第17讲 三角函数的概念与诱导公式讲义-2027届高三数学一轮复习

第17讲 三角函数的概念与诱导公式 内 容 导 航 知识点1 任意角与弧度制 知识点2 三角函数的概念 知识点3 同角三角函数的基本关系式 知识点4 三角函数的诱导公式 知识点5 象限角与弧度制的应用 知识点6 三角函数的定义与坐标运算 知识点7 同角三角函数基本关系的应用 知识点8 诱导公式的化简与求值 知识点9 同角关系与诱导公式的综合应用 知识点10 三角函数的化简与证明 题型1 终边相同的角（角度制） 题型2 象限角、轴线角 题型3 终边相同的角（弧度制） 题型4 弧长公式 题型5 扇形面积公式 题型6 三角函数的定义域 题型7 三角函数值的符号 题型8 单位圆与周期性 题型9 同角正弦、余弦的平方和为1 题型10 同角正弦、余弦的商为正切 题型11 运用诱导公式化简求值 知 识 点 通 关 知识点1 任意角与弧度制 一、 角的概念推广 1. 按旋转方向：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（未旋转）。 2. 按终边位置：象限角（终边在象限内）、轴线角（终边在坐标轴上）。 3. 终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成集合（角度制）或（弧度制）。 二、 弧度制换算关系： 1. ，，。 2. 弧长公式：（为弧度数，为半径）。 3. 扇形面积公式：。 知识点2 三角函数的概念 1.坐标定义 设角终边上任意一点（不与原点重合），，则： 2.单位圆定义 角的终边与单位圆交于点，则，，。 3.三角函数在各象限的符号 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sinα 叫做α的余弦，记作cosα 叫做α的正切，记作tanα 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c) 补充：只需要了解的其他三角函数。 叫做的正割，记作 叫做的余割，记作 叫做的余切，记作 4. 特殊角的三角函数值 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 15° 75° 弧度 0 sinα 0 1 0 cosα 1 0 －1 tanα 0 1 -1 0 2- 2+ 知识点3 同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系： 2. 商数关系： 常用变形 • ，； • ； • 。 知识点4 三角函数的诱导公式 1.六组核心诱导公式 组数 角的形式 正弦 余弦 正切 一 二 三 四 五 — 六 — 2.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 奇变偶不变：的奇数倍加，函数名变名（正弦↔余弦）；偶数倍加，函数名不变。 符号看象限：将视为锐角，判断原角所在象限，确定原三角函数值的符号。 3.化简原则 负角化正角，大角化小角，化到锐角再求值。 知识点5 象限角与弧度制的应用 方法技巧 1. 判断所在象限：先写出的范围，再除以，对分类讨论； 2. 扇形问题抓住两个核心公式：弧长 l=θrS=； 3. 终边相同角问题，统一表示为，再根据范围确定k值。 易错分析 1. 混淆角度制与弧度制，公式混用导致计算错误； 2. 判断象限角时忽略轴线角的特殊情况； 3. 扇形周长遗漏两条半径，仅计算弧长。 知识点6 三角函数的定义与坐标运算 方法技巧 1. 已知终边上一点坐标，直接用定义求三角函数值，注意恒成立； 2. 终边在某条直线上时，需分两种象限情况讨论，避免漏解； 3. 已知一个三角函数值求参数，代入定义列方程求解，结合象限符号取舍。 易错分析 1. 忽略终边的两种方向，只计算一种象限的情况； 2. 定义中分子分母记反，导致结果错误； 3. 忽略三角函数定义域，正切值存在的条件遗漏。 知识点7 同角三角函数基本关系的应用 方法技巧 1. 齐次式求值：分子分母同除以，化为的表达式； 2. 知一求二：利用平方关系和商数关系，结合象限符号确定结果； 3. 与的转化：平方后建立联系，注意根据角的范围判断符号。 易错分析 1. 开平方时忽略象限符号，导致多解错误； 2. 二次齐次式漏算常数项的次数（常数视为 0 次，需补）； 3. 平方后扩大取值范围，未结合角的范围回代检验。 知识点8 诱导公式的化简与求值 方法技巧 1. 诱导公式应用步骤：负角化正→大角化小→锐角求值； 2. 互余、互补角的转化：若，则；若，则，； 3. 整体代换思想：将已知角视为整体，寻找所求角与已知角的和差关系。 易错分析 1. “奇变偶不变” 中奇偶判断错误，函数名变错； 2. 符号判断时，未将视为锐角，导致符号错误； 3. 化简时遗漏负号，或多次变号时计算失误。 知识点9 同角关系与诱导公式的综合应用 方法技巧 1. 综合题解题思路：先用诱导公式化简，再用同角关系求值； 2. 已知条件和所求式子分别化简，寻找二者关联； 3. 含参数的角，先利用诱导公式消去周期，再结合范围计算。 易错分析 1. 诱导公式化简过程中符号连续出错； 2. 忽略角的象限，开方时符号判断错误； 3. 大角化小角时，周期计算错误导致角度化简偏差。 知识点10 三角函数的化简与证明 方法技巧 1. 化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂； 2. 证明常用方法：从繁到简、左右归一、变更命题； 3. 常用技巧：1 的代换（）、因式分解、配方。若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。 易错分析 1. 变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形； 2. 公式记错，平方差、完全平方公式应用错误； 3. 切割化弦时，正切换算遗漏分母。。 考 点 演 练 题型1 终边相同的角（角度制） 【典例1】下列选项中与角α＝1560°终边相同的角是（　　） A．﹣60° B．60° C．120° D．240° 【变式1】下列各角中，与996°终边相同的角为（　　） A．﹣84° B．﹣276° C．245° D．84° 题型2 象限角、轴线角 【典例1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列结论正确的是（　　） A．若α为第一象限角，则 B．若，则sinβ+cosα＝0 C．tan22°+tan23°+tan22°tan23°＝1 D． 题型3 终边相同的角（弧度制） 【典例1】已知集合，则A∩B＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】与终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 题型4 弧长公式 【典例1】如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（　　） A．R B．R C．R D．2R 【变式1】某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm，则小轮每秒转过的弧长是（　　）cm． A．10π B．5π C． D． 题型5 扇形面积公式 【典例1】如图所示，已知两个半径相等的圆形相切，半径为3厘米，两圆的圆心分别为M和N，Q为圆M上一点，且三角形MNQ为直角三角形，则阴影部分的面积为（　　） A．2.5π B．2.25π C．3π D．3.25π 【变式1】如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，则矩形ABCD面积的最大值为　 　 ． 题型6 三角函数的定义域 【典例1】已知函数，则（　　） A．f（x）的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z} B．f（x）的值域为R C．f（x）在上单调递增 D．存在，使得函数y＝f（x）﹣a恰有两个零点 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．命题“函数y＝tan（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}”是真命题 B．“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充要条件 C．“a＝﹣1”是“函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的充分不必要条件 D．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0≤1，x02﹣x0≤0” 题型7 三角函数值的符号 【典例1】角θ是第三象限角的充要条件是（　　） A．sinθ＞0且cosθ＞0 B．sinθ＜0且tanθ＞0 C．cosθ＜0且tanθ＜0 D．sinθ＜0且cosθ＞0 【变式1】角θ为第三象限角的充要条件是（　　） A． B． C． D． 题型8 单位圆与周期性 【典例1】设任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），角α+θ的终边与单位圆的交点为P2（y，﹣x），则下列说法中正确的是（　　） A．sin（α+θ）＝sinα B．sin（α+θ）＝﹣cosα C．cos（α+θ）＝﹣cosα D．cos（α+θ）＝﹣sinα 【变式1】已知角α的终边与单位圆相交于点P（sin，cos），则sinα＝（　　） A． B． C． D． 题型9 同角正弦、余弦的平方和为1 【典例1】已知α是锐角，，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知，则的值为（　　） A． B．﹣4 C． D．4 题型10 同角正弦、余弦的商为正切 【典例1】已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】若，则α＝（　　） A． B． C． D． 题型11 运用诱导公式化简求值 【典例1】已知tan（3π+θ）＝﹣1，则（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【变式1】若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．与角943°18′的终边相同的角的集合为（　　） A．{x|x＝43°18′+k×360°，k∈Z} B．{x|x＝43°18′+k×180°，k∈Z} C．{x|x＝223°18′+k×180°，k∈Z} D．{x|x＝223°18′+k×360°，k∈Z} 2．集合{α|45°+k•180°≤α≤90°+k•180°，k∈Z}中角α的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（　　） A． B． C． D． 3．“α是锐角”是“α是第一象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知，角A为第三象限角，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是（　　） A． B． C． D． 6．如图，△ABC是边长为a的正三角形．曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的圆弧，称曲线CA1A2A3为螺旋线旋转一圈，然后又以A为圆心，AA3为半径画弧，⋯，如此下去，画到第10圈，则所得螺旋线的总长度为（　　） A． B．310πa C．58πa D．110πa 7．下列说法正确的是（　　） A．sin2cos3＜0 B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为π C．终边落在直线x+y＝0上的角的集合是 D．函数的定义域为 8．古希腊数学家托勒密（Ptolemy85﹣165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角α（0°＜α＜360°）所对的弦长记为crdα．例如60°圆心角所对弦长等于60个度量单位，即crd60°＝60．则（　　） A．crd30°＝30 B．若crdα＝120，则α＝180° C． D．crdα+crdβ＞crd（α+β）（0°＜α+β＜360°） 9．在面积为S（S为定值）的扇形中，当扇形圆心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ，r的值分别是（　　） A．θ＝1，r B．θ＝2，r C．θ＝2，r D．θ＝2，r 10．如图，分别以等边三角形ABC三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　） A． B． C． D． 11．如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，AB∥CD，∠CAD＝120°，扇形圆心角∠BAC＝45°，，则扇形区域的面积为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 13．下列说法正确的是（　　） A．若cosα＜0且sinα＞0，则α为第二象限角 B．终边在直线y＝x上的角的集合是 C．若扇形的圆心角为，弧长为π，则扇形的面积为3π D．函数的定义域为 14．若cosθ＞0且tanθ＜0，则θ为第（　　）象限的角． A．一 B．二 C．三 D．四 15．若α＝﹣5，则（　　） A．sinα＞0，cosα＞0 B．sinα＞0，cosα＜0 C．sinα＜0，cosα＞0 D．sinα＜0，cosα＜0 16．如图，A、B是单位圆O上的点，C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为，三角形AOB为直角三角形． （1）求sin∠COA，cos∠COA的值； （2）求cos∠COB的值． 17．已知函数f（x）＝cos2x+2cos2（x）． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若α∈（0，），f（α），求cos2α． 18.设甲：cos2α+cos2β＝1，乙：cosα+sinβ＝0，则甲是乙的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．已知α∈（0，π），，则tanα＝（　　） A．3 B． C． D．﹣3 20．设，，且，则（　　） A． B． C． D． 21．若θ∈（0，π），，则（　　） A． B． C． D． 22．已知，则（　　） A．﹣1 B． C． D．1 23．若sin20°＝m，则tan20°＝（　　） A． B． C． D． 24．已知α∈（0，π），则“”是“”的（　　）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 25．已知是角α终边上的一点，则sin（π﹣α）＝（　　） A． B． C． D． 26．sin（α），则cos（α）的值为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 三角函数的概念与诱导公式 内 容 导 航 知识点1 任意角与弧度制 知识点2 三角函数的概念 知识点3 同角三角函数的基本关系式 知识点4 三角函数的诱导公式 知识点5 象限角与弧度制的应用 知识点6 三角函数的定义与坐标运算 知识点7 同角三角函数基本关系的应用 知识点8 诱导公式的化简与求值 知识点9 同角关系与诱导公式的综合应用 知识点10 三角函数的化简与证明 题型1 终边相同的角（角度制） 题型2 象限角、轴线角 题型3 终边相同的角（弧度制） 题型4 弧长公式 题型5 扇形面积公式 题型6 三角函数的定义域 题型7 三角函数值的符号 题型8 单位圆与周期性 题型9 同角正弦、余弦的平方和为1 题型10 同角正弦、余弦的商为正切 题型11 运用诱导公式化简求值 知 识 点 通 关 知识点1 任意角与弧度制 一、 角的概念推广 1. 按旋转方向：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（未旋转）。 2. 按终边位置：象限角（终边在象限内）、轴线角（终边在坐标轴上）。 3. 终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成集合（角度制）或（弧度制）。 二、 弧度制换算关系： 1. ，，。 2. 弧长公式：（为弧度数，为半径）。 3. 扇形面积公式：。 知识点2 三角函数的概念 1.坐标定义 设角终边上任意一点（不与原点重合），，则： 2.单位圆定义 角的终边与单位圆交于点，则，，。 3.三角函数在各象限的符号 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sinα 叫做α的余弦，记作cosα 叫做α的正切，记作tanα 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c) 补充：只需要了解的其他三角函数。 叫做的正割，记作 叫做的余割，记作 叫做的余切，记作 4. 特殊角的三角函数值 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 15° 75° 弧度 0 sinα 0 1 0 cosα 1 0 －1 tanα 0 1 -1 0 2- 2+ 知识点3 同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系： 2. 商数关系： 常用变形 • ，； • ； • 。 知识点4 三角函数的诱导公式 1.六组核心诱导公式 组数 角的形式 正弦 余弦 正切 一 二 三 四 五 — 六 — 2.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 奇变偶不变：的奇数倍加，函数名变名（正弦↔余弦）；偶数倍加，函数名不变。 符号看象限：将视为锐角，判断原角所在象限，确定原三角函数值的符号。 3.化简原则 负角化正角，大角化小角，化到锐角再求值。 知识点5 象限角与弧度制的应用 方法技巧 1. 判断所在象限：先写出的范围，再除以，对分类讨论； 2. 扇形问题抓住两个核心公式：弧长 l=θrS=； 3. 终边相同角问题，统一表示为，再根据范围确定k值。 易错分析 1. 混淆角度制与弧度制，公式混用导致计算错误； 2. 判断象限角时忽略轴线角的特殊情况； 3. 扇形周长遗漏两条半径，仅计算弧长。 知识点6 三角函数的定义与坐标运算 方法技巧 1. 已知终边上一点坐标，直接用定义求三角函数值，注意恒成立； 2. 终边在某条直线上时，需分两种象限情况讨论，避免漏解； 3. 已知一个三角函数值求参数，代入定义列方程求解，结合象限符号取舍。 易错分析 1. 忽略终边的两种方向，只计算一种象限的情况； 2. 定义中分子分母记反，导致结果错误； 3. 忽略三角函数定义域，正切值存在的条件遗漏。 知识点7 同角三角函数基本关系的应用 方法技巧 1. 齐次式求值：分子分母同除以，化为的表达式； 2. 知一求二：利用平方关系和商数关系，结合象限符号确定结果； 3. 与的转化：平方后建立联系，注意根据角的范围判断符号。 易错分析 1. 开平方时忽略象限符号，导致多解错误； 2. 二次齐次式漏算常数项的次数（常数视为 0 次，需补）； 3. 平方后扩大取值范围，未结合角的范围回代检验。 知识点8 诱导公式的化简与求值 方法技巧 1. 诱导公式应用步骤：负角化正→大角化小→锐角求值； 2. 互余、互补角的转化：若，则；若，则，； 3. 整体代换思想：将已知角视为整体，寻找所求角与已知角的和差关系。 易错分析 1. “奇变偶不变” 中奇偶判断错误，函数名变错； 2. 符号判断时，未将视为锐角，导致符号错误； 3. 化简时遗漏负号，或多次变号时计算失误。 知识点9 同角关系与诱导公式的综合应用 方法技巧 1. 综合题解题思路：先用诱导公式化简，再用同角关系求值； 2. 已知条件和所求式子分别化简，寻找二者关联； 3. 含参数的角，先利用诱导公式消去周期，再结合范围计算。 易错分析 1. 诱导公式化简过程中符号连续出错； 2. 忽略角的象限，开方时符号判断错误； 3. 大角化小角时，周期计算错误导致角度化简偏差。 知识点10 三角函数的化简与证明 方法技巧 1. 化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂； 2. 证明常用方法：从繁到简、左右归一、变更命题； 3. 常用技巧：1 的代换（）、因式分解、配方。若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。 易错分析 1. 变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形； 2. 公式记错，平方差、完全平方公式应用错误； 3. 切割化弦时，正切换算遗漏分母。。 考 点 演 练 题型1 终边相同的角（角度制） 【典例1】下列选项中与角α＝1560°终边相同的角是（　　） A．﹣60° B．60° C．120° D．240° 【答案】C 【解答】解：α＝1560°＝120°+4×360°，故与角α终边相同的角为120°，其他角显然和120°的终边不相同． 故选：C． 【变式1】下列各角中，与996°终边相同的角为（　　） A．﹣84° B．﹣276° C．245° D．84° 【答案】A 【解答】解：对于A项，因996°﹣（﹣84°）＝1080°＝3×360°，故A项正确； 对于B项，因996°﹣（﹣276°）＝1272°不是360°的整倍数，故B项错误； 对于C项，因996°﹣245°＝751°不是360°的整倍数，故C项错误； 对于D项，因996°﹣84°＝912°不是360°的整倍数，故D项错误． 故选：A． 题型2 象限角、轴线角 【典例1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意，角α的终边在直线上， α为第二象限角时，α2kπ＝（2k+1）π，k∈Z； α为第四象限角时，α2kπ＝（2k+2）π，k∈Z； 综上，角α的取值集合是{α|α＝kπ，k∈Z}． 故选：D． 【变式1】下列结论正确的是（　　） A．若α为第一象限角，则 B．若，则sinβ+cosα＝0 C．tan22°+tan23°+tan22°tan23°＝1 D． 【答案】BC 【解答】解：对于A，是第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于B，由，得，所以sinβ，所以sinβ+cosα＝0，故B正确； 对于C，由tan（22°+23°）＝tan45， 所以tan22°+tan23°＝1﹣tan22°tan23°，即tan22°+tan23°+tan22°tan23°＝1，故C正确； 对于D，因为，故D错误． 故选：BC． 题型3 终边相同的角（弧度制） 【典例1】已知集合，则A∩B＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为， 当k＝2n+1，n∈Z时，，此时A∩B＝∅； 当k＝2n，n∈Z时，，此时； 综上所述，． 故选：A． 【变式1】与终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意，， 故与终边相同的角可表示为：， 对A，，解得：，故A错； 对B，，解得：，故B错； 对C，，解得：k＝0∈Z，故C对； 对D，，解得：，故D错． 故选：C． 题型4 弧长公式 【典例1】如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（　　） A．R B．R C．R D．2R 【答案】C 【解答】解：设所对的圆心角为α， 则由题意，得， 所以， 所以． 故选：C． 【变式1】某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm，则小轮每秒转过的弧长是（　　）cm． A．10π B．5π C． D． 【答案】C 【解答】解：由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是． 故选：C． 题型5 扇形面积公式 【典例1】如图所示，已知两个半径相等的圆形相切，半径为3厘米，两圆的圆心分别为M和N，Q为圆M上一点，且三角形MNQ为直角三角形，则阴影部分的面积为（　　） A．2.5π B．2.25π C．3π D．3.25π 【答案】B 【解答】解：由题意两个半径相等的圆形相切，半径为3厘米， 设∠QNM＝α，∠QMN＝β， 因为三角形MNQ为直角三角形， 所以， 所以阴影部分的面积2.25π． 故选：B． 【变式1】如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，则矩形ABCD面积的最大值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：设点，， 因为， 所以，， 所以矩形ABCD的面积S＝AD•AB ＝2sinθcosθ﹣2sin2θ ＝sin2θ﹣（1﹣cos2θ） （sin2θcos2θ）﹣1 ， 由，可得，可得， 所以， 所以矩形ABCD的面积的最大值为． 故答案为：． 题型6 三角函数的定义域 【典例1】已知函数，则（　　） A．f（x）的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z} B．f（x）的值域为R C．f（x）在上单调递增 D．存在，使得函数y＝f（x）﹣a恰有两个零点 【答案】ACD 【解答】解：由题意函数， 对于选项A，要使函数表达式有意义，可得sinx≥0，解得2kπ≤x≤π+2kπ（k∈Z），故选项A正确； 对于选项B，由，对函数求导可得， 令f′（x）＝0，解得，进一步可得sin2x+4sinx﹣1＝0， 正根为，当k＝0时，对应极值点有， 此时f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，π）单调递减， 所以函数f（x）在区间[0，π]上的最大值为f（x0）≈3.39，最小值为f（0）＝0， 当k＝1时，x∈（2π，3π），该区间内f（x）的最小值为f（2π）＝2π≈6.28， 因此区间（3.39，6.28）内所有实数都无法被f（x）取到， 函数图象如图所示， 所以值域不可能是全体实数R，故选项B错误； 对于选项C，因为在上单调递增，x在上单调递增， 所以f（x）在上单调递增，故选项C正确； 对于选项D，当k＝0时，f（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，π）单调递减， 且f（π）＝π＝3.14，最大值为f（x0）≈3.39， 当a∈（π，3.39）时，f（x）＝a在[0，π]恰好有两个不同的解， 同时，所有k≤﹣1的定义域区间内f（x）的最大值都小于﹣2π+3.39＜π， 所有k≥1的定义域区间内f（x）的最小值都大于2π＞3.39， 所以此时y＝f（x）﹣a总共有2个零点，区间， 所以确实存在满足条件的a，故选项D正确． 故选：ACD． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．命题“函数y＝tan（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}”是真命题 B．“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充要条件 C．“a＝﹣1”是“函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的充分不必要条件 D．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0≤1，x02﹣x0≤0” 【答案】AC 【解答】解：“函数y＝tan（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}”，是真命题，所以A正确； “α＝β”推出“sinα＝sinβ”成立，反之不成立，所以“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要条件，所以B不正确； “a＝﹣1”推出“函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”，反之不成立，所以“a＝﹣1”推出“函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的充分不必要条件，所以C正确； 命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0≤1，x02﹣x0≤0”，不满足命题的否定形式，所以D不正确； 故选：AC． 题型7 三角函数值的符号 【典例1】角θ是第三象限角的充要条件是（　　） A．sinθ＞0且cosθ＞0 B．sinθ＜0且tanθ＞0 C．cosθ＜0且tanθ＜0 D．sinθ＜0且cosθ＞0 【答案】B 【解答】解：当θ是第三象限角时，sinθ＜0，cosθ＜0，tanθ＞0． 故选：B． 【变式1】角θ为第三象限角的充要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：若角θ为第三象限角，则sinθ＜0，cosθ＜0， 反之，若sinθ＜0，cosθ＜0，则角θ为第三象限角， 即角θ为第三象限角的充要条件为sinθ＜0，cosθ＜0． 故选：B． 题型8 单位圆与周期性 【典例1】设任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），角α+θ的终边与单位圆的交点为P2（y，﹣x），则下列说法中正确的是（　　） A．sin（α+θ）＝sinα B．sin（α+θ）＝﹣cosα C．cos（α+θ）＝﹣cosα D．cos（α+θ）＝﹣sinα 【答案】B 【解答】解：∵任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y）， ∴由三角函数的定义得，sinα＝y，cosα＝x， 同理sin（α+θ）＝﹣x，cos（α+θ）＝y， 则sin（α+θ）＝﹣cosα，cos（α+θ）＝sinα， 故选：B． 【变式1】已知角α的终边与单位圆相交于点P（sin，cos），则sinα＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵角α的终边与单位圆相交于点P（sin，cos）， ∴sinα＝coscos（2）＝cos． 故选：D． 题型9 同角正弦、余弦的平方和为1 【典例1】已知α是锐角，，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：α是锐角，， 则， 令cos，sin， 故sin（α+β）＝1， 所以α+β， 故sinα＝cosβ． 故选：B． 【变式1】已知，则的值为（　　） A． B．﹣4 C． D．4 【答案】D 【解答】解：， 则，解得， ． 故选：D． 题型10 同角正弦、余弦的商为正切 【典例1】已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由，可得 ． 故选：D． 【变式1】若，则α＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可得tanα，结合α∈（0，π），可得α． 故选：B． 题型11 运用诱导公式化简求值 【典例1】已知tan（3π+θ）＝﹣1，则（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【答案】D 【解答】解：由题意，tan（3π+θ）＝tanθ＝﹣1， 可得3． 故选：D． 【变式1】若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为， 所以， 所以， 又； 所以的取值范围是． 故选：A． 过 关 验 收 1．与角943°18′的终边相同的角的集合为（　　） A．{x|x＝43°18′+k×360°，k∈Z} B．{x|x＝43°18′+k×180°，k∈Z} C．{x|x＝223°18′+k×180°，k∈Z} D．{x|x＝223°18′+k×360°，k∈Z} 【答案】D 【解答】解：因为943°18′＝223°18′+2×360°， 943°18′终边相同的角的集合为{x|x＝223°18′+k×360°，k∈Z}． 故选：D． 2．集合{α|45°+k•180°≤α≤90°+k•180°，k∈Z}中角α的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：当k＝2n，n∈Z时，n•360°+45°≤α≤n•360°+90°，n∈Z． 角α的终边与45°≤α≤90°终边相同，位于第一象限靠近y轴的区域； 当k＝2n+1，n∈Z时，n•360°+225°≤α≤n•360°+270°，n∈Z． 角α的终边与225°≤α≤270°终边相同， 角α的终边位于第三象限靠近y轴的区域． 故选：C． 3．“α是锐角”是“α是第一象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解答】解：因为α是锐角，故0°＜α＜90°，则α一定是第一象限角， 若α是第一象限角，不妨取﹣330°，则α不是锐角， 所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件． 故选：A． 4．已知，角A为第三象限角，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为，所以， 解得或， 因为角A为第三象限角，所以． 故选：A． 5．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是． 故选：B． 6．如图，△ABC是边长为a的正三角形．曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的圆弧，称曲线CA1A2A3为螺旋线旋转一圈，然后又以A为圆心，AA3为半径画弧，⋯，如此下去，画到第10圈，则所得螺旋线的总长度为（　　） A． B．310πa C．58πa D．110πa 【答案】B 【解答】解：根据弧长公式，CA1，A1A2，A2A3，⋯，A28A29，A29A30的长度分别为：， 故此数列是为首项，为公差，项数为30的等差数列， 则数列前30项的和为， 故选：B． 7．下列说法正确的是（　　） A．sin2cos3＜0 B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为π C．终边落在直线x+y＝0上的角的集合是 D．函数的定义域为 【答案】ABD 【解答】解：对于A，由，得sin2＞0，cos3＜0，则sin2cos3＜0，A正确； 对于B，设扇形半径为r，由题意，可得， 解得r＝3， 可得扇形的弧长为，B正确； 对于C，终边落在射线y＝﹣x（x≥0）上的角集合为， 终边落在射线y＝﹣x（x≤0）上的角集合为， 因此终边落在直线x+y＝0上的角的集合是，C错误； 对于D，由，得， 因此函数的定义域为，D正确． 故选：ABD． 8．古希腊数学家托勒密（Ptolemy85﹣165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角α（0°＜α＜360°）所对的弦长记为crdα．例如60°圆心角所对弦长等于60个度量单位，即crd60°＝60．则（　　） A．crd30°＝30 B．若crdα＝120，则α＝180° C． D．crdα+crdβ＞crd（α+β）（0°＜α+β＜360°） 【答案】BCD 【解答】解：设圆的半径为r，圆心角θ＝30°时所对应的弦长为l， 由余弦定理得l2＝r2+r2﹣2r•rcos30°＝2r2（1）， 故lrrr， 所以crd30°60≠30，A错误； 若crdα＝120，则圆心角α所对的弧长为2r，即圆的直径，故α＝180°，B正确； 设圆心角α所对应的弦长为l，由余弦定理得l2＝r2+r2﹣2r•rcosα＝2r2（1﹣cosα）， 所以l＝r60，C正确； 若crdα+crdβ＞crd（α+β）（0°＜α＜360°，0°＜β＜360°，0°＜α+β＜360°）， 则60（）＞60， ⇔ ⇔（sinsin）sin ⇔2sincos2sincos ⇔coscossinsincoscossinsin ⇔sinsin0，D正确． 故选：BCD． 9．在面积为S（S为定值）的扇形中，当扇形圆心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ，r的值分别是（　　） A．θ＝1，r B．θ＝2，r C．θ＝2，r D．θ＝2，r 【答案】D 【解答】解：Sθr2⇒θ， 又∵扇形周长P＝2r+θr＝2（r）≥4， ∴当P最小时，r⇒r， 此时θ＝2， 故选：D． 10．如图，分别以等边三角形ABC三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为，扇形ABC的面积， 所以莱洛三角形的面积为． 故选：C． 11．如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，AB∥CD，∠CAD＝120°，扇形圆心角∠BAC＝45°，，则扇形区域的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题可得：∠ACD＝∠BAC＝45°． △ACD中，∠ACD＝45°，∠CAD＝120°，∠ADC＝15°，， 由正弦定理得，解得AC＝4sin15°， 即扇形所在圆的半径为4sin15°， 故扇形区域面积为． 故选：D． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵将线段AB绕点A顺时针旋转 60° 后，点B恰好落在CE上的点F处， ∴∠A＝60°， ∵∠ACB＝90°，AC＝1， ∴， ∴． 故选：A． 13．下列说法正确的是（　　） A．若cosα＜0且sinα＞0，则α为第二象限角 B．终边在直线y＝x上的角的集合是 C．若扇形的圆心角为，弧长为π，则扇形的面积为3π D．函数的定义域为 【答案】ABC 【解答】解：设P（x，y）为角α终边上一点，则r＝|OP|， 根据cosα0，可得x＜0，由sinα0，得y＞0， 所以P（x，y）为第二象限的点，即α为第二象限角，故A项正确； 根据终边在直线y＝x上的角的集合是，可知B项正确； 若扇形的圆心角为，弧长为π，则扇形所在圆的半径r满足π，解得r＝6， 可得扇形的面积S，所以C项正确； 函数中，定义域满足， 解得，所以该函数的定义域为{x|}，可知D不正确． 故选：ABC． 14．若cosθ＞0且tanθ＜0，则θ为第（　　）象限的角． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【解答】解：由三角函数的定义可知，cosθ＞0时θ在第一、四象限；tanθ＜0时θ在第二、四象限， 所以cosθ＞0且tanθ＜0时，θ在第四象限． 故选：D． 15．若α＝﹣5，则（　　） A．sinα＞0，cosα＞0 B．sinα＞0，cosα＜0 C．sinα＜0，cosα＞0 D．sinα＜0，cosα＜0 【答案】A 【解答】解：因为α＝﹣5∈（﹣2π，），可得α为第一象限角， 所以sinα＞0，cosα＞0． 故选：A． 16．如图，A、B是单位圆O上的点，C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为，三角形AOB为直角三角形． （1）求sin∠COA，cos∠COA的值； （2）求cos∠COB的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵A点的坐标为， 根据三角函数定义可知，，r＝1；（3分） ∴，．（6分） （2）∵三角形AOB为直角三角形， ∴∠AOB＝90°， 又由（1）知sin∠COA，cos∠COA； ∴cos∠COB＝cos（∠COA+90°）＝﹣sin∠COA．（12分） 17．已知函数f（x）＝cos2x+2cos2（x）． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若α∈（0，），f（α），求cos2α． 【答案】（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期T＝π． （Ⅱ）cos2α． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝cos2x+2cos2（x） ＝cos2x+1+cos（2x） ＝cos2xsin2xcos2x+1 sin2xcos2x+1 ＝sin（2x）+1，…4分 ∴函数f（x）的最小正周期Tπ…5分 （Ⅱ）由f（α），可得sin（2α）， ∵α∈（0，）， ∴2α∈（，），…7分 又∵0＜sin（2α）， ∴2α∈（，π），…8分 ∴cos（2α），…10分 ∴cos2α＝cos[（2α）]＝cos（2α）cossin（2α）sin12分 18.设甲：cos2α+cos2β＝1，乙：cosα+sinβ＝0，则甲是乙的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：若cos2α+cos2β＝1，又sin2β+cos2β＝1，故cos2α＝sin2β， 则cosα+sinβ＝0或cosα+sinβ＝2sinβ，故甲无法推出乙，充分性不成立； 若cosα+sinβ＝0，则cosα＝﹣sinβ，得cos2α＝sin2β， 所以cos2α+cos2β＝sin2β+cos2β＝1，乙可以推出甲，必要性成立， 所以甲是乙的必要不充分条件． 故选：B． 19．已知α∈（0，π），，则tanα＝（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【答案】B 【解答】解：因为α∈（0，π），， 故sinα， 故tanα． 故选：B． 20．设，，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为tanα+tanβ， 则， 两边同时乘以cosαcosβ，可得sinαcosβ+cosαsinβ＝cosα， 即sin（α+β）＝cosα＝sin（α）， 因为α∈（0，），β∈（0，）， 所以α+β∈（0，π），α∈（0，）， 所以α+βα或α+βα＝π， 所以2α+β或β（舍）． 故选：A． 21．若θ∈（0，π），，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由于θ∈（0，π），， 所以sinθ＞0，cosθ＜0， 所以cosθ﹣sinθ＜0， 又， 所以， 所以． 故选：A． 22．已知，则（　　） A．﹣1 B． C． D．1 【答案】A 【解答】解：由题意，可得cosα≠0， 所以． 故选：A． 23．若sin20°＝m，则tan20°＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意得， 所以． 故选：B． 24．已知α∈（0，π），则“”是“”的（　　）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解答】解：由题意，α∈（0，π）， 由，可得，可得或， 由，则，而为的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：C． 25．已知是角α终边上的一点，则sin（π﹣α）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意得|OP|＝r10， 所以sinα，可得sin（π﹣α）＝sinα． 故选：A． 26．sin（α），则cos（α）的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵sin（α），∴cos（α）＝cos[（α）]＝sin（α）． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $