，且 （当 时）。 推导：由 和 ，可得 ，从而 ，故 。 1. 偶函数 + 对称中心：若偶函数 关于点 对称，则 是周期函数，且 （当 时）。 1. 奇偶性与对称性的互推： 奇函数 关于原点 对称； 偶函数 关于 轴（）对称。 1. 求零点或交点：利用奇偶性（对称性）可将零点或交点的个数减半求解。例如，奇函数在 上有 个零点，则在 上也有 个零点，且 处可能也为零点。 【变式训练1-1】已知函数，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取代入确定，即得，根据是偶函数及函数的对称轴即可求得的值. 【详解】将代入，可得，则， 于是，显然其对称轴， 而是偶函数即曲线关于对称，故得. 故选：C. 【变式训练1-2】已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数和偶函数的性质，对原等式进行变形，得出的递推式，结合所求推出，进而求解． 【详解】是奇函数，， ①， 把中的替换为，则②， 等式①加上②可得： ， 是偶函数，， ， 令，则 取，则，解得， 取，则，解得， 取，则，解得， 以此类推，对任意整数，， ，故C正确． 故选：C． 【变式训练1-3】我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（    ） A．8088 B．4044 C．2022 D．1011 【答案】B 【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心为，可得，结合对称性进行配对求和即可. 【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数， 即为奇函数， 必有且，解得， 所以的图象的对称中心为，即有， ，，，， 所以， ， . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题关键是确定的对称中心，解题时根据定义，利用是奇函数，得出图象的对称中心，然后函数值配对求和． 题型12 函数性质的全部综合应用 例1-1（25-26高三上·北京昌平·期末）已知函数的定义域为，且满足，为奇函数.给出下列四个结论： ①；②；③为周期函数；④为偶函数. 其中正确结论的序号是_______. 【答案】①③ 【分析】根据奇函数的性质，以及函数对称性，求出函数的周期，进而判断各结论正误，求出结果即可. 【详解】由，令，即，得，等价于； 由为奇函数，得， 所以，即函数周期为2，所以③正确； 由和周期为2，可得，即，所以①正确； 由函数周期为2，可知，， 因为，所以，所以②错误； 由函数周期为2，可知， 由①可知，所以，所以④错误； 故答案为：①③. 例1-2（25-26高三上·北京·阶段检测）关于定义域为的函数，下列说法中正确的个数为（    ）. ①存在两个单调递减函数与 ②存在奇函数与偶函数 ③存在单调递增函数与偶函数 ④存在单调递增函数与减函数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】对于①：取，，即可判断； 对于② ：取，，即可判断； 对于③：设，由是偶函数，在上单调递减，在单调递增，即可判断； 对于④： 取，，即可判断. 【详解】对于①： 取（单调递减），（单调递减）， 满足，故①正确； 对于② ： 取（奇函数），（偶函数）， 满足，故②正确； 对于③：设，若是偶函数，则的图象关于轴对称， 要单调递增，则需在R上单调递增， 而在上单调递减，在单调递增，无法满足，故③错误； 对于④： 取（单调递增），， 由于， 故在R上单调递减，且满足，故④正确. 故①②④正确，共3个正确说法. 故选：D. 方法技巧 1. 性质识别与转化：遇到综合问题时，首先识别题目中涉及哪些性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性），将文字语言转化为数学符号语言： 单调性：增/减、； 奇偶性：、图象关于原点/ 轴对称； 周期性：； 对称性： 或 。 1. 建立联系：利用以下关系将不同性质串联： 奇函数 + 对称轴 周期函数； 偶函数 + 对称中心 周期函数； 两条对称轴 周期函数； 两个对称中心 周期函数； 对称轴 + 对称中心 周期函数。 1. 赋值与递推：对于抽象函数综合题，通过赋值法（令 、 取特殊值）推导新的函数关系，再结合已有性质进行化简。 1. 求值与解不等式：利用周期性将自变量化到已知区间，利用奇偶性将负号化掉，利用单调性去掉函数符号 ，转化为普通不等式求解。 1. 作示意图：综合题中，可先根据已知性质画出函数的大致图象（至少一个周期内），利用图象直观判断零点个数、交点个数、值域等问题。 1. 检验与总结：多性质综合题的参数求解，需验证参数是否同时满足所有性质条件，确保答案的完整性和准确性。 【变式训练1-1】定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据已知推得是周期为8的周期函数，结合对称性求得，利用导数研究函数的区间单调性，应用周期性、对称性求最值，即可得. 【详解】因为定义在上的函数满足： ，所以的图象关于直线对称， ，所以的图象关于点对称， 所以，， 所以，则， 所以，则， 故是周期为8的周期函数，的定义域为， 所以对称中心在的图象上，可得，所以， 当时，，则， 当或时，；当时，． 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，极大值，极小值， 因为，，所以，， 因为的图象关于点对称，所以时，，． 当时，，． 由于的图象关于直线对称，故时，，． 因为是周期为8的周期函数，故当时，，． 因此的最大值与最小值的差为． 【变式训练1-2】已知函数，的定义域均为，且 ， ．若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象关于直线对称的性质，推导的对称性表达式，判断A；联立已知的两个含和的等式，通过变量替换消去相关项，推导的递推关系，判断B；代入特殊值到已知等式中，结合的条件，计算，判断C；根据的递推关系确定其周期，计算一个周期内的和，再计算26项的总和，判断D. 【详解】  ①，  ②， 关于对称，故  ③， 从②式换元得，代入①式得：， 代入③式的，得： ， 换元得：  ④，再将 得，联立得，即周期为4， 对应也满足，周期也为4. 选项A：即，但由式④， 得，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，由得， ，故C错误； 选项D：由得，又，故，解得，，， ，. 一个周期和为：，从到共6个完整周期（24项）， 剩余，，总和为： ， 故D正确. 【变式训练1-3】已知函数与的定义域均为R，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不正确的有（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．的周期 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合对称性、奇函数的性质可得函数图象的对称中心及对称轴，再逐项判断即得. 【详解】对于A，令是函数的图象上任意一点， 因为函数与的定义域均为R，且它们的图象关于对称， 所以在的图象上，即，则， 由为奇函数，得， 所以，有，即函数的图象关于点对称， 又，则，函数的图象关于对称，A正确； 对于C，，即， 则，的周期，C正确； 对于D，，则，D正确； 对于B，由以及周期为4，得，函数的图象关于对称， 若图象关于点对称，则，即， 而没有条件确保恒成立，B错误． 【变式训练1-4】已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（   ） A．2026 B．1013 C．1 D．-1 【答案】D 【详解】因为且，所以， 因为，所以关于直线对称， 则原函数关于点对称，所以 所以， 令，则，即， 所以， 所以的周期为， 又，即，所以的周期也为， 由得， 由得，所以， 由得，所以， 又，所以， 所以， 所以， 又， 所以. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 4．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【详解】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 5．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误. 【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．(1)从偶函数的定义出发,证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称; (2)从奇函数的定义出发,证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】先证明充分性，再证明必要性，即得证. 【详解】证明:(1)充分性:若的图象关于y轴对称,设为图象上任意一点,则M关于y轴的对称点仍在该图象上,即. 所以为偶函数, 必要性:若为偶函数,设为图象上任意一点,M关于y轴的对称点为,由于为偶函数,所以,所以在的图象上,所以的图象关于y轴对称. (2)充分性:若的图象关于原点对称,设为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点仍在该图象上,所以,所以为奇函数. 必要性:若为奇函数,设为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点为,由于为奇函数,所以,所以仍在的图象上,所以的图象头于原点对称. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整. 【答案】见解析 【详解】解:因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以补充后图象如图所示. 【点睛】本题主要考查奇偶函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．设函数的定义域为I，区间，记.证明： （1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有； （2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出在D上单调递增，再证必要性，不妨设，则，由函数在D上单调递增，得出，即可证明； （2）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出在D上单调递减，再证必要性，不妨设，则，由函数在D上单调递减，得出，即可证明； 【详解】证明：（1）充分性：不妨设，则 即 在D上单调递增. 必要性：若在D上单调递增. 则，不妨设，则. . 即，都有. （2）充分性：不妨设，则， ，即， 在D上单调递减. 必要性：若在D上单调递减. ，不妨设，则. 即，都有. 【点睛】本题主要考查了利用函数单调性的定义证明单调性以及利用单调性比较函数值的大小，属于中档题. 4．已知函数是定义域为的奇函数，当时，. （1）求出函数在上的解析式 （2）画出函数的图象，并指出函数的单调区间. 【答案】（1）（2）图象见解析，增区间是，减区间是 【详解】(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0； ②当x＜0时，－x＞0，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)． 所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x. 综上：f(x)＝ (2)图象如图所示． 由图可知，增区间是，减区间是 5．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)请写出一个图象关于点（-1，0）成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心. 【答案】(1)（注：答案不唯一，只要满足为奇函数） (2) 【详解】（1）因为函数的图象关于点成中心对称， 所以为奇函数，只要设， 则. （注：答案不唯一，只要满足为奇函数） （2）设函数图象的对称中心为， 则 ， 因为为奇函数，所以， 即 ， 所以得， 解得，. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．下列函数中满足定义域为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：设，定义域为全体实数， ，所以该函数是奇函数，不符合题意； B：设，定义域为，显然不是实数集，不符合题意； C：设，定义域为全体实数， ，所以该函数不是偶函数，不符合题意； D：令，定义域为全体实数， ，所以该函数是偶函数，符合题意， 故选：D 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一分析各函数的奇偶性和单调性即可得解. 【详解】对A，设，显然定义域为，关于原点对称， 且，则其是偶函数，A错误； 根据正弦函数性质知为奇函数，但在区间上不单调，B错误； 对函数，定义域为，且， 所以函数是奇函数，又在区间上均单调递减， 所以函数在区间上均单调递减，C正确； 图象关于y轴对称，是偶函数，D错误. 故选：C 3．定义域为的函数，，“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的概念结合奇偶函数的概念与性质进行判断. 【详解】因为“、均为偶函数”可以推出“函数为偶函数”，所以“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的充分条件； 因为当、均为奇函数时，也为偶函数， 所以“、均为偶函数”不是“函数为偶函数”的必要条件. 综上“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 4．已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用得出，再利用偶函数的定义检验即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 即，解得， 所以， 又， 且的定义域为关于原点对称， 所以是偶函数，满足题意，所以. 故选：A. 5．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 6．设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【详解】因为是定义在上且周期为2的奇函数， 所以，， 所以， 因为当时，，所以，所以. 7．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是定义域为的奇函数，可得， ，令，得， 令，得， 又函数为上的奇函数，故. 8．若函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数定义，结合指数运算求解即得. 【详解】函数的定义域为R， 由是偶函数，得，，即， 因此，即，则， 所以. 9．若奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性转化不等式，利用函数单调性列不等式求的取值范围． 【详解】已知是奇函数，且， ，不等式等价于， 在上单调递减， ，解得，即，故C正确． 故选：C． 10．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性和对称性可证明周期性，从而利用周期性来求值，即可求出结果. 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 即， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 即，所以，所以函数以4为周期, 即， 所以. 故选：B 11．若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件构造新函数，判断新函数的单调性，由新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 令， 因为对，且，有， 所以有，所以函数是上的增函数， 由， 故选：C 12．已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项. 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 13．已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误. 【详解】因为定义在R上的单调函数，则，时. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或 由，则舍去，得， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误； 对于C，令，则或（舍）， 则，取， 则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 则，故D正确. 故选：B 14．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中，令，得到，求得，得到A不一定正确，C错误；又由中，令，，可判定B错误，D一定正确. 【详解】因为是奇函数，且， 在中，令，可得， 所以， 所以，，故A不一定正确，C错误. 在中，令，可得， 因为函数是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以，，所以B错误，D一定正确. 故选：D. 15．已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（    ） A．116 B．115 C．114 D．113 【答案】C 【分析】由可得函数的周期为， 再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解. 【详解】由，得， 即， 所以， 所以函数的周期为， 又为偶函数， 则， 所以， 所以函数也为偶函数， 又， 所以，， 所以， 又，即，所以， 又，， ， 所以 故选：. 重难·创新演练 16．已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断. 【详解】对于A选项：令，则； 令，则，所以，故A正确； 对于B选项：因为， 两边求导，得，即，即； 因为为偶函数，所以， 所以，故成立，故B正确； 对于C选项：因为， 所以，（为常数） 未必为0，故C错误； 对于D选项：因为， 令，则，故D正确. 17．已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 18．定义在上的函数与满足：，若是奇函数，则（　　） A．0 B．2025 C．4050 D．6075 【答案】A 【分析】先利用奇函数性质推导的对称性与奇偶性相关结论，根据，分析的周期性，确定其周期，结合的性质推导的相关性质，进而得到的表达式，根据的周期性，计算一个周期内的和，再结合2025与周期的关系，求解总和. 【详解】因为是奇函数，所以，换元得， 说明关于点中心对称，令得； 由，得关于轴对称，结合可推得： ，因此的周期，且； 由，得，计算（一个周期）的和： ：，故， ：， ：，故， ：，故， 一个周期和为：； ，即前项共个完整周期，和为； 剩余最后一项，， 故， 因此. 19．已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据题意利用赋值法可得，，根据奇函数定义可得，赋值可得，分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解. 【详解】因为， 令，则，即， 且，可得， 令，则， 且不恒为0，则，即， 又因为为奇函数，则，即， 令，则，可得， 且， 令，则；令，则； 可得，可知函数的一个周期为4， 则， 所以. 20．已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A． B．2025 C．1 D． 【答案】B 【详解】因为①， 所以，所以， 所以函数是周期函数，且周期为4. 所以. 在①中，令得：. 因为为奇函数，所以② 在②中，令可得：. 结合①可得③. 在②中，令，可得； 在③中，令，可得； 在②中，令，可得. 由函数的周期性可知，的值呈周期变化， 故. 21．关于定义域为的函数，下列说法中正确的个数为（    ）. ①存在两个单调递减函数与 ②存在奇函数与偶函数 ③存在单调递增函数与偶函数 ④存在单调递增函数与减函数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】对于①：取，，即可判断； 对于② ：取，，即可判断； 对于③：设，由是偶函数，在上单调递减，在单调递增，即可判断； 对于④： 取，，即可判断. 【详解】对于①： 取（单调递减），（单调递减）， 满足，故①正确； 对于② ： 取（奇函数），（偶函数）， 满足，故②正确； 对于③：设，若是偶函数，则的图象关于轴对称， 要单调递增，则需在R上单调递增， 而在上单调递减，在单调递增，无法满足，故③错误； 对于④： 取（单调递增），， 由于， 故在R上单调递减，且满足，故④正确. 故①②④正确，共3个正确说法. 故选：D. 22．定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上严格递增，在区间上严格递减，为正整数． ①若，且存在最小值，则存在最小值； ②若，且存在最大值，则存在最大值． 则针对以上两个命题下列判断正确的是（     ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】D 【分析】分别构造满足题设单调性和连续性的函数，说明命题①和命题②都不成立．构造函数时，不用画图直接说明，而是先给出各整数点处的函数值，再在每个小区间内用一次函数明确写出函数表达式，这样可以保证函数图象连续，且能直接判断每段的单调性． 【详解】①，构造如下函数． 对任意正整数，规定 并且在区间上令 在区间上令 这样定义后，处左右两段的函数值都等于，处左右相邻两段的函数值都等于， 所以函数图象是一条连续不断的曲线． 在上，函数是一次函数，斜率为所以在上严格递增． 在上，函数是一次函数，斜率为所以在上严格递减． 因此该函数满足题设的连续性和单调性要求． 因为且所以存在最小值． 但是该函数各段端点值都为正数，且每一段都是两个正数之间的一次函数，所以，从而． 又当越来越大时，可以任意接近，但不等于． 所以可以任意接近，却不能取到，因此不存在最小值．故①是假命题． ②，构造如下函数．对任意正整数，规定 在区间上，令 在区间上，令 同理，该函数在相邻小区间端点处的函数值一致，所以函数图象连续不断． 在上，斜率为故函数严格递增； 在上，斜率为故函数严格递减． 因此该函数也满足题设的连续性和单调性要求． 因为且 所以存在最大值． 下面说明没有最大值． 在上述函数中，各段的函数值都在与之间，并且正向最大端点值为 因此对任意，都有． 另一方面， 当越来越大时，可以任意接近，但不等于． 所以可以任意接近，却不能取到，因此不存在最大值，故②是假命题． 23．设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 下列选项中正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【详解】对于①，取，，则， 因为和的正周期分别为和， 而是无理数，则有，所以不是周期函数，①错误； 对于②，若，其中，， 可得； 若，其中，即， 整理得，令， 则，则，其中，下证恒成立. 假设存在，，考虑 ， 因为，所以当足够大时，有， 这与矛盾， 所以即恒成立，故函数存在正整数周期，②正确， 综上，①是假命题，②是真命题． 24．已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论： ①若函数，则的最大值为； ②若函数和都是减函数，则也是减函数. 则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】①结合题设定义分、两种情况求出的值域即可判断；②根据减函数的定义可得，且时，都有，再结合的定义可得，进而判断即可. 【详解】①由， 当时，，则， 即，所以，则， 此时； 当时，，则， 即，所以，则， 此时. 综上所述，的最大值为，故①正确； ②因为函数和都是减函数， 则对于，且时，都有， 由，则， 所以必有，， 又，则， 所以也是减函数，故②正确. 25．设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 【答案】B 【分析】对于结论①，利用反证法假设存在，找到满足，引出矛盾即可证明正确；对于结论②，采用类似的分析找到满足，利用推出，再利用推出，引出矛盾即可证明错误. 【详解】对于结论①，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时有， 根据，依题意有，这与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论①正确； 对于结论②，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时， 依题意，由有，即，所以， 而可推出即，与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论②错误. 【点睛】本题采用了反证法证明奇偶性，通过灵活利用已知条件得到矛盾的结果，并利用了两个实数之间总能找到一个实数这一结论. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $